Analisis I Bab 4: Teorema Limit

Podcast

Play an AI-generated podcast conversation about this lesson

Questions and Answers

Apa nilai dari lim $f(x)$ saat $x$ mendekati 0 untuk fungsi $x imes ext{sin}(1/x)$?

Tidak terdefinisi

0 (correct)

Infinity

Apa yang dapat disimpulkan jika $L > 0$ pada limit fungsi $f(x)$ saat $x$ mendekati $c$?

Limit tidak ada

Terdapat persekitaran yang tidak ditentukan

Terdapat suatu persekitaran di sekitar $c$ di mana $f(x) < 0$

Terdapat persekitaran $V_ heta(c)$ di mana $f(x) > 0$ untuk semua $x$ (correct)

Berdasarkan teorema apit, apa yang harus dipenuhi untuk dapat menyatakan bahwa $f(x)$ mendekati 0 saat $x$ mendekati 0?

Limit dari $f(x)$ mendekati positif infinita

Hasil penggandaan $x$ dengan fungsi sinus mendekati 1

Limit dari $f(x)$ tidak terdefinisi

Nilai absolut dari $x$ mendekati 0 (correct)

Jika $L < 0$, argumen dalam teorema apit tetap berlaku. Apa kesimpulan yang bisa diambil?

Terdapat persekitaran $V_ heta(c)$ di mana $f(x) < 0$ Signup and view all the answers

Apa yang terjadi jika $0 < |x - c| < δ$ dan $x otin A$?

Tidak ada implikasi pada nilai $f(x)$ Signup and view all the answers

Apa yang dimaksud dengan fungsi f dikatakan terbatas pada lingkungan-δ dari c?

Terdapat M > 0 sehingga |f(x)| ≤ M untuk semua x di A ∩ Vδ(c). Signup and view all the answers

Jika A ⊆ R dan f : A → R memiliki limit di c ∈ R, apa konsekuensinya terhadap fungsi f?

f terbatas pada persekitaran c. Signup and view all the answers

Apa yang diperlukan untuk membuktikan bahwa f terbatas di c?

Menunjukkan |f(x) - L| < 1. Signup and view all the answers

Dalam definisi limit, apa yang harus terjadi dengan |x - c|?

0 < |x - c| < δ. Signup and view all the answers

Apa yang dimaksud dengan sup dalam konteks teorema limit fungsi?

Nilai maksimum dari fungsi. Signup and view all the answers

Apa pemahaman yang tepat tentang M jika c ∈ A?

M adalah |L| + 1. Signup and view all the answers

Apa yang menandakan bahwa fungsi h(x) bisa digunakan dalam pembagian f/h?

h(x) tidak boleh sama dengan nol. Signup and view all the answers

Apa yang perlu diperhatikan mengenai ε dalam bukti teorema limit?

ε harus selalu bernilai positif. Signup and view all the answers

Apa yang disimpulkan tentang limit dari penjumlahan dua fungsi f dan g saat x mendekati c?

lim(f + g) = lim f + lim g Signup and view all the answers

Jika lim h = H dan H ̸= 0, maka limit dari f/h saat x mendekati c adalah?

lim f/h = lim f / H Signup and view all the answers

Apa yang benar tentang limit dari hasil kali dua fungsi f dan g saat x mendekati c?

lim(fg) = lim f * lim g Signup and view all the answers

Jika c > 0, apa yang benar tentang limit lim x/x saat x mendekati c?

lim x/x = 1 Signup and view all the answers

Apa hubungan antara limit dari f(x)^n dan limit dari f saat x mendekati c?

lim f(x)^n = lim f^n = L^n Signup and view all the answers

Jika lim x = c dan lim x^2 = c^2, apa yang dapat ditentukan tentang limit 1/x saat x mendekati c?

lim 1/x = 1/c Signup and view all the answers

Apa hasil dari lim (x + 1)(x - 4) saat x mendekati 2?

20 Signup and view all the answers

Apakah yang benar mengenai limit dari fungsi yang dipetakan dari A ke R jika ada n fungsi?

lim(f1 + f2 + ... + fn) = L1 + L2 + ... + Ln Signup and view all the answers

Apa nilai limit dari $rac{x^2 - 4}{3x - 6}$ saat $x$ mendekati 2?

4 Signup and view all the answers

Mengapa teorema 4.2.4 (b) tidak dapat digunakan untuk menghitung limit dari $rac{x^2 - 4}{3x - 6}$?

Karena limit dari $h(x)$ adalah 0. Signup and view all the answers

Apa yang bisa disimpulkan tentang fungsi $g(x) = rac{x^2 - 4}{3x - 6}$ di $x=2$?

Fungsi tidak terdefinisi. Signup and view all the answers

Apa kesimpulan yang dapat diambil dari Teorema 4.2.6?

Jika $a < f(x) < b$, maka limitnya juga di antara $a$ dan $b$. Signup and view all the answers

Dalam Teorema 4.2.7, apa yang dibutuhkan agar limit $g$ sama dengan $L$?

Limit dari $f$ dan $h$ harus sama. Signup and view all the answers

Apa bentuk faktorisasi dari $x^2 - 4$?

$(x-2)(x+2)$ Signup and view all the answers

Apa kondisi yang harus dipenuhi oleh $f(x)$ agar dapat digunakan dalam Teorema 4.2.6?

$f(x)$ harus terbatas antara $a$ dan $b$. Signup and view all the answers

Ketika $x$ tidak sama dengan 2, apa bentuk sederhana dari $rac{x^2 - 4}{3x - 6}$?

$rac{x+2}{3}$ Signup and view all the answers

Apa yang dapat disimpulkan dari limit $ ext{lim } x^{3/2}$ saat $x o 0$?

Limitnya sama dengan 0. Signup and view all the answers

Mengapa limit $ ext{lim } rac{ ext{cos }x - 1}{x}$ tidak dapat menggunakan teorema 4.2.2?

Karena $ ext{lim } x = 0$ saat $x o 0$. Signup and view all the answers

Apa yang terjadi pada fungsi $f(x) = x imes ext{sin}(1/x)$ saat $x o 0$?

Fungsi tersebut memiliki limit 0. Signup and view all the answers

Nilai batas dari $ ext{lim } ext{sin } x$ pada $x o 0$ adalah?

<ol start="0"> <li></li> </ol> Signup and view all the answers

Apa yang dapat dinyatakan dari pertidaksamaan $-x ext{ } ext{sin}(z) ext{ } ext{dimana } z ext{ } ext{untuk semua } z extrm{ } ext{dalam } R$?

Pertidaksamaan ini berlaku untuk $x < 0$. Signup and view all the answers

Apa yang berlaku mengenai $ ext{lim } (cos x - 1)/x$ pada $x o 0$?

Limitnya menghasilkan 0. Signup and view all the answers

Apa hasil dari limit $ ext{lim } x^2$ pada $x o 0$?

<ol start="0"> <li></li> </ol> Signup and view all the answers

Apa yang dapat disimpulkan dari pertidaksamaan $1 - x^2 ext{ } ext{dan } x^2 ext{ } ext{untuk semua } x ext{ } ext{dalam } R$?

Pertidaksamaan berlaku untuk semua nilai x. Signup and view all the answers

Study Notes

Bab 4 Limit

Materi ini membahas Teorema Limit Fungsi (Subbab 4.2) dalam mata kuliah Analisis I (SCMA602131).

Definisi 4.2.1

Fungsi f: A → R, dengan A ⊆ R dan c ∈ R, dikatakan terbatas pada lingkungan-δ dari c jika terdapat lingkungan-δ Vδ(c) dan konstanta M > 0 sehingga |f(x)| ≤ M untuk semua x ∈ A ∩ Vδ(c).

Teorema 4.2.2

Jika A ⊆ R dan f: A → R memiliki limit di c ∈ R, maka f terbatas pada persekitaran c.

Bukti Teorema 4.2.2

Jika L = lim f(x) untuk x → c, maka untuk ε = 1, terdapat δ > 0 sehingga jika 0 < |x − c| < δ, maka |f(x) − L| < 1.
Berdasarkan akibat 2.2.4 (a), |f(x)| - |L| ≤ |f(x) - L| < 1.
Dengan demikian, jika x ∈ A ∩ Vδ(c), maka |f(x)| ≤ |L| + 1. Jika c ∈ A, pilih M = sup{|f(c)|, |L| + 1}.
Dari hasil tersebut, disimpulkan jika x ∈ A ∩ Vδ(c), maka |f(x)| ≤ M.

Definisi 4.2.3

Jika f dan g adalah fungsi dari A ⊆ R ke R, operasi aljabar pada fungsi (penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian) didefinisikan sebagai:
- (f+g)(x) = f(x) + g(x)
- (f-g)(x) = f(x) - g(x)
- (fg)(x) = f(x)g(x)
- (bf)(x) = bf(x) untuk b ∈ R
- (f/h)(x) = f(x)/h(x) untuk h(x) ≠ 0

Teorema 4.2.4

Jika lim f(x) = L dan lim g(x) = M, maka:
- lim (f(x) + g(x)) = L + M
- lim (f(x) - g(x)) = L - M
- lim (f(x)g(x)) = LM
- lim (bf(x)) = bL, untuk b ∈ R
- lim (f(x)/h(x)) = L/H, jika lim h(x) = H ≠ 0.

Bukti dan Remark Teorema 4.2.4

Bukti teorema ini menggunakan metode serupa dengan pembuktian Teorema 3.2.3.
Pernyataan umum juga dijelaskan, jika L= lim f, dan n ∈ N, maka lim (f(x)^n) = L^n.

Contoh Penggunaan Teorema 4.2.4

Contoh soal limit fungsi aljabar.

Teorema 4.2.7 (Teorema Apit)

Jika f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) untuk semua x ∈ A, x ≠ c, dan lim f(x) = L = lim h(x), maka lim g(x) = L.

Contoh Penggunaan Teorema 4.2.7

Contoh limit fungsi trigonometri (sin x/x, cos x - 1/x).

Teorema 4.2.9

Jika lim f(x) > 0, maka ada persekitaran Vδ(c) dari c sedemikian sehingga f(x) > 0 untuk semua x ∈ A ∩ Vδ(c), x ≠ c

Daftar Pustaka

Buku teks "Introduction to Real Analysis" oleh Robert G. Bartle & Donald R. Sherbert, edisi 4, John Wiley & Sons, Inc. (2000).

Studying That Suits You

Use AI to generate personalized quizzes and flashcards to suit your learning preferences.

Description

Quiz ini membahas konsep dan teorema limit dalam mata kuliah Analisis I, khususnya pada Subbab 4.2. Peserta akan diuji pada pemahaman mereka tentang definisi, teorema, dan bukti terkait limit fungsi. Pastikan untuk memahami dasar-dasar yang tertuang dalam materi ini sebelum mengikuti kuis.