Séries Numériques et Convergence

Séries Numériques

• Une série numérique est la somme infinie des termes d'une suite numérique.
• Notée ∑ Un, où Un est le terme général de la suite.
• La somme d'une série est la limite de la suite des sommes partielles (SN) si elle existe.
• S = lim (SN), où SN = ∑ Un. n→∞ n=0

Définition

• Une série converge si la suite des sommes partielles converge vers un réel S.
• Si la suite des sommes partielles ne converge pas, ou si la limite est infinie, la série diverge.

Convergence d'une Série

• Une série converge si la suite des sommes partielles (Sn) converge vers un réel S.
• La condition nécessaire pour que ∑ Un converge est que lim Un = 0. n→∞

Séries à termes positifs

• Une série à termes positifs est une suite où tous les termes sont positifs ou nuls pour tout n ≥ 0.
• Les sommes partielles sont une suite croissante (SN+1 ≥ SN).
• La convergence se détermine généralement en utilisant des critère de comparaison ou d'intégration.

Critères de convergence

• Critère de comparaison: Si 0 ≤ Un ≤ Vn pour tout n à partir d'un certain rang :
  • Si ∑ Vn converge, alors ∑ Un converge.
  • Si ∑ Vn diverge, alors ∑ Un diverge.
• Critère de d'Alembert (du rapport): Si lim Un+1/Un = l, alors: n→∞
  • Si l < 1, la série converge.
  • Si l > 1, la série diverge.
  • Si l = 1, le critère est inconclusif.
• Critère de Cauchy (racine): Si lim (√Un) = l, alors n→∞
  • Si l < 1, la série converge.
  • Si l > 1, la série diverge.
  • Si l = 1, le critère est inconclusif.
• Critère intégral: Si f(x) est positive, décroissante et continue sur [1, +∞[ et si f(n) = Un, alors :
  • Si l'intégrale impropre ∫1→∞ f(x) dx converge, la série ∑ Un converge.
  • Si l'intégrale impropre ∫1→∞ f(x) dx diverge, la série ∑ Un diverge.

Séries à termes quelconques

• Séries alternées: Une série dont les termes changent de signe de manière régulière, généralement de la forme ∑ (-1)^nUn.
• Théorème de Leibniz : Si (Un) est une suite décroissante et positive telle que lim Un = 0, alors la série alternée ∑ (-1)^nUn converge.
• Séries absolument convergentes: Une série converge absolument si la série des valeurs absolues des termes converge.
  • Si une série converge absolument, alors elle converge.
• Séries semi-convergentes: Une série qui converge mais ne converge pas absolument.

Critère d'Abel

• Fournit des conditions supplémentaires permettant de déterminer la convergence de certaines séries où les termes ne sont pas forcément positifs. La série est de la forme ∑ UnVn, où:
  • ∑ Un converge
  • Vn est bornée et monotone
• Sous ces conditions, la série ∑ UnVn converge.