TD Maths Leçon 4 Primitives PDF

Niveau : TD CÔTE D’IVOIRE – ÉCOLE NUMÉRIQUE MATHEMATIQUES THEME : fonctions numériques DUREE : 06 heures CODE Leçon 4 : PRIMITIVES A- SITUATION D’APPRENTISSAGE Le ministère a entrepris la constru...

Niveau : TD CÔTE D’IVOIRE – ÉCOLE NUMÉRIQUE MATHEMATIQUES THEME : fonctions numériques DUREE : 06 heures CODE Leçon 4 : PRIMITIVES A- SITUATION D’APPRENTISSAGE Le ministère a entrepris la construction d’une piscine dans l’enceinte d’un lycée d’excellence. L’entreprise chargée de l’ouvrage a affiché une image accompagnée d’un schéma de ce que sera cette piscine (voir image ci-contre). Rimon élève de TA1 et amateur de natation, veut comparer la taille de la piscine de son lycée à celle du lycée professionnel de la ville. Il tente de calculer son aire mais n’y arrive pas. Il pose le problème à ses camarades de classe qui décident de l’aider à déterminer l’aire totale de la piscine en construction. A. CONTENU DE LA LEÇON I. Notion de primitive 1. Définition 𝑓 est une fonction définie sur un intervalle Ι. On appelle primitive de 𝑓 sur I , toute fonction F dérivable sur Ι telle que f soit la dérivée de F. Remarque A partir de la définition, on peut écrire : pour tout 𝐱 ∈ 𝚰, 𝐅 ′ (𝐱) = 𝐟(𝐱). Exemple Soit f la fonction définie sur ℝ par : f(x) = 3x 2 + 1. Une primitive de f sur ℝ est la fonction F telle que : F(x) = x 3 + x − 9 , En effet : F est dérivable sur ℝ et ∀x ∈ ℝ, F ′ (x) = 3x 2 + 1 = f(x). EXERCICE DE FIXATION Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = 2x + 5. On donne les fonctions F, G , H dérivables sur ℝ , la fonction P dérivable sur ℝ∗ et définies respectivement par : 1 F(x) = x 2 ; G(x) = x 2 + 5x − 7 ; H(x) = x 2 + 5x ; P(x) = x 2 + 5x + x Parmi les fonctions F , G , H et P , cite celles qui sont des primitives de f sur ℝ Solution On vérifie que : pour tout x ∈ ℝ , G′ (x) = f(x) et H ′ (x) = f(x). Donc G et H sont des primitives de f sur ℝ. 2. Propriétés Propriété1 : Condition d’existence d’une primitive Toute fonction continue sur un intervalle Ι admet une primitive sur Ι. EXERCICE DE FIXATION Soient f, g, h et u les fonctions de ℝ vers ℝ définies respectivement par : 1 x f(x) = x 3 − 1 ; g(x) = ; h(x) = √x ; u(x) = 2 x x +1 Entoure celles qui admettent des primitives sur ℝ. Solution On entoure f et u , car ces deux fonctions sont continues sur ℝ. Propriété2 : Ensemble des primitives d’une fonction Soit une fonction f continue, admettant une primitive F sur un intervalle I. Toute primitive de f sur I est de la forme : x ↦ F(x) + c , où c est un élément de ℝ. Conséquence : toute fonction continue admet une infinité de primitives. EXERCICES DE FIXATION Exercice1 x3 x2 Soient f et F les fonctions de ℝ vers ℝ et définies par : f(x) = x 2 − x et F(x) = − 3 2 Vérifie que F est une primitive de f sur ℝ , puis trouve deux autres primitives G et H de f sur ℝ. Solution ∀x ∈ ℝ, F′(x) = f(x). Donc, F est une primitive de f sur ℝ. Toutes les primitives de f sont de la forme : x ↦ F(x) + c, avec 𝑐 ∈ ℝ Deux autres primitives de f sur ℝ sont les fonctions G et H définies respectivement par : x3 x2 x3 x2 G(x) = − − 29 et H(x) = − + 546. 3 2 3 2 Exercice2  1 Détermine les primitives sur ]0; +∞[ de la fonction f définie par f(x) = − x2. Solution 1 Les primitives sur ]0; +∞[ de f sont les fonctions : x ⟼ x + c, où c ∈ ℝ. Propriété3 : La primitive d’une fonction vérifiant une condition initiale Soit f une fonction continue sur un intervalle Ι, x0 un élément de Ι et y0 un nombre réel. Ιl existe une primitive de f sur I et une seule qui prend la valeur y0 en x0. EXERCICE DE FIXATION Soit g la fonction définie sur ℝ par : g(x) = 2x − 1. On suppose que la fonction G définie par G(x) = x 2 − x est une primitive de g sur ℝ. Détermine la primitive H de g qui prend la valeur 5 en −1 Solution La primitive cherchée H est de la forme H(x) = G(x) + c = x 2 − x + c , où c ∈ ℝ. Cherchons c : H(−1) = 5 ⟺ (−1)2 − (−1) + c = 5. D’où : c = 3 Donc : H(x) = x 2 − x + 3. II. Détermination d’une primitive 1. Primitives de fonctions usuelles Fonction 𝐟 Primitives de 𝐟 (c ∈ ℝ) Sur l’intervalle x ⟼ a (a ∈ ℝ) x ⟼ ax + c ℝ x ⟼ x r (r ∈ ℚ ∖ {−1}) 1 r+1 ℝ , ℝ+ , ℝ∗+ ou ℝ∗− x +c r+1 1 −1 ℝ∗+ ou ℝ∗− x⟼ (r ∈ ℚ ∖ {1}) x⟼ +c xr (r − 1)x r−1 1 x ⟼ 2√x + c ℝ∗+ x ⟼ √x x ⟼ cosx x ⟼ sinx + c ℝ x ⟼ sinx x ⟼ −cosx + c ℝ 1 π π x⟼ = 1 + tan2 x ]− + kπ; + kπ[ , k ∈ ℤ cos2 x x ⟼ tanx + c 2 2 1 x⟼ = 1 + cotan2 x ]kπ; π + kπ[ , k ∈ ℤ sin2 x x ⟼ −cotanx + c EXERCICE DE FIXATION Dans chacun des cas suivants, détermine toutes les primitives sur ]0; +∞[ de la fonction f 1 2⁄ a. f(𝑥) = 𝑥 3 b. f(x) = x5 c. f(x) = x 3 Solution 1 1 1 a. x ⟼ 4 x 4 + c ( c ∈ ℝ ) b. x ⟼ − 4x4 + c (c ∈ ℝ) c. x ⟼ −3x − 3 + c (c ∈ ℝ) 2. Opérations et compositions Propriété1 Soient u et v deux fonctions admettant respectivement pour primitives sur un intervalle I les fonctions U et V. k est un nombre réel. U + V est une primitive sur I de la fonction u + v. kU est une primitive sur I de la fonction ku. EXERCICE DE FIXATION Dans chacun des cas suivants, détermine toutes les primitives sur ℝ de la fonction f. a. f(x) = x + sinx b. f(x) = sinx + cosx c. f(x) = 8x 2 + 5x − 9 Solution 1 a. x ⟼ 2 x 2 − cosx + c (c ∈ ℝ) b. x ⟼ −cosx + sinx + c (c ∈ ℝ) 8 5 c. x ⟼ 3 x 3 + 2 x 2 − 9x + c (c ∈ ℝ) Propriété2 Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I et v une fonction dérivable sur un intervalle contenant u(Ι). Une primitive sur Ι de la fonction u′ × (v ′ ou) est la fonction v ∘ u. On en déduit le tableau suivant : Fonction 𝐟 Une primitive 𝐅 de 𝐟 Conditions sur 𝐈 u′ur (r ∈ ℚ ∖ {−1}) 1 u > 0 sur I ur+1 r+1 u′ −1 u > 0 sur I (r ∈ ℚ ∖ {1}) ur (r − 1)ur−1 u′ 2√u u > 0 sur I √u u′cosu sinu 1 x ⟼ cos (ax + b) 𝑥 ⟼ sin(ax + b) a≠0 a u′sinu −cosu 1 x ⟼ sin(ax + b) 𝑥 ⟼ − a cos(ax + b) a≠0 EXERCICES DE FIXATION Exercice1 Dans chacun des cas suivants, détermine une primitive F sur ]0; +∞[ de la fonction f. 3 a. f(x) = 3 sin 2x b. f(x) = 2√2x + 1 ; c. f(x) = (3x+5)2 Solution 1 3 a. F(x) = 3 × (− 2 𝑐𝑜𝑠2𝑥) = − 2 𝑐𝑜𝑠2𝑥 1 1 3 1 2 b. f(x) = 2(2x + 1)2. Donc F(x) = 1 (2x + 1)2+1 = (2x + 1)2. +1 3 2 1 1 c. F(x) = − (2−1)(3x+5)2−1 = − 3x+5. Exercice2 Dans chacun des cas suivants, détermine une primitive H sur ℝ de la fonction h. 2x+3 a. h(x) = (2x + 1)(x 2 + x + 6)3 b. h(x) = (x2+3x+3)4 c. h(x) = sin x cos 5 x 2x+1 d. h(x) = √x2 +x+1 Solution 1 a. ℎ(𝑥) = 𝑢′ (𝑥) × (𝑢(𝑥))3 ; avec u(x) = x 2 + x + 6, donc H(x) = 4 (x 2 + x + 6)4 𝑢′ (𝑥) 1 b. ℎ(𝑥) = (𝑢(𝑥))4 ; avec u(x) = x 2 + 3x + 3, donc H(x) = − 3(x2+3x+3)3 1 c. h(x) = −𝑢′ (𝑥) × (𝑢(𝑥))5 ; avec 𝑢(𝑥) = cos(𝑥), donc H(x) = − cos6 x. 6 𝑢′ (𝑥) d. ℎ(𝑥) = ; avec u(x) = x 2 + x + 1, donc H(x) = 2√x 2 + x + 1. √𝑢(𝑥) B. SITUATION COMPLEXE Le car loué par le lycée pour sa colonie de vacances doit effectuer un trajet de 1500 km. Lorsque ce car roule à la vitesse moyenne v, exprimée en km/h, la dérivée de sa consommation C(v), exprimée en litres pour 100 km, selon les études d’un expert sur ce type de véhicule, est donnée par la −300 1 relation : 𝐶′(𝑣) = 𝑣2 + 3. Une information complémentaire fournie par le chauffeur au moment de la location du car est qu’il consomme 25 litres au 100 pour une vitesse moyenne de 60 km/h. Le salaire horaire du chauffeur est de 900 F CFA et le litre de gasoil coûte 600 F CFA. Les organisateurs de la colonie veulent déterminer la vitesse moyenne à laquelle le chauffeur doit rouler pour minimiser le coût total du voyage. Ils te sollicitent pour leur venir en aide. Propose - leur une solution argumentée basée sur tes connaissances mathématiques. Solution Pour répondre à la préoccupation des organisateurs du voyage, nous utilisons les primitives. Nous allons déterminer le cout total du voyage Modélisation Détermination de C −300 1 300 𝑣 De la relation 𝐶′(𝑣) = + 3, on obtient : 𝐶(𝑣) = +3 + 𝑘. Le car consomme 25 litres au 100 pour 𝑣2 𝑣 300 60 une vitesse moyenne de 60 km/h, d’où : C(60) = 25. Or 𝐶(60) = 60 + 3 +𝑘 = 25 + k, donc k est nul. 300 𝑣 La formule donnant la consommation en litres pour 100 km est : 𝐶(𝑣) = 𝑣 + 3. Détermination du coût total du voyage. Ce coût total P(v) dépend de la vitesse v. 1500 La durée du trajet de 1500 km à la vitesse v, est t = 𝑣. 1500 1350000 Le salaire du chauffeur sera donc 900 × 𝑣 = 𝑣. 300 𝑣 La consommation en litres pour 1500 km (1500 = 15 × 100) sera de 15C(v) = 15( + 3) 𝑣 300 𝑣 300 𝑣 Comme le litre coûte 600FCFA, alors le coût du carburant sera de : 600× 15( 𝑣 + 3)=9000( 𝑣 + 3). 4050000 𝑃(𝑣) = + 3000𝑣. 𝑣 Calcul de la vitesse qui minimise le coût total du voyage (résolution du modèle) Pour minimiser le coût total du trajet, il faut étudier les variations de la fonction P. Etudier les variations de la fonction P revient à étudier le signe de sa dérivée. P est dérivable sur l'intervalle ]0; +∞ [. −4050000 𝑃′(𝑣) = + 3000 𝑣2 𝑃′ (𝑣) = 0 ⇔ 𝑣 = √1350 ⋍ 37, 𝑐𝑎𝑟 𝑣 ≥ 0 𝑣 0 √1350 +∞ 𝑃′(𝑣) - 0 + 𝑃(𝑣) 𝑚 𝑚 = 𝑃(√1350) ⋍ 220500 conclusion Pour minimiser le coût total du voyage, le chauffeur doit rouler à une vitesse moyenne de 37 km/h. L’organisation de cette colonie leur coûterait alors 220 500 FCFA. D. EXERCICES 1. Exercices d’application  Exercice1 Réponds par VRAI (V ) ou par Faux (F ) à chacune des affirmations suivantes N° AFFIRMATIONS REPONSES Une primitive sur ℝ de la fonction définie par : f(x) = 3x 2 − 4x + 1 est la fonction 1. définie par : F(x) = x 3 − 2x 2 + x − π 1 1 La primitive sur ]0; +∞[ de la fonction définie par p(x) = x − x2 − x qui prend la 2. √ 1 1 1 valeur − 2 en 1 est la fonction définie par P(x) = 2 x 2 + x − 2√x + 1 3. Une primitive sur un intervalle Ι de la fonction u′ v + uv′ est la fonction u × v Solution 1. V 2. F 3. V Exercice2 Dans chacun des cas suivants, détermine les primitives sur Ι de la fonction f. 1 5 1. f(x) = (2x+5)2 ; I = ]− 2 ; +∞[ 2. f(x) = (3x + 2)(3x² + 4x + 7)3 ; Ι = ℝ 4x3 3. f(x) = √x4 ; Ι = ℝ+ +1 solution 5 1 2 1. ∀x ∈ ]− 2 ; +∞[ , f(x) = 2 × (2x+5)2. 5 1 Donc, les primitives sur ]− 2 ; +∞[ de f sont de la forme : x ⟼ − 2(2x+5) + c (c ∈ ℝ). 1 2. ∀x ∈ ℝ , f(x) = 2 (6x + 4)(3x² + 4x + 7)3. 1 Donc, les primitives sur ℝ de f sont de la forme : x ⟼ 8 (3x² + 4x + 7)4 + c (c ∈ ℝ). 3. Les primitives sur ℝ+ de f sont de la forme : x ⟼ 2√x 4 + 1 + c (c ∈ ℝ). Exercice3 On donne les fonctions fet F définies sur ]0; +∞[ respectivement, par : f(x) = x(5√x + 4) et F(x) = 2x 2 (√x + 1) Démontre que F est une primitive de f sur ]0; +∞[. Exercice4 Dans chacun des cas suivants détermine les primitives sur Ι de la fonction f. 2x6 −3x+8 1. f(x) = , I = ]0; +∞[ 2x4 2x 2. f(x) = √x2 ; Ι = ]3; +∞[ −9 3. f(x) = (x − 1)(x² − 2x + 5)3 ; Ι = ℝ π 4. f(x) = sin (3x − 5 ) , Ι = ℝ 2. Exercices de renforcement Exercice5  3 On considère les fonctions fet F définies sur ]−∞; 2[ respectivement par : f(x) = x√3 − 2x et F(x) = (ax 2 + bx + c)√3 − 2x , où a, b et c sont des nombres réels. 3 Détermine a, b et c pour que F soit une primitive de f sur ]−∞; 2[. Réponse 3 On a : ∀x ∈ ]−∞; 2[ , F ′ (x) = f(x). ′ (x) ax 2 + bx + c F = f(x) ⟺ (2ax + b)√3 − 2x − = x√3 − 2x √3 − 2x ⟺ −5ax 2 + (6a − 3b)x + 3b − c = −2x 2 + 3x. −5a = −2 Par identification : {6a − 3b = 3 3b − c = 0 2 1 3 On obtient : a = 5 , b = − 5 et c = − 5. Exercice6 On donne les fonctions fet h définies sur ℝ respectivement par : −x3 +2x2 +2 x4 +3x2 −4x f(x) = et h(x) = x2 +1 (x2 +1)2 4x 1. Justifie que : ∀x ∈ ℝ , h(x) = −f ′ (x) − (x2+1)2. 2. Détermine la primitive H de h sur ℝ , qui prend la valeur 2 en 0. Réponse −x4 −3x2 −x4 −3x2 +4x−4x x4 +3x2 −4x 4x 4x 1. ∀x ∈ ℝ , f ′ (x) = (x2 +1)2 = (x2 +1)2 =− 2 (x +1) 2 − (x +1)2 2 = −h(x) − (x2+1)2. 4x Donc : h(x) = −f′(x) − (x2+1)2. 2x 2. On a : ∀x ∈ ℝ , h(x) = −f ′ (x) − 2 × (x2+1)2. 2 La primitive cherchée H est de la forme: H(x) = −f(x) + x2+1 + c, où c ∈ ℝ. H(0) = −f(0) + 2 + c = 2. Alors : c = f(0) = 2. 2 Donc : ∀x ∈ ℝ, H(x) = −f(x) + x2 +1 + 2. Exercice7 On considère la fonction f définie sur ℝ, par : f(x) = xcosx. 1. Calcule la dérivée de la fonction g définie sur ℝ, par : g(x) = xsinx. 2. Déduis-en une primitive de f sur ℝ. Exercice8 Dans chacun des cas suivants, détermine une primitive de la fonction f sur ]0; +∞[. xsinx+cosx sinx−xcosx 1. f(x) = 2. f(x) = x2 x2 Exercice9 Dans chacun des cas suivants, détermine une primitive F sur Ι de la fonction f. −3x+1 1. f(x) = (3x2−2x−1)4 ; I = ]1; +∞[ 2. f(x) = sin7xcos3 7x ; Ι = ℝ  3. f(x) = (3 − 2x)sin(x² − 3x + 1 ); Ι = ℝ π 4. f(x) = cos (3x − 5 ) , Ι = ℝ cos2x π 5. f(x) = , Ι = ]0; 4 [. √sin2x x 6. f(x) = 3 , Ι = ]1; +∞[. √x2 −1 Exercice10 π π 1 Soit la fonction f définie sur ]− 2 ; 2 [ , par : f(x) = 1−sinx. 1 1+sinx 1. Vérifie que : 1−sinx =. cos2 x π π 2. Déduis-en les primitives de f sur ]− 2 ; 2 [. Exercice11 Sans linéariser l’expression cos 3 xsin3 x, détermine une primitive sur ℝ de la fonction f: x ⟼ cos3 xsin3 x. 3. Exercices d’approfondissement Exercice12 1. Linéariser l’expression cos4 x. 2. Déduis-en les primitives sur ℝ de la fonction : x ⟼ cos 4 x. Réponse 1+cos2x 2 1 1. cos4 x = ( ) = 4 (1 + 2cos2x + cos2 2x) 2 1 1 1 1 1 1 1 + cos4x cos4 x = + cos2x + cos 2 2x = + cos2x + ( ) 4 2 4 4 2 4 2 3 1 1 cos4 x = 8 + 2 cos2x + 8 cos4x. 2. Les primitives sur ℝ de la fonction : x ⟼ cos4 x sont les fonctions : 3 1 1 x ⟼ 8 x + 4 sin2x + 32 sin4x + c (c ∈ ℝ). Exercice13 x3 −x2 −8x+8 Soit f la fonction définie sur ]2; +∞[ , par : f(x) = (x−2)2. c 1. Détermine trois nombres réels a, b et c tels que : ∀x ∈ ]2; +∞[, f(x) = ax + b + (x−2)2. 2. Déduis-en les primitives de f sur ]2; +∞[. Réponse 1. A l’aide d’une division euclidienne , on obtient : a = 1 , b = 3 et c = −4. 4 2. ∀x ∈ ]2; +∞[ , f(x) = x + 3 − (x−2)2 1 4 Les primitives de f sur ]2; +∞[ sont de la forme : x ⟼ 3 x 2 + 3x + x−2 + c (c ∈ ℝ). Exercice14  1 2 On considère la fonction f définie sur ]3 ; +∞[ , par : f(x) = sin3 x − (3x−1)2. 1 Détermine les primitives de f sur ]3 ; +∞[. Exercice15 On considère les fonctions h et g définies sur ℝ, par : h(x) = cos2 x et g(x) = sin2 x. 1. Calcule h(x) + g(x). Déduis-en la primitive S de h + g sur ℝ, qui s’annule en 0. 2. Détermine h(x) − g(x). Déduis-en la primitive D de h − g sur ℝ, qui s’annule en 0. 3. On désigne par H et G des primitives respectives de h et g sur ℝ. Déduis des questions précédentes H et G. Exercice16 1 x Soit h la fonction définie sur ℝ ∖ {− 2}, par : h(x) = (2x+1)3. 1 a b 1. Détermine les nombres réels a et b tels que : ∀x ∈ ℝ ∖ {− 2} , h(x) = (2x+1)2 + (2x+1)3. 1 2. Déduis-en une primitive H de h sur ]− 2 ; +∞[.