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Oszilloskop, instationäre elektrische Strömung 39 2 Oszilloskop, instationäre elektrische Strömung Grundlagen zum Oszilloskop 2.1.1 Einleitung Das Oszilloskop dient zur Darstellung und Messung zeitabhängiger elektrischer Größen. Am häufigsten wird das Oszilloskop zur Darstellung der zeitlichen Ver...

Oszilloskop, instationäre elektrische Strömung 39 2 Oszilloskop, instationäre elektrische Strömung Grundlagen zum Oszilloskop 2.1.1 Einleitung Das Oszilloskop dient zur Darstellung und Messung zeitabhängiger elektrischer Größen. Am häufigsten wird das Oszilloskop zur Darstellung der zeitlichen Veränderung eines elektrischen Signals in Echtzeit benutzt. Nahezu alle physikalischen Größen, die sich mit geeigneten Sensoren in korrespondierende elektrische Signale umwandeln lassen, können mit einem Oszilloskop dargestellt werden. Das Anwendungsfeld reicht von einfachen Amplitudenmessungen einer Sinusspannung, bis hin zur Darstellung von Herz- bzw. Gehirnströmen im medizinischen Bereich. Dabei überdeckt die Zeitauflösung einen Bereich von einigen ns bei schnellen Oszilloskopen, bis zu mehreren Minuten bei digitalen Speicheroszilloskopen. Mit Hilfe von Messverstärkern oder Untersetzern lassen sich Spannungen vom mV- bis zum kV-Bereich darstellen. Da sich der Elektronenstrahl trägheitslos steuern lässt, lassen sich periodische Vorgänge bis zum GHz-Frequenzbereich darstellen. Um nichtperiodische Vorgänge aufzuzeichnen und auswertbar zu machen, benötigt man ein Speicheroszilloskop, das den Verlauf des Elektronenstrahls dauerhaft aufzeichnen kann. Je nach Oszilloskop lassen sich ein oder mehrere elektrische Größen gleichzeitig darstellen. 40 Versuch 2 2.1.2 Aufbau eines Elektronenstrahl-Oszilloskops Abbildung 2.1: Schematische Aufbau einer Elektronenstrahlröhre Am schlanken Ende einer evakuierten Glasröhre befindet sich eine beheizbare Kathode (Glühkathode), aus der durch thermische Emission Elektronen heraustreten. Diese Elektronen werden durch eine hohe elektrische Spannung UB in Richtung Anode beschleunigt, durchlaufen anschließend die x- und y-Ablenkeinheiten und treten schließlich auf die Floureszenzschicht des Leuchtschirms, an dessen Auftreffpunkt sie einen Leuchtfleck erzeugen. Die Helligkeit des Leuchtflecks kann zum einen durch die Beschleunigungsspannung, als auch mit Hilfe des Wehnelt- Zylinders eingestellt werden. Befindet sich der Wehnelt- Zylinder auf einem Potential UW, das negativer ist als das Potential an der Kathode, so bewirkt dieses abstoßende Potential, dass ein Teil der Elektronen zur Kathode zurückgedrängt werden und somit weniger Elektronen den Leuchtschirm erreichen. Ab einem gewissen Sperrpotential können keine Elektronen den Wehnelt-Zylinder passieren. Dadurch ist ein sehr schnelles „Ausschalten“ (Dunkeltastung) und auch wieder ”Einschalten“ des Elektronenstrahls möglich. Wir werden später noch darauf zurückkommen. Zur Fokussierung des Elektronenstrahls befindet sich zwischen dem WehneltZylinder und der Anode eine zusätzliche zylinderförmige Fokussierelektrode. Liegt diese auf einem positiven Potential UF , das kleiner ist als das Potential an der Anode, so wirkt die Fokussierelektrode zusammen mit der Anode wie eine elektrische ”Sammellinse“, die die Glühkathode auf den Schirm abbildet. Durch variieren des Potentials an der Fokussierelektrode mit dem Einstellregler FOCUS kann so ein scharfer Leuchtfleck erzeugt werden. Mit der bisher geschilderten Elektrodenanordnung lässt sich nur ein starrer Leuchtfleck erzeugen. Zwar können die Helligkeit und die Schärfe des Leuchtflecks eingestellt wer- Oszilloskop, instationäre elektrische Strömung 41 den, der Leuchtpunkt verharrt aber stets im Mittelpunkt des Schirms. Damit der Leuchtpunkt in der gesamten Bildschirmebene bewegt werden kann, benötigen wir zusätzlich die x- und y-Ablenkeinheiten. Diese Ablenkeinheiten bestehen jeweils aus zwei Metallplatten, die senkrecht zueinander angeordnet sind (Plattenkondensator). Betrachten wir zunächst die y-Ablenkeinheit: Legt man an diese eine Spannung Uy so wirkt auf ein Elektron beim Durchqueren eine elektrische Kraft, die proportional zur Spannung Uy ist und in y-Richtung wirkt. Befindet sich beispielsweise die obere Ablenkplatte auf einem positiven Potential, so wird der Elektronenstrahl und somit der Leuchtpunkt oberhalb der Schirmmitte abgelenkt. Bei umgekehrter Polung wird der Leuchtfleck entsprechend nach unten abgelenkt. Durch eine Steuerspannung an den y-Ablenkplatten ist also eine vertikale Verschiebung des Leuchtpunkts möglich. Der gleiche Effekt kann mit Hilfe der xAblenkeinheit und einer Steuerspannung Ux auch in horizontaler Richtung erzielt werden. Somit kann durch eine entsprechende Einstellung von Ux und Uy jeder Punkt auf dem Leuchtschirm erreicht werden. 2.1.3 Prinzip der elektrostatischen Ablenkung Das Ablenksystem wird durch zwei Plattenkondensatoren gebildet, deren Felder senkrecht aufeinander stehen. Die durch die Kondensatoren fliegenden Elektronen werden zur positiven Platte hin abgelenkt. Abbildung 2.2: Ablenkung eines Elektrons im homogenen elektrischen Feld eines Plattenkondensators Wir betrachten nun ein Elektron der Ladung −𝑒 und der Masse 𝑚, das mit der Geschwindigkeit 𝑣⃗0 in z-Richtung in den Kondensator eintritt. Das Elektron wird aufgrund des 𝐸⃗⃗ -Feldes in y-Richtung abgelenkt. 42 Versuch 2 Für das Kräftegleichgewicht ergibt sich folgende Differentialgleichung: 𝑒⋅𝐸 =𝑚⋅ 𝑑²𝑦 = 𝑚 ⋅ 𝑦̈ 𝑑𝑡 ² Unter den Anfangsbedingungen: 𝑦(𝑡 = 0) = 0 und 𝑑𝑦 (𝑡 𝑑𝑡 = 0) = 0 ⇔ 𝑦̇ (𝑡 = 0) = 0 ergibt sich die Lösung für die Dgl.: 𝑑𝑦 𝑒 = ⋅ 𝐸 ⋅ 𝑡 = 𝑦̇ 𝑑𝑡 𝑚 1 𝑒 ⇒ 𝑦 = ⋅ ⋅𝐸 ⋅𝑡² 2 𝑚 In z-Richtung erfährt das Elektron keine Beschleunigung, behält also weiterhin seine Geschwindigkeit 𝑣0 bei. Dabei durchläuft es das Feld des Plattenkondensators in der Zeit 𝑡1 . 𝑡1 = 𝑙1 𝑣0 Beim Verlassen des Feldes besitzt das Elektron in y-Richtung die Geschwindigkeit 𝑣1 und wurde innerhalb des Feldes um den Weg 𝑎1 abgelenkt. 𝑎1 = 𝑦 (𝑡 = 𝑡1 = 𝑣1 = 𝑙1 𝑒 ⋅ 𝐸 𝑙12 )= ⋅ 𝑣0 2𝑚 𝑣02 𝑑𝑦 𝑒 ⋅ 𝐸 𝑙1 (𝑡 = 𝑡1 ) = ⋅ 𝑑𝑡 𝑚 𝑣0 Außerhalb des Feldes erfährt das Elektron in der Zeit 𝑡2 die Ablenkung 𝑎2 , die sich aus der Geometrie ergibt. 𝑡2 = 𝑙2 𝑣0 𝑎2 = 𝑣1 ⋅ 𝑡2 = 𝑒 ⋅ 𝐸 𝑙1 𝑙2 ⋅ ⋅ 𝑚 𝑣0 𝑣0 Oszilloskop, instationäre elektrische Strömung 43 Aus der Summe dieser beiden Ablenkungen erhält man die Gesamtablenkung 𝑎 am Leuchtschirm. 𝑎 = 𝑎1 + 𝑎2 𝑎= 𝑒 ⋅ 𝐸 𝑙12 𝑒 ⋅ 𝐸 𝑙1 ⋅ 𝑙2 𝑒 ⋅ 𝐸 ⋅ 𝑙1 𝑙1 ⋅ + ⋅ 2 = [ + 𝑙2 ] 2𝑚 𝑣02 𝑚 𝑣0 𝑚 ⋅ 𝑣02 2 𝑈 Mit 𝐸 = 𝑑 folgt: 𝑎= 𝑒 ⋅ 𝑈 ⋅ 𝑙1 𝑙1 [ + 𝑙2 ] 𝑚 ⋅ 𝑑 ⋅ 𝑣02 2 𝑎 =𝑘⋅𝑈 Nach obiger Formel besteht ein linearer Zusammenhang zwischen der Ablenkung 𝑎 des Elektronenstrahls und der Spannung 𝑈, die am Ablenkkondensator anliegt. Legt man an die y-Ablenkung ein zeitlich veränderliches Signal (Spannung), so entsteht auf dem Bildschirm ein senkrechter Strich, dessen Länge der maximalen Spannungsdifferenz des angelegten Signals entspricht. yt-Betrieb Bisher haben wir nur diskutiert, wie man einen einzelnen Punkt auf dem Leuchtschirm ansteuern kann. Im Allgemeinen wird aber ein Oszilloskop dazu benutzt, um ein Spannungssignal als Funktion der Zeit darzustellen. Man bezeichnet diesen Betriebsmodus auch als yt- Betrieb. Die y-Richtung des Bildschirms entspricht dabei der Spannungsachse und die x-Achse der Zeit. Das Grundprinzip ist in Abbildung 3 skizziert. Hier soll beispielsweise ein Sinussignal Uy als Funktion der Zeit auf dem Oszilloskop dargestellt werden. Hierfür wird das darzustellende Signal Uy auf die y-Ablenkplatten gelegt. Aufgrund der sinusförmigen sich ändernden Spannung Uy bewegt sich der Leuchtpunkt zunächst nur immer auf und ab (Abbildung 3a). Auf dem Oszilloskop erscheint eine senkrechte Linie mit der man natürlich noch nicht allzu viel anfangen kann. Um nun eine sinnvolle Zeitinformation zu erhalten muss der Leuchtpunkt gleichzeitig zur y-Ablenkung auch proportional zur Zeit in horizontaler Richtung abgelenkt werden. Damit dies zeitlich linear geschieht, besitzt ein Oszilloskop eine eingebaute Elektronik, die eine so genannte Sägezahnspannung Ux an der x-Ablenkeinheit generiert (Abbildung 3b). 44 Versuch 2 Abbildung 2.3: Wirkungsweise der x- und y-Ablenkeinheiten: a) Das darzustellende Spannungssignal Uy (hier ein Sinussignal) wird an die y-Ablenkeinheit angeschlossen. b) Gleichzeitig erzeugt das Oszilloskop intern eine Sägezahnspannung an der x-Ablenkeinheit, die den Elektronenstrahl horizontal verschiebt. c) Das resultierende Oszilloskopbild, bei dem gleichzeitig die Signalablenkung in y-Richtung, sowie die Sägezahnspannung in x-Richtung anliegt, liefert den Spannungsverlauf Uy(t) als Funktion der Zeit. Diese Spannung steigt zunächst zeitlich linear an, so dass sich der Elektronenstrahl proportional zurzeit in horizontaler Richtung mit konstanter Geschwindigkeit bewegt. Erreicht der Leuchtpunkt den rechten Bildschirmrand, so soll der Schreibvorgang wieder am linken Rand des Leuchtschirms beginnen. Dies wird erreicht indem die xAblenkspannung sehr schnell auf das negative Maximum umgepolt wird. Da dieses Umpolen natürlich auch eine gewisse Zeit benötigt, erinnert die Form des Signalverlaufs, der Zahnung eines Sägeblatts. Die x-Ablenkspannung wird daher als Sägezahnspannung bezeichnet. Die langsame linear ansteigende Anstiegsflanke bedingt dabei den Vorlauf des Elektronenstrahls und die steil abfallende Flanke den Rücklauf. Gleichzeitig zum Sägezahnsignal folgt der Elektronenstrahl auch der Signalspannung, die an der y-Ablenkeinheit anliegt. Aufgrund der optische Trägheit unserer Augen und dem Nachleuchten des Schirmes entsteht so ein Bild, dass den Spannungsverlauf Uy(t) darstellt (Abbildung 3c). Übrigens lässt sich die Nachleuchtdauer durch eine geeignete Wahl der Floureszenzschicht von etwa einer ms bei schnellen Oszilloskopen, bis mehreren Sekunden, wie es zum Beispiel bei analogen Radarschirmen erforderlich ist, einstellen. Oszilloskop, instationäre elektrische Strömung 45 Abbildung 2.4: Links: Eine Periode der Sägezahnspannung, die die Zeitablenkung des Elektronenstrahls für den Vor- und Rücklauf bestimmt. Rechts: Ohne Dunkeltastung würde der Elektronenstrahl beim Rücklauf eine störende Linie (in der rechten Abbildung gepunktet dargestellt) auf das Bild schreiben. Beim Rücklauf des Elektronenstrahls erzeugt dieser eine störende Leuchtspur auf dem Schirm (Abbildung 4). Um dies zu vermeiden wird für die Zeitdauer der Rücklaufzeit ein Impuls auf den Wehneltzylinder gegeben, der den Elektronenstrahl ausschaltet (Dunkeltastung). Auf dem Oszilloskop ist dann nur das Bild, das beim Signalvorlauf erzeugt wird, zu sehen. Der Elektronenstrahl ist vergleichbar mit einem mechanischen Linienschreiber (ytSchreiber), der den Spannungsverlauf auf ein Blatt Papier (Endlospapier) als Funktion der Zeit aufzeichnet. Dabei bewegt sich das Papier mit konstanter Geschwindigkeit unter einem Schreibstift. Gleichzeitig folgt der Stift aber auch dem zu messenden Spannungssignal in der zur Papiervorschubrichtung senkrechten Richtung. Es entsteht so eine lange Papierbahn, die den Spannungsverlauf kontinuierlich mit der Zeit bzw. mit der Papierlänge wiedergibt. Im Gegensatz zum mechanischen Linienschreiber steht beim Oszilloskop nur eine begrenzte Bildschirmbreite zur Verfügung. Da aber das Oszilloskopbild regeneriert wird, sobald der Strahl aussetzt und die Nachleuchtdauer des Bildschirms abgeklungen ist, verblasst das zuvor aufgezeichnete Bild und es kann erneut ein Spannungssignal im Bildschirmbereich aufgezeichnet werden. Triggerung Im Allgemeinen möchte man mit einem Oszilloskop periodische Signale darstellen. Legt man beispielsweise an den y-Eingang ein kontinuierliches Sinussignal, so soll auf dem Schirmbild stets ein zeitlich konstanter Ausschnitt dieses Signals angezeigt werden. Damit man auf dem Leuchtschirm ein stillstehendes Bild erhält, muss die Periodendauer der Sägezahnspannung gleich oder ein ganzzahliges Vielfaches von der Periodendauer des darzustellenden Sinussignals betragen. Andere asynchrone Einstellungen der Perio- 46 Versuch 2 den führen zu einem flackernden, unregelmäßigen Bild, da bei jedem Strahlvorlauf immer ein anderer Signalbereich dargestellt wird (Abbildung 5). Abbildung 2.5: a) Das darzustellende Sinussignal Uy hat die gleiche Periodendauer wie die Sägezahnspannung. Dadurch wird bei jedem Strahlvorlauf der gleiche Signalbereich auf dem Oszilloskopschirm dargestellt und es entsteht ein stehendes Bild. b) Die Periode des Sinussignals stimmt nicht mit der Periodendauer des Sägezahns überein. Dies hat zur Folge, dass bei jedem Strahlvorlauf ein anderer Bereich des Sinussignals auf dem Schirm erfasst wird und so kein stehendes Oszilloskopbild möglich ist. Um stets ein stehendes Bild zu erhalten und unabhängig von den jeweiligen Periodendauern zu sein, muss das zu messende Signal Uy(t) getriggert werden (Abbildung 6). Im Triggerbetrieb arbeitet das Oszilloskop nicht mit ständig ablaufenden Zeitablenksignalen. Die Sägezahnspannung wird erst dann generiert, wenn die Eingangsspannung einen bestimmten Wert (Triggerschwelle) überschreitet. Erst dann startet das Sägezahnsignal und der Strahl wird horizontal abgelenkt. Nachdem eine Periode des Sägezahnsignals vollständig abgelaufen, d.h. die Sägezahnspannung wieder auf ihr Minimum zurückgesprungen ist, vergleicht die im Oszilloskop eingebaute Triggerelektronik ob die darzustellende Eingangsspannung Uy genauso groß ist wie die Triggerschwelle. Ist dies nicht der Fall, so wird der Elektronenstrahl mit Hilfe des Wehneltzylinders schlagartig ausgeschaltet. Erst wenn die Eingangsspannung die Triggerschwelle wieder erreicht, wird der Elektronenstrahl eingeschaltet und der Sägezahngenerator erneut gestartet, so dass ein neues Bild auf den Oszilloskopschirm geschrieben wird. Die Bilddarstellung beginnt demnach immer an der gleichen Stelle bzw. bei der gleichen Phasenlage des Eingangs- Oszilloskop, instationäre elektrische Strömung 47 signals. Bei einem kontinuierlich periodischen Eingangssignal ist somit immer der gleiche Signalausschnitt als stehendes Bild auf dem Oszilloskop zu sehen. Abbildung 2.6: Prinzip der Triggerung: Der Sägezahngenerator wird erst dann gestartet wenn das darzustellende Eingangssignal die Triggerschwelle erreicht. Nach Ablauf einer Sägezahnperiode wird der Elektronenstrahl dunkelgetastet. Erst wenn das Eingangssignal wieder die Triggerschwelle erreicht, wird die nächste Sägezahnperiode gestartet. Durch den Triggerbetrieb erhält man stets ein stehendes Oszilloskopbild. Wenn im Folgenden von ”triggern“ gesprochen wird, ist damit das Starten des Sägezahngenerators und somit das Aufzeichnen eines einzelnen Oszilloskopbilds gemeint. Das Einsetzen der Triggerung kann an den Einstellreglern des Oszilloskops beeinflusst werden. So kann beispielsweise der Triggerlevel stufenlos eingestellt werden. Des Weiteren kann auch die Triggerung zwischen steigender und fallender Flanke umgeschaltet werden. Wird die Einstellung ”steigende Flanke“ gewählt, so erfolgt die Triggerung nur dann, wenn das darzustellende Eingangssignal beim Erreichen der Triggerschwelle ansteigt. Wird auf die fallende Flanke getriggert, so erfolgt die Triggerung wenn das Eingangssignal Uy die Triggerschwelle ”von oben kommend“ durchläuft. In Abbildung 6 erfolgt die Triggerung beispielsweise auf der steigenden Flanke der Eingangsspannung Uy. Auf die genaue Einstellung der Triggerparameter wird an späterer Stelle noch detailliert eingegangen. 48 Versuch 2 2.1.4 Messung periodischer Signale Den bisherigen Erläuterungen lag das Messen periodischer Signale zugrunde, die sich unter Berücksichtigung der Triggerbedingungen mit Hilfe des Oszilloskops abbilden und auswerten lassen. Wichtige Kenngrößen für periodische Signale sind Amplitude, Frequenz bzw. Periodendauer und Phasenverschiebung. 2.1.5 Messung nicht-periodischer Signale Nicht-periodische Signale sind z.B. die instationären Vorgänge beim Laden und Entladen eines Kondensators. Da diese sich nicht wiederholen und zum Teil so schnell sind, dass sie nicht mit dem Auge verfolgbar sind, benötigt man hierfür ein Speicheroszilloskop. Es ist in der Lage, den aufgezeichneten Verlauf zu speichern (ähnlich wie ein x,t-Schreiber) und auszuwerten. Meist wird mit dem Beginn des Messsignals der Hinlauf der Kippspannung gestartet (getriggert). Hierbei lassen sich Signale vom Sekunden- bis Mikrosekundenbereich abbilden. 2.1.6 Messung von Strömen Da aufgrund der obigen Erläuterungen an die y-Ablenkung ein Messsignal nur in Form einer Spannung angelegt werden kann, können Ströme nur indirekt über einen Messwiderstand bekannter Größe (Shunt) gemessen werden. Dabei wird der zu messende Strom durch den Messwiderstand geführt, die an diesem abfallende Spannung abgegriffen, und dem Oszilloskop zugeführt. Der Strom ist proportional zur nun gemessenen Spannung. Er hat denselben Verlauf und ist über das ohmsche Gesetz bestimmbar. Oszilloskop, instationäre elektrische Strömung 2.1.7 Bedienung des Oszilloskopes 49 50 Versuch 2 Die Zeitbasis Die Zeit-Position Oszilloskop, instationäre elektrische Strömung Die Spannungs-Basis Die Spannungsposition Kanalumschaltung 51 52 Versuch 2 Oszilloskop, instationäre elektrische Strömung Trigger Triggerflanke 53 54 Versuch 2 Instationäre elektrische Strömung 2.2.1 Kondensator Im Gegensatz zu den vorangegangen Kapiteln, werden nun Netzwerke betrachtet, in denen instationäre Strömung stattfindet. Instationäre Strömung bedeutet, dass die Stromstärke nicht zeitlich konstant ist. 𝑖 ≠ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 Zeitlich veränderliche Größen werden i.A. durch kleine Buchstaben gekennzeichnet. I (t) = Augenblickswert des Stromes zum Zeitpunkt t Abbildung 2.7: Laden und Entladen eines Kondensators. Schalterstellung a: C wird über R auf U aufgeladen. Schalterstellung b: C wird über R entladen Abbildung 2.8: Aufladen eines Kondensators (Ersatzschaltbild) Zum Zeitpunkt t = 0 sei C ungeladen → uC (t=0) = 0 55 Oszilloskop, instationäre elektrische Strömung Der Maschenumlauf ergibt: 𝑈 = 𝑢𝑅 (𝑡 = 0) + 𝑢𝐶 (𝑡 = 0) 𝑈 = 𝑢𝑅 d.h., zum Zeitpunkt t = 0 fällt die gesamte Spannung an R ab: 𝑖(𝑡 = 0) = 𝑢𝑅 (𝑡 = 0) 𝑈 = 𝑅 𝑅 Durch den fließenden Strom i wird der Kondensator aufgeladen → 𝑢𝐶 ≠ 0 für t > 0 Maschenumlauf ergibt: 𝑈 = 𝑢𝑅 (𝑡) + 𝑢𝐶 (𝑡) →𝑖 (𝑡) = 𝑈 − 𝑢𝐶 (𝑡) 𝑢𝑅 (𝑡) = 𝑅 𝑅 Die Differenz zwischen U und uC (t) wird durch das Aufladen von C immer geringer. Nach unendlich langer Zeit ist C auf U aufgeladen und i (t → ∞) = 0. Allgemein gilt für jeden Zeitpunkt die Kirchhoffsche Maschengleichung: (Gl. 2.1) 𝑈 = 𝑢𝑅 (𝑡) + 𝑢𝐶 (𝑡) Erinnerung: 𝐶= 𝑄𝐶 (𝑡) 𝑢𝐶 (𝑡) 𝑢𝐶 (𝑡) = → → 𝑑𝑢𝐶 𝑑𝑄 = 𝑑𝑡 𝐶 ⋅ 𝑑𝑡 = →𝑖 𝑄𝐶 (𝑡) 𝐶 1 ⋅ 𝑖(𝑡) 𝐶 (𝑡) = 𝐶 ⋅ 𝑑𝑢𝐶 𝑑𝑡 (Gl. 2.2) 56 Versuch 2 eingesetzt in (Gl. 2.1): 𝑈 = 𝑖(𝑡) ⋅ 𝑅 + 𝑢𝐶 (𝑡) 𝑈 = 𝑅𝐶 ⋅ 𝑑𝑢𝐶 (𝑡) + 𝑢𝐶 (𝑡) 𝑑𝑡 Differentialgleichung (inhomogen, linear) Lösung dieser Differentialgleichung unter den Randbedingungen: 𝑢𝐶 (𝑡 = 0) = 0 𝑢𝑛𝑑 𝑢𝐶 (𝑡 → ∞) = 𝑈 𝑡 𝑢𝐶 (𝑡) = 𝑈 ⋅ (1 − 𝑒 −𝑅𝐶 ) 𝑡 𝑢𝐶 (𝑡) = 𝑈 ⋅ (1 − 𝑒 −𝜏 ) 𝑚𝑖𝑡 𝜏 = 𝑅𝐶 𝜏 heißt elektrische Zeitkonstante Einheit der elektrischen Zeitkonstante: [𝜏] = 1 s Daraus folgt für die Ladestromstärke i (t): 𝑖(𝑡) = 𝑈 − 𝑢𝐶 𝑅 𝑡 𝑈 − 𝑈 ⋅ (1 − 𝑒 −𝜏 ) = = 𝑅 𝑈 𝑅 𝑡 ⋅ 𝑒 −𝜏 57 Oszilloskop, instationäre elektrische Strömung Abbildung 2.9: Zeitverläufe der Kondensatorspannung und des Kondensatorstromes Theoretisch ist der Ladevorgang erst für 𝑡 → ∞ beendet. Praktisch ist der Ladevorgang beendet, wenn 𝑡 = 5 ⋅ 𝜏 ist (Fehler < 1%). 1 2 Nach dem Ladevorgang ist in dem Kondensator die elektrische Energie 𝑊 = 𝐶𝑈 2 gespeichert. Beim Entladen wird die im elektrischen Feld des Kondensators gespeicherte Energie wieder in elektrische Arbeit umgewandelt. Abbildung 2.10: Ersatzschaltbild Der Kondensator wirkt auf den Verbraucher wie eine Spannungsquelle . Auch hier gilt zu jedem Zeitpunkt die Kirchhoffsche Maschenregel: 58 Versuch 2 𝑢𝑅 (𝑡) + 𝑢𝐶 (𝑡) = 0𝑉 𝑖(𝑡) ⋅ 𝑅 + 𝑢𝐶 (𝑡) = 0𝑉 𝑢𝐶 (𝑡) + 𝑅𝐶 ⋅ 𝑑𝑢𝐶 (𝑡) = 0𝑉 𝑑𝑡 (homogene, lineare Differentialgleichung) Lösung dieser Differentialgleichung unter den Randbedingungen: 𝑢𝐶 (𝑡 = 0) = 𝑈𝐶𝑜 𝑢𝑛𝑑 𝑡 𝑢𝐶 (𝑡 → ∞) = 0 𝑡 𝑢𝐶 (𝑡) = 𝑢𝐶 (𝑡 = 0) ⋅ 𝑒 −𝑅𝐶 = 𝑈𝐶𝑜 ⋅ 𝑒 −𝜏 𝑖(𝑡) = − 𝑢𝐶 (𝑡) 𝑈𝐶𝑜 −𝑡 =− ⋅𝑒 𝜏 𝑅 𝑅 Abbildung 2.11: Auf- und Entladen des Kondensators 59 Oszilloskop, instationäre elektrische Strömung 2.2.2 Spule Abbildung 2.12: Stromkreis mit ohmschen Widerstand und idealer Spule Zum Zeitpunkt t=0 werde der Schalter in Position a geschaltet. Es gilt: 𝑈 − 𝑢𝑅 − 𝑢𝐿 = 0 𝑈 = 𝑖⋅𝑅+𝐿 𝑢𝐿 = 𝐿 ⋅ 𝑑𝑖 𝑑𝑡 𝑑𝑖 𝑑𝑡 (inhomogene, lineare Differentialgleichung 1. Ordnung) 𝑡 𝑈 𝑖(𝑡) = 𝑅 ⋅ (1 − 𝑒 −𝜏 ) Lösung: 𝑡 𝑢𝐿 (𝑡) = 𝑈 ⋅ 𝑒 −𝜏 𝐿 Zeitkonstante: 𝜏 = 𝑅 Es ergibt sich also ein Anstieg des Stromes auf einen stationären Endwert, der nur durch die Spannung und den ohmschen Widerstand bestimmt wird. Im Einschaltaugenblick fällt die gesamte Spannung U an der Spule ab, da der Strom gleich Null ist. Nur die Differenz zwischen der Spulenspannung und der Spannung U fällt an dem Widerstand R ab. Der Spannungsabfall uR wird von dem fließenden Strom erzeugt. Aus diesem Grund haben i und uR den gleichen zeitlichen Verlauf. 60 Versuch 2 Abbildung 2.13: Zeitlicher Verlauf der Strom- und Spannungskurve beim Aufladen einer Spule Der Spannungsanstieg in der Spule gegen die (Selbst-) Induktionsspannung erfordert elektrische Arbeit, die in der Spule in magnetische Feldenergie umgesetzt wird. Die Spule ist also, genau wie der Kondensator, ein Energiespeicher. Für die umgesetzte Energie lässt sich die folgende Energiebilanz aufstellen. 𝑡 𝑡 ∫ 𝑃𝑞 (𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 𝑃𝑅 (𝑡)𝑑𝑡 𝑡=0 𝑡 + ∫ 𝑃𝐿 (𝑡)𝑑𝑡 𝑡=0 𝑡 𝑡=0 𝑡 = ∫ 𝑖 ² 𝑅 𝑑𝑡 ∫ 𝑈 ⋅ 𝑖𝑑𝑡 𝑡=0 𝑡 +∫ 𝑡=0 Energieabgabe der Quelle Verluste im Widerstand 𝑡=0 𝑡 𝑡=0 𝑖⋅𝐿 𝑑𝑖 ⋅ 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Spulenenergie Daraus ergibt sich für die in der Spule gespeicherte Energie: 𝑊𝐿 (𝑡) = ∫ 𝑖⋅𝐿 𝑑𝑖 1 1 ⋅ 𝑑𝑡 = 𝐿𝑖 ²( 𝑡) − 𝐿𝑖 ²( 𝑡 = 0) 𝑑𝑡 2 2 Oszilloskop, instationäre elektrische Strömung 61 Für t → ∞ und mit der Randbedingung i(t=0) = 0 ist 1 𝑊𝐿 = 2 𝐿𝐼 ² I = stationärer Endwert Abbildung 2.14: Natürlicher Feldabbau Der Schalter wird geöffnet und gleichzeitig wird der Kurzschlussbügel eingelegt. Im Schaltaugenblick bleibt der Strom konstant, da er sich aufgrund der Induktivität der Spule nicht sprunghaft ändern kann. Die Induktionsspannung treibt den Strom weiter in die gleiche Richtung wie bisher. Aufgrund der Energieumwandlung im Widerstand R verringert sich der Strom. Die in der Spule gespeicherte Energie wird in Stromwärme umgewandelt. Im Schaltaugenblick gilt: 𝑢𝑅 + 𝑢𝐿 = 0 𝑖⋅𝑅+𝐿 𝑑𝑖 =0 𝑑𝑡 (Homogene Differentialgleichung 1. Ordnung) Lösung: 𝑡 𝑈 𝑡 𝑖(𝑡) = 𝐼0 ⋅ 𝑒 −𝜏 = 𝑅 ⋅ 𝑒 −𝜏 𝐿 Zeitkonstante: 𝜏 = 𝑅 I0 = Strom zum Zeitpunkt des Schaltens (hier: t=0 gewählt) 62 Versuch 2 Abbildung 2.15: Auf- und Entladekurve einer Spule Wenn der Schalter ohne Kurzschlussbügel geöffnet würde, wäre ein plötzliches Unterbrechen des Stromes die Folge. Aufgrund des Induktionsgesetzes wäre damit eine sehr hohe induzierte Spannung verbunden, die zu Abreißfunken oder Lichtbögen und Kontaktabbrand am Schalter führen würde. 63 Versuchsprotokoll 2 Name: Datum: Matrikel-Nr.: Gruppe: Versuchsvorbereitung Bearbeiten Sie vollständig den Teil aus Kapitel 2.5.1! 1) Skizzieren Sie den Strom- und Spannungsverlauf am Kondensator bei instationärer elektrischer Strömung (Ladung und Entladung)! 2) Durch welche charakteristischen Größen werden die Zeitverläufe bestimmt? --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3) Wie berechnet man die Zeitkonstante 𝜏? --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4) Überlegen Sie sich, wie man die Zeitkonstante 𝜏 am präzisesten aus dem Oszillogramm ermitteln kann. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 64 Versuchsprotokoll 2 5) Wie lautet der Zusammenhang zwischen 𝑢(𝑡) und 𝑖(𝑡) am ohmschen Widerstand, an einer Kapazität und an einer Induktivität (Formeln)? Widerstand: u(t) = Kapazität: u(t) = i(t) = Induktivität: u(t) = i(t) = 6) Machen Sie sich mit der Funktionsweise des Oszilloskops anhand der Seiten 49 - 53 des Laborumdruckes vertraut, da das Oszilloskop während des Versuchs selbständig bedient werden soll. Versuchsbeschreibung Dieser Versuch besteht aus zwei Teilen, von denen der erste zu Hause und der zweite am Versuchstand bearbeitet wird. 2.4.1 Induktivität Im ersten Teil des Versuchs sollen die zeitlichen Verläufe von Strom und Spannung beim Auf- und Abbau des Feldes einer Spule untersucht werden. Diese Kurven sollen aus der Theorie heraus bestimmt werden, da es hierzu keinen praktischen Versuch gibt. Dazu ist das dazugehörige Protokoll zu Hause auszufüllen! 2.4.2 Kapazität Der zweite Teil des Versuchs wird praktisch durchgeführt. Die folgende Schaltung, bestehend aus Gleichspannungsquelle, ohmschen Widerstand, Kapazität, Oszilloskop und einem Schalter zum Laden bzw. Entladen der Kapazität, ist am Versuchsstand aufzubauen. Um beim Schaltungsaufbau eine bessere Übersicht zu behalten, ist darauf zu achten, dass erst die prinzipielle Schaltung – bestehend aus ohmschen Widerstand, Kapazität, Schalter und Gleichspannungsquelle- aufgebaut und erst dann das Oszilloskop angeschlossen wird! 65 Versuchsprotokoll 2 Abbildung 2.16 In diesem Versuchsteil wird ein Kondensator über einen ohmschen Widerstand geladen und entladen. Die Schaltung wird mit einer Gleichspannung von 15 V gespeist. Mit Hilfe des 2 Kanal-Speicheroszilloskops sollen die Lade- und Entladekennlinien (Strom- und Spannungsverläufe in Abhängigkeit von der Zeit 𝑡) angezeigt und skizziert werden. Zum einen wird die Messung mit einem ohmschen Widerstand 𝑅1 = 10𝑘Ω und einer Kapazität 𝐶 = 1𝜇𝐹und zum anderen mit einem kleineren Widerstand 𝑅2 = 1𝑘Ω und derselben Kapazität durchgeführt, um deutlich zu machen, dass sich bei Änderung des Widerstandes die Zeitkonstante 𝜏 und damit die Lade- und Entladekennlinien verändern. Außerdem soll die Zeitkonstante 𝜏 aus den gegebenen Werten von Widerstand und Kapazität berechnet und zusätzlich aus dem Oszillogramm der Lade- und Entladekennlinien bestimmt werden! Wie 𝜏 abgelesen werden kann, macht man sich anhand der Bilder im Umdruck zur Vorlesung klar! Zu beachten ist dafür die Einstellung der Drehschalter, die die Zeit pro Kästchen (pro Zentimeter) auf dem Bildschirm des Oszilloskops anzeigen. Zum Ende des praktischen Teils soll eine unbekannte Kapazität anstelle von 𝐶 = 1𝜇𝐹 in die Schaltung eingebaut, die Zeitverläufe wie gehabt angezeigt, die Zeitkonstante 𝜏 aus dem Oszillogramm bestimmt und daraus die unbekannte Kapazität berechnet werden! Zum besseren Verständnis wird nun kurz auf die Verschaltung des Oszilloskops eingegangen. 66 Versuchsprotokoll 2 Da für Messungen mit dem Oszilloskop ein Bezugspotential benötigt wird, erdet man den Verbindungspunkt zwischen Widerstand und Kapazität und verbindet ihn mit dem Masseanschluß des Oszilloskops. Die Spannung am Kondensator wird direkt (als Potential des Punktes P gegenüber der Erde) an Kanal 2 des Oszilloskopes gelegt. Der Strom durch den Kondensator wird indirekt über die Spannung am Widerstand 𝑅 auf Kanal 1 gegeben. Da die Vorzeichen beider Spannungen, aufgrund der Erdung in der Mitte zwischen beiden Elementen, entgegengesetzt sind (Potential am Punkt P ist negativ), muss einer der beiden Kanäle invertiert werden.