Mathématiques : Rappels sur les groupes

Une relation binaire sur un ensemble qui est réflexive, symétrique et transitive.

L'ensemble de tous les éléments liés à un élément donné par une relation d'équivalence.

L'ensemble des classes d'équivalence d'un ensemble par rapport à une relation d'équivalence.

L'application qui associe à chaque élément de l'ensemble original sa classe d'équivalence.

Une fonction qui produit la même sortie pour tous les éléments d'une même classe d'équivalence.

Une collection de sous-ensembles disjoints qui couvre tout l'ensemble.

L'ensemble des éléments liés à x par la relation d'équivalence R.

La fonction sur E/R qui correspond à f sur E, lorsque f est constante sur les classes d'équivalence.

Ensemble G avec une opération * qui satisfait les propriétés d'associativité, d'existence d'élément neutre, et d'existence d'inverse pour chaque élément.

Élément dans un groupe (G,*) qui, lorsqu'il est combiné avec n'importe quel autre élément du groupe, ne change pas la valeur de cet élément.

Un élément du groupe G qui, lorsqu'il est combiné avec celui-ci, produit l'élément neutre.

L'opération qui combine deux éléments x et y dans un groupe, et qui est notée multiplicativement.

L'opération qui combine deux éléments x et y dans un groupe, et qui est notée additivement.

Fonction qui déplace chaque élément d'un groupe G vers la gauche d'une certaine quantité.

Fonction qui déplace chaque élément d'un groupe G vers la droite d'une certaine quantité.

Ensemble des matrices carrées d'ordre n et inversibles à coefficients dans K (K = R ou C).

Une application entre deux groupes qui préserve la structure de groupe.

Un homomorphisme bijectif de G vers G0 qui assure que G et G0 sont 'structurament identiques'.

Un homomorphisme d'un groupe dans lui-même.

Un isomorphisme d'un groupe vers lui-même.

L'application qui envoie tous les éléments d'un groupe sur l'élément neutre de l'autre groupe.

L'image de l'élément neutre d'un groupe par un homomorphisme est l'élément neutre de l'autre groupe.

L'image de l'inverse d'un élément est l'inverse de l'image de l'élément.

L'image d'une puissance d'un élément est la puissance de l'image de l'élément.

L'ensemble de toutes les images des éléments du groupe de départ par l'homomorphisme.

L'ensemble des éléments du groupe de départ qui sont envoyés sur l'élément neutre du groupe d'arrivée par l'homomorphisme.

Un homomorphisme est injectif si et seulement si son noyau est réduit à l'élément neutre.

L'ensemble des éléments du groupe de départ qui sont envoyés sur un élément de l'image de A par l'homomorphisme.

L'ensemble des éléments obtenus en multipliant chaque élément de A par un élément du noyau de f.

Une relation d'équivalence sur un groupe qui préserve l'opération de groupe.

Un groupe obtenu en divisant un groupe par une relation d'équivalence compatible.

Un groupe formé en combinant des éléments de plusieurs groupes, où chaque élément est une séquence d'éléments provenant de chaque groupe, et l'opération est effectuée composante par composante.

Un ensemble non vide d'un groupe qui est fermé sous l'opération du groupe et contient l'inverse de chacun de ses éléments.

H est un sous-groupe de G.

Une propriété d'un sous-groupe qui garantit que la combinaison de deux éléments du sous-groupe reste dans le sous-groupe.

L'ensemble des éléments qui appartiennent à tous les sous-groupes d'une famille, et qui est lui-même un sous-groupe.

Condition pour que HK soit un sous-groupe.

L'union de deux sous-groupes est un sous-groupe si et seulement si un sous-groupe est contenu dans l'autre.

L'ensemble des éléments du groupe de départ qui sont envoyés sur l'élément neutre du groupe d'arrivée par l'homomorphisme.

L'ensemble des éléments du groupe d'arrivée qui sont atteints par l'homomorphisme à partir d'au moins un élément du groupe de départ.

L'ensemble des classes d'équivalence d'un groupe G par rapport à une relation d'équivalence R compatible.

Un groupe G est le produit direct interne de deux sous-groupes H et K si G est la réunion de tous les produits hk (h ∈ H, k ∈ K), l'intersection de H et K est réduite à l'élément neutre et la loi de groupe est commutative pour les éléments de H et K.

Le groupe produit de deux groupes H et K est l'ensemble de tous les couples (h, k) où h ∈ H et k ∈ K, muni d'une loi de groupe définie composante par composante.