Вопросы по математическому анализу 2 (PDF)

ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ ПРОГРАММА по курсу «Математический анализ» Наверное, это больше шпора, чем руководство для учения. Но надеюсь что вам это поможет... 1.Множество R действительных чисел, Сформулировать аксиому полноты и принцип вложенных отрезков. Промежутки; окрестности конечной точки и бесконечно...

ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ ПРОГРАММА по курсу «Математический анализ» Наверное, это больше шпора, чем руководство для учения. Но надеюсь что вам это поможет... 1.Множество R действительных чисел, Сформулировать аксиому полноты и принцип вложенных отрезков. Промежутки; окрестности конечной точки и бесконечности. 1.1.Объединение множеств рациональных и иррациональных чисел называется множеством действительных (вещественных) чисел R Q U Y = R 1.2. Аксиома полноты (непрерывности) множества действительных чисел Эта штучка отражает то что как бы нету промежутков между числами. то есть между числом условно 2 и 3 существует бесконечное множество действительных чисел. 1.3. Принцип вложенных отрезков  1.4. Числовые промежутки 1.5 Окрестности  2\. Ограниченные и неограниченные множества в R. Определение точных верхней и нижней граней множества. Доказать их существование. Сформулировать теорему о точных гранях. Привести примеры. 2.1. Определение ограниченного и неограниченного множества Неограниченное множество - соответственно, множество, для которого такого числа М не существует. И для любого бесконечно большого М найдется такое Х, что модуль Х больше или равен М. 2.2. Точная верхняя и нижняя грань множества. 2.3. Доказательство существования верхней и нижней грани  3\. Функция и ее график. Понятия композиции функций и обратной функции. Привести примеры. Определение четных, нечетных и периодических функций, свойства их графиков. Примеры. Определение функции: (а) монотонной; (б) ограниченной на данном промежутке. 3.1 Функция и ее график Ну короче функция это отображение единственной зависимости Д(х) от Е(у). 3.2 Композиция функций==сложная функция Если честно я нигде не видела более всратого объяснения что сложная функция это функция вида y=f(g(x)).  3.3 Обратная функция  Тоже долбоебизм. Обратная функция, это когда из вида y=f(x) функция превращается в вид x=f(y) 3.4. Четные, нечетные и периодические функции Четная функция: Определение: Функция f(x) называется четной, если для любого x из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). Свойства графика: График четной функции симметричен относительно оси ординат (оси Y). Если точка (x, y) принадлежит графику, то точка (-x, y) также принадлежит графику. Примеры: f(x) = x², f(x) = cos(x), f(x) = x⁴ Нечетная функция: Определение: Функция f(x) называется нечетной, если для любого x из области определения выполняется равенство f(-x) = -f(x). Свойства графика: График нечетной функции симметричен относительно начала координат (точки (0, 0)). Если точка (x, y) принадлежит графику, то точка (-x, -y) также принадлежит графику. График обязательно проходит через начало координат. Примеры: f(x) = x, f(x) = sin(x), f(x) = x³ Периодическая функция: Определение: Функция f(x) называется периодической, если существует такое число T \> 0 (называемое периодом), что для любого x из области определения выполняется равенство f(x + T) = f(x). Функция повторяет свои значения через равные интервалы длины T. Свойства графика: График периодической функции повторяется через равные интервалы вдоль оси абсцисс (оси X) длиной T. Примеры: f(x) = sin(x) (период T = 2π), f(x) = cos(x) (период T = 2π), f(x) = tan(x) (период T = π) Важные замечания: Не все функции являются четными, нечетными или периодическими. Многие функции не обладают ни одним из этих свойств. Функция может быть одновременно четной и периодической (например, cos(x)), но не может быть одновременно четной и нечетной (кроме нулевой функции f(x) = 0). Период периодической функции не единственный. Если T --- период, то 2T, 3T, и так далее, также являются периодами. Наименьшее положительное число T, удовлетворяющее определению, называется основным периодом. 3.5 Монотонная функция Это функция одной переменной, определённая на некотором подмножестве действительных чисел, которая либо везде не убывает, либо везде не возрастает. 3.6. Функция, ограниченная на данном промежутке Функция называется ограниченной на данном интервале (а,b), если существуют некоторые числа м и М такие, что для любого x принадлежащего отрезку верно равенство m\ 0 -- любое. Из определения предела в этом интервале лежит бесконечное множество точек {*a~n~*}, а вне его -- только конечное число точек. Поэтому среди точек, лежащих вне ε -окрестности точки А, есть самая левая *a*~--~ и самая правая -- *a*~+~. Обозначим через ,. Тогда на отрезке \[*m*, *M*\] будут находиться все члены последовательности {*a~n~*}, что и означает ограниченность последовательности. 5.4.4. теорема Вейерштрасса **Теорема (достаточное условие сходимости**). Всякая монотонная ограниченная последовательность сходится, т. е. имеет предел. +-----------------------------------------------------------------------+ | **Доказательство.** Т.к. последовательность {*a~n~*} ограничена, то | | она имеет точную верхнюю и точную нижнюю грани. Пусть *М* -- точная | | верхняя грань последовательности {*a~n~*}. Покажем, что если {*a~n~*} | | -- неубывающая последовательность: | | | | , то. | | | | Согласно свойству точной верхней грани можно указать элемент *a~N~* | | такой, что и , т.е.. Из этих неравенств следует двойное неравенство | |. Т.к. {*a~n~*} -- неубывающая последовательност, то верны | | неравенства или ,. Это означает, что число *М* -- предел | | последовательности {*a~n~*}. Аналогично доказывается, что если | | {*a~n~*} -- невозрастающая последовательность и *m* -- точная нижняя | | грань, то. | +-----------------------------------------------------------------------+ лол, даже в наших лекциях не доказывается 6\. Определение числа «е» (сформулировать теорему о существовании соответствующего предела последовательности). Определение гиперболических функций, их простейшие свойства и графики. Основные тождества, связывающие гиперболические функции 6.1. Определение числа e **Теорема.** Последовательность сходится. **Доказательство.** Покажем сначала, что эта последовательность монотонна. +-----------------------------------------------------------------------+ | С использованием формулы бинома Ньютона имеем | | | | (1) | | | | При переходе от *n* к *n* + 1 в сумме, стоящей в правой части | | равенства (1), число слагаемых, которые все положительны, возрастает | | и, кроме того, каждое слагаемое, начиная с третьего, увеличивается, | | так как | | | | , *s* = l, 2, \..., *n* -- 1, *n* = 2,3, \..., | | | | поэтому | | | | *a~n~* \