TD1 de Mathématiques (ANALYSE II) 2022-2023 USSEIN PDF

UNIVERSITE UNIVERSITE SINE SALOUM EL IBRAHIMA NIASS (USSEIN) L1 MPI : TD1 de Mathématiques (ANALYSE II). Année : 2022-2023 Responsable du cours : Pr. SENE   Exercice 1 1. Montrer que la suite −...

UNIVERSITE UNIVERSITE SINE SALOUM EL IBRAHIMA NIASS (USSEIN) L1 MPI : TD1 de Mathématiques (ANALYSE II). Année : 2022-2023 Responsable du cours : Pr. SENE   Exercice 1 1. Montrer que la suite − 1)n est divergente (en utilisant la définition). n∈N √  7 2. Montrer que la suite est convergente (en utilisant la définition). n n∈N∗  √7  3. En déduire que la suite est bornée. n n∈N∗ √  7 4. La suite est-elle une suite de cauchy ? Justifier votre réponse. n n∈N∗ 5. Supposons que (xn )n∈N est une suite de nombres réels strictement positifs, décroissante et majorée. Cette suite (xn )n∈N est-elle convergente ? Justifier votre réponse. 6. Montrer que (xn )n∈N converge vers l ∈ R si et seulement si (x2n )n∈N et (x2n+1 )n∈N converge vers l 7. Montrer que si (xn )n∈N converge vers l ∈ R alors (|xn |)n∈N converge vers |l|. A-t-on la réciproque ? Exercice 2 Soient (xn )n∈N et (yn )n∈N : deux suites numériques de cauchy.     1. Montrer que xn + yn et xn yn sont respectivement des suites de cauchy n∈N n∈N   2. Trouver une condition pour laquelle la suite y1n soit une suite de cauchy. En déduire   n∈N que xynn est une suite de cauchy n∈N Exercice 3 Les nombres de Fibonacci Fn sont définis par la donnée de F0 = 0, F1 = 1, et la récurrence linéaire d’ordre deux : Fn = Fn−1 + Fn−2 , pour tout n ≥ 2. Montrer que le terme général de la suite de Fibonacci est donné par la formule √ √ 1  1 + 5 n  1 + 5 n  Fn = √ − 5 2 2 un+1 Exercice 4 Soit (un )n∈N une suite numérique dont aucun terme n’est nul. On suppose que lim = n→+∞ un l avec l ∈ R∗+ un+1 1. Soit  > 0, montrer qu’il existe n0 ∈ N tel que : ∀n ∈ N,n ≥ n0 ⇒ ≤l+ un 2. Soit (vn )n∈N et (wn )n∈N deux suites numériques. On suppose que lim |vn | = l et ∃n1 ∈ n→+∞ un+1 N : ∀n ∈ N, n ≥ n1 on ait |vn | ≤ |wn | ≤. Montrer que lim |wn | = l un n→+∞ 3 + 2un Exercice 5 Soit (un ) la suite définie par : u0 = 1 et ∀n ∈ N, un+1 = 2 + un √ un − 3 1. On pose vn = √. Montrer que la suite (vn ) est géometrique. un + 3 2. Exprimer vn , puis un en fonction de n. Exercice 6 Soit α et β deux réels vérifiant 0 ≤ β ≤ α < ∞. On définit par récurrence, deux suites (an )n∈N et (bn )n∈N en posant : 1 p an = (an−1 + bn−1 ), bn = an−1 bn−1 si n ≥ 1, a0 = α, b0 = β 2 1. Montrer que, pour tout n ∈ N on a an ≥ 0 et bn ≥ 0. calculer an − bn en fonction de an−1 et bn−1 si n ≥ 0 2. En déduire que 0 ≤ an − bn ≤ 21 (an−1 − bn−1 ) 3. Montrer que pour tout n ∈ N, on a an+1 ≤ an et bn ≤ bn+1 et en déduire que les suites (an )n∈N et (bn )n∈N convergent vers la même limite l ∈ R qu’on ne cherchera pas à calculer. Exercice 7 Moyenne de Césaro, lemme de l’escalier, applications 1. Moyenne de Césaro : soient (un )n∈N∗ une suite dans R, et (vn )n∈N∗ la suite définie par : u1 + u2 + · · · + un ∀ n ∈ N∗ , v n =. n Montrer que, si (un )n∈N∗ converge vers l ∈ R, alors (vn )n∈N∗ converge aussi vers l 2. Lemme de l’escalier : soit (un )n∈N∗ une suite dans R telle que (un+1 − un )n∈N∗ converge un vers l ∈ R. Montrer que ( )n∈N∗ converge vers l n un+1 3. Soit (un )n∈N∗ une suite à termes dans R∗+. Montrer que, si ( )n∈N∗ converge vers un √ un ∗ réel l > 0, alors ( un )n ∈ N converge aussi vers l. n 4. Déterminerles limites, quand n tend vers l’infini de :   n1 r 2n n 1p 1 n (3n)! , √ , n n(n + 1 · · · (n + n)), 2 n n n! n n n! Exercice 8 1. Pour tout n ∈ N∗ , on considére le terme général Hn de la serie harmonique : n X 1. k k=1 (a) Montrer que ∀n ∈ N∗ , H2n − Hn ≥ 1 2 vn = Hn − lnn. Montrer que (un ) et (vn ) sont adjacentes. (b) En déduire que Hn −→ +∞. (e) Montrer qu’il existe un réel γ ∈]0, 1[ tel (c) Prouver l’inégalité : pour tout t > −1, on que : Hn = lnn + γ + o(1). Le réel a : ln(1 + t) ≤ t. γ est appelé constante d’Euler et cette (d) On introduit les suites de terme général, égalité donne les deux premiers termes du pour tout n ∈ N∗ un = Hn − ln(n + 1) et développement asymptotique. 2. Donner des équivalents simples lorsque n tend vers +∞ pour les suites de terme général : √ √ √ (a) un = n + 1 − n n3 − n2 + 1 (d) un = √ 2 lnn − 2n2 n n +n   (b) un = e −1−e (e) un = ln n! + nn + 3n  en n   n (c) un = (f ) un = avec p ∈ [0, n] 1 + e−n p