Mathématiques : Rappels sur les groupes

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Questions and Answers

Quelles propriétés caractérisent une relation d'équivalence sur un ensemble E ?

Symétrie, Anti-symétrie, Réflexivité

Uniqueness, Symétrie, Réflexivité

Réflexivité, Symétrie, Transitivité (correct)

Transitivité, Asymétrie, Réflexivité

Une relation d'équivalence peut avoir des classes d'équivalence vides.

False

Comment note-t-on la classe d'équivalence d'un élément x suivant une relation R ?

x̄ ou cl(x)

L'ensemble des classes d'équivalence suivant R est appelé ensemble __________.

quotient Signup and view all the answers

Associez chaque proposition à sa caractéristique:

(i) = Classe d'équivalence est non vide (ii) = Relation entre x et y dans les classes (iii) = Partition de l'ensemble E Signup and view all the answers

Quelle est la nature de l'application canonique p : E → E/R ?

Une projection Signup and view all the answers

Si f est constante sur les classes d'équivalence, alors une fonction f¯ unique existe telle que f¯ ◦ p = f.

True Signup and view all the answers

Quelle condition doit être remplie pour qu'une fonction f : E → F soit définie sur les classes d'équivalence suivant R ?

Elle doit être constante sur les classes d'équivalence. Signup and view all the answers

Quelle est la loi de composition interne pour le groupe défini dans l'ensemble G?

(f ∗ g)(x) = f(x)T g(x) Signup and view all the answers

L'ensemble GL(K) des matrices carrées d'ordre n est un groupe uniquement pour K = R.

False Signup and view all the answers

Comment est noté l'élément neutre d'un groupe additif?

0 Signup and view all the answers

Pour tout n ≥ 1, on définit x^n par ____________.

x · x · ... · x (n fois) Signup and view all the answers

Associez les notations aux concepts des groupes:

x · y = Produit dans un groupe multiplicatif x + y = Somme dans un groupe additif 0 = Élément neutre dans un groupe additif x^(-1) = Inverse d'un élément dans un groupe Signup and view all the answers

Quelle propriété est vraie concernant l'inverse d'un élément d'un groupe?

(x · y)^-1 = y^-1 · x^-1 Signup and view all the answers

La notation τ(x) = ax représente la translation à droite par a.

False Signup and view all the answers

Quel est le symétrique d'un élément x dans un groupe additif?

-x Signup and view all the answers

Qu'est-ce qu'un homomorphisme de G dans G?

Une application f de G dans G telle que f(xy) = f(x)f(y) Signup and view all the answers

Tout homomorphisme injectif est un monomorphisme.

True Signup and view all the answers

Quel est l'ensemble des automorphismes d'un groupe G?

Aut(G) Signup and view all the answers

Un homomorphisme bijectif est appelé __________.

isomorphisme Signup and view all the answers

Associez les types de morphismes avec leur définition:

Épimorphisme = Homomorphisme surjectif Monomorphisme = Homomorphisme injectif Isomorphisme = Homomorphisme bijectif Endomorphisme = Homomorphisme d'un groupe vers lui-même Signup and view all the answers

Si f : G → G' est un homomorphisme, quelle propriété est vraie concernant l'élément neutre?

f(e) = e' Signup and view all the answers

Tous les homomorphismes de G vers G' sont des épimorphismes.

False Signup and view all the answers

Comment appelle-t-on un homomorphisme de G dans lui-même?

endomorphisme Signup and view all the answers

Qu'est-ce qui est vrai pour le produit direct $G × G$?

Il est seulement abélien si $G$ est abélien. Signup and view all the answers

Tout sous-groupe d'un groupe abélien est nécessairement abélien.

True Signup and view all the answers

Quels sont les critères pour qu'une partie $H$ soit un sous-groupe de $G$?

H ≠ ∅, ∀x, y ∈ H, xy ∈ H, ∀x ∈ H, x^{-1} ∈ H. Signup and view all the answers

Un sous-groupe $H$ de $G$ est noté ___.

H ≺ G Signup and view all the answers

Associez les sous-groupes aux propriétés correspondantes:

{e} = Sous-groupe trivial G = Sous-groupe total H ∩ K = Intersection des sous-groupes HK = Produit de sous-groupes Signup and view all the answers

Quelle affirmation est correcte concernant l'intersection de deux sous-groupes $H$ et $K$?

L'intersection est toujours un sous-groupe. Signup and view all the answers

L'union de deux sous-groupes $H$ et $K$ est toujours un sous-groupe de $G$.

False Signup and view all the answers

Le groupe produit de la famille de groupes $G_i$ est noté ___ .

Π G_i Signup and view all the answers

Quel est le noyau de l'homomorphisme f?

L'ensemble des éléments de G qui sont envoyés à l'identité de G0 Signup and view all the answers

Tout sous-groupe de Z est de la forme nZ où n appartient à N.

True Signup and view all the answers

Qu'est-ce qu'une application injective?

Une application où chaque élément de l'ensemble de départ a une image distincte dans l'ensemble d'arrivée. Signup and view all the answers

L'image de l'homomorphisme f est notée _____ .

Im(f) Signup and view all the answers

Associez chaque terme à sa définition :

Homomorphisme = Une fonction qui préserve la structure de groupe Image = L'ensemble des images d'un homomorphisme Noyau = L'ensemble des éléments envoyés à l'élément neutre Sous-groupe = Un sous-ensemble d'un groupe qui est également un groupe Signup and view all the answers

Quelle condition est équivalente à l'injectivité d'un homomorphisme f?

Ker(f) est vide Signup and view all the answers

La relation d'équivalence définie par xRy si et seulement si f(x) = f(y) est toujours compatible avec la loi de G.

True Signup and view all the answers

Comment noteriez-vous une surjection canonique p: G → G/R?

p : G → G/R Signup and view all the answers

Quelles sont les conditions nécessaires pour que G soit le produit direct interne de H par K ?

G = KH Signup and view all the answers

Si H et K sont des sous-groupes de G avec H ∩ K = {e}, alors tout élément de HK peut s'écrire de plusieurs façons sous la forme hk.

False Signup and view all the answers

Que représente Im(f) dans le contexte des homomorphismes de groupes ?

L'image de la fonction f. Signup and view all the answers

Un homomorphisme de groupes f : G → G établit cette relation entre les éléments x et y : f(xy) = f(x)f(y). On l'appelle une __________.

fonction homomorphe Signup and view all the answers

Dans un groupe G ayant H et K comme sous-groupes, si H et K sont finis, quelle est la relation entre card(HK) et les cardinalités de H et K ?

card(HK) = |H| |K| Signup and view all the answers

G est isomorphe au groupe produit H × K si G est le produit direct interne de H par K.

True Signup and view all the answers

Quel est le noyau d'un homomorphisme de groupes f ?

L'ensemble des éléments de G qui sont envoyés sur l'élément neutre de G par f. Signup and view all the answers

Associez chaque propriété aux éléments correspondants :

G = HK = Condition d'existence du produit direct H ∩ K = {e} = Unicité de l'écriture hk H, K finis = card(HK) = |H| |K| Isomorphisme = Relation entre G et H × K Signup and view all the answers

Study Notes

Rappels sur les groupes

Une relation binaire R sur un ensemble E est une relation d'équivalence si elle est réflexive, symétrique et transitive.
La réflexivité signifie que pour tout élément x de E, on a xRx.
La symétrie signifie que pour tous x, y de E, si xRy alors yRx.
La transitivité signifie que pour tous x, y, z de E, si xRy et yRz alors xRz.
La classe d'équivalence d'un élément x de E, notée x (ou ̄x ou cl(x)), est l'ensemble des éléments y de E tels que xRy.
L'ensemble quotient E/R est l'ensemble des classes d'équivalence de E suivant R.
L'ensemble quotient E/R forme une partition de E.

Factorisation d'une application

Une application f : E → F est constante sur les classes d'équivalence d'une relation d'équivalence R sur E s'il existe une application unique f : E/R → F telle que f◦p = f, où p est l'application canonique de E vers E/R.
Si une application f : E → F est constante sur les classes d'équivalence suivant une relation R, il existe une application unique f : E/R → F telle que f ◦ p = f, où p est l'application canonique.
La factorisation canonique de f est donnée par f = j ◦ f ◦ p, où j est l'injection canonique de f(E) dans F.
L'application f est bijective si elle est injective et surjective.

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Description

Ce quiz couvre les concepts fondamentaux des groupes, notamment les relations d'équivalence et les classes d'équivalence. Il abordera également la factorisation d'applications en relation avec ces notions. Testez vos connaissances sur ces principes essentiels en mathématiques!

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Quelles propriétés caractérisent une relation d'équivalence sur un ensemble E ?

Une relation d'équivalence peut avoir des classes d'équivalence vides.

Comment note-t-on la classe d'équivalence d'un élément x suivant une relation R ?

L'ensemble des classes d'équivalence suivant R est appelé ensemble __________.

Associez chaque proposition à sa caractéristique:

Quelle est la nature de l'application canonique p : E → E/R ?

Si f est constante sur les classes d'équivalence, alors une fonction f¯ unique existe telle que f¯ ◦ p = f.

Quelle condition doit être remplie pour qu'une fonction f : E → F soit définie sur les classes d'équivalence suivant R ?

Quelle est la loi de composition interne pour le groupe défini dans l'ensemble G?

L'ensemble GL(K) des matrices carrées d'ordre n est un groupe uniquement pour K = R.

Comment est noté l'élément neutre d'un groupe additif?

Pour tout n ≥ 1, on définit x^n par ____________.

Associez les notations aux concepts des groupes:

Quelle propriété est vraie concernant l'inverse d'un élément d'un groupe?

La notation τ(x) = ax représente la translation à droite par a.

Quel est le symétrique d'un élément x dans un groupe additif?

Qu'est-ce qu'un homomorphisme de G dans G?

Tout homomorphisme injectif est un monomorphisme.

Quel est l'ensemble des automorphismes d'un groupe G?

Un homomorphisme bijectif est appelé __________.

Associez les types de morphismes avec leur définition:

Si f : G → G' est un homomorphisme, quelle propriété est vraie concernant l'élément neutre?

Tous les homomorphismes de G vers G' sont des épimorphismes.

Comment appelle-t-on un homomorphisme de G dans lui-même?

Qu'est-ce qui est vrai pour le produit direct $G × G$?

Tout sous-groupe d'un groupe abélien est nécessairement abélien.

Quels sont les critères pour qu'une partie $H$ soit un sous-groupe de $G$?

Un sous-groupe $H$ de $G$ est noté ___.

Associez les sous-groupes aux propriétés correspondantes:

Quelle affirmation est correcte concernant l'intersection de deux sous-groupes $H$ et $K$?

L'union de deux sous-groupes $H$ et $K$ est toujours un sous-groupe de $G$.

Le groupe produit de la famille de groupes $G_i$ est noté ___ .

Quel est le noyau de l'homomorphisme f?

Tout sous-groupe de Z est de la forme nZ où n appartient à N.

Qu'est-ce qu'une application injective?

L'image de l'homomorphisme f est notée _____ .

Associez chaque terme à sa définition :

Quelle condition est équivalente à l'injectivité d'un homomorphisme f?

La relation d'équivalence définie par xRy si et seulement si f(x) = f(y) est toujours compatible avec la loi de G.

Comment noteriez-vous une surjection canonique p: G → G/R?

Quelles sont les conditions nécessaires pour que G soit le produit direct interne de H par K ?

Si H et K sont des sous-groupes de G avec H ∩ K = {e}, alors tout élément de HK peut s'écrire de plusieurs façons sous la forme hk.

Que représente Im(f) dans le contexte des homomorphismes de groupes ?

Un homomorphisme de groupes f : G → G établit cette relation entre les éléments x et y : f(xy) = f(x)f(y). On l'appelle une __________.

Dans un groupe G ayant H et K comme sous-groupes, si H et K sont finis, quelle est la relation entre card(HK) et les cardinalités de H et K ?

G est isomorphe au groupe produit H × K si G est le produit direct interne de H par K.

Quel est le noyau d'un homomorphisme de groupes f ?

Associez chaque propriété aux éléments correspondants :

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Factorisation d'une application

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