Resumen 1er Semestre - Geometría Descriptiva

**[¿Qué es la geometría descriptiva?]** Es un conjunto de técnicas geométricas que permite representar el espacio tridimensional sobre una superficie bidimensional. Este campo ayuda a visualizar y analizar objetos en el espacio ayudando en la creación de planos y dibujos técnicos precisos. **[El...

**[¿Qué es la geometría descriptiva?]** Es un conjunto de técnicas geométricas que permite representar el espacio tridimensional sobre una superficie bidimensional. Este campo ayuda a visualizar y analizar objetos en el espacio ayudando en la creación de planos y dibujos técnicos precisos. **[El origen de la geometría descriptiva.]** Fue recién en el año 1795 que el matemático Gaspard Monge publico una obra llamada geometría descriptiva. **[¿Cuál es la importancia de la geometría? descriptiva en el campo de la arquitectura y la ingeniería?]** La geometría descriptiva es una herramienta muy importante en el campo de la arquitectura y la ingeniería porque permite representar y analizar la forma de los edificios y sus componentes. La geometría descriptiva se utiliza para analizar la estructura de un edificio, la fuerza de los materiales empleados y los elementos de diseño. La geometría descriptiva también puede ser utilizada para crear modelos 3D, ilustraciones y visualizaciones de los edificios. Esto le permite a los arquitectos y los ingenieros ver cómo se verá el edificio completo y cómo será la distribución de los espacios. Se dedica a solucionar problemas del espacio mediante operaciones que se desarrollan en un plano donde están representadas las figuras de los sólidos. **[¿Cuáles son los principales conceptos y herramientas utilizados en la geometría descriptiva? ]** En la geometría descriptiva, los conceptos y herramientas principales incluyen la representación de objetos tridimensionales en un plano bidimensional utilizando proyecciones, planos de proyección, puntos de vista, líneas de proyección, puntos de intersección y rectas de traza. Se utilizan métodos como la proyección ortogonal y la proyección cónica para describir objetos en el espacio tridimensional de manera precisa en un plano bidimensional. También se emplean conceptos como la perspectiva, los ángulos diédricos y los sistemas de referencia para facilitar la representación y comprensión de las formas tridimensionales en dibujos técnicos y planos de ingeniería. **[¿Quién fue Gaspar Monge y cuál fue su contribución a la geometría descriptiva?]** Monge Gaspar fue un matemático francés fundador de la geometría descriptiva nació en 1746 y falleció en 1818 el 28 de julio por causas naturales. Su contribución más importante fue desarrollar el sistema de proyecciones que podía representar en el espacio tridimensional de una manera más clara y comprensible. Esto fue fundamental para la representación gráfica de objetos en campos como la arquitectura la ingeniería y el diseño industrial. **[¿En qué consiste el sistema Monge?]** El método Monge es un sistema de representación que nos permite dibujar en una superficie plana, tal como un papel, objetos que ocupan un lugar en el espacio tridimensional. Es decir, nos permite hacer una abstracción desde 3 dimensiones a 2 dimensiones. Lo cual es muy útil cuando queremos dibujar con precisión. **[¿Cuál es la utilidad del sistema Monge en la representación de objetos tridimensionales en un plano?]** El sistema de Monge, también conocido como sistema diédrico, es un método de representación geométrica que se utiliza para representar objetos tridimensionales en un plano. Este sistema es ampliamente utilizado en el campo del dibujo técnico y la geometría descriptiva. En resumen, el sistema Monge es útil en la representación de objetos tridimensionales en un plano porque permite una representación precisa y detallada de los mismos, facilitando la comunicación y el análisis de objetos complejos en campos como la arquitectura, la ingeniería y el diseño industrial. **[¿Cuáles son los elementos fundamentales del sistema Monge?]** Elementos fundamentales, Aquellos con los que se construye todo - Punto -- Cuestiones relacionadas con la representación de puntos y sus distintas posiciones. - Rectas -- Ejercicios sobre rectas y sus posiciones. - Planos -- El tercer elemento fundamental. Sus trazas lo representan. **[Transformaciones Procedimientos para situar los elementos en una posición favorable ]** - Abatimiento -- Aplicable a figuras planas, para poder dibujar su verdadera magnitud - Cambio de plano -- La transformación más útil, consistente en proyectar desde un plano favorable - Giro -- Útil en algunas ocasiones, pero de mayor laboriosidad **[Sistema diédrico ]** **1. Fundamentos del Sistema Diédrico** El sistema diédrico es un método de representación gráfica utilizado en geometría descriptiva. Consiste en proyectar objetos tridimensionales en dos planos perpendiculares entre sí: - **Plano Horizontal (PH):** Representa la vista superior del objeto. - **Plano Vertical (PV):** Representa la vista frontal. Ambos planos se intersectan en una línea llamada **línea de tierra (LT)**. Los puntos y objetos del espacio se proyectan ortogonalmente sobre estos planos, permitiendo analizar sus posiciones y relaciones espaciales. **2. Alfabeto del Punto** El \"alfabeto del punto\" clasifica los puntos según su posición respecto a los planos principales (PH y PV): - **Primer cuadrante:** El punto está por encima del PH y delante del PV. - **Segundo cuadrante:** Por encima del PH y detrás del PV. - **Tercer cuadrante:** Debajo del PH y detrás del PV. - **Cuarto cuadrante:** Debajo del PH y delante del PV. Cada punto se define por sus proyecciones horizontal (H) y vertical (V). **3. Diferentes Nomenclaturas Utilizadas** En geometría descriptiva, se emplean diversas notaciones para representar puntos y sus proyecciones: - **Letra mayúscula:** Representa el punto en el espacio (e.g., PPP). - **Proyección horizontal:** Se escribe como PhP\_hPh​ o simplemente P′P\'P′. - **Proyección vertical:** Se escribe como PvP\_vPv​ o P′′P\'\'P′′. - **Coordenadas:** Indican su posición en los ejes XXX, YYY, y ZZZ. - **Cota y alejamiento** **4. Representación de Puntos por Coordenadas** Un punto en el espacio se define por sus coordenadas cartesianas (X,Y,ZX, Y, ZX,Y,Z): - XXX: Distancia respecto al plano vertical. - YYY: Distancia respecto a la línea de tierra. - ZZZ: Distancia respecto al plano horizontal. Las proyecciones se obtienen eliminando una coordenada según el plano: - **Proyección horizontal:** (X,YX, YX,Y). - **Proyección vertical:** (Y,ZY, ZY,Z). **5. Proyección de Perfil del Punto** La proyección de perfil introduce un tercer plano perpendicular al PH y al PV: el **plano de perfil (PP)**. Este permite obtener una tercera proyección del punto: - **Proyección de perfil:** Se obtiene al proyectar el punto sobre el PP, mostrando su posición respecto a los ejes ZZZ y XXX. Esta proyección se utiliza para obtener una vista lateral, complementando la información de las vistas horizontal y vertical. **[Planos bisectores de los cuadrantes]** **[Clase nro 3]** **[La geometría descriptiva: ]** Estudia el espacio tridimensional y desarrolla métodos gráficos para comprender el espacio bidimensional. Tiene por finalidad llegar a la representación exacta y perfecta de los objetos y solucionar los problemas que se pueden presentar. Utilizamos las proyecciones ortogonales para plasmar las distintas formas de un cuerpo. En la arquitectura el objetivo es comprender el espacio tridimensional para poder desarrollar los distintos tipos de representaciones espaciales y composiciones armónicas mediante la compresión de los espacios generados. La resolución de problemas es por un método completamente gráfico, siguiendo un análisis de figuras simples (punto, recta y plano) a figuras más complejas (ej: prismas, pirámides, cilindros y conos) **[7 POSTULADOS IMPORTANTES: ]** - UNA RECTA CONTIENE AL MENOS 2 PUNTOS, UN PLANOO CONTIENE AL MENOS 3 PUNTOS (NO TODOS EN LA MISMA RECTA), EL VOLUMEN CONTIENE AL MENOS 4 PUNTOS (NO TODOS EN EL MISMO PLANO). - EXISTE UNA RECTA Y SOLO UNA QUE PASA POR DOS PUNTOS. - EXISTE UN PLANO Y SOLO UNO QUE PASA POR 3 PUNTOS QUE NO ESTAN EN UNA SOLA RECTA. - SI DOS PUNTOS ESTAN EN UN PLANO, ENTONCES LA RECTA QUE LOS CONTIENE SE ENCUENTRA TAMBIEN EN EL MISMO PLANO - SI DOS PLANOS DIFERENTES SE INTERSECTAN, SU INTERSECCION ES UNA RECTA. - ENTRE DOS PUNTOS EXISTE UNA DISTANICA Y SOLO UNA - A CADA ANGULO LE CORRESPONDE UNA MEDIDA EN GRADOS UNICA, MAYOR O IGUAL A 0° Y MENOR O IGUAL A 180° **[Elementos: (DEFINICIONES QUE ESTUDIAMOS EN CHING)]** - El punto - La línea - El plano - El volumen **[Sistema de proyección:]** Es un sistema por medio del cual puede ser definida la proyecccion de un objeto sobre una superficie. **[Intervienen 4 elementos: ]** - **[Objeto:]** el objeto el cual se desea representar. - **[Punto de observación]**: punto desde el cual se observa el objeto que se quiere representar. - **[Superficie de proyección:]** es la superficie sobre la cual se proyectará el objeto. - **[Proyectantes:]** son rectas imaginarias que unen los puntos del objeto con el punto observación **[AXONOMETRICA: ]** Es un sistema de representación gráfica que consistente en representar elementos geométricos o volúmenes en un plano mediante proyección ortogonal u oblicua referida a tres ejes ortogonales. **[características:]** conservan sus proporciones en cada una de las tres direcciones del espacio: altura, anchura y longitud. - **[Dos propiedades importantes que la distinguen de la perspectiva cónica:]** 1. La escala del objeto representado no depende de su distancia al observador. 2. Dos líneas paralelas en la realidad son también paralelas en su representación axonométrica. **[Este sistema se subdivide en dos principales: ]** - S. AXO. ORTOGONAL (iso, di y tri) - S. AXO. OBLICUO (cab y mili) 3. 1. 2. 1. 2. **[Proyección en múltiples vistas:]** método iso (americano y europeo). 3. **[P.]** **[Axonometrica:]** ISOMETRICA, DIMETRICA Y TRIMETRICA. 4. **[P.]** **[diedrica o de monge: ]** 5. **[P. acotadas ]** **[SISTEMA ASA Y DIM]** Dependiendo del cuadrante desde donde se mire el objeto, existen dos formas de proyección ortogonal. +-----------------------------------+-----------------------------------+ | **[2NDO CUDRANTE]** | **[1ER CUADRANTE | | | DIM]**: LA PROYECCION | | | DESDE EL 1ER CUADRANTE, SISTENA | | | EUROPEO, SEGÚN LAS NORMAS | | | INDUSTRIALES ALEMANAS [ | | | ] | +===================================+===================================+ | **[3ER CUADRANTE ASA: | **[4TO CUADRANTE]** | | ]** | | | | | | PROYECCION DESDE EL 3ER | | | CUADRANTE, SISTEMA AMERICANO, | | | SEGÚN LA ASOCIACION AMERICANA DE | | | ESTANDARES | | +-----------------------------------+-----------------------------------+ **[Poliedros: ]** **[¿Qué es una superficie poliédrica?]** - Aquellas formadas por 2 o más caras - 1 lado en común - Aristas en común: lima testa (2 caras ascendentes) o lima hoya (2 caras descendentes). - A las caras se les llaman *superficies plegadas* (caras unidas entre si). - Cada arista pertenece a 2 caras. - A cada punto (vértice) concurren al menos 3 aristas de cada cara de un poliedro. - Las aristas que concurren en un vértice conforman un ángulo espacial. **[Clasificación: ]** - **[Convexos:]** cuando una recta se intersecta únicamente en dos puntos. (una entrada y una salida del objeto). Caras regulares, iguales entre sí y con ángulo iguales menores a 360°. - **[Cóncavos (*sólidos de Kepler*):]** cuando una recta que lo intersecta lo cruza en más de 2 puntos. (entra y sale del objeto más de una vez). - **[Regulares (*sólidos platónicos)*:]** polígonos convexos, Caras regulares, iguales entre sí y con ángulo iguales menores a 360°. El centro de del cuerpo equidista de todas sus caras, existe una simetría axial. - **[Semi regulares (*sólidos de Arquímedes)*:]** son 13, también convexos. - **[Irregulares]**: superficie prismática, contiene prisma recto y prisma oblicuo. Superficie piramidal contiene la pirámide recta y pirámide oblicua. Superficie de transición o tolva. **[¿Qué es una generatriz?]**: La generatriz es la línea exterior de una superficie que al girar alrededor de un eje da lugar a un cuerpo de revolución como el cilindro o el cono. **[Cuerpos de revolución: ]** Cualquier cuerpo con simetría axial o cilíndrica es un sólido de revolución. *[Un cuerpo de revolución]* es un sólido que puede obtenerse mediante la rotación de una curva plana alrededor de una recta que está contenida en su mismo plano. Dicha recta se denomina *eje de revolución.* La superficie creada por esta rotación y que encierra el sólido se denomina *superficie de revolución*. **[Superficie de revolución cilíndrica:]** es la generada por la rotación de una línea recta, paralela al eje de rotación, alrededor del mismo; esta superficie determina un volumen denominado **[cilindro]**, que se denomina sólido de revolución; la distancia entre el eje y la recta se denomina radio. Equidista con el eje **[De no revolución:]** no es posible definir un eje que equidiste de todas las posiciones de la generatriz **[Superficie de revolución cónica;]** es generada por la rotación de una recta alrededor de un eje al cual interseca en un punto, llamado vértice o ápice, de forma que el ángulo bajo el que la generatriz corta al eje es constante; la superficie cónica delimita al volumen denominado **[cono*.*]** **[De no revolución:]** no es posible definir un eje que forme el mismo ángulo con todas las posiciones de la generatriz. **[Superficie de revolución esférica:]** está generada por la rotación de una semicircunferencia alrededor de su diámetro; ésta encierra al sólido de revolución llamado **[esfera.]** **[Superficie de revolución toroidal:]** está [ ] generada por la rotación de una circunferencia alrededor de un eje que no la interseca en ningún punto; esta superficie se denomina **[toro]**. 1. **[Superficie de simple curvatura:]** es la cual cada 2 posiciones adyacentes de la generatriz son paralelas o se cortan, son desarrollables, pueden extenderse sobre un plano. 1. **[Superficies curvas regladas:]** cilíndricas y cónicas. 2. **[Superficie de doble curvatura: ]** 2. **[Superficies de revolución:]** esférica, torica, paraboloide, hiperboloide 3. **[Superficies regladas:]** helicoide, hiperboloide (de una hoja), paraboloide hiperbólico. 4. **[Superficies NURBS.]** **[Poliedros irregulares: ]** - Superficie prismática: prisma recto y oblicuo. - Sup. Piramidal: pirámide recta y oblicua. - Sup. De transición o tolva. **[¿Qué es una superficie?]** Es una configuración geométrica que posee solo dos dimensiones. **[Tipos de superficies: ]** - **[Regladas:]** generadas por el movimiento de la generatriz en contacto con la directriz. Como indica su nombre, superficies que contienen rectas. Pueden ser: 1. **[El plano;]** generada por el movimiento de la directriz - **[De curvatura simple: ]** 2. **[Superficie cilíndrica:]** de revolución y de no revolución. 3. **[Superficie cónica:]** de revolución y de no revolución. - **[Alabeada:]** no es desarrollable, es decir, dos posiciones sucesivas de la generatriz no son coplanares. 4. **[Cilindroide:]** la generatriz se desplaza manteniéndose paralela a un plano director y apoyada sobre dos directrices. 5. **[Conoide:]** la generatriz se desplaza paralela a un plano director y apoyada sobre dos directrices (una recta y otra curva). - **[Sup. Doblemente regladas:]** en la cual por cada uno de sus puntos pasan por dos generatrices. - **[De doble curvatura:]** generadas por el movimiento de una generatriz curva. No tienen líneas rectas y por ende no son desarrollables. 6. **[Esfera:]** la generatriz es una circunferencia. 7. **[Elipsoide:]** la generatriz es una elipse. **[¿Qué son las superficies NURBS?]** Cuadricula de puntos de control puestos en direcciones U y V. El aumento del grado en la dirección U o V aumenta el número de vértices, agregando flexibilidad al igual que su complejidad. B-splines raciones no uniformes (NURBS en inglés) es solo el nombre de las matemáticas que se utilizan para crear la geometría en alias y en otros sistemas CAD. **[Superficie teselada: ]** Teselado: hace referencia a una regularidad o patrón de figuras que recubren completamente una superficie plana que cumple 2 requisitos: no quedan espacios y no se superponen las figuras. Se crean usando copias isométricas idénticas de una o diversas piezas con las que se componen figuras para cubrir por completo una superficie. Usado desde la antigüedad para crear mosaicos: - Los sumerios utilizan figuras geométricas - Arquímedes estudio los polígonos regulares que cubren el plano - Kepler estudio los polígonos regulares que cubren un plano **[¿Qué es la geometría euclidiana?]** - Aquella que estudia las propiedades geométricas del plano afín euclideo real y el espacio afín euclideo tridimensional real. - Es una parte de la geometría que trata de aquellos elementos cuyos puntos están contenidos en un plano euclideo. +-----------------------------------------------------------------------+ | Ana: que dice aca? Meta IA para niños explica asi | | | | Aquí te explico los conceptos básicos de una manera sencilla para | | niños: | | | | ¿Qué es la geometría euclidiana? | | | | La geometría euclidiana es el estudio de las formas y figuras en el | | espacio. Se enfoca en las propiedades y relaciones entre puntos, | | líneas, ángulos y figuras geométricas. | | | | Conceptos básicos | | | | 1\. Puntos: Un punto es un lugar en el espacio sin tamaño ni forma. | | | | 2\. Líneas: Una línea es un conjunto de puntos que se extienden | | infinitamente en dos direcciones. | | | | 3\. Ángulos: Un ángulo es la medida de la rotación entre dos líneas | | que se cruzan en un punto. | | | | 4\. Figuras geométricas: Las figuras geométricas son formas creadas | | por puntos, líneas y ángulos. Ejemplos: triángulos, cuadrados, | | círculos. | | | | Propiedades y relaciones | | | | 1\. Congruencia: Dos figuras son congruentes si tienen la misma | | forma y tamaño. | | | | 2\. Simetría: Una figura es simétrica si se puede dividir en dos | | partes iguales. | | | | 3\. Perímetro: El perímetro es la distancia alrededor de una figura. | | | | 4\. Área: El área es la medida del espacio interior de una figura. | | | | Ejemplos divertidos | | | | 1\. Imagina que estás construyendo un castillo de arena. La arena es | | como un punto, y cuando la apilas, creas una línea. Cuando agregas | | más arena, creas un ángulo y una figura geométrica. | | | | 2\. Piensa en un cuadrado como un jardín. El perímetro del cuadrado | | es como la cerca que rodea el jardín, y el área es como el espacio | | interior donde crecen las flores. | +-----------------------------------------------------------------------+ [ **Posturlados:** ] 8. Es posible trazar un segmento entre dos puntos dados 9. Es posible prolongar un segmento tanto como se quiera 10. Es posible construir una circunferencia si se dan, el centro y el radio de la misma 11. Todos los ángulos rectos son iguales entre si 12. Si una recta a cortar a otras dos, forma de un mismo lado ángulos internos menores que dos rectos, las prolongaciones de dichas rectas se cortaran del en que están los ángulos menores que dos rectos. Este último postulado, que es conocido como el postulado de las paralelas, fue reformulado como: 5. Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela a la recta dada. La Geometria elíptica, también llamada geometría de rieman no riemanniana (dada una recta y un punto exterior a ella, no existe ninguna recta que pase por el punto y sea paralela a la recta dada) La geometria hiperbólica o de lobachevsky (dada una recta, existen varias rectas paralelas que pasan por un mismo punto exterior a esta). Puesto que ambas geometrías son consistentes, se deduce que el quinto postulado es, en efecto, un postulado que no puede deducirse de los otros cuatro. Estas geometrías, en las que el quinto postulado no es válido, se llaman geometrías no euclidianas. No euclidianas: (curvas cerradas positivas y sumatoria de los ángulos internos del triangulo menores a 180°) **[Limitaciones: ]** - No es posible estudiar un espacio tridimensional donde no se cumpla el quinto postulado - Einstein no podía estudiar el espacio tiempo con la euclidiana por que el espacio tiempo no es necesariamente lineal **[geometría analítica: ]** La geometría analítica se originó en el siglo XVII con René Descartes, quien la presentó en su obra \"Discurso del método\" (1637). Sin embargo, hay controversia sobre la paternidad de este método, ya que otros matemáticos como Pierre de Fermat y Omar Khayyam también trabajaron en ideas similares. La geometría analítica se desarrolló posteriormente y se convirtió en una herramienta fundamental en la matemática. Sin embargo, con el tiempo, la disciplina se fue superando y dando paso a nuevas áreas como la geometría diferencial y la geometría algebraica. El término \"geometría analítica\" se utilizó originalmente para describir el método de Descartes, pero posteriormente se amplió para incluir todo el desarrollo posterior de la geometría basada en coordenadas y funciones. *la geometría analítica* es una rama de las matemáticas que estudia las figuras geométricas y sus propiedades utilizando técnicas del análisis matemático y el álgebra en un sistema de coordenadas. Su desarrollo histórico comenzó con la geometría cartesiana y continuó con la geometría diferencial y la geometría algebraica. La geometría analítica tiene múltiples aplicaciones en matemáticas, ingeniería, administración y logística.