Riesgos Financieros y Económicos PDF

portada_curvas ok.pdf 12/3/08 13:41:35 C M Y CM MY CY CMY K PRELIMINARES.indd PELIMINARES.indd 1212 3/8/08 12:44:20 7/10/08 7:10:15 AM PM  Riesgos financieros y económic...

portada_curvas ok.pdf 12/3/08 13:41:35 C M Y CM MY CY CMY K PRELIMINARES.indd PELIMINARES.indd 1212 3/8/08 12:44:20 7/10/08 7:10:15 AM PM  Riesgos financieros y económicos Productos derivados y decisiones económicas bajo incertidumbre Segunda Edición Francisco Venegas Martínez Australia Brasil Corea España Estados Unidos Japón México Reino Unido Singapur PRELIMINARES.indd PELIMINARES.indd 1 1 3/8/08 12:44:13 7/10/08 7:10:04 AM PM  Riesgos financieros y económicos © D.R. 2008 por Cengage Learning Editores, Productos derivados y decisiones económicas S.A. de C.V., bajo incertidumbre, Segunda edición. una Compañía de Cengage Learning, Inc. Francisco Venegas Martínez Corporativo Santa Fe Av. Santa Fe núm. 505, piso 12 Presidente de Cengage Learning Col. Cruz Manca, Santa Fe Latinoamérica: C.P. 05349, México, D.F. Javier Arellano Gutiérrez Cengage Learning™ es una marca registrada usada bajo permiso. Director general México y Centroamérica: DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de Héctor Enrique Galindo Iturribarría este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrá ser reproducida, Director editorial Latinoamérica: transmitida, almacenada o utilizada en José Tomás Pérez Bonilla cualquier forma o por cualquier medio, ya sea gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo, Director de producción: pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, Raúl D. Zendejas Espejel reproducción, escaneo, digitalización, grabación en audio, distribución en Internet, Editor senior: distribución en redes de información o Javier Reyes Martínez almacenamiento y recopilación en sistemas de información a excepción de lo permitido Editora de producción: en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal Abril Vega Orozco del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial. Composición tipográfica: EDITEC S.A. de C.V. Datos para catalogación bibliográfica: Venegas Martínez, Francisco. Riesgos financieros y económicos. Productos derivados y decisiones económicas bajo incertidumbre, Segunda edición. ISBN-13: 978-607-481-369-2 ISBN-10: 607-481-369-8 Visite nuestro sitio web en: http://latinoamerica.cengage.com legal Riesgos ok.indd 2 1 PELIMINARES.indd 3/10/08 12:44:14 7/10/08 1:33:34 PM  C O M E N T A R IO S S O B R E E L L IB R O \Una vez m¶as Francisco Venegas nos demuestra con hechos que no le gusta hacer las cosas a medias, siempre se lanza a profundidad. En este libro expone una gama muy amplia de temas en el campo de las ¯nanzas modernas y no se conforma con tratar los temas de manera super¯cial. Su libro profundiza tanto en los aspectos te¶o rico-conceptuales como en los pr¶acticos. Estoy seguro que en breve ¶e ste ser¶a un cl¶asico de las ¯nanzas en el mundo de habla hispana." Enrique de Alba Director de la Divisi¶o n Acad¶e mica de Actuar¶³a, Estad¶³stica y Matem¶aticas Instituto Tecnol¶o gico Aut¶o nomo de M¶e xico \La literatura en espa~n ol sobre econom¶³a ¯nanciera, que es la base de las ¯nanzas es escasa y la que existe es poco rigurosa. Francisco Venegas es, hasta donde yo s¶e , la primera persona que realiza un gran esfuerzo para presentar un recorrido por este campo con gran rigurosidad y, a la vez, amabilidad para con los lectores. Es sin duda alguna, la primera referencia para aquellos interesados en la materia que deseen profundizar y, al mismo tiempo, entender los fundamentos de este campo de gran inter¶e s actual." Fausto Hern¶andez Trillo Profesor-Investigador del Centro de Investigaci¶o n y Docencia Econ¶o micas Director del Trimestre Econ¶o mico \El Dr. Francisco Venegas Mart¶³nez nos presenta una de las obras m¶as importantes sobre el tratamiento de la incertidumbre en las decisiones econ¶o micas y ¯nancieras que toman los agentes que participan en los diferentes mercados. El Dr. Venegas Mart¶³nez, especialista en econom¶³a ¯nanciera y reiteradamente distinguido con los premios m¶as importantes en dicha disciplina, ha escrito este libro orientado a la investigaci¶o n y a la docencia de nivel avanzado en temas de macroeconom¶³a estoc¶astica y administraci¶o n de riesgos. Se trata de una contribuci¶o n fundamen- tal a la econom¶³a ¯nanciera, tanto por situarse en la frontera del conocimiento, como por su calidad did¶actica. Su incorporaci¶o n a la bibliograf¶³a b¶asica de los cursos de econom¶³a ¯nanciera y administraci¶o n de riesgos es altamente recomendable por su contenido y su claridad." Fernando Antonio Noriega Ure~n a Coordinador de la Maestr¶³a y el Doctorado en Ciencias Econ¶o micas Universidad Aut¶o noma Metropolitana PRELIMINARES.indd PELIMINARES.indd 3 3 3/8/08 12:44:15 7/10/08 7:10:06 AM PM  iv \Los mercados de instrumentos ¯nancieros derivados se han desarrollado de manera impresio- nante en las u¶ ltimas d¶e cadas y M¶e xico no ha sido la excepci¶o n. Un gran n¶u mero de modelos de cobertura y f¶o rmulas de valuaci¶o n se utilizan diariamente en la operaci¶o n de estos mercados. Qui¶e n mejor que Francisco Venegas, con una amplia trayectoria en docencia, investigaci¶o n y trabaj o pr¶actico, para escribir de manera amena una obra que trata tanto los aspectos te¶o ricos de estos instrumentos, sin descuidar el rigor anal¶³tico, as¶³ como su aplicaci¶o n en los mercados ¯nancieros modernos, combinaci¶o n que dif¶³cilmente se logra y que en su libro lo consigue." Jorge Alegr¶³a F. Director General MexDer, Mercado Mexicano de Derivados, S. A. de C. V. \La Industria de los productos ¯nancieros derivados ha presentado un crecimiento de gran im- portancia en el mundo desde hace varias d¶e cadas. El uso de estos productos ha permitido a las empresas ¯nancieras y no ¯nancieras °exibilizar la administraci¶o n de sus tesorer¶³as y adminis- trar los riesgos ¯nancieros que enfrentan. Este proceso ha requerido contar con capital humano especializado en estas a¶ reas. Por ello, la obra del Dr. Francisco Venegas viene a contribuir en dicha capacitaci¶o n. El contenido de esta obra sobre derivados y riesgos es muy completo y vers¶atil, raz¶o n por la cual es una referencia obligada para los administradores de riesgos y para estudiantes de pregrado y posgrado. En una forma generosa y did¶actica, el Dr. Venegas plantea en este libro su experiencia profesional y docente. Asimismo, proporciona un mapa completo de los complejos senderos matem¶aticos para la correcta utilizaci¶o n de los derivados." Jaime D¶³az Tinoco Director General de Asigna, Compensaci¶o n y Liquidaci¶o n C¶amara de Compensaci¶o n del MexDer, Mercado Mexicano de Derivados, S. A. de C. V. \Con rigor matem¶atico el Dr. Francisco Venegas aborda de forma muy completa el tema de los riesgos ¯nancieros y econ¶o micos. Su experiencia acad¶e mica, estudios e investigaciones de muchos a~n os se incorporan afortunadamente en este libro, el cual representa una aportaci¶o n bibliogr¶a¯ca en la materia de riesgos. La comprensi¶o n, medici¶o n y administraci¶o n de los riesgos son aspectos de enorme relevancia en el entorno actual caracterizado por la complejidad, la globalizaci¶o n, la apertura econ¶o mica y ¯nanciera y la automatizaci¶o n de los procesos y las operaciones. El conocimiento de estos temas es indispensable para la e¯caz administraci¶o n ¯nanciera y de la operaci¶o n diaria; siendo la lectura del libro un requisito para un mejor aprovechamiento de las herramientas de cobertura y valuaci¶o n." Pedro Zorrilla Velasco Director General Adj unto Bolsa Mexicana de Valores, S. A. de C. V. PRELIMINARES.indd PELIMINARES.indd 4 4 3/8/08 12:44:15 7/10/08 7:10:06 AM PM  v \En esta obra el Dr. Venegas, como estudioso, docente e investigador en administraci¶o n de riesgos, proporciona las bases matem¶aticas de esta disciplina, exponiendo en forma clara y simple los conceptos primordiales de valuaci¶o n y cobertura. Su libro es un trabaj o comprensivo en riesgos ¯nancieros y econ¶o micos que fusiona el rigor con la intuici¶o n. El detalle con el que trata los modelos y los ej emplos concretos expande el universo de sus lectores mucho m¶as all¶a de los art¶³culos originales. Sin duda alguna, su libro se convertir¶a en una referencia b¶asica sobre ingenier¶³a ¯nanciera e instrumentos derivados." Maurilio Pati~n o Garc¶³a Director de Administraci¶o n de Riesgos Bank of America, M¶e xico \Escrito por un respetado experto en riesgos, la obra del Dr. Francisco Venegas Mart¶³nez, es- tructurada l¶o gica y did¶acticamente, comprende un amplio espectro de t¶o picos de las matem¶aticas ¯nancieras modernas y de la administraci¶o n de riesgos ¯nancieros. Por la profundidad y ampli- tud con que el Dr. Venegas trata los avances m¶as recientes en estos temas, este trabaj o ser¶a una referencia obligada tanto para acad¶e micos como para ¯nancieros profesionales." Fausto Membrillo Hern¶andez Director Regional GARP M¶e xico Director General de Administraci¶o n de Riesgos IPAB M¶e xico \Ante los incesantes cambios en los mercados internacionales y nacionales se presenta una re- voluci¶o n en la administraci¶o n de riesgos. Adicionalmente, el restrictivo ambiente regulatorio ha incentivado el desarrollo de nuevos m¶e todos y modelos para la medici¶o n de riesgos ¯nancieros. Las instituciones ¯nancieras est¶an ¯j ando nuevos est¶andares para el control de riesgos que requieren de mej ores modelos de valuaci¶o n. En una forma muy did¶actica, el Dr. Francisco Venegas expone en este libro su experiencia en investigaci¶o n y docencia. El autor logra llevar de la mano al lector desde los modelos matem¶aticos m¶as sencillos hasta los m¶as so¯sticados, pasando por m¶u ltiples aplicaciones pr¶acticas en materia de medici¶o n de riesgos." Osvaldo Ascencio Gasc¶o n Director Adjunto de Riesgos de Cr¶e dito y Liquidez Scotiabank Inverlat \El avance que en las u¶ ltimas d¶e cadas han tenido las t¶e cnicas de administraci¶o n de riesgos de mercados, as¶³ como la regulaci¶o n que ha impulsado el marco de Basilea II en temas de riesgo cr¶e dito y operacional, obligan a estudiosos y profesionales de la administraci¶o n de riesgos a contar con un marco de referencia que conj unte los fundamentos de matem¶aticas ¯nancieras modernas, con un tratamiento comprensivo de los diversos riesgos que enfrentan las corporaciones. La obra del Dr. Venegas nos proporciona una visi¶o n exhaustiva de los conocimientos necesarios para contar con una formaci¶o n integral, tanto en el uso de modelos matem¶aticos como en el an¶alisis de los distintos tipos de riesgos ¯nancieros, constituy¶e ndose as¶³ en una referencia obligada para todo profesional o acad¶e mico del ramo." Edgar I. Castillo Hern¶andez Director de Modelos y Metodolog¶³as de Administraci¶o n de Riesgos BBVA Bancomer PRELIMINARES.indd PELIMINARES.indd 5 5 3/8/08 12:44:16 7/10/08 7:10:08 AM PM  vi \La diferencia de esta obra con otras similares, es su contenido expl¶³cito respecto a los temas ¯nancieros relevantes. Es una referencia completa y formal para el an¶alisis de riesgos ¯nancieros y econ¶o micos. Los lectores que tengan la oportunidad de adentrarse en ella, encontrar¶an una verdadera gu¶³a para comprender las bases de los nuevos enfoques cuantitativos en el mundo de las ¯nanzas y la econom¶³a, con un especial enfoque en la administraci¶o n de riesgos ¯nancieros con productos derivados." Jes¶u s Bravo Pliego Director de Riesgos de Mercado Grupo Financiero HSBC M¶e xico \Los administradores de riesgos seguramente encontrar¶an en la obra del Dr. Francisco Venegas Mart¶³nez el apoyo necesario para el desarrollo de sus tareas diarias. La sencillez con la que se tratan los temas en su libro facilita la construcci¶o n de estrategias y modelos para la administraci¶o n integral de riesgos de las instituciones ¯nancieras. Esta obra es un esfuerzo formidable del autor que se agradece profundamente." Rom¶an Vega Mart¶³nez Subdirector de Administraci¶o n de Riesgos Grupo Financiero Inbursa PRELIMINARES.indd PELIMINARES.indd 6 6 3/8/08 12:44:16 7/10/08 7:10:10 AM PM  v ii P R O¶ L O G O (F O R E W O R D ) In this book, Professor Venegas-Mart¶³nez makes a compendium of his long career as teacher, researcher and consultant in areas such as Operations Research, Mathematics, Statistics, Eco- nomics and Finance. His book departs from the classic models, the origin of the ¯nancial math- ematics and the continuous-time economics, arriving at those contemporary discussions that enhance the state of the art. Professor Venegas-Mart¶³nez uses a clear and plain language be- longing to the teacher who deeply understands the fundamental ideas, emphasizing the essential links among them, and who has the sensitivity to take some additional minutes to explain the details that most original papers omit. His book is a comprehensive treatise on ¯nancial and economic risks, combining mathematical rigorousness with practical intuition, and translating formal language into simple words to the reader. Needless to say, this work will become an obligate reference in ¯nancial risk management and stochastic economics. Arnold Zellner Professor Emeritus of Economics and Statistics Graduate School of Business University of Chicago January, 2006 En este libro, el profesor Venegas Mart¶³nez hace un recuento de su amplia trayectoria como profesor, investigador y consultor en a¶ reas tales como investigaci¶o n de operaciones, matem¶ati- cas, estad¶³stica, econom¶³a y ¯nanzas. Su libro inicia con los modelos cl¶asicos, el origen de las matem¶aticas ¯nancieras y la econom¶³a en tiempo continuo, hasta alcanzar aquellas discusiones contempor¶aneas que incrementan la frontera del conocimiento. El profesor Venegas Mart¶³nez utiliza un lenguaje claro y sencillo perteneciente al docente que entiende profundamente las ideas fundamentales, acentuando las relaciones esenciales entre ellas, y que tiene la sensibilidad para tomar algunos minutos a ¯n de explicar los detalles que la mayor¶³a de los art¶³culos origi- nales omiten. Su libro es un tratado exhaustivo sobre riesgos ¯nancieros y econ¶o micos, el cual combina el rigor matem¶atico con la intuici¶o n pr¶actica, y traduce el lenguaj e formal en palabras simples para el lector. Seguramente, esta obra se convertir¶a en una referencia obligada en la administraci¶o n de riesgos ¯nancieros y la econom¶³a estoc¶astica. Arnold Zellner Profesor Em¶e rito de Econom¶³a y Estad¶³stica Escuela de Posgrado en Negocios Universidad de Chicago Enero, 2006 E s d eseo d el a u to r in clu ir el p r¶o lo g o ta l y co m o fu e escrito p o r el P ro feso r A. Z elln er. PRELIMINARES.indd PELIMINARES.indd 7 7 3/8/08 12:44:16 7/10/08 7:10:10 AM PM  P R E F A C IO P o r fa v o r to m a u n o s m in u to s y l¶e e m e A principios de la d¶e cada de los sesenta, el preeminente economista Paul Samuelson, en una visita a la \Sorbonne" de Par¶³s, durante el tradicional \tour" que se ofrece a los conferencistas invitados para conocer la Universidad, encontr¶o casualmente en la biblioteca la tesis de doctorado en matem¶aticas de Louis Bachelier (1870-1946) , titulada \Th¶e orie de la Sp¶e culation" y presentada en 1900. La lectura de Paul Samuelson de esta tesis, la cual hab¶³a permanecido en el anonimato durante m¶as de 60 a~n os, y las investigaciones posteriores de Samuelson constituyen el inicio de un nuevo paradigma sobre el riesgo de mercado y su cobertura con productos derivados. Muchos a~n os despu¶e s, en 1997, Robert Merton y Myron Scholes comparten el premio Nobel de econom¶³a por sus contribuciones a la teor¶³a de valuaci¶o n de productos derivados y su apli- caci¶o n en la cobertura del riesgo de mercado. Lamentablemente, Fischer Black (1938-1995) , con quien Myron Scholes particip¶o en la investigaci¶o n laureada, hab¶³a fallecido dos a~n os antes. Este reconocimiento, sin duda, revitaliz¶o el paradigma sobre la administraci¶o n de riesgos de mercado. Este libro proporciona una visi¶o n alternativa de las ¯nanzas y la econom¶³a que reconoce ex- pl¶³citamente el papel que el riesgo y la incertidumbre desempe~n an en las decisiones de portafolio y consumo de los agentes econ¶o micos. Asimismo, esta visi¶o n resalta que cuando estos agentes tienen acceso a mercados de productos derivados (seguros contra contingencias ¯nancieras) , en- tonces los riesgos asociados a diversas variables econ¶o micas y ¯nancieras pueden administrarse, es decir, pueden reducirse y en el mej or de los casos eliminarse. En un intento de fomentar la cultura de la administraci¶o n de riesgos, el libro re¶u ne para su estudio diversas herramientas, modelos y t¶e cnicas u¶ tiles en la identi¯caci¶o n, cuanti¯caci¶o n, prevenci¶o n y control de los diferentes riesgos a los que los agentes est¶an expuestos. El obj etivo principal de esta obra consiste en presentar de manera simple y atractiva el an¶alisis de riesgos ¯nancieros y econ¶o micos, ya que la mayor parte de la literatura especializada sobre estos temas contiene desarrollos matem¶aticos muy so¯sticados y con escasa conexi¶o n con la intuici¶o n y la pr¶actica. El reto es llevar de la mano al lector por un camino ameno, lleno de intuici¶o n y explicaciones did¶acticas que lo inviten a seguir incursionando en el apasionante mundo de la administraci¶o n de riesgos, aun cuando no cuente con un conocimiento avanzado en matem¶aticas. A lg u n a s c a ra c te r¶³stic a s d e e ste lib ro Una caracter¶³stica esencial de este libro es el uso de un lenguaj e sencillo y claro, sin descuidar el rigor cient¶³¯co. En un intento de autosu¯ciencia, el libro proporciona los prerrequisitos necesarios para el an¶alisis de riesgos ¯nancieros y el estudio de los modelos econ¶o micos de riesgos. Los detalles, parte crucial de los resultados anal¶³ticos, se proporcionan sin escatimar espacio con el ¯n de que el lector no pierda continuidad en su estudio. Asimismo, para entender al proceso evolutivo de los conceptos de derivado y cobertura, el libro hace recuentos hist¶o ricos sobre las contribuciones en el a¶ rea de riesgos por parte de distintos cient¶³¯cos. Por u¶ ltimo, el contenido de esta obra se ha enriquecido con m¶u ltiples aplicaciones y ej ercicios ilustrativos. El libro contiene aproximadamente 500 ej ercicios, los cuales se encuentran al ¯nal de cada cap¶³tulo. Estos ej ercicios var¶³an en grado de di¯cultad y los hay desde los muy sencillos hasta los que llegan a ser todo un desaf¶³o para el lector; en la mayor¶³a de ej ercicios se incluyen sus soluciones. PRELIMINARES.indd PELIMINARES.indd 8 8 3/8/08 12:44:17 7/10/08 7:10:11 AM PM  ix A q u i¶e n v a d irig id o e ste lib ro Los intermediarios y reguladores ¯nancieros demandan cada vez m¶as capital humano especiali- zado en las ¶areas de riesgos. Este libro pretende ser una referencia para aquellos que deseen enten- der los fundamentos de la administraci¶o n de riesgos, as¶³ como para los interesados en profundizar en esta disciplina. El material del libro es muy vers¶atil y est¶a dise~n ado para cubrir una amplia gama de t¶o picos, por lo que puede utilizarse como texto en diversas asignaturas relacionadas con la administraci¶o n de riesgos de los u¶ ltimos semestres de las carreras de econom¶³a, ¯nanzas, actua- r¶³a, matem¶aticas, ingenier¶³a industrial, administraci¶o n ¯nanciera y otras disciplinas a¯nes con el ¶area de negocios. Asimismo, el libro contiene material avanzado para posgrados en econom¶³a, ¯nanzas, matem¶aticas, matem¶aticas ¯nancieras, investigaci¶o n de operaciones, etc¶e tera. L a h e rra m ie n ta p rin c ip a l d e e ste lib ro : e l m o v im ie n to B ro w n ia n o En 1827, el bot¶anico escoc¶e s Robert Brown (1773-1858) examinaba part¶³culas de polen en el microscopio y observ¶o que cuando ¶e stas se encontraban suspendidas en agua se mov¶³an sin cesar en forma err¶atica. No fue sino hasta principios del siglo XX cuando se demostr¶o que este movimiento irregular se deb¶³a al golpeteo constante de las mol¶e culas invisibles de agua sobre las part¶³culas visibles de polen. En 1905, Albert Einstein escribi¶o un art¶³culo sobre mec¶anica estad¶³stica que proporciona la formulaci¶o n matem¶atica del movimiento Browniano, de la cual se desprende que la dispersi¶o n promedio del desplazamiento de la part¶³cula, en un tiempo dado, es proporcional a dicho tiempo. No obstante, en 1900, Louis Bachelier, abordando un problema completamente diferente al del movimiento err¶atico de part¶³culas, en su tesis doctoral sobre el modelado del comportamiento aleatorio de los precios de las acciones de la bolsa de Par¶³s se anticip¶o a Einstein proporcionando un planteamiento matem¶atico del movimiento Browniano, aunque esta contribuci¶o n permaneci¶o en el anonimato durante m¶as 60 a~n os. A partir del encuentro fortuito de Samuelson con el trabaj o de Bachelier y, m¶as reciente- mente, con las investigaciones de Merton, Black y Scholes, el movimiento Browniano, as¶³ como sus aspectos te¶o ricos y pr¶acticos, han sido obj eto de numerosos estudios en muchas y muy diver- sas ¶areas de las ¯nanzas y la econom¶³a. Sin lugar a dudas, el movimiento Browniano se encuentra impl¶³cita o expl¶³citamente en casi toda la teor¶³a ¯nanciera y econ¶o mica en tiempo continuo y en ambientes estoc¶asticos. E stru c tu ra d e l lib ro El contenido de este libro est¶a organizado como sigue. La obra contiene 91 cap¶³tulos divididos en 19 partes. La parte I presenta el trabaj o de Robert Brown sobre el movimiento err¶atico de part¶³culas de polen en el agua. La parte II revisa los prerrequisitos necesarios para el an¶alisis de riesgos ¯nancieros. La parte III presenta el trabaj o desarrollado por los cl¶asicos: Louis Bachelier, Paul Samuelson, Fischer Black, Myron Scholes y Robert C. Merton. En la parte IV se introducen los derivados ¯nancieros simples. La parte V trata sobre la valuaci¶o n de opciones con volatilidad estoc¶astica. En el transcurso de la parte VI se val¶u an las opciones americanas. La parte VII re¶u ne diversos t¶o picos avanzados de valuaci¶o n de opciones. A trav¶e s de la parte VIII se estudian diferentes tipos de opciones ex¶o ticas. En la parte IX se introducen los modelos de tasas corta y forward para la valuaci¶o n de bonos cup¶o n cero. En la parte X se revisan algunas t¶e cnicas de ajuste y estimaci¶o n de curvas de rendimiento de bonos cup¶o n cero. En el transcurso de la parte XI se lleva a cabo un an¶alisis comparativo sobre las diferentes medidas de riesgo y se discute el concepto de medida coherente de riesgo. En la parte XII se estudian los conceptos de riesgo cr¶e dito y derivados de cr¶e dito. El contenido de la parte XIII consiste en la metodolog¶³a de opciones reales. En la parte XIV se val¶u an diversos derivados de tasas de inter¶e s y notas estructuradas. En la parte XV se presentan varios m¶e todos num¶e ricos para valuar productos derivados. En la parte XVI se introduce la noci¶o n de riesgo operativo. En el transcurso de la parte XVII se extiende el an¶alisis de valor en riesgo para incluir valores extremos. En la parte XVIII se establecen los prerrequisitos para el estudio de los modelos econ¶o micos de riesgos, los cuales comprenden fundamentalmente diversas t¶e cnicas de optimizaci¶o n din¶amica, ya sea determinista o estoc¶astica. Por u¶ ltimo en la parte XIX, se estudian distintos modelos econ¶o micos de riesgos en los que la noci¶o n de agentes racionales maximizadores de utilidad desempe~n a un papel primordial. PRELIMINARES.indd PELIMINARES.indd 9 9 3/8/08 12:44:18 7/10/08 7:10:12 AM PM  x A g ra d e c im ie n to s La elaboraci¶o n del presente libro ha tomado diez a~n os. Diez largos a~n os de arduo trabajo y de gran entusiasmo. Cuando se comienza a escribir un libro, el autor es el amo de la situaci¶o n, pero al ir avanzando pierde dominio y termina siendo el esclavo. La atenci¶o n y el tiempo que demanda el libro se convierten en una cadena que impide moverse en cualquier otra direcci¶o n que no sea el libro mismo. Este libro tiene su origen en una enorme pila de notas acumuladas de cursos y seminarios impartidos, durante muchos a~n os, tanto en instituciones ¯nancieras como de educaci¶o n superior: Bancomer, MexDer, UNAM, UAM, COLMEX, CIDE, COLEF, IPN, UP, Universidad An¶ahuac, Universidad Chapultepec, Washington State University, Oxford University e ITESM, entre otras. Todos mis alumnos, cientos de ellos, as¶³ como mis asistentes de investigaci¶o n han contribuido con diversos comentarios y sugerencias en la elaboraci¶o n y revisi¶o n de este libro. Me gustar¶³a tambi¶e n comentar que cuando se escribe un libro tan extenso, al transcurrir el tiempo diversas situaciones cotidianas in°uyen en el a¶ nimo del autor. En algunas ocasiones, el autor puede sentirse extenuado, triste, preocupado, etc. Sin duda, estos sentimientos pueden afectar la esencia en el contenido de alg¶u n p¶arrafo. No obstante, siempre se procur¶o escribir todo el libro con el mayor entusiasmo posible. El tiempo que se le quita a la familia para destinarlo a la escritura de este libro representa un enorme adeudo que hay que subsanar inmediatamente como un acto de agradecimiento. Aun cuando se tuvo mucho cuidado para que la obra no contuviera errores, es altamente probable que subsistan algunos de ellos. Cualquier comentario para corregir o mej orar el texto ser¶a bienvenido s , entonces el mej or pron¶o stico £ ¯de ¤ M t es j ustamente el valor m¶as reciente, M s. Esta condici¶o n puede ser sustituida por E M t ¯F s = M s casi seguramente con respecto de IP, lo cual es m¶as general. Sin embargo, en ¶e ste como en el resto de los cap¶³tulos se mantiene la versi¶o n inicial. Si no se cumple la condici¶o n (ii) se dice que f M t g t¸ 0 es una martingala local. Por otro lado, observe que las variaciones futuras £ de ¯una¤martingala son completamente impredecibles dada la informaci¶o n F s , ya que E M t ¡ M s ¯F s = 0. En otras palabras, M t es adaptado a F t. Por u¶ ltimo, es importante notar que si s < t, entonces © £ ¯ ¤¯ ª £ ¯ ¤ E E M t ¯F s ¯F 0 = E M t ¯F 0 = M 0 : Es decir, E IP [M t ] = M 0 para toda t: (6:1) RIESGOS.indd 112 3/5/08 6:21:10 PM  88 6. M a rtin g a la s y m ov im ien to B row n ia n o 6.3 M a rtin g a la s y m o v im ie n to B ro w n ia n o El movimiento Browniano j unto con su ¯ltraci¶o n aumentada es una martingala. En efecto, si f W t g t¸ 0 es un movimiento Browniano de¯nido sobre un espacio ¯j o de probabilidad equipado con su ¯ltraci¶o n aumentada, ( ;F ;f F t g t¸ 0 ;IP) , entonces £ ¯ ¤ £ ¯ ¤ E W t ¯F s = E W t ¡ W s + W s ¯F s £ ¯ ¤ = E (W t ¡ W s ) + W s ¯F s £ ¯ ¤ = E W t ¡ W s ¯F t + W s = 0 + W s; ya que W t ¡ W s es independiente de F syW t ¡ W s » N (0;t ¡ s ). Claramente, Z1 E IP [ jW t j] = jw jdIP(w ) ¡ 1 Z1 1 2 = p jw je ¡ (1 = 2 t)w dw 2¼ t ¡ 1 Z1 1 2 = p 2w e ¡ (1 = 2 t)w dw 2¼ t 0 Z1 1 = p e ¡ (1 = 2 t)y dy 2¼ t 0 r 2t = < 1 ¼ para toda t ¸ 0. En la u¶ ltima integral se utiliz¶o el cambio de variable y = w 2. Tambi¶e n, observe que para toda t se cumple E IP [W t ] = W 0 =0 casi dondequiera con respecto de IP. Finalmente, observe que si se ¯j a W ¿, entonces £ ¯ ¤ M t = E W ¿ ¯F t ; es una martingala, ya que si s < t, una aplicaci¶o n simple de la propiedad \torre" de la esperanza condicional conduce a: £ ¯ ¤ £ £ ¯ ¤¯ ¤ £ ¯ ¤ E M t ¯F s = E E W ¿ ¯F t ¯F s = E W ¿ ¯F s = M s : 6.4 U n se g u n d o e je m p lo d e m a rtin g a la La funci¶o n caracter¶³stica condicional a la informaci¶o n disponible hasta el tiempo s de W t ¡ W s, con s < t, est¶a dada por h ¯ i ¯ 1 2 E e ¾ (W t ¡ W s ) ¯F s = e 2 ¾ (t¡ s ) ; ¾ > 0; ya que W t ¡ W s y W s ¡ W 0 = W s son variables aleatorias independientes, es decir, W t ¡ W s es independiente de F s , y W t ¡ W s » N (0;t ¡ s ). Asimismo, dada la informaci¶o n hasta el tiempo s , e ¡ ¾ W s se torna conocida, en cuyo caso, h ¯ i ¯ 1 2 e ¡ ¾ W s E e ¾ W t ¯F s = e 2 ¾ (t¡ s ) : Por lo tanto, h ¯ i 1 t¡ 2 ¾ 2 t¯ 1 s¡ 2 ¾ 2s E e¾ W ¯F s = e ¾ W : RIESGOS.indd 113 3/5/08 6:21:12 PM  6. M a rtin g a la s y m ov im ien to B row n ia n o 89 Alternativamente, h ¯ i h ¯ i 1 t¡ 2 ¾ 2 t¯ 1 2 ¯ E e¾ W ¯F s = E e ¾ W t ¡ ¾ W s + ¾ W s ¡ 2 ¾ t ¯F s h 1 2 ¯ ¯ i = E e ¾ (W t ¡ W s )+ ¾ W s ¡ 2 ¾ t ¯F s h ¯ i 1 2 ¯ = e ¾ W s ¡ 2 ¾ t E e ¾ (W t ¡ W s ) ¯F s h ¯ i 1 2 ¯ = e ¾ W s ¡ 2 ¾ t E e ¾ W t¡ s ¯F s : p Por otro lado, dado que ¾ W t¡ s =¾ t ¡ s E con E » N (0;1) , se obtiene Z1 £ ¤ p 1 ¡ 1 ²2 E e¾ W t¡ s = e¾ ² t¡ s p e 2 d² ¡ 1 2¼ Z1 1 ¡ 21 ( ² 2 ¡ 2 ¾ ² p t¡ s ) = p e d² ¡ 1 2¼ Z1 1 s )¾ 2 1 ¡ 21 ( ² 2 ¡ 2 ¾ ² p t¡ s + (t¡ s )¾ 2 ) = e 2 (t¡ p e d² ¡ 1 2¼ Z1 1 s )¾ 2 1 ¡ 21 ( ²¡ ¾ p t¡ s ) 2 = e 2 (t¡ p e d² ¡ 1 2¼ Z1 1 s )¾ 2 1 ¡ 1 z2 = e 2 (t¡ p e 2 dz ¡ 1 2¼ 1 s )¾ 2 = e 2 (t¡ ; donde p z =²¡ ¾ t ¡ s: En consecuencia, para toda s < t, h i 1 t¡ 2 ¾ 2t 1 s¡ 2 ¾ 2t 1 s )¾ 2 1 s¡ 2 ¾ 2s E e¾ W = e¾ W £ e 2 (t¡ = e¾ W : 1 s¡ 2 ¾ 2s Si se de¯ne M s = e¾ W , se sigue que £ ¯ ¤ E M t ¯F s = M s: (6:2) Justamente, la ecuaci¶o n (6.2) indica que f M s g s¸ 0 es una martingala. 6.5 U n te rc e r e je m p lo d e m a rtin g a la 2 Observe ahora que si f W s g s¸ 0 es un movimiento Browniano est¶andar, entonces W s ¡ s es una martingala. En efecto, £ 2¯ ¯ ¤ £ ¯ ¤ E W 2 t ¡ W s F s = E W t2 ¡ 2W t W s + W s2 ¡ W s2 ¡ W s2 + 2W t W s ¯F s £ ¯ ¤ = E (W t ¡ W s ) 2 + 2W t W s ¡ 2W s2 ¯F s £ ¯ ¤ = E (W t ¡ W s ) 2 + 2W s (W t ¡ W s ) ¯F s £ ¯ ¤ £ ¯ ¤ = E (W t ¡ W s ) 2 ¯F s + 2W s E (W t ¡ W s ) ¯F s £ ¯ ¤ £ ¯ ¤ = E W t¡2 s ¯F s + 2W s E W t¡ s ¯F s = t ¡ s: Es decir, £ ¯ ¤ 2 2¯ E W t ¡ W s F s = t ¡ s: RIESGOS.indd 114 3/5/08 6:21:13 PM  90 6. M a rtin g a la s y m ov im ien to B row n ia n o Por lo tanto, para s · t, £ ¯ ¤ E W 2 t ¡ t¯F s = W 2 s ¡ s: 6.6 T e o re m a d e L ¶e v y so b r e la c a ra c te riz a c i¶o n d e l m o v im ie n to B ro w n ia n o Considere un espacio de probabilidad ¯jo ( ;F ;IP) equipado con una ¯ltraci¶o n IF = f F t g t¸ 0. Suponga que f M t g t¸ 0 es una IP-martingala con respecto de la ¯ltraci¶o n IF. Si M 0 = 0, M t es continua en t 2 [0;1 ) y M t2 ¡ t es una martingala, es decir, si s < t implica £ ¯ ¤ E M t2 ¡ M s2 ¯F s = t ¡ s ; entonces f M t g t¸ 0 es un movimiento Browniano de¯nido en ( ;F ;IP). Dado que f M t g t¸ 0 es una martingala, la condici¶o n anterior se puede sustituir por £ ¯ ¤ E (M t ¡ M s ) 2 ¯F s = t ¡ s : En efecto, £ ¯ ¤ £ ¯ ¤ E (M t ¡ M s) 2 ¯F s =E M 2 t +M 2 s ¡ 2M t M s ¯F s £ ¯ ¤ =E M 2 t ¡ M 2 s + 2M 2 s ¯F s ¡ 2M t M s £ ¯ ¤ =E M 2 t ¡ M 2 s ¡ 2M s (M t ¡ M s ) ¯F s £ ¯ ¤ £ ¯ ¤ =E M 2 t ¡ M 2 s ¯F s ¡ 2M s E M t ¡ M s ¯F s =t ¡ s + 0: Esta caracterizaci¶o n del movimiento Browniano destaca que la continuidad de las trayectorias no puede omitirse. Rec¶³procamente, si f W t g t¸ 0 es un movimiento Browniano de¯nido sobre un espacio ¯j o de probabilidad equipado con su ¯ltraci¶o n aumentada, ( ;F ;(F t ) t2 [0 ;1 ) ;IP) , entonces £ ¯ ¤ £ ¯ ¤ £ ¯ ¤ E W t2 ¡ W s2 ¯F s =E (W t ¡ W s ) 2 ¯F s ¡ 2W s E W t ¡ W s ¯F s (6:3) =t ¡ s + 0; ya que W t ¡ W s es independiente de F s y W t ¡ W s » N (0;t ¡ s ). Por u¶ ltimo, una simple aplicaci¶o n del lema de It^o conduce a 2 dW t = dt + 2W t dW t : Equivalentemente, Zt 2 W t ¡ t=2 W s dW s ; 0 Rt lo cual implica 0 W s dW s es una IP-martingala con respecto de IF. 6.7 T e o re m a d e re p re se n ta c i¶o n d e m a rtin g a la s Sea f W t g t¸ 0 un movimiento Browniano de¯nido sobre un espacio ¯j o de probabilidad con su ¯ltraci¶o n aumentada ( ;F ;(F t ) t2 [0 ;1 ) ;IP) y de¯na Zt M t=c+¾ dW u : 0 Rt Se puede ver que f M t g t¸ 0 es una martingala si se demuestra que 0 dW u es una martingala. En efecto, ·Z t ¯ ¸ ·Z s Zt ¯ ¸ ¯ ¯ ¯ dW u ¯F s =E dW u ¯ E dW u + ¯F s 0 Zs 0 s £ ¯ ¤ = dW u + E W t ¡ W s ¯F s Z0 s = dW u + 0: 0 RIESGOS.indd 115 3/5/08 6:21:15 PM  6. M a rtin g a la s y m ov im ien to B row n ia n o 91 A continuaci¶o n se establece el resultado rec¶³proco. Sea f W t g t¸ 0 un movimiento Browniano de¯nido sobre un espacio ¯j o de probabilidad ( ;F ;IP) y sea IF = f F t g t¸ 0 su ¯ltraci¶o n aumen- tada. Si f M t g t¸ 0 es una IP-martingala con respecto de IF, entonces existe un proceso f X t g t¸ 0 adaptado a IF, tal que Zt M t=M 0+ X u dW u 0 ¶o dM t = X u dW u : Es decir, si f X t g t¸ 0 es adaptado a la ¯ltraci¶o n aumentada IF del movimiento Browniano, entonces el movimiento Browniano f W t g t¸ 0 es la u¶ nica fuente de incertidumbre del proceso f X t g t¸ 0. En este caso, las trayectorias del proceso f X t g t¸ 0 son continuas. Por u¶ ltimo, suponga que dM t = ¹ t dt + ¾ t dW t , es decir, Zt Zt M t =c+ ¹ u du + ¾ u dW u : 0 0 Si ¾ t es adaptada (no anticipada) a la informaci¶o n F t y f M t g t¸ 0 es una martingala, entonces ¹ t ´ 0. En efecto, sea 0 < s < t, entonces ·Z t Zt ¯ ¸ Zt Zs ·Z t ¸ ¯ ¯ E ¹ u du + ¾ u dW ¯F s = ¹ u du + ¾ u dW +E ¾ u dW u ¯F u ¯ u s 0 0 0 0 s Zt Zs = ¹ u du + ¾ u dW u + 0 0 0 μZ s Zs ¶ Zt = ¹ u du + ¾ u dW u + ¹ u du ; 0 0 s lo cual implica que Zt ¹ u du = 0 s para toda s < t. Por lo tanto ¹ t ´ 0: 6.8 D e sig u a ld a d d e D o o b p a ra m a rtin g a la s y m o v im ie n to B ro w n ia n o Sea ( ;F ;IP) un espacio ¯jo de probabilidad equipado con una ¯ltraci¶o n IF = f F t g t¸ 0. Si f M t g t¸ 0 es una IP-martingala con respecto de IF con trayectorias continuas, entonces · ¸ £ ¤ E IP max jM s j · 4E IP M 2 t : 0· s· t En particular, si f M t g t¸ 0 es un movimiento Browniano en ( ;F ;IP) y IF es su ¯ltraci¶o n aumen- tada, entonces · ¸ Z1 Z1 4 2 E IP max jM sj · 4 2 w dIP(w ) = p w 2 e¡ (1 = 2 t)w dw = 4t: 0· s· t ¡ 1 2¼ t ¡ 1 En otras palabras, en promedio las trayectorias del movimiento Browniano en el intervalo [0;t] no exceden 4t. Por supuesto, las trayectorias pueden exceder la cota superior establecida, pero en promedio no lo har¶an. RIESGOS.indd 116 3/5/08 6:21:17 PM  92 6. M a rtin g a la s y m ov im ien to B row n ia n o 6.9 D e sig u a ld a d d e J e n se n p a ra m a rtin g a la s y m o v im ie n to B ro w n ia n o Sea ( ;F ;f F t g t¸ 0 ;IP) un espacio de probabilidad con una ¯ltraci¶o n. Si f M t g t¸ 0 es una IP- martingala con respecto de IF = f F t g t¸ 0 y n 2 IN, entonces £ ¯ ¤ E jM t jn ¯F s ¸ jM sj n : En efecto, si g : IR ! IR es una funci¶o n convexa, entonces E[g (W t ) ] ¸ g (E[M t ] ) : Si se elige g (x ) = x n , se tiene que £ ¯ ¤ ¯£ ¯ ¤¯ E jM t jn ¯F s ¸ ¯E M t ¯F s ¯n ¸ jM sj n : En particular, si f W t g t¸ 0 es un movimiento Browniano de¯nido sobre un espacio ¯j o de proba- bilidad con su ¯ltraci¶o n aumentada, f ;F ;(F t ) t2 [0 ;1 ) ;IPg , entonces £ ¯ ¤ E W n t ¯F s ¸ W n s ¶o £ ¯ ¤ E W n t ¡ W n s ¯F s ¸ 0: En particular, en virtud de (6.2) y (6.3) , se cumple que £ ¯ ¤ E W t ¡ W s ¯F s = 0 y £ ¯ ¤ E W 2 t ¡ W 2 s ¡ (t ¡ s ) ¯F s = 0 ¶o £ ¯ ¤ E W 2 t ¡ W 2 s ¯F s = t ¡ s ¸ 0: 6.1 0 B ib lio g ra f¶³a su g e rid a Karatzas, I. and S. E. Shreve (1988). Brownian Motion and Stochastic Calculus. Springer, Berlin. Revuz, D. and M. Yor (1991). Continuous Martingales and Brownian Motion. Springer, Berlin. 6.1 1 E je rc ic io s 6.1 Sea a 2 IR arbitrario y sea f W t g t¸ 0 un movimiento Browniano de¯nido sobre un espacio 1 2 1 2 de probabilidad ( ;F ;(F t ) t2 [0 ;1 ) ;IP). Demuestre que los procesos e a W t ¡ 2 a t y e ¡ a W t ¡ 2 a t son martingalas. 6.2 Suponga que IP f X n = 1 + ag = p y IP f X n = 1 + bg = 1 ¡ p : Sea V n = X 0X 1X 2 ¢¢¢X n (1 + r ) ¡ n ; donde X 0 es una constante positiva. Encuentre condiciones sobre a , b y r para que V n sea martingala. RIESGOS.indd 117 3/5/08 6:21:19 PM  6. M a rtin g a la s y m ov im ien to B row n ia n o 93 S o lu ci¶o n : Observe que E[V n jV n ¡ 1 ] =E[V n ¡ 1 X n (1 + r ) ¡ 1 jV n ¡ 1 ] =V n ¡ 1 (1 + a ) (1 + r ) ¡ 1 p + V n ¡ 1 (1 + b) (1 + r ) ¡ 1 (1 ¡ p ) =V n ¡ 1 [(1 + a ) p + (1 + b) (1 ¡ p ) ] (1 + r ) ¡ 1 =V n ¡ 1 [p (a ¡ b) + b + 1] (1 + r ) ¡ 1 : Por lo tanto, V n ser¶a martingala si p (a ¡ b) + b + 1 = 1 + r ¶o b¡ r p = : b¡ a Para que 0 < p < 1, se requiere que a < r < b. 6.3 Suponga que la sucesi¶o n (X n )n 2 IN satisface E[X n jF n ¡ 1] =®X n¡ 1 +¯X n¡ 2; ® + ¯ = 1; donde F n ¡ 1 es la informaci¶o n relevante disponible en n ¡ 1. Determine el valor de A tal que Y n = A X n + X n ¡ 1 sea una martingala. S o lu ci¶o n : Observe que E[Y n jF n ¡ 1 ] =E[A X n + X n ¡ 1 jF n ¡ 1 ] =A E[X n jF n¡ 1] + E[X n ¡ 1 jF n ¡ 1 ] =A (® X n¡ 1 +¯X n¡ 2) +X n¡ 1 =(A ® + 1) X n¡ 1 +A ¯X n¡ 2: Ahora bien, si se desea que E[Y n jF n ¡ 1] = Yn¡ 1 =AX n¡ 1 +X n¡ 2; se debe tener que A ® +1=A y A ¯ = A (1 ¡ ® ) = 1; es decir, 1 A = : 1¡ ® 6.4 Sea ( ® +¯X n¡ 1; con probabilidad X n¡ 1 X n = ¯X n¡ 1; con probabilidad 1¡ X n¡ 1 Demuestre que si ® + ¯ = 1, entonces X n es una martingala. S o lu ci¶o n : En este caso, se cumple que E[X n jF n ¡ 1] =(® + ¯ X n ¡ 1 ) X n ¡ 1 + ¯ X n ¡ 1 (1 ¡ X n ¡ 1) 2 2 =® X n¡ 1 + ¯X n¡ 1 + ¯ X n¡ 1 ¡ ¯ X n¡ 1 =® X n¡ 1 +¯X n¡ 1 =(® + ¯ ) X n¡ 1 =X n¡ 1: RIESGOS.indd 118 3/5/08 6:21:21 PM  94 6. M a rtin g a la s y m ov im ien to B row n ia n o 6.5 Sea N t un proceso de Poisson con par¶ametro de intensidad ¸ , el cual satisface las siguientes condiciones: (i) N 0 = 0. (ii) Si s < t, entonces N s · N t. (iii) IPf N t+ d t = 1 + n j N t = n g = ¸ dt + o (dt) ; n 2 IN; IPf N t+ d t = njN t = n g = 1 ¡ ¸ dt + o (dt) ; n 2 IN; IPf N t+ d t = m +njN t = n g = o (dt) ; n ;m 2 IN; m > 1; donde o (dt) = dt ! 0 cuando dt ! 0. (iv ) Si 0 < s < t, entonces los incrementos N t ¡ N s y N s ¡ N 0 son estoc¶asticamente indepen- dientes. Demuestre que N t es una submartingala, es decir, E[N t jF s ] > N s. Rede¯na N t para que se obtenga una martingala. S o lu ci¶o n : Si t > s y N t tiene incrementos independientes, se sigue que E[N t jF s ] =E[N t ¡ N s + N s jF s ] =E[N t ¡ N s jF s ] + E[N s jF s ] =¸ (t ¡ s ) + E[N s jF s ] =¸ (t ¡ s ) + N s > N s: Si se de¯ne X t =N t ¡ ¸ t, se tiene que E[N t jF s ] = ¸ (t ¡ s ) + E[N s jF s ] ; es decir, E[N t ¡ ¸ tjF s ] = N s ¡ ¸s ¶o E[X t jF s ] = X s : RIESGOS.indd 119 3/5/08 6:21:23 PM  C A P ¶IT U L O 7 E L T E O R E M A D E G IR S A N O V Y M E D ID A S M A R T IN G A L A S E Q U IV A L E N T E S C o n c e p to s b ¶a sic o s d e e ste c a p ¶³tu lo : ² Teorema de Girsanov ² Medidas martingalas equivalentes ² F¶o rmula de Cameron-Martin ² Martingala exponencial de Dol¶e ans-Dade ² Condici¶o n de Novikov 7.1 In tro d u c c i¶o n En este cap¶³tulo se presenta un teorema central en la valuaci¶o n de productos derivados, el teorema de Girsanov. En 1961, Igor V. Girsanov, de nacionalidad rusa, present¶o baj o la direcci¶o n de Andrei Kolmogorov y de Eugene B. Dynkin su tesis doctoral en la Universidad Estatal de Mosc¶u. El resultado central de su tesis es conocido en la literatura como el teorema de Girsanov. Seis a~n os despu¶e s de obtener el grado de doctor en matem¶aticas, en 1967, muere tr¶agicamente en una avalancha. Por supuesto, Igor V. Girsanov nunca supo sobre la trascendencia de su trabaj o en el desarrollo de las matem¶aticas ¯nancieras. Los resultados fundamentales de su tesis se encuentran publicados en el \Journal of Theory of Probability and its Applications" en dos art¶³culos: \On transforming a certain class of stochastic processes by absolutely continuous substitution of measures" en (1960) y \An example on non-uniqueness of the solution to the stochastic di®erential equation of K. It^o " en (1962). El teorema de Girsanov construye expl¶³citamente una medida de probabilidad que permite transformar \un movimiento Browniano con tendencia" en un movimiento Browniano sin tenden- cia, este u¶ ltimo de¯nido en un espacio de probabilidad equivalente. Este teorema constituye una herramienta fundamental en la valuaci¶o n te¶o rica de muchos y muy diversos productos derivados. Asimismo, en este cap¶³tulo se estudia la relaci¶o n existente entre el teorema de Girsanov, la exponencial estoc¶astica de Dol¶e ans-Dade 1 y la condici¶o n de Novikov. Por u¶ ltimo, en el marco del teorema de Girsanov, se discute el teorema de representaci¶o n de martingalas. F u en te: w w w.m a th.co rn ell.ed u Igor V. Girsanov 1 C a th erin e D o l¶e a n s-D a d e fa lleci¶o el 1 9 d e sep tiem b re d e 2 0 0 4. F u e m iem b ro d istin g u id o d el g ru p o d e p ro b a - b ilid a d en U IU C (\ U n iv ersity o f Illin o is a t U rb a n a -C h a m p a ig n " ) (1 9 7 6 ). S u s co n trib u cio n es m ¶a s im p o rta n tes se en cu en tra n en la teo r¶³a d e m a rtin g a la s; en p a rticu la r, es co n o cid a p o r el d esa rro llo d e la m ed id a D o l¶e a n s-D a d e. RIESGOS.indd 120 3/5/08 6:21:24 PM  96 7. T eo rem a d e G irsa n ov y m ed id a s m a rtin g a la s eq u iva len tes 7.2 > Q u ¶e e s e l te o re m a d e G irsa n o v ? En esta secci¶o n se plantean las ideas centrales del teorema de Girsanov. Para ello, suponga que W T » N (0;T ) y considere la variable aleatoria W T + ¸ T , ¸ 2 IR. El valor medio y la varianza de esta variable aleatoria est¶an dados, respectivamente, por Z1 1 2 E[W T + ¸ T ] = p (w + ¸ T ) e ¡ w = 2 T dw = ¸ T 2¼ T ¡ 1 y Z1 1 w 2=2T Var[W T + ¸T ] = p [(w + ¸ T ) ¡ ¸ T ] 2 e ¡ dw = T : 2¼ T ¡ 1 De lo anterior se desprende que si W T es normal con media cero y varianza T , entonces W T + ¸ T es normal con media ¸ T y varianza T. Es decir, al pasar de W T a W T + ¸ T , la media cambia de cero a T , pero la varianza se mantiene en T. El problema que a continuaci¶o n se plantea contiene toda la esencia del teorema de Girsanov: se desea determinar una funci¶o n ' = ' (W T ) que cumpla las siguientes dos condiciones: E [(W T + ¸ T ) ' (W T )] = 0 y h i 2 E (W T + ¸ T ) ' (W T ) =T: Equivalentemente, Z1 1 w 2=2T p (w + ¸ T ) ' (w ) e ¡ dw = 0 (7:1) 2¼ T ¡ 1 y Z1 1 w 2=2T p (w + ¸ T ) 2 ' (w ) e ¡ dw = T : (7:2) 2¼ T ¡ 1 Este problema es, en realidad, m¶as f¶acil de resolver de lo que parece. En efecto, resulta casi evidente que Z1 Z1 1 2 1 2 I 1 := p (w + ¸ T ) e ¡ (w + ¸ T ) = 2 T dw = p ²e ¡ ² = 2 T d² = 0 (7:3) 2¼ T ¡ 1 2¼ T ¡ 1 y Z1 Z1 1 2 ¡ (w + ¸ T )2 = 2 T 1 ²2 = 2 T I 2 := p (w + ¸ T ) e dw = p ²2 e ¡ d² = T ; (7:4) 2¼ T ¡ 1 2¼ T ¡ 1 donde se ha utilizado el cambio de variable ² = w + ¸ T y las integrales I 1 y I 2 son la esperanza y la varianza, respectivamente, de una variable aleatoria normal E » N (0;T ). Observe adem¶as que las ecuaciones (7.3) y (7.4) pueden reescribirse como: Z1 1 1 2 2 I1 = p (w + ¸ T ) e ¡ ¸ w ¡ 2 ¸ T e ¡ w = 2 T dw = 0 (7:5) 2¼ T ¡ 1 y Z1 1 1 ¸ 2T w 2=2T I2 = p (w + ¸ T ) 2 e ¡ ¸w ¡ 2 e¡ dw = T : (7:6) 2¼ T ¡ 1 Si se comparan (7.1) y (7.2) con (7.5) y (7.6) se sigue que j ustamente 1 ¸ 2T ' (W T ) = e¡ ¸W T ¡ 2 (7:7) es la funci¶o n que se busca para que se cumplan (7.1) y (7.2). A¶u n m¶as, la funci¶o n ' (W t ) es la u¶ nica que satisface (7.1) y (7.2). As¶³ pues, el primer resultado relevante es que si W T + ¸ T tiene media ¸ T , entonces (W T + ¸ T ) ' (W T ) tiene media cero. El segundo resultado importante es que si W T tiene varianza T , entonces (W T + ¸ T ) ' (W T ) tambi¶e n tiene varianza T. De hecho, RIESGOS.indd 121 3/5/08 6:21:26 PM  7. T eo rem a d e G irsa n ov y m ed id a s m a rtin g a la s eq u iva len tes 97 esto demuestra el teorema de Girsanov. Por supuesto, la investigaci¶o n de Girsanov contempla un raudal de resultados adicionales. 7.3 T e o re m a d e G irsa n o v y c a m b io d e e sp a c io d e p ro b a b ilid a d : c ¶a lc u lo d e v a lo re s e sp e ra d o s En esta secci¶o n se discute sobre el nuevo espacio de probabilidad que induce el teorema de Girsanov y c¶o mo se calculan las esperanzas en este nuevo espacio. Si g es una funci¶o n de W T + ¸ T , entonces Z1 E [g (W T + ¸ T ) ' (W T ) ] = g (w + ¸ T ) ' (w ) dIP(w ) ; (7:8) ¡ 1 donde 1 w 2=2T dIP(w ) = p e¡ dw : 2¼ T Si = IR y F = B (IR) representa la ¾ -¶algebra de Borel, entonces W T est¶a de¯nida sobre ( ;F ;IP). Por supuesto, la funci¶o n g debe ser tal que (7.8) se mantenga ¯nita. Suponga ahora que Wf T » N (0;T ). De esta manera, Z1 e f 1 w~ 2 = 2 T E[g (W T ) ] = p g ( we) e ¡ d we 2¼ T ¡ 1 Z1 (7:9) = e we) ; g ( we) dIP( ¡ 1 donde e we) = p 1 e ¡ dIP( w~ 2 = 2 T d we: 2¼ T En este caso Wf T est¶a de¯nida sobre ( ;F ;IP) e. La ecuaci¶o n (7.8) puede reescribirse como Z1 e (Wf T ) ] = p 1 E[g 2 g ( we) e ¡ w~ = 2 T d we 2¼ T ¡ 1 Z1 à ! (7:10) dIP(e we) = g ( we) dIP(w ) : ¡ 1 dIP(w ) La igualdad entre (7.8) y (7.10) se cumple si y s¶o lo si Wf T = W T + ¸T y e we) dIP( = ' (w ) : dIP(w ) e con respecto de Esta u¶ ltima expresi¶o n recibe el nombre de derivada de Radon-Nikodym 2 de IP e se de¯ne en t¶e rminos de IP como IP. As¶³, IP Z e )= IP(A ' (w ) dIP(w ) ; A 2 F : A De la misma manera, valores esperados baj o IP e se obtienen en t¶e rminos de valores esperados bajo IP, e (Wf T ) ] = E [g (W T + ¸ T ) ' (W T ) ] : E[g 2 J o h a n n R a d o n (1 8 8 7 -1 9 5 6 ) m a tem ¶a tico ch eco co n im p o rta n tes a p o rta cio n es a l c¶a lcu lo d e v a ria cio n es y a la g eo m etr¶³a d ife