Séries Numériques PDF

Chapitre 2 : Séries numériques I. Séries numériques 1. Définition: Une série numérique, notée 𝑈𝑛 est la donnée d’une suite+∞ numérique (𝑈𝑛 ) 𝑛∈ℕ avec laquelle on veut donner un sens à la somme 𝑛=0 𝑈𝑛 Une série numérique est la somme i...

Chapitre 2 : Séries numériques I. Séries numériques 1. Définition: Une série numérique, notée 𝑈𝑛 est la donnée d’une suite+∞ numérique (𝑈𝑛 ) 𝑛∈ℕ avec laquelle on veut donner un sens à la somme 𝑛=0 𝑈𝑛 Une série numérique est la somme infinie des termes d'une suite (𝑈𝑛 ) +∞ 𝑆= 𝑈𝑛 𝑛=0 𝑈𝑛 s’appelle le terme général de la série Suite des sommes partielles : 𝑁 𝑆𝑁 = 𝑈𝑛 𝑛=0 La série est définie comme la limite de cette suite des sommes partielles si elle existe.  Si la limite lim 𝑈𝑁 existe, on dit alors que la série converge et cette 𝑁→+∞ limite s’appelle somme de la série. On note +∞ 𝑁 𝑆= 𝑈𝑛 = lim ( 𝑈𝑛 ) 𝑁→+∞ 𝑛=0 𝑛=0 Si par contre cette limite n’existe pas ou est infinie, on dit alors que la série diverge. 2.Convergence d'une série Une série converge si la suite (𝑆𝑛 ) des sommes partielles converge vers un réel 𝑆. Dans ce cas, on dit que la série a une somme 𝑆. +∞ 𝑆𝑛 = 𝑈𝑛 𝑒𝑡 S = lim 𝑆𝑛 𝑁→+∞ 𝑛=0 2. Condition nécessaire de convergence : Si +∞ 𝑛=0 𝑈𝑛 converge, alors lim 𝑈𝑛 = 0 𝑛→+∞ 3. Séries numériques à termes positifs Une série 𝑈𝑛 est dite à termes positifs si (𝑈𝑛 )𝑛≥0 est une suite de nombres réels tels que 𝑈𝑛 ≥ 0 pour tout 𝑛 ≥ 0 +∞ 1 Exemple : 𝑛=1 𝑛𝑝 avec 𝑝 > 0. 3.1. Convergence des séries à termes positifs : Pour une série à termes positifs, les sommes partielles (𝑆𝑁 ) sont une suite croissante(𝑆𝑁+1 ≥ 𝑆𝑁 ). Ainsi : Soit la série diverge (𝑆𝑁 → +∞). Soit la série converge vers un réel fini 𝑆. Cela signifie que les séries à termes positifs sont plus faciles à étudier, car il suffit de montrer que les sommes partielles sont majorées pour conclure à la convergence. 3.2. Critères de convergence : a) Critère de comparaison : Si 0 ≤ 𝑈𝑛 ≤ 𝑉𝑛 pour tout 𝑛 partir d’un certain rang, alors : - Si 𝑉𝑛 converge, alors 𝑈𝑛 converge. - Si 𝑉𝑛 diverge, alors 𝑈𝑛 diverge. 𝑈𝑛+1 b) Critère de d’Alembert (du rapport) : Si lim = 𝑙 alors : 𝑛→∞ 𝑈𝑛 - si 𝑙 < 1, la série converge - si 𝑙 > 1, la série diverge - si 𝑙 = 1, le critère est inconclusif  𝑛 c) Critère de Cauchy (racine) : Si lim 𝑈𝑛 = 𝑙 alors : 𝑛→∞ - si 𝑙 < 1, la série converge - si 𝑙 > 1, la série diverge - si 𝑙 = 1, le critère est inconclusif d) Critère de Riemann : Si lim 𝑛∝ 𝑈𝑛 = 𝑙 (finie) alors : 𝑛→∞ - Si 𝑙 ≠ 0, la série converge si et seulement si ∝> 1. - Si 𝑙 ≠ 0 et ∝> 1 alors la série converge. e) Critère intégral de Cauchy : Soit une série +∞𝑛=1 𝑈𝑛 à termes positifs (𝑈𝑛 ≥ 0) et une fonction 𝑓 𝑥 associée à la suite telle 𝑓 𝑛 = 𝑈𝑛 pour tout 𝑛 ≥ 1, où : - 𝑓 𝑥 est positive (𝑓 𝑥 ≥ 0) - 𝑓 𝑥 est décroissante (𝑓 𝑥 diminue lorsque 𝑥 augmente) - 𝑓 𝑥 est continue sur [1,+∞[. Alors : +∞ Si l’intégrale impropre 1 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 converge, la série 𝑈𝑛 converge +∞ Si l’intégrale impropre 1 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 diverge, la série 𝑈𝑛 diverge 4. Séries à termes quelconques Les séries à termes quelconques permettent d'étudier des séries numériques ou complexes où les termes ne sont pas nécessairement positifs. Dans ce contexte, plusieurs concepts essentiels interviennent, tels que les séries alternées, les séries absolument convergentes et les séries semi-convergentes. 4.1. Séries alternées: Une série alternée est une série dont les termes changent de signe de façon régulière. Elle prend généralement la forme suivante : +∞ +∞ (−1)𝑛 𝑈𝑛 𝑜𝑢 (−1)𝑛+1 𝑈𝑛 𝑛=1 𝑛=1 Où 𝑈𝑛 ≥ 0 pour tout 𝑛 ∈ ℕ  Théorème de Leibniz (ou Théorème des séries alternées): Soit une série alternée +∞𝑛=1 (−1)𝑛 𝑈 avec 𝑈 ≥ 0. Si : 𝑛 𝑛 1- La suite 𝑈𝑛 est décroissante (𝑈𝑛 ≥ 𝑈𝑛+1 pour tout 𝑛 ∈ ℕ) 2- lim 𝑈𝑛 = 0 𝑛→+∞ +∞ 𝑛 Alors la série 𝑛=1(−1) 𝑈𝑛 converge. Exemple: +∞ (−1)𝑛 Considérons la série alternée : 𝑛 𝑛=1 1 Les termes 𝑈𝑛 = sont décroissants. 𝑛 1 lim =0 𝑛→+∞ 𝑛 D’après le théorème de Leibniz, cette série converge. 4.2.Séries absolument convergentes : Une série +∞𝑛=1 𝑈𝑛 converge absolument si la série des modules des termes converge : +∞ 𝑈𝑛 < ∞ 𝑛=1 Théorème : CVA ⇒ CVS (Convergence Absolue Implique Convergence Simple) Si une série +∞ 𝑛=1 𝑈𝑛 converge absolument, alors elle converge simplement. Convergence absolue ⟹ Convergence simple Autrement dit : +∞ +∞ 𝑈𝑛 < ∞ alors 𝑈𝑛 converge. 𝑛=1 𝑛=1 4.3. Séries semi-convergentes: Une série +∞ 𝑛=1 𝑈𝑛 est dite semi-convergente si : 1- Elle converge (simplement), 2- Mais elle ne converge pas absolument, c’est-à-dire : +∞ 𝑈𝑛 = ∞ 𝑛=1 Exemples de séries semi-convergentes : 1- Série alternée harmonique : +∞ (−1)𝑛 𝑛 𝑛=1 Elle converge (critère des séries alternées), mais : +∞ +∞ (−1) 𝑛 1 = 𝑛 𝑛 𝑛=1 𝑛=1 diverge (série harmonique). 4.4. Critère d’Abel : Premier critère d’Abel pour les séries: +∞ Soit une série: 𝑈𝑛 𝑉𝑛 , où : 𝑛=1 1- +∞𝑛=1 𝑈𝑛 converge, 2- La suite 𝑉𝑛 est bornée (∋ 𝑀 > 0 tel que 𝑉𝑛 ≤ 𝑀) 3- La suite 𝑉𝑛 est monotone (croissante ou décroissante). +∞ Alors la série 𝑈𝑛 𝑉𝑛 converge. 𝑛=1 Exemple : +∞ (−1)𝑛 1 La série. onverge par le critère d’Abel : 𝑛 𝑛 𝑛=1 (−1)𝑛 - converge (série alternée), 𝑛 1 - est monotone décroissante et bornée. 𝑛