Rappel_Algebre 6 PDF

Chapitre 1 Groupes I Rappels I.1 Factorisation d'une Application Dénitions I.1.1. 1. Soit R une relation binaire sur un ensemble E. R est dite une relation d'équivalence sur E si les propriétés suivantes so...

Chapitre 1 Groupes I Rappels I.1 Factorisation d'une Application Dénitions I.1.1. 1. Soit R une relation binaire sur un ensemble E. R est dite une relation d'équivalence sur E si les propriétés suivantes sont vériées :  R est reexive i.e. ∀x ∈ E : xRx  R est symétrique i.e. ∀x, y ∈ E : xRy =⇒ yRx  R est transitive i.e. ∀x, y, z ∈ E : xRy et yRz =⇒ xRz 2. Soit R une relation d'équivalence sur l'ensemble non vide E.  Pour tout élément x de E, l'ensemble {y ∈ E/xRy} est appelé classe d'équiva- lence de x suivant R. On la note x̄ (ou ẋ ou encore cl(x)) et le sous-ensemble de P (E), constitué par les classes d'équivalence suivant R s'appelle ensemble quotient de E par R, on le note E/R. Proposition I.1.1. Soit E un ensemble non vide et R une relation d'équivalence sur E , alors :  (i) x̄ 6= ∅, ∀x ∈ E,  (ii) ∀x, y ∈ E, x̄ = ȳ ⇐⇒ x ∈ ȳ ⇐⇒ y ∈ x̄ ⇐⇒ xRy,  (iii) l'ensemble quotient E/R est une partition de E. Preuve. 1. (iii)  ∀x ∈ E, x 6= ∅ (D'après la réexivité de R)  ∀x, y ∈ E, si z ∈ x∩y alors xRz et zRy, d'où xRy, et d'après (ii), x = y ; ainsi, x ∩ y 6= ∅ ⇒ x = y 1   ∀x ∈ E, x ∈ x, d'où E = S x∈E/R x. Soit R une relation d'équivalence sur E, d'après ce qui précède pour tout x ∈ E, il existe un élément X unique de E/R tel que x ∈ X , X n'est autre que la classe de x suivant R. On pose X = x. L'application p : E −→ E/R x 7−→ x s'appelle l'application (ou la projection) canonique. Proposition I.1.2. Soit R une relation d'équivalence sur l'ensemble non vide E et p : E → E/R l'application canonique. Si f : E → F est une application telle que f est constante sur les classes d'équivalence suivant R, alors il existe une application f¯ : E/R → F unique telle que : f¯ ◦ p = f. Preuve. Soit x ∈ E/R, comme f est constante sur les classes, ∀y ∈ x, f (y) = f (x). On considère alors f : E/R → F x 7→ f (x) = f (x) La valeur ne dépend que de x et non du représentant particulier x de x. Ainsi, f f (x) est bien dénie et par construction on a f ◦ p = f. Pour l'unicité : si g est une application de E/R → F telle que g ◦ p = f alors ∀x ∈ E, g ◦ p(x) = f (x) = f ◦ p(x) d'où f (x) = g(x), ∀x ∈ E/R. Proposition I.1.3. Soit f : E → F une application et R la relation binaire sur E dénie par xRy ⇐⇒ f (x) = f (y) alors R est une relation d'équivalence sur E ; Si j : f (E) → F désigne l'injection canonique il existe une application unique f : E/R → f (E) telle que j ◦f ◦p = f , de plus f est bijective. La décomposition f = j ◦f ◦p s'appelle la décomposition (ou la factorisation) canonique de f. Cours d'Algèbre 6 - SMA - Pr. F.Erraji - Année 2021 2 Chapitre1. Groupes 3 Preuve. Soit f1 : E → f (E) x 7→ f1 (x) = f (x) f1 est une application constante sur les classes d'équivalence suivant R. D'après la pro- position précédente, il existe une application unique f : E/R → f (E) telle que f ◦ p = f , et par suite j ◦ f ◦ p = j ◦ f = f. 1 Il reste à montrer que f est bijective. Soit y ∈ f (E), il existe donc x ∈ E tel que 1 y = f (x). Or, f (x) = f (x) = y , ce qui prouve que f est surjective. Soit x, y ∈ E/R tel que f (x) = f (y) d'où f (x) = f (y) et donc xRy. Ainsi, x = y, donc f est injective. I.2 Lois de Composition Interne sur un Ensemble Dénitions et Propriétés I.2.1. 1. Une loi de composition interne sur un ensemble E est une application de E × E dans E. On la note souvent + ou · ou ∗ ou > ou ⊥. Soit ∗ une loi de composition interne sur E, l'image de (x, y) par ∗ sera désignée par x ∗ y et appelé le composé de x et y par ∗. 2. Soit ∗ une loi de composition interne sur un ensemble E et F une partie de E. On dit que F est stable par la loi ∗ si ∀(x, y) ∈ F × F, x ∗ y ∈ F. Dans ce cas, la restriction de l'application ∗ à F , notée ∗/F : ∗/F : F × F → F (x, y) 7→ x ∗ y est une loi de composition interne sur F appelée loi induite par ∗ sur F. 3. Soit ∗ une loi de composition interne sur un ensemble E et R une relation d'équi- valence sur E. La relation R est dite compatible avec la loi ∗ si ∀x, y, x , y ∈ E : 0 0 (xRx 0 et yRy ) ⇒ x ∗ y R x ∗ y 0 0 0 Dans ce cas, la correspondance ∗ : E/R × E/R → E/R dénie par x ∗ y = x ∗ y est une loi de composition interne sur E/R, appelée loi quotient sur E/R, induite par celle de E. Cours d'Algèbre 6 - SMA - Pr. F.Erraji - Année 2021 3  En eet, soit (x, y), (x , y ) ∈ E/R×E/R ; si (x, y) = (x , y ) alors x = x et y = y et 0 0 0 0 0 0 donc xRx et yRy et d'après la compatibilité de R avec la loi on obtient x∗y R x ∗y 0 0 0 0 et donc x ∗ y = x ∗ y i.e. x ∗ y = x ∗ y. 0 0 0 0 4. Soit ∗ une loi de composition interne (L.C.I.) sur E.  ∗ est dite commutative si ∀x, y ∈ E, x ∗ y = y ∗ x  ∗ est dite associative si ∀x, y, z ∈ E, (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z)  un élément e de E est dit neutre à droite (resp. à gauche) pour la loi ∗ si ∀x ∈ E, x ∗ e = x (resp. ∀x ∈ E, e ∗ x = x). e est dit neutre pour ∗ s'il est à la fois neutre à gauche et à droite pour ∗, i.e. ∀x ∈ E, x ∗ e = x = e ∗ x. Remarque. Si e est un élément neutre de E pour ∗ alors e est l'unique élément neutre. En eet, si e est un autre élément neutre on aura : e ∗ e = e, mais 0 0 aussi e ∗ e = e d'où e = e. 0 0 0  Soit ∗ une L.C.I. sur E et e l'élément neutre de E pour ∗. Soit x ∈ E. On appelle symétrique à gauche (resp. à droite) de x, tout élément x ∈ E tel 0 que : x ∗ x = e (resp. x ∗ x = e) et on appelle symétrique de x tout élément 0 0 x ∈ E qui est symétrique à gauche et à droite de x. Un élément x ∈ E est 0 dit symétrisable s'il admet un symétrique par rapport à ∗, i.e. ∃x ∈ E tel que 0 x ∗ x = x ∗ x = e. Un élément est dit idempotent si x ∗ x = x. 0 0 Si ∗ est une L.C.I. sur E associative et e l'élément neutre et si x ∈ E admet un symétrique y à gauche (y ∗ x = e) et un symétrique z à droite (x ∗ z = e) alors y = z car y = y ∗ e = y ∗ (x ∗ z) = (y ∗ x) ∗ z = e ∗ z = z. Cet élément y ∈ E vérie donc y ∗ x = x ∗ y = e et il est le seul à les vérier. Donc, x admet un symétrique et un seul (qui est aussi l'unique symétrique à gauche et l'unique symétrique à droite). I.3 Notion de Groupe Dénitions I.3.1. Soit G un ensemble non vide muni d'une L.C.I. notée T. On dit que (G, T ), (par abus que G), est un groupe si on a les propriétés suivantes :  T est associative  il existe dans G un élément neutre e pour T  tout élément de G est symétrisable. Si de plus la loi T est commutative, le groupe (G, T ) est dit abélien ou commutatif. Lorsque le cardinal de l'ensemble G est ni et égal à n, on dit que le groupe (G, T ) est ni d'ordre n, noté |G| = n. Cours d'Algèbre 6 - SMA - Pr. F.Erraji - Année 2021 4 Chapitre1. Groupes 5 Remarques.  Si (G, T ) est un groupe, le symétrique d'un élément quelconque de G est unique et l'application : G → G x 7→ x −1 est bijective.  Si G est un ensemble non vide muni d'une L.C.I. associative notée T , alors : (G, T ) est un groupe (i)− ∃e ∈ G / ∀x ∈ G : xT e = x ⇐⇒ (ii)− ∀x ∈ G, ∃x0 ∈ G : xT x0 = e de même (G, T ) est un groupe ⇐⇒ (i)− ∃e ∈ G / ∀x ∈ G : eT x = x (ii)− ∀x ∈ G, ∃x ∈ G 0 0 : x Tx = e (à montrer!) Exemples. 1. Les ensembles Z, Q, R, C munis de l'addition usuelle sont des groupes abéliens. Il en est de même pour Q , R , C munis de la multiplication. ∗ ∗ ∗ 2. Soit E un ensemble non vide. L'ensemble des bijections de E sur E muni de la composition usuelle des applications est un groupe. Lorsque E = {1, 2, · · · , n} ce groupe est noté (S , ◦) ou (S , ·) et |S | = n!. Si n ≥ 3, S n'est pas abélien. n n n n 3. Soit X un ensemble non vide et (G, T ) un groupe. On munit l'ensemble G des X applications de X dans G de la loi ∗ dénie par : (f ∗ g)(x) = f (x)T g(x), ∀x ∈ X est un groupe. (GX , ∗) 4. Pour tout n ≥ 1, l'ensemble GL (K) (K = R ou C) des matrices carrées d'ordre n inversibles à coecients dans K muni de la multiplication est un groupe. n Conventions de Notations et Propriétés On convient généralement de noter la loi de composition interne d'un groupe G quel- conque soit multiplicativement soit additivement. On réserve la notation additive aux groupes abéliens. Dans le premier cas, le composé de deux éléments x et y est noté x·y ou tout simplement xy et appelé produit de x et y. Le symétrique d'un élément x ∈ G est appelé son inverse et noté x. On a la pro- −1 priété : ∀x, y ∈ G, (x · y)−1 = y −1 ·x−1 Soit n ∈ Z et x ∈ G. On dénit x par : n · · · x} = xxn−1 xn = |x·x{z si n≥1 n f ois Cours d'Algèbre 6 - SMA - Pr. F.Erraji - Année 2021 5 et par convention : x0 = e, xn = (x−1 )−n = (x−n )−1 ∀n ≤ −1 Dans le cas additif, le composé de deux éléments de G est noté x + y et appelé somme de x et y. L'élément neutre de G est noté 0. Le symétrique d'un élément x ∈ G s'appelle son opposé et est noté −x. Soit n ∈ Z et x ∈ G. De façon analogue, on dénit nx par : nx = x | +x+ {z· · · + x} si n ≥ 1 n f ois et par convention 0x = 0 et nx = (−n)(−x) = −(−nx), ∀n ≤ −1. Propriété I.3.1. Soit (G, ·) un groupe et a ∈ G. On note τ (resp. δ ) la translation à gauche (resp. à droite) par a, l'application de G → G dénie par : τ (x) = ax (resp. a b δ (x) = xa) pour tout x ∈ G. On a alors : a a  (i) ∀a, b ∈ G, τ ◦ τ = τ et δ ◦ δ = δ , a b ab a b ba  (ii) ∀a ∈ G, τ et δ sont bijectives, a a  (iii) tout élément de G est régulier,  (iv) l'élément neutre est le seul élément idempotent de G. Preuve.  (i) Soit a, b ∈ G. ∀x ∈ G, τ ◦ τ (x) = τ (τ (x)) = τ (bx) = a(bx) = (ab)x = τ (x) et δ ◦ δ (x) = (xb)a = x(ba) = δ (x) a b a b a ab a b ba  (ii) Soit a ∈ G. D'après (i), on a τ ◦τ a =τ = Id et τ ◦ τ = τ a−1 aa−1 = Id , G a−1 a a−1 a G donc τ est bijective et (τ ) = τ. De même, on a (δ ) = δ. a a −1 a−1 a −1 a−1  (iii) Soit a ∈ G. D'après l'injectivité de τ et δ on a ∀x, y ∈ G : a a (τ (x) = τ (y) ⇒ x = y) et (δ (x) = δ (y) ⇒ x = y) i.e. (ax = ay ⇒ x = y) et (xa = ya ⇒ x = y) a a a a donc a est régulier.  (iv) En particulier, pour tout x ∈ G : x·x = x ⇔ x·x = x·e ⇒ x = e. Cours d'Algèbre 6 - SMA - Pr. F.Erraji - Année 2021 6 Chapitre1. Groupes 7 I.4 Homomorphismes de Groupes Dénitions I.4.1. Soit G et G deux groupes. On appelle homomorphisme de G dans G , 0 0 une application f de G dans G , telle que : 0 ∀x, y ∈ G, f (xy) = f (x)f (y) On note Hom(G, G ) l'ensemble des homomorphismes de G dans G. 0 0 Si f ∈ Hom(G, G ) et f est surjective (resp. f est injective), f est dite un épimor- 0 phisme (resp. monomorphisme). On dit que f ∈ Hom(G, G ) est un isomorphisme de groupes si f est bijective. 0 S'il existe un isomorphisme de G sur G , on dit que les groupes G et G sont isomorphes 0 0 et on note G ∼= G. 0 Un homomorphisme de G dans lui-même est appelé endomorphisme de G. On note End(G) l'ensemble des endomorphismes de G. On appelle un automorphisme de G, un isomorphisme de G sur lui-même. L'ensemble des automorphismes est noté Aut(G). Propriétés I.4.1. Soit G et G deux groupes d'éléments neutres e et e. Si f est un 0 0 homomorphisme de G vers G alors : 0  (1) f (e) = e0  (2) f (x ) = (f (x)) , ∀x ∈ G −1 −1  (3) ∀k ∈ Z, ∀x ∈ G, f (x ) = (f (x)) k k  (4) Si de plus f est bijective, i.e. si f est un isomorphisme de G dans G alors f 0 −1 la réciproque de f est aussi un isomorphisme de G dans G. En eet, ∀x, y ∈ G : 0 f −1 (xy) = f −1 (f ◦ f −1 (x)·f ◦ f −1 (y)) = f −1 (f (f −1 (x))·f (f −1 (y))) = f −1 (f (f −1 (x)·f −1 (y))) = f −1 ◦ f (f −1 (x)·f −1 (y)) = f −1 (x)·f −1 (y) Exemples.  Soit G et G deux groupes d'éléments neutres e et e respectivement. 0 0 f0 : G −→ G0 x 7−→ e0 est un homomorphisme appelé homomorphisme nul. Cours d'Algèbre 6 - SMA - Pr. F.Erraji - Année 2021 7   Soit G un groupe et a ∈ G. L'application : σa : G −→ G x 7−→ axa−1 est un automorphisme de G appelé automorphisme intérieur déterminé par a. (σ ) = σ. En eet, on remarque que σ = τ ◦ δ donc, σ est bijective. C'est −1 un homomorphisme car : a a−1 a a a a ∀x, y ∈ G, σa (xy) = axya−1 = axa−1 aya−1 = axa−1 aya−1 = σa (x)σa (y)  On considère le groupe (Z, +) et un groupe G noté multiplicativement d'élément neutre e. Soit x ∈ G. L'application : f : Z −→ G k 7−→ xk f est un homomorphisme de groupes (voir TD). Proposition I.4.1. Soit G, G et G trois groupes. Si f : G −→ G et g : G −→ G sont 0 00 0 0 00 deux homomorphismes alors la composée g ◦ f : G −→ G est un homomorphisme. 00 Corollaire I.1. L'ensemble des automorphismes d'un groupe G, muni de la composition est un groupe. Preuve. On sait que la composition est une L.C.I. sur l'ensemble des applications de G dans G qui est associative et admet Id comme élément neutre. Il résulte de la pro- position précédente et du fait que la composition de deux bijections est une bijection G que Aut(G) est stable par la composition, et par suite, la composition sur l'ensemble des automorphismes est une L.C.I., associative et admet Id comme élément neutre car Id ∈ Aut(G). Finalement, d'après la propriété I.4.1 précédente, pour tout f ∈ Aut(G) G on a f ∈ Aut(G) donc tout élément de Aut(G) est symétrisable. G −1 I.5 Groupes Quotients Proposition et Dénition I.5.1. Soit G un groupe noté multiplicativement et d'élé- ment neutre e. Soit R une relation d'équivalence sur G compatible avec la loi ” · ” de G. L'ensemble quotient G/R muni de la loi "·" dénie par : x · y = x·y, ∀x, y ∈ G/R a alors la structure d'un groupe appelé groupe quotient. Preuve. D'après §2., il résulte du fait que "·" est une L.C.I. sur G et R est une relation d'équivalence sur G compatible avec la loi "·", que "·" est une L.C.I. sur G/R. Les autres propriétés de la loi quotient de G/R découlent de celles vériées par la loi de G. Cours d'Algèbre 6 - SMA - Pr. F.Erraji - Année 2021 8 Chapitre1. Groupes 9 Remarque.  La loi quotient induite par celle de G est l'unique L.C.I sur G/R telle que la surjection canonique p : G −→ G/R soit un homomorphisme de groupes.  Si G est abélien alors G/R l'est aussi. Exemple. On considère le groupe (Z, +). Soit n ∈ N et R la relation de congruence ∗ modulo n sur Z (on rappelle que x est congru à y modulo n et on écrit x ≡ y[n] si x − y est divisible par n, autrement dit si x − y ∈ nZ), alors Z/R muni de la loi + est un groupe abélien qu'on note Z/nZ. Exercice 1. Montrer que Z/nZ = {0, 1, 2, · · · , n − 1}. En conclure que le groupe (Z/nZ, +) est d'ordre n. Dans la suite on utilisera la même notation pour la loi quotient (·) induite par la loi de G et la loi de G. I.6 Produit Direct de Groupes Proposition I.6.1. Soit (G1 , ·) et (G2 , ·) deux groupes. On dénit sur l'ensemble G1 × G2 la loi : ∀(x1 , x2 ), (y1 , y2 ) ∈ G1 × G2 : (x1 , x2 ) · (y1 , y2 ) = (x1 ·y1 , x2 ·y2 ) On a alors :  (i) (G × G , ·) est un groupe appelé groupe produit direct de G et G , 1 2 1 2  (ii) les projections canoniques : p : G × G −→ G et 1 1 p : G × G −→ G 2 1 2 1 2 2 (x1 , x2 ) 7−→ x1 (x1 , x2 ) 7−→ x2 sont des épimorphismes de groupes. Preuve.  (i) La loi "·" est une L.C.I. sur G × G 1 2  (ii) l'associativité de la loi de G × G découle de l'associativité de la loi de G et de celle de G. 1 2 1 On vérie aisément que (e , e ) est l'élément neutre de G × G pour la loi et que tout 2 élément (x , x ) ∈ G × G est symétrisable : (x , x ) = (x , x ). 1 2 1 2 −1 −1 −1 1 2 1 2 1 2 1 2 Remarque.  G × G est abélien si et seulement si G et G le sont, 1 2 1 2  le produit direct G × G est isomorphe au groupe produit direct G × G , 1 2 2 1 Cours d'Algèbre 6 - SMA - Pr. F.Erraji - Année 2021 9   plus généralement : si (G ) est une famille de groupes, l'ensemble i i∈I Π Gi = {(xi )i∈I / ∀i ∈ I, xi ∈ Gi } i∈I muni de la loi : (xi )·(yi ) = (xi yi ) ∀(xi ), (yi ) ∈ Π Gi alors, ( Π G , ·) est un groupe appelé groupe produit. i∈I i i∈I I.7 Sous-groupes Dénition I.7.1. Soit H une partie non vide d'un groupe G. H est dit sous-groupe de G et noté H ≺ G si H est stable par la loi de G et si H muni de la loi induite par celle de G est un groupe. Exemples.  Z est un sous-groupe de (R, +).  Aut(G) ≺ B(G) où G est un groupe.  Q est un sous-groupe de (R , ·) ∗ ∗ Proposition I.7.1. Soit H une partie d'un groupe G. H est un sous-groupe si et seule- ment si :  (i) H 6= ∅,  (ii) ∀x, y ∈ H, xy ∈ H  (iii) ∀x ∈ H, x ∈ H. −1 Remarque.  (i) et (ii) ⇔ ∀x, y ∈ H, xy ∈ H , −1  Tout groupe admet toujours au moins pour sous-groupes {e} et G,  Tout sous-groupe d'un groupe abélien est lui-même abélien,  Si H est un sous-groupe de G et si K est un sous-groupe de H alors K est un sous-groupe de G.  Soit H et K deux sous-groupes de G. L'intersection de H et K , H ∩ K , est un sous-groupe de G. D'une manière générale, si (H ) est une famille quelconque de sous-groupes de G, alors T H est un sous-groupe de G. i i∈I i∈I i H ∪ K est un sous-groupe de G si et seulement si H ⊂ K ou K ⊂ H. On désigne par HK le sous-ensemble de G formé des éléments qui s'écrivent comme le produit d'un élément de H par un élément de K : HK = {hk /h ∈ H, k ∈ K}. HK est un sous-groupe de G si et seulement si HK = KH. (à mon- trer !). Cours d'Algèbre 6 - SMA - Pr. F.Erraji - Année 2021 10 Chapitre1. Groupes 11 Exercice 2. Montrer que tout sous-groupe de Z est de la forme nZ où n ∈ N. Proposition I.7.2. Soit G et G0 deux groupes d'éléments neutres e et e0 respectivement. Soit f un homomorphisme de G dans G. 0  (i) Si H est un sous-groupe de G alors f (H) est un sous-groupe de G. En particulier, 0 f (G) est un sous-groupe de G appelé image de f et noté Im(f ).  (ii) Si H est un sous-groupe de G alors f (H ) est un sous-groupe de G. En 0 0 −1 0 particulier, f ({e }) est un sous-groupe de G. −1 0 f −1 ({e0 }) = {x ∈ G / f (x) = e0 } est appelé noyau de f et noté Ker(f ).  (iii) f est injectif ⇔ Ker(f ) = {e} Preuve. Exercice! Exercice 3. Soit G et G deux groupes. Soit f ∈ Hom(G, G ) et A une partie de G. 0 0 Montrer que f −1 (f (A)) = AKer(f ) = Ker(f )A en notation multiplicative = A + Ker(f ) = Ker(f ) + A en notation additive Proposition I.7.3. Soit f : G → G un homomorphisme de groupes et R la relation 0 d'équivalence sur G dénie par xRy ⇐⇒ f (x) = f (y) alors R est compatible avec la loi de G et l'ensemble quotient G/R muni de la loi quotient est un groupe; Si j : f (G) → G désigne l'injection canonique et p : G → G/R la surjection canonique, il existe un 0 homomorphisme unique f : G/R → Im(f ) tel que j ◦ f ◦ p = f , de plus f est bijective (f est un isomorphisme de groupes). Preuve. R est une relation d'équivalence compatible avec la loi de G, d'après l'homomor- phisme de f , et par suite G/R muni de la loi quotient est un groupe. Par ailleurs, d'après la décomposition de l'application f , il existe une application unique f : G/R → Im(f ) tel que j ◦ f ◦ p = f. De plus f est bijective. Il reste à montrer que f est un homomorphisme, sachant que j, p et f sont des homo- morphismes de groupes. Soit x, y ∈ G/R. j ◦ f (x y) = j ◦ f (xy) = j ◦ f ◦ p(xy) = f (xy) = f (x)f (y) = j ◦ f ◦ p(x) · j ◦ f ◦ p(y) = j ◦ f (x) · j ◦ f (y) = j(f (x)) · j(f (y)) = j(f (x)f (y)) Cours d'Algèbre 6 - SMA - Pr. F.Erraji - Année 2021 11 Et d'après l'injectivité de j, on conclut que f (x y) = f (x)f (y). Corollaire I.2. Soit f : G → G un homomorphisme de groupes et R la relation binaire 0 sur G dénie par xRy ⇐⇒ xy ∈ Ker(f ) alors R est une relation d'équivalence compa- −1 tible avec la loi de G et l'ensemble quotient G/R noté G/Ker(f ) muni de la loi quotient est un groupe isomorphe à Im(f ). Produit Direct de deux Sous-groupes Dénition I.7.2. Soit G un groupe, H et K deux sous-groupes de G. On dit que G est le produit direct (interne) de H par K lorsque les trois conditions suivantes sont vériées : (1) : G = HK ; (2) : H ∩ K = {e} ; (3) : ∀h ∈ H, ∀k ∈ K, hk = kh. Il est clair qu'alors, ona aussi G = KH et que G est  donc leproduit direct de K par H. 1 0 c 1 0 0 Exemple. Soit G = {0 1 b / b, c ∈ R}, H = {0 1 b     / b ∈ R}, 0 0 1 0 0 1   1 0 c K = {0 1 0 / c ∈ R}   est un sous-groupe de GL (R), H et K sont des sous-groupes de G, et G est le 0 0 1 G produit direct de H par K. 3 Remarques. Soit G un groupe et H, K deux sous-groupes de G.  (a) Si H ∩ K = {e}, tout élément de HK s'écrit de façon unique sous la forme hk avec h ∈ H, k ∈ K.  (b) Si H ∩K = {e} et si H et K sont nis alors HK est ni et card(HK) = |H||K|.  (c) Si G est le produit direct interne de H par K alors G est isomorphe au groupe produit H × K. En eet, (a) : si h k = h k avec h , h ∈ H et k , k ∈ K , on a h h = k k. Le −1 −1 premier produit est dans H puisque H est un sous-groupe, et le second est dans K puisque 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 K est un sous-groupe. Donc h h = k k ∈ H ∩ K , c'est-à-dire h h = k k = e, et −1 −1 −1 −1 donc h = h et k = k. 2 1 2 1 2 1 2 1 (b) : il résulte du point précédent que H ×K est alors équipotent à HK , par la bijection 2 1 2 1 (h, k) 7→ hk. Proposition I.7.4. Soit G et G deux groupes d'élément neutre e et e respectivement, et G = G × G leur produit direct. On pose : H = G × {e } et K = {e } × G. Alors, 1 2 1 2 H est un sous-groupe de G isomorphe à G , K est un sous-groupe de G isomorphe à G , 1 2 1 2 1 2 et G est le produit direct interne de ces sous-groupes, H et K. 1 2 Cours d'Algèbre 6 - SMA - Pr. F.Erraji - Année 2021 12 Chapitre1. Groupes 13 Les notions de produit direct de deux groupes et de produit direct interne de deux sous-groupes d'un groupe sont en fait deux formulations d'une même notion. Sous-groupe Engendré par une Partie Dénition I.7.3. Soit A une partie d'un groupe G. L'intersection de tous les sous-groupes de G qui contiennent A est appelée le sous-groupe engendré par A dans G et noté < A >. Si A = {a , a , · · · , a } est une partie nie de G, on note < A >=< a , a , · · · , a > et on dit que c'est un sous-groupe de type ni. 1 2 n 1 2 n Soit a ∈ G. Le sous-groupe engendré par le singleton {a}, noté < a >, s'appelle sous groupe monogène ou cyclique engendré par a. Exemple. < ∅ >= {e} ; < G >= G Proposition I.7.5. Soit G un groupe et A une partie de G. Le sous-groupe engendré par A est le plus petit sous-groupe (pour l'inclusion) de G contenant A. Preuve. Soit C l'ensemble des sous-groupes de G contenant A, on a < A >= H, T donc A ⊂< A > et < A >∈ C. Par ailleurs, ∀H ∈ C :< A >⊂ H. Donc < A > est le plus H∈C petit sous-groupe de G contenant A. Proposition I.7.6. Soit G un groupe et A une partie non vide de G. Alors, 1 2 / n ∈ N , ∀i ∈ {1, 2, · · · , n}, x ∈ A et  = ±1 n ∗  < A >= x x · · · x 1 2 n i i En particulier, < a >= {a / k ∈ Z}. k Remarque. L'égalité ci-dessus peut s'écrire aussi :  ∗ < A >= x x · · · x / n ∈ N , ∀i ∈ {1, 2, · · · , n}, x ∈ A ∪ A 1 2 n où A = i −1 −1 x−1  / x∈A. Preuve. On pose H = x11 x22 · · · xnn  / n ∈ N∗ , ∀i ∈ {1, 2, · · · , n}, xi ∈ A et  = ±1 i On montre que H est un sous-groupe de G contenant A. A est non vide, soit alors x ∈ A, e = xx ∈ H d'où H 6= ∅. −1 Soit h , h ∈ H , h = Π x où n ∈ N , ∀i ∈ {1, 2, · · · , n}, x ∈ A et  = ±1 1 2 i ∗ 1 i i i h = Π y où m ∈ N , ∀j ∈ {1, 2, · · · , m}, y ∈ A et α = ±1 1≤i≤n αj ∗ 2 j j On a alors, d'une part : j 1≤j≤m h h = Π x Π y ∈ H , par dénition de H. i αj 1 2 i j 1≤i≤n 1≤j≤m Cours d'Algèbre 6 - SMA - Pr. F.Erraji - Année 2021 13 D'autre part,
−1
−1 − −2 −1 h−1 1 = Π xi i = x11 x22 · · · xnn = x− n n−1 n xn−1 · · · x2 x1 ∈H 1≤i≤n Ainsi, H est un sous-groupe de G. Et ∀x ∈ A, x = x ∈ H d'où A ⊂ H , donc H est 1 un sous-groupe de G contenant A et par conséquent < A >⊂ H. Inversement, soit h ∈ H donc ∃n ∈ N , ∃x , · · · , x ∈ A tel que h = Q x avec ∗ n i  = ±1. Comme A ⊂< A > donc ∀i ∈ {1, · · · , n}, x ∈< A > et d'après la stabilité de 1 n i=1 i < A > par la loi et par l'inverse, on conclut que h ∈< A > d'où H ⊂< A >. Conclusion i i H =< A >. Remarques.  < e >= {e}  si H et H sont deux sous-groupes de G, 1 2 n ∈ N∗ , ∀i ∈ {1, · · · , n},  < H1 ∪ H2 >= x1 x2 · · · xn / xi ∈ H1 ∪ H2 Si de plus H H = H H alors < H ∪ H >= H H. 1 2 2 1 1 2 1 2  si G est un groupe dont la loi est additive, ∀x ∈ G, < x >= {kx /k ∈ Z}. On considère le groupe (Z, +), on a alors ∀p ∈ Z , < p >= {kp /k ∈ Z} = |p|Z. ∗ Proposition I.7.7. Soit f : G → G un homomorphisme de groupes. Si A est une 0 partie non vide de G alors f (< A >) =< f (A) >. En particulier, si A est de type ni, alors f (< A >) est un sous-groupe de type ni. L'image d'un groupe de type ni par un homomorphisme de groupes est un groupe de type ni. Preuve. < f (A) >⊂ f (< A >) car A ⊂< A > et < f (A) > est le plus petit sous-groupe contenant f (A). Réciproquement, soitQy ∈ f (< A >), ∃x ∈< A > telQque y = f (x), donc, ∃n ∈ N , ∃x , · · · , x ∈ A tel que x = ∗ x où  = ±1 et y = f ( n i x ). n i Il résulte de l'homomorphisme de f que y = f (x ) avec f (x ) ∈ f (A) et  = 1 n i=1 i i i=1 i Q n i ±1, ∀1 ≤ i ≤ n. Ce qui prouve que y ∈< f (A) >. i=1 i i i II Ordre d'un Elément et Groupe Cyclique II.1 Ordre d'un Elément Dénition II.1.1. Soit G un groupe et a un élément de G.  (i) On dit que a est d'ordre inni dans G si le sous-groupe de G engendré par a, < a >, est inni.  (ii) Si < a > est ni, on dit que a est d'ordre ni et | < a > |, i.e. le cardinal de < a > s'appelle l'ordre de a et on le note o(a). Cours d'Algèbre 6 - SMA - Pr. F.Erraji - Année 2021 14