Analisis I Bab 4: Teorema Limit

Fungsi f dikatakan terbatas pada lingkungan-δ dari c jika terdapat lingkungan-δ Vδ (c) dan konstanta M > 0 sedemikian sehingga |f(x)| ≤ M untuk semua x ∈ A ∩ Vδ (c).

Jika fungsi f memiliki limit di c, maka f terbatas pada persekitaran c.

(f + g)(x) = f(x) + g(x) untuk semua x ∈ A

(f − g)(x) = f(x) − g(x) untuk semua x ∈ A

(fg)(x) = f(x)g(x) untuk semua x ∈ A

(bf)(x) = bf(x) untuk x ∈ A

f(x)/h(x) untuk x ∈ A, dengan catatan h(x) ≠ 0

Titik c yang merupakan titik kluster dari himpunan A jika setiap lingkungan-δ dari c memuat titik-titik dari himpunan A yang berbeda dari c.

The limit of the sum of two functions is the sum of their limits.

The limit of the difference of two functions is the difference of their limits.

The limit of the product of two functions is the product of their limits.

The limit of a constant times a function is the constant times the limit of the function.

If the limit of the denominator is non-zero, the limit of a quotient of functions is the quotient of their limits.

The limit of a function raised to a power is the limit of the function raised to that power.

The limit of a sum of multiple functions is the sum of their limits.

The limit of a product of multiple functions is the product of their limits.

Teorema ini menyatakan bahwa limit dari hasil bagi dua fungsi sama dengan hasil bagi limit kedua fungsi tersebut, jika limit dari penyebutnya tidak nol. Dengan kata lain, jika lim h(x) ≠ 0, maka lim [f(x)/h(x)] = lim f(x) / lim h(x)

Teorema ini tidak berlaku jika limit dari penyebutnya adalah nol. Dalam kasus ini, limit dari hasil bagi kedua fungsi mungkin tidak ada atau tidak dapat dihitung secara langsung dengan teorema ini.

Limit fungsi f di titik c adalah nilai yang didekati oleh fungsi tersebut ketika nilai x mendekati c. Limit ini mungkin ada meskipun nilai fungsi f di c sendiri tidak terdefinisi.

Teorema ini menyatakan bahwa jika nilai suatu fungsi berada di antara nilai dua fungsi lain yang memiliki limit yang sama, maka fungsi tersebut juga memiliki limit yang sama.

Teorema ini digunakan untuk menentukan limit suatu fungsi g(x) dengan menunjukkan bahwa fungsi tersebut 'diapit' oleh dua fungsi f(x) dan h(x) yang memiliki limit yang sama di titik yang sama.

Fungsi f dikatakan terbatas pada lingkungan-δ dari c jika terdapat lingkungan-δ Vδ (c) dan konstanta M > 0 sedemikian sehingga |f(x)| ≤ M untuk semua x ∈ A ∩ Vδ (c). Ini berarti bahwa nilai absolut dari fungsi f dibatasi oleh konstanta M dalam lingkungan-δ dari c.

Jika f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) untuk semua x pada interval yang memuat titik c (kecuali mungkin titik c sendiri), dan lim f(x) = lim h(x) = L saat x mendekati c, maka lim g(x) = L saat x mendekati c.

Limit fungsi sin(x) saat x mendekati 0 adalah 0. Ini dapat dibuktikan dengan menggunakan Teorema Apit, karena sin(x) terjepit antara -x dan x.

Limit fungsi (cos(x) - 1)/x saat x mendekati 0 adalah 0. Ini dapat dibuktikan dengan menggunakan Teorema Apit dan memanfaatkan pertidaksamaan 1 - x^2/2 ≤ cos(x) ≤ 1.

Limit fungsi x · sin(1/x) saat x mendekati 0 adalah 0. Hal ini dapat dibuktikan dengan menggunakan Teorema Apit, mengingat -|x| ≤ x · sin(1/x) ≤ |x|.

Teorema Apit menyatakan bahwa jika f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) untuk semua x pada interval yang memuat titik c (kecuali mungkin titik c sendiri), dan lim f(x) = lim h(x) = L saat x mendekati c, maka lim g(x) = L saat x mendekati c.

Salah satu contoh penerapan Teorema Apit adalah saat mencari limit fungsi sin(x)/x saat x mendekati 0. Kita dapat menggunakan pertidaksamaan cos(x) ≤ sin(x)/x ≤ 1 untuk menunjukkan bahwa limitnya adalah 1.

Teorema Apit memungkinkan kita menentukan limit suatu fungsi dengan membandingkannya dengan dua fungsi lain yang memiliki limit yang sama. Jika fungsi tersebut 'terjepit' di antara dua fungsi lain, dan limit dari fungsi tersebut sama, maka limit dari fungsi yang terjepit juga sama.

Jika f : A ⊆ R → R, dan c ∈ R adalah titik kluster dari A, maka terdapat suatu persekitaran Vδ (c) dari c sedemikian sehingga f (x) > 0 untuk semua x ∈ A ∩ Vδ (c), x ̸= c.

Jika lim f > 0, maka terdapat suatu persekitaran Vδ (c) dari c sedemikian sehingga f (x) > 0 untuk semua x ∈ A ∩ Vδ (c), x ̸= c.

Untuk membuktikan teorema limit, kita menggunakan definisi limit dan memilih ε = L untuk mendapatkan δ > 0 sehingga jika 0 < |x − c| < δ dan x ∈ A, maka |f (x) − L| < L.

Karena lim |x| = 0, berdasarakan teorema apit diperoleh lim f(x) = lim (x · sin(1/x)) = 0.