Algebra PDF - Prof. Dr. Sven Raum

Algebra Prof. Dr. Sven Raum Institut für Mathematik Universität Potsdam Campus Golm, Haus 9 Karl-...

Algebra Prof. Dr. Sven Raum Institut für Mathematik Universität Potsdam Campus Golm, Haus 9 Karl-Liebknecht-Str. 24-25 [email protected] zuletzt geändert am 14. Januar 2025 Inhaltsverzeichnis 1 Gruppentheorie 3 1.1 Gruppen und Untergruppen................................. 3 1.2 Die symmetrischen Gruppen................................. 12 1.3 Gruppenhomomorphismen.................................. 16 1.4 Kerne und Normalteiler.................................... 18 1.5 Nebenklassen und Quotienten................................ 20 1.6 Die Isomorphiesätze für Gruppen.............................. 24 1.7 Gruppenwirkungen...................................... 29 1.8 Die Konjugationswirkung................................... 32 1.9 p-Gruppen............................................ 34 1.10 Die Sylowsätze......................................... 37 1.11 Semi-direkte Produkte..................................... 40 1.12 Gruppen kleiner Ordnung.................................. 44 2 Kommutative Algebra 47 2.1 Ringe und Körper........................................ 47 2.2 Ideale, Ringhomomorphismen und Quotientenringe................... 53 2.3 Primideale und maximale Ideale............................... 58 2.4 Faktorielle Ringe........................................ 61 2.5 Der Chinesische Restsatz................................... 66 2.6 Euklidische Ringe........................................ 68 2.7 Irreduzibilitätskriterien für Polynome........................... 71 2.8 Elementarteilertheorie über euklidischen Ringen..................... 72 3 Körpertheorie 77 3.1 Primkörper und die Charakteristik............................. 77 3.2 Algebraische und transzendente Körpererweiterungen................. 78 3.3 Algebraischer Abschluss.................................... 80 3.4 Zerfällungskörper....................................... 83 3.5 Endliche Körper........................................ 84 3.6 Zahlkörper............................................ 86 3.7 Separable Körpererweiterungen............................... 91 3.8 Galois-Theorie......................................... 92 2 1 Gruppentheorie 1.1 Gruppen und Untergruppen Gruppen sind die mathematische Formalisierung von Symmetrien, welche schon in den Grundvor- lesungen eingeführt wurden. Definition 1.1.1. Eine Halbgruppe ist eine Menge G mit einer assoziativen Abbildung G × G Ð→ G∶ (g1 , g2 ) ↦ g1 ∗ g2 , das heißt für g1 , g2 , g3 ∈ G gilt (g1 ∗ g2 ) ∗ g3 = g1 ∗ (g2 ∗ g3 ). Ein Monoid ist eine Halbgruppe (G, ∗), die ein neutrales Element besitzt, das heißt es gibt e ∈ G, so dass für alle g ∈ G e∗g =g =g∗e gilt. Eine Gruppe ist ein Monoid (G, ∗) in dem inverse Elemente existieren, d.h. ist e ein neutrales Element, so gibt es für jedes g ∈ G ein h ∈ G mit g∗h = e = h∗g. Beispiel 1.1.2. Die positiven natürlichen Zahlen N≥1 mit der Addition sind eine Halbgruppe, die kein Monoid ist. Alle natürlichen Zahlen (mit der Null eingeschlossen) N bilden mit der Addition einen Monoiden, der keine Gruppe ist. Die ganzen Zahlen mit der Addition bilden schließlich eine Gruppe. Ist X eine Menge, so bildet die Menge X X aller Abbildungen von X in sich selbst zusammen mit der Komposition als Verknüpfung einen Monoiden, dessen neutrales Element die Iden- titätsabbilung ist. Die Teilmenge Sym(X) = {σ ∈ X X ∣ σ ist bijektiv} dahingegen bildet mit der Komposition eine Gruppe. Das neutrale Element eines Monoiden ist eindeutig, genauso wie inverse Elemente, falls sie exis- tieren. Dies zeigt die nächste Proposition. Proposition 1.1.3. Sei (G, ∗) ein Monoid. (i) Es gibt ein eindeutiges neutrales Element in G. (ii) Jedes Element in G besitzt höchstens ein inverses Element. Beweis. Der Beweis besteht aus zwei kurzen Rechnungen. Sind e, e′ ∈ G zwei neutrale Elemente, so gilt e = e ∗ e′ = e′. Ist nun g ∈ G und h, h′ ∈ G sind inverse Elemente zu g, so folgt h = h ∗ e = h ∗ (g ∗ h′ ) = (h ∗ g) ∗ h′ = e ∗ h′ = h′. 3 Notation 1.1.4. Dank Proposition 1.1.3 können wir die übliche Konvention rechtfertigen, für das eindeutige Inverse eines Gruppenelements g ∈ G die Notation g −1 zu nutzen. Das neutrale Element einer Gruppe G schreiben wir gewöhnlich e. Falls wir den Bezug zu G explizit hervorheben wollen, nutzen wir die Notation eG. Notation 1.1.5. Wie aus der Matrixmultiplikation gewohnt, wird auch die Verknüpfung einer (Halb)gruppe häufig implizit geschrieben, das heißt ist (G, ∗) eine Halbgruppe, so schreiben wir g1 g2 für das Produkt g1 ∗ g2 von g1 , g2 ∈ G. Es ist wichtig festzuhalten, dass die Notation ∗ für die Verknüpfung einer Halbgruppe nur ein Platzhalter ist. Auch der Punkt ⋅ oder das Verkettungssymbol ○ sind unter Umständen angemessene Notation. In bestimmten Fällen ist auch das Pluszeichen + eine übliche und sinnvolle Notation für die Gruppenverknüpfung, in welchem Fall wir −a für das Inverse eines Elements a schreiben. Im Folgenden nutzen wir standardmäßig die Schreibweise ⋅. Bevor wir die grundlegende Theorie von Gruppen entwickeln, ist es hilfreich einige Beispiele zu sehen. Beispiel 1.1.6. (i) Die symmetrische Gruppe Sn = {σ∶ {1,... , n} → {1,... , n} ∣ σ ist bijektiv} aller Bijektionen der Menge {1,... , n} ist eine Gruppe mit der Komposition von Funktionen ○ als Gruppenverknüpfung. Wir schreiben gewöhnlich σ ⋅ π = σ ○ π für Permutationen σ, π ∈ Sn oder nutzen direkt die implizite Schreibweise. Allgemeiner schreiben wir wie bereits in Beispiel 1.1.2 eingeführt Sym(X) für die Gruppe aller Bijektionen auf einer Menge X. Es gilt also Sn = Sym({1,... , n}). (ii) Wie bereits gesehen sind die ganzen Zahlen Z mit der Addition eine Gruppe. Auch die ra- tionalen Zahlen Q, die reellen Zahlen R und die komplexen Zahlen C sind Gruppen, jeweils mit der Addition als Gruppenverknüpfung. Natürlich behalten wir die additive Schreibweise a1 + a2 für die jeweilige Gruppenverknüpfung bei. (iii) Die ganzen Zahlen versehen mit der Multiplikation sind keine Gruppe, da 0 ∈ Z kein multi- plikativ Inverses besitzt. Gleiches gilt für die anderen genannten Zahlbereiche Q, R und C. (iv) Für jede natürliche Zahl n ≥ 1 ist die Menge {0, 1,... , n − 1} mit der Addition modulo n eine Gruppe. Wir schreiben Z/n für diese Gruppe. (v) Die allgemeine linearen Gruppen GLn (K) = {A ∈ Mn (K) ∣ A ist invertierbar} über einem Körper K ist eine Gruppe. Insbesondere gilt dies über den oben genannten Zahlbereichen, d.h. GLn (Q), GLn (R) und GLn (C) sind Gruppen. Ist p eine Primzahl und Fp der Körper mit p Elementen, so ist auch GLn (Fp ) mit Matrixmultiplikation eine Gruppe. Auch GLn (Z) = {A ∈ Mn (Z) ∣ A ist invertierbar in Mn (Z)} ist eine Gruppe. Der folgende Begriff ist grundlegend für spätere Betrachtungen, ermöglicht aber auch eine Klä- rung der häufig gestellten Frage, wann denn nun + und wann ⋅ für eine Gruppenoperation geschrie- ben wird. Definition 1.1.7. Eine Gruppe G heißt abelsch, falls g1 ⋅ g2 = g2 ⋅ g1 für alle g1 , g2 ∈ G gilt. 4 Allgemein gilt: ist eine Gruppe abelsch, so können wir (müssen aber nicht) deren Gruppenverknüp- fung mit dem Additionszeichen bezeichnen. Häufig entscheidet der Kontext über die geeignete No- tation. In Proposition 1.1.3 haben wir bereits Beobachtungen zu dem neutralen Element und zu Inver- sen in Monoiden gemacht. Es kann ebenfalls etwas über die Assoziativität gesagt werden, was über die Definition als solches hinausgeht. Proposition 1.1.8. Sei (G, ⋅) eine Halbgruppe. Ist n ≥ 3 und sind g1 ,... , gn ∈ G, so ergibt jede Klam- merung von g1 ⋅ g2 ⋯ gn das selbe Element von G. Beweis. Für n = 3 ist dies das Axiom der Assoziativität. Sei also n > 3 und sei angenommen die Aussage gilt für alle k mit 3 ≤ k ≤ n − 1. Dank dieser Induktionsannahme und um die Notiation zu vereinfachen, können wir Klammerausdrücke für Produkte, deren Länge strikt kleiner als n ist, weglassen. Betrachte eine Klammerung des Ausdrucks g1 ⋅ ⋯⋅ gn , so dass die Klammer vor g1 hinter einem gk , 2 ≤ k ≤ n − 1 schließt, das heißt (g1 ⋯gk )gk+1 ⋯gn. Wir erlauben explizit den degenerierten Fall k = 1. Ist dies der wert von k, so können wir die Fak- toren in g2 ⋯gn nach Induktionsvorraussetzung beliebig klammern. Gilt dagegen k ≥ 2, handelt es sich insgesamt um höchstens n − 1 Faktoren g1 ⋯gk , gk+1 ,... , gn , so dass die Induktionsvorausset- zung erlaubt auch in diesem Fall obigen Ausdruck durch (g1 ⋯gk ) ⋅ (gk+1 ⋯gn ) zu ersetzen. Es genügt also für 1 ≤ k < l ≤ n − 1 einzusehen, dass dank des Assoziativiätsaxioms folgende Gleichheit in G gilt: (g1 ⋯gk ) ⋅ (gk+1 ⋯gn ) = (g1 ⋯gk ) ⋅ ((gk+1 ⋯gl ) ⋅ (gl+1 ⋯gn )) = ((g1 ⋯gk ) ⋅ (gk+1 ⋯gl )) ⋅ (gl+1 ⋯gn ) = (g1 ⋯gl ) ⋅ (gl+1 ⋯gn ). Notation 1.1.9. Ab jetzt haben wir die mathematische Rechtfertigung, die übliche Konventionen zu übernehmen und Klammerungen von Produkten in Gruppen wegzulassen. Beispiel 1.1.10. Sind G, H Gruppen, so ist das kartesische Produkt G × H mit der komponentenweise Verknüpfung ebenfalls eine Gruppe. Es gilt eG×H = (eG , eH ) und (g, h)−1 = (g −1 , h−1 ) wie sich leicht nachprüfen lässt. Allgemeiner ist für Gruppen G1 ,... , Gn das Produkt G1 ×⋯×Gn eine Gruppe mit kompenen- tenweiser Verknüpfung. Wir schreiben Gn oder G×n für das n-fache Produkt einer Gruppe G. Eine alternative Schreibweise ist hier G ⊕ H, die als direkte Summe bezeichnet wird. Die Kleinsche Vierergruppe ist definiert als V4 = Z/2 × Z/2. Ein wichtiges Konzept um verschiedene Gruppen zueinander ins Verhältniss setzen zu können und um zusätzliche Beispiele von Gruppen beschreiben zu können, ist das einer Untergruppe. 5 Definition 1.1.11. Sei G eine Gruppe. Eine Untergruppe von G ist eine Teilmenge H ⊆ G, für die folgende Bedingungen gelten. Für alle h1 , h2 ∈ H gilt h1 ⋅ h2 ∈ H, es gilt eG ∈ H und für h ∈ H gilt auch h−1 ∈ H. Wir schreiben H ≤ G, falls H eine Untergruppe von G ist. Betrachten wir zuerst elementare Beispiele von Untergruppen. Beispiel 1.1.12. Ist G eine Gruppe, so sind sowohl die triviale Untergruppe {e} als auch G selbst Untergruppen von G. Wir behaupten, dass die Untergruppen von Z genau der Form nZ = {nk ∣ k ∈ Z} ≤ Z sind. Es ist einfach zu sehen, dass es sich um Untergruppen handelt, denn die Identitäten – nk + nl = n(k + l), – n0 = 0, – −(nk) = n(−k) und, die für all k, l ∈ Z gelten, beweisen dass alle Axiome einer Untergruppe erfüllt sind. Umge- kehrt sei H ≤ Z eine Untergruppe. Ist H = {0} = 0Z, so sind wir fertig. Andernfalls, enthält H mindestens ein positives Element. Sei n ∈ H das kleinste solche. Dann gilt nZ ⊆ H und wir zeigen die umgekehrte Inklusion. Für h ∈ H gilt auch −h ∈ H. Es genügt also folgende Aussage durch Induktion zu zeigen: für alle m ∈ N gilt [0, m] ∩ H ⊆ nZ. Nach Wahl von n ist die Aussage klar für m ≤ n. Sei nun angenommen, dass m > n gilt und die Aussage für m − 1 bewiesen ist. Gilt m ∉ H, so folgt [0, m] ∩ H = [0, m − 1] ∩ H ⊆ nZ und wir sind fertig. Andernfalls gilt m − n ∈ [0, m − 1] ∩ H ⊆ nZ und damit m = (m − n) + n ∈ nZ. Wir betrachten nun einige Bespiele von Untergruppen der allgemeinen linearen Gruppe über einem Körper. Beispiel von Untergruppen von Permutationsgruppen betrachten wir später. Beispiel 1.1.13. Einige Untergruppen der allgemeinen linearen Gruppen sind von besonderem In- teresse. Über jedem Körper K, zum Beispiel den reellen oder komplexen Zahlen, kann man die spe- zielle lineare Gruppe betrachten. SLn (K) = {A ∈ GLn (K) ∣ det A = 1}. Die orthogonale Gruppe O(n) = {O ∈ GLn (R) ∣ Ot O = 1} ≤ GLn (R) ist eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe über den reellen Zahlen. 6  Analog ist die unitäre Gruppe U(n) = {U ∈ GLn (C) ∣ U ∗ U = 1} ≤ GLn (C) eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe über den komplexen Zahlen. Wir schrei- ben hier U ∗ für die komplex konjugierte und transponierte Matrix, das heißt (U ∗ )ij = Uji. Eine weitere interessante Untergruppe der linearen Gruppen, über einem beliebigen Körper K, sind die oberen Dreieckmatrizen (T steht für "triangular") Tn (K) = {A ∈ GLn (K) ∣ ∀i > j ∶ Aij = 0} und deren Untergruppe UTn (K) = {A ∈ Tn (K) ∣ ∀i ∶ Aii = 1}. Proposition 1.1.14. Sei G eine Gruppe. (i) Ist H ⊆ G eine Teilmenge einer Gruppe, so ist diese eine Untergruppe genau dann wenn h1 , h2 ∈ H Ô⇒ h1 ⋅ h−1 2 ∈ H, und H ≠∅ gelten. (ii) Ist H ≤ G eine Untergruppe, so ist die Einschränkung der Gruppenverknüpfung von G auf H wohldefiniert und H wird hiermit zur Gruppe. Beweis. Wir beweisen zuerst die Charakterisierung von Untergruppen in Punkt (i). Sei hierzu H ≤ G eine Untergruppe. Es ist klar, dass H nicht leer ist, da eG ∈ H gilt. Außerdem gilt für h1 , h2 ∈ H, dass h−1 2 ∈ H, denn H ist unter Inversen abgeschlossen. Nun impliziert Abgeschlossenheit unter Multiplikation, dass h1 ⋅ h−1 2 ∈ H gilt. Sei nun angenommen, dass H ⊆ G eine Teilmenge ist, die die Bedingungen aus Punkt (i) erfüllt. Da H nicht leer ist, gibt es h ∈ H, so dass eG = h ⋅ h−1 ∈ H folgt. Nun gilt für beliebiges h ∈ H, dass h−1 = eh−1 ∈ H gilt. Schließlich gilt für h1 , h2 ∈ H, wie gerade gezeigt h−1 2 ∈ H und damit auch h1 h2 = h1 (h−1 )−1 ∈ H. Wir haben somit gezeigt, dass H eine Untergruppe von G ist. 2 Wir beweisen nun Punkt (ii). Sei hierzu H ≤ G eine Untergruppe. Die Verknüpfung ⋅G ∶ G × G Ð→ G erfüllt nach Voraussetzung h1 ⋅ h2 ∈ H für alle h1 , h2 ∈ H. Also ist die Einschränkung ⋅H ∶ H × H Ð→ H wohldefiniert. Assoziativität von ⋅H folgt direkt aus der Assoziativität von ⋅G. Das neutrale Element von (H, ⋅H ) ist eG , welches nach Voraussetzung Element von H ist. Ist schließlich h ∈ H beliebig und h−1 sein inverses Element in G, so gilt nach Vorraussetzung h−1 ∈ H und es folgt h ⋅H h−1 = h ⋅G h−1 = eG = eH. Wir haben also alle Axiome einer Gruppe für (H, ⋅H ) überprüft, was den Beweis beendet. 7  Die vorhergehende Proposition 1.1.14 gibt uns die Möglichkeit neue Beispiel von Gruppen zu finden, indem wir Untergruppen von Beispielen, die wir bereits kennen, finden. So sind alle Un- tergruppen der allgemeinen linearen Gruppe aus Beispiel 1.1.13 auch Beispiele von Gruppen. Als nächstes beschreiben wir eine Art, Untergruppen zu definieren indem wir eine Menge von Erzeu- gern angeben – analog zum Begriff der linearen Hülle, wie er in der linearen Algebra eingeführt wird. Proposition 1.1.15. Sei G eine Gruppe. Zu jeder Teilmenge S ⊆ G existiert eine kleinste Untergruppe ⟨S⟩ ≤ G, die S enthält. Beweis. Sei F = {H ≤ G ∣ S ⊆ H} die Menge aller Untergruppen von G, die S enthalten. Diese ist nicht leer, da G ∈ F. Definiere ⟨S⟩ = ⋂ H. H∈F Es gilt S ⊆ ⟨S⟩ und nach Konstruktion gilt ⟨S⟩ ⊆ H für jede Untergruppe H ≤ G, die S enthält. Wir zeigen, dass ⟨S⟩ eine Untergruppe von G ist. Für h1 , h2 ∈ ⟨S⟩ gilt die Aussage ∀H ∈ F ∶ h1 , h2 ∈ H. Da jedes H ∈ F eine Untergruppe von G ist, folgt also ∀H ∈ H ∶ h1 h−1 2 ∈ H. Damit gilt h1 h2 ∈ ⟨S⟩. −1 Schließlich gilt ∀H ∈ F ∶ eG ∈ H, also auch eG ∈ ⟨S⟩. Definition 1.1.16. Ist G eine Gruppe, so heißt eine Teilmenge S ⊆ G, für die ⟨S⟩ = G gilt, erzeu- gende Menge von G. Beispiel 1.1.17. Wir geben einige Beispiele von erzeugenden Mengen von Gruppen. Die Untergruppe nZ ≤ Z wird von n ∈ Z erzeugt. Aber auch {a, b} für a, b ∈ Z mit ggT(a, b) = n ist eine erzeugende Menge von nZ, denn es gibt k, l ∈ Z mit ak + bl = ggT(a, b). In der linearen Algebra lernt man, dass jede invertierbare Matrix ein Produkt von Element- armatrizen ist. Das heißt für einen Körper K und n ∈ N≥1 ist {Tij ∣ i < j} ∪ {Mi (λ) ∣ i ∈ {1,... , n}, λ ∈ K × } ∪ {Aij (λ) ∣ i, j ∈ {1,... , n}, i ≠ j, λ ∈ K} eine erzeugende Menge für GLn (K). Beispiel 1.1.18. Bestimmte Untergruppen der orthogonalen Gruppe in Dimension 2 sind weitere wichtige Beispiele von Gruppen. Betrachten wir die Rotation cos( 2π 2π n ) − sin( n )) ∈ O(2) r=( 2π 2π sin( n ) cos( n ) um den Winkel 2π/n, n ≥ 2 und die Spiegelung an der x-Achse 1 0 s=( ) 0 −1 so ist Dn = ⟨r, s⟩ die Diedergruppe von Rang n. Die Gruppe Dn enthält genau 2n Elemente. (Übung) 8 Beispiel 1.1.19. Es gibt eine sehr systematische Art und Weise, Untergruppen der symmetrischen Gruppen Sym(X) zu finden. Hierzu betrachtet man sogenannte Graphen, das heißt Paare Γ = (V, E) wobei V eine Menge und E eine Menge von Teilmengen von V mit genau zwei Elementen ist. Die Elemente von V heißen Knoten von Γ und die Elemente von E heißen Kanten von Γ. Wir bezeichnen auch mit V(Γ) und E(Γ) die Menge der Knoten beziehungsweise Kanten von Γ. Ist nun ein Graph Γ gegeben, so ist dessen Automorphismengruppe definiert als Aut(Γ) = {σ ∈ Sym(V(Γ)) ∣ ∀v, w ∈ V(Γ) ∶ {v, w} ∈ E(Γ) ⇐⇒ {σ(v), σ(w)} ∈ E(Γ)}. Wir betrachten einige konkrete Beispiele. Ist Γ = ({1,... , n}, {{i, j} ∣ i ≠ j}) der vollständige Graph mit n Knoten, so gilt Aut(Γ) = Sn. Ist Γ = ({1,... , n}, ∅) der Graph mit n Knoten aber ohne Kanten, so gilt ebenfalls Aut(Γ) = Sn. Sei Γ = (V, E) mit V = {0,... , n − 1} E = {0,... , n − 1}, {{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}, {3, 4},... , {n − 2, n − 1}, {n − 1, 0}. Dies ist der sogennante Kreisgraph der Länge n. Die Notation (mit 0 statt mit 1 beginnend) ist gerechtfertigt durch die Tatsache, dass E = {{i, Restn (i + 1)} ∣ i ∈ V } eine kurze Schreibweise der Knotenmenge ist. Das heißt i ∈ V genau mit den Knoten Restn (i + 1) und Restn (i − 1) verbunden ist. Wir bestimmen Aut(Γ). Zuerst beschreiben wir einige spezielle Elemente von Aut(Γ) und zeigen anschließend, dass dies bereits alle Elemente von Aut(Γ) sind. Wir betrachten die Graphautomorphismen ρ, σ ∈ Aut(Γ) definiert durch ρ(i) = Restn (i + 1) sowie durch σ(i) = Restn (−i) für alle i. Diese sind wohldefinierte Bijektionen mit ρ−1 = ρn−1 und σ −1 = σ. Dass sie tatsächlich Automorphismen von Γ sind, folgt durch direktes Nachrechnen. Dies verdeutlichen wir an σ. Es gilt für alle i ∈ V , dass {σ(i), σ(Restn (i + 1))} = {Restn (−i), Restn (−(Restn (i + 1)))} = {Restn (−i), Restn (−(Restn (i + 1)) Es gilt σ 2 (i) = Restn (−(−i)) für alle i, so dass σ 2 = id beziehungsweise äquivalent σ = σ −1 folgt. Man rechnet auch nach, dass ρn = id gilt, aber ρk ≠ id für alle k ∈ {1,... , n − 1}. Außerdem gilt für alle i, dass σρ(i) = σRestn (i + 1) = Restn (−i − 1) und ρ−1 σ(i) = ρ−1 (Restn (−i) = Restn (−i − 1). Also folgt σρ = ρ−1 σ. 9  Aus dem letzten Absatz folgern wir, dass die von σ und ρ erzeugte Untergruppe von Aut(Γ) wie folgt beschrieben werden kann: ⟨ρ, σ⟩ = {ρk σ ϵ ∣ k ∈ {0,... , n − 1}, ϵ ∈ {0, 1}}. Sei nun α ∈ Aut(Γ) beliebig. Wir schreiben k = α(0). Dann gilt ρ−k α(0) = 0. Da {0, 1}, {n− 1, 0} die beiden einzigen Kanten von Γ sind, die 0 enthalten, folgt ρ−k α(1) ∈ {1, n − 1}. Sei ϵ = 0 falls ρ−k α(1) = 1 und ϵ = 1 falls ρ−k α(1) = n − 1. Dann gilt σ −ϵ ρ−k α(1) = 1 und da σ(0) = 0 gilt, auch σ −ϵ ρ−k α(0) = 0. Schreiben wir π = σ −ϵ ρ−k α(0), so behaupten wir, dass π = id gilt. Dies folgt induktiv: es gilt π(0) = 0 und π(1) = 1. Ist k ∈ {1,... , n − 2} derart gewählt, dass π(i) = i für alle i ∈ {0, 1,... , k} bereits gilt, so folgt aus π(k) = k, dass π(k + 1) ∈ {k − 1, k + 1}. Da aber π(k − 1) = k − 1 gilt, muss π(k + 1) = k + 1 gelten. Dies beendet den Induktionsbeweis und zeigt π = id. Nun folgern wir, dass α = ρk σ ϵ π = σ ϵ ρk gilt. Da α ∈ Aut(Γ) beliebig war, haben wir Aut(Γ) = ⟨ρ, σ⟩ gezeigt. Wir haben sogar gezeigt, dass jedes Element aus Aut(Γ) eindeutig als Produkt ρk σ ϵ für k ∈ {0,... , n − 1} und ϵ ∈ {0, 1} geschrieben werden kann. Beispiel 1.1.20. Sei G eine Gruppe. Dann heißt die Gruppe G′ = ⟨ghg −1 h−1 ∣ g, h ∈ G⟩ Kommutator- gruppe von G. Der Name rührt daher, dass [g, h] = ghg −1 h−1 gewöhnlich den Kommutator zweier Gruppenelemente g, h ∈ G bezeichnet. Er erfüllt gh = [g, h]hg, woher der Name rührt. Eine Gruppe G ist genau dann abelsch wenn G′ = {e} gilt. Für die Diedergruppen Dn = ⟨r, s⟩ kann gezeigt werden, dass D′n = ⟨r2 ⟩ gilt. (Übung) Ist K ein Körper und entweder K ≠ F2 oder n ≥ 3, so ist die Kommutatoruntergruppe von GLn (K) die spezielle lineare Gruppe SLn (K). (Übung für GL2 (R)). Die Kommutatorun- tergruppe von GL2 (F2 ) ist 1 0 1 1 0 1 {( ) ,( ) ,( )}. 0 1 1 0 1 1 Zum jetztigen Zeitpunkt können wir das nur durch Nachrechnen aller Kommutatoren der 6 Elemente 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 ( ) ,( ) ,( ) ,( ) ,( ) ,( ) 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 zeigen, es lässt sich aber ein kürzerer Beweis finden. Definition 1.1.21. Eine Gruppe G heißt zyklisch, wenn es g ∈ G gibt, so dass G = ⟨g⟩ gilt. Wir werden später sehen, dass die Gruppen Z und Z/n, n ≥ 1 die typischen Beispiele zyklischer Gruppen sind. Wir schließen diesen Abschnitt mit der Einführung des Begriffs der Ordnung von Elemente und Gruppen ein. 10 Definition 1.1.22. Die Ordnung einer Gruppe ist deren Kardinalität ∣G∣. Die Ordnung eines Gruppenelements g ∈ G ist die minimale natürliche Zahl n ≥ 1, so dass g n = e gilt, falls ein solches n existiert und ansonsten unendlich. Wir schreiben ord(g) = n beziehungsweise ord(g) = ∞. Beispiel 1.1.23. Ein bekanntes Abzählargument zeigt, dass n! die Ordnung der symmetrischen Gruppe Sn ist. Es gilt nämlich S1 = {id{1} } und damit ∣S1 ∣ = 1 = 1!. Ist nun ∣Sn ∣ = n! bewie- sen, so schreiben wir Hi = {σ ∈ Sn+1 ∣ σ(n + 1) = i}. Dann gilt Sn+1 = ⊔n+1 i=1 Hi , wobei ⊔ die disjunkte Vereinigung bezeichnet. Wir stellen fest, dass Hn+1 = {σ ∈ Sn+1 ∣ σ(n + 1) = n + 1} gilt und damit ∣Hn+1 ∣ = ∣Sn ∣. Bezeichnen wir mit τi ∈ Sn+1 die Permutation ⎧ ⎪ ⎪ n + 1 falls j = i ⎪ ⎪ τi (j) = ⎨i falls j = n + 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩j ⎪ andernfalls. so gilt τi2 = id. Also definiert die Abbildungsvorschrift σ ↦ τ σ eine Bijektion zwischen Hi und Hn+1 , weshalb ∣Hi ∣ = ∣Hn+1 ∣ = ∣Sn ∣ = n! folgt. Es gilt also ∣Sn+1 ∣ = (n + 1) ⋅ n! = (n + 1)!. Übung 1.1.24. Ist p Primzahl und Fp der Körper mit p Elementen, so gilt ∣GLn (Fp )∣ = ∏n−1 n i=0 (p − p ). Um dies zu sehen, nutze man, dass eine Matrix A ∈ Mn (Fp ) genau dann invertierbar ist, wenn i ihre Spalten eine (geordnete) Basis von Fnp bilden. Beispiel 1.1.25. Das Element 1 ∈ Z/n hat Ordnung n. Das Element 2 ∈ Z/4 hat Ordnung 2. Jedes Element n ≠ 0 in Z hat unendliche Ordnung. Eine Matrix A ∈ GLn (C) hat genau dann endliche Ordnung wenn sie diagonalisierbar ist und ihre Eigenwerte Einheitswurzeln sind. Dies folgt aus der Kombination mehrer Beob- achtungen. – Ist K ein Körper und sind Matrizen A, B ∈ GLn (K) ähnlich, sagen wir A = SBS −1 für ein S ∈ GLn (K), so folgt ord(A) = ord(B), denn es gilt für k ∈ N Ak = (SBS −1 )k = SB(S −1 S)B(S −1 S)⋯B(S −1 S)B = SB k S −1. Über den komplexen Zahlen ist jede Matrix ähnlich zu einer Matrix in Jordan- Normalform. – Ist A ∈ GLn (K) blockdiagonal mit Blöcken B1 ,... , Bm auf der Diagonalen, so gilt ord(A) = kgV(ord(B1 ),... , ord(Bm )) , denn für jedes k ∈ N ist Ak blockdiagonal mit Blöcken B1k ,... , Bm k. 11  – Ist J ∈ GLn (C) ein Jordanblock, so hat dieser endliche Ordnung genau dann wenn er Größe 1 × 1 hat und sein Eintrag eine Einheitswurzel ist. Hierzu betrachte man die Potenzen von Jordanblöcken. Für λ ∈ C und k ∈ N≥1 gilt k ⎛λ 1 ⎞ ⎛λk kλk−1 ⎞ ⎜ λ 1 ⎟ ⎜ λ k kλk−1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⋱ ⋱ ⎟ =⎜ ⋱ ⋱ ⎟, ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⋱ 1⎟ ⎜ ⎜ ⋱ kλ ⎟ k−1 ⎜ ⎟ ⎝ λ ⎠ ⎝ k λ ⎠ wie eine Induktion nach k zeigt. Übung 1.1.26. Zeigen Sie, dass die Matrizen 0 i 0 1 I =( ) und J =( ) ∈ GL2 (C) −i 0 −1 0 zusammen eine Gruppe der Ordnung 8 erzeugen. Proposition 1.1.27. Sei g ∈ G ein Element einer Gruppe und n ∈ Z. Dann gilt g n = e genau dann wenn n von ord(g) geteilt wird. Beweis. Wir beobachten zunächst, dass H = {n ∈ Z ∣ g n = e} ⊆ Z eine Untergruppe ist. Es gilt nämlich 0 ∈ H und damit H ≠ ∅ und außerdem folgt für n1 , n2 ∈ H, dass g n1 −n2 = g n1 (g n2 )−1 = e gilt und damit n1 − n2 ∈ H. Nun folgt aus Beispiel 1.1.12 und der Definition von ord(g), dass H = ord(g)Z gilt, was den Beweis abschließt. Wir werden später sehen, dass ein Element einer Gruppe genau dann Ordnung n hat, wenn es eine Untergruppe erzeugt, die im geeigneten Sinn mit Z/n identifiziert werden kann. Wir haben hierauf bereits im Anschluss an Definition 1.1.21 hingewiesen. Für den Moment begnügen wir uns mit folgender Beobachtung. Übung 1.1.28. Sei g ∈ G ein Element einer Gruppe. Dann gilt ord(g) = ∣⟨g⟩∣. 1.2 Die symmetrischen Gruppen Eine der wichtigsten Beispiel von Gruppen sind sicherlich die symmetrischen Grupppen Sn. In diesem Abschnitt sehen wir wie man mit diesen Gruppen und ihren Elementen konkrete arbeiten kann. Wir betrachten folgende praktische Notation für Elemente der symmetrischen Gruppen. Notation 1.2.1. Eine Permutation σ ∈ Sn kann geschrieben werden als 1 2... n ( ). σ(1) σ(2)... σ(n) 12  Eine weitere nützliche Schreibweise ist die folgende. Definition 1.2.2. Ein Zykel der Länge l ist eine Permutation σ ∈ Sn , so dass es paarweise verschie- dene Zahlen i1 ,... , il ∈ {1,... , n} gibt und folgende Abbildungsvorschrift erfüllt ist: σ(i1 ) = i2 , σ(i2 ) = i3 ,... ,σ(il−1 ) = il , σ(il ) = i1 σ(j) = j für alle j ∉ {i1 ,... , il }. Wir schreiben (i1 i2... il ) für diesen Zykel. Ein Zykel der Länge zwei heißt Transposition. Beispiel 1.2.3. Es gelten die folgenden Identitäten von Permutationen: 1 2 3 4 ( ) = (1 2 3 4) = (2 3 4 1). 2 3 4 1 1 2 3 4 5 ( ) = (1 2 3)(4)(5) = (1 2 3). 2 3 1 4 5 Wir bevorzugen im allgemeinen die Schreibeweise eines Zykels, die mit der kleinstmöglichen Zahl beginnt, das heißt (1 2 3 4) gegenüber (2 3 4 1) und anderen Umordnungen des selben Zykels. Ein entscheidender Vorteil der Zykelschreibweise ist die Leichtigkeit, mit der die Multiplikation in symmetrischen Gruppen durch sie beschrieben wird. Dies wird durch folgende zwei Beispielre- sultate unterstrichen. Lemma 1.2.4. Die Ordnung eines l-Zykels ist l. Beweis. Sei σ = (i1... il ) ein l-Zykel. Induktiv sehen wir dann, dass σ n (ik ) = ik+n gilt, wobei der Index k +n modulo l betrachtet wird (d.h. formal σ n (ik ) = iRestl (k+n−1)+1 , wobei die kompliziertere Formel der mit 1 beginnenden Indizierung geschuldet ist). Es gilt also σ l (ik ) = ik+l = ik , so dass σ l = id folgt. Für n < l gilt weiter σ n (i1 ) = i1+n ≠ i1 , so dass σ n ≠ id gilt. Lemma 1.2.5. Sei σ ∈ Sn eine beliebige Permutation und (i1... , il ) ∈ Sn ein Zykel. Dann gilt σ(i1... , il ) = (σ(i1 )... , σ(il ))σ beziehungsweise äquivalent hierzu σ(i1... , il )σ −1 = (σ(i1 )... , σ(il )) Beweis. Übung. Kontrollieren Sie Elementweise die Identität σ −1 (σ(i1 )... , σ(il ))σ = (i1... , il ). Folgendes Resultat kann in Verbindung mit Lemma 1.2.5 praktisch sein, wenn man mit einfa- chen Elementen einer symmetrischen Gruppe rechnen will. Satz 1.2.6. Für n ≥ 2 gilt Sn = ⟨(1 2), (2 3), (3 4),... , (n − 1 n)⟩. 13 Beweis. Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach n. Für n = 2 gilt S2 = {id, (1 2)} = ⟨(1 2)⟩. angenommen die Aussage ist für n ≥ 2 bewiesen. Sei σ ∈ Sn+1. Falls σ(n + 1) = n + 1 gilt, folgt σ ∈ Sn ≤ Sn+1 und damit σ ∈ ⟨(1 2), (2 3), (3 4),... , (n − 1 n), (n n + 1)⟩. Sei also σ(n + 1) ≠ n + 1 angenommen. Da σ(n + 1) ∈ {1,... , n} gilt, finden wir die Permutation (σ(n + 1), n) ∈ Sn. Es gilt nun [(n n + 1)(σ(n + 1) n)σ](n + 1) = [(n n + 1)(σ(n + 1) n)](σ(n + 1)) = (n n + 1)(n) = n + 1 , so dass wir (n n + 1)(σ(n + 1) n)σ ∈ Sn folgern können. Es dann auch σ = (σ(n + 1) n)(n n + 1))((n n + 1)(σ(n + 1) n))σ ∈ ⟨(1 2), (2 3), (3 4),... , (n − 1 n), (n n + 1)⟩. Definition 1.2.7. Der Träger einer Permutation σ ∈ Sym(X) ist die Menge supp(σ) = {x ∈ X ∣ σ(x) ≠ x}. Zwei Permutationen σ, π ∈ Sym(X) heißen disjunkt, falls supp(σ) ∩ supp(π) = ∅ gilt. Eine Rechtfertigung, Disjunktheit von Permutationen zu betrachten, gibt das folgende Resultat. Proposition 1.2.8. Disjunkte Permutationen kommutieren, das heißt sind σ, π ∈ Sym(X) disjunkt, so gilt σπ = πσ. Beweis. Wir beweisen die behauptete Identität durch Elementweise Überprüfung. Sei x inX und wir müssen σπ(x) = πσ(x) zeigen. Falls x ∈ supp π, so gilt π(x) ∈ supp π, da π eine Bijektion ist. Also gilt x, π(x) ∉ supp(σ) und daher σ(x) = x und σ(π(x)) = π(x). Es folgt σ(π(x)) = π(x) = π(σ(x)). Ein analoges Argument zeigt, dass x ∈ supp σ ebenfalls σπ(x) = πσ(x) nach sich zieht. Es bleibt zu bemerken, dass x ∉ supp σ ∪ supp π schon σπ(x) = x = πσ(x) impliziert. Wir schließen dieses Kapitel mit einem Grundlegenden Result über die Faktorisierung von be- liebigen Permutationen in Produkte disjunkter Zykel. Satz 1.2.9. Sei n ≥ 2 und σ ∈ Sn. Dann gibt es eine bis auf Reihenfolge der Faktoren eindeutige Faktori- sierung von σ in ein Produkt von nicht-trivialen, disjunkten Zykeln. 14 Beweis. Die Behauptung ist klar für n = 2. Für n ≥ 3 und σ ∈ Sn betrachte die man die Menge M = {σ k (n) ∣ k ∈ N} und deren Kardinalität l. Dann gilt σ l (n) = n und π = σ(n σ(n) σ 2 (n) σ 3 (n)... σ l−1 (n))−1 ist eine Permutation, die eingeschränkt auf die Menge M die Identität ist. Insbesondere können wir π als Element von Sn−1 ≤ Sn auffassen und erhalten eine Zykelzerlegung von π. Da ∅ = supp π ∩ M = supp π ∩ supp(n σ(n) σ 2 (n)... σ l−1 (n)) gilt und σ = π(n σ(n) σ 2 (n) σ 3 (n)... σ l−1 (n)) besitzt auch σ eine Zerlegung in disjunkte Zykel. Sind σ = α1 ⋯αs = β1 ⋯βt zwei Zerlegungen in disjunkte Zykel, wählen wir i ∈ supp σ sowie a ∈ {1,... , s}, b ∈ {1,... , t}, so dass i ∈ supp αa und i ∈ supp βb. Dann gilt αa (i) = σ(i) = βb (i) womit αa (i) ∈ supp αa und βb (i) ∈ supp βb folgt. Induktiv schließen wir, dass αak (i) = βbk (i) für alle k ∈ N gilt und damit αa = βb. Da i beliebig war und der Träger jedes Zykels α1 ,... , αs , β1 ,... , βt nicht leer ist, folgt die Eindeutigkeit. Beispiel 1.2.10. Betrachten wir die Identität 1 2 3 4 5 ( ) = (1 2 3) 2 3 1 4 5 aus Beispiel 1.2.3. Der Beweis von Satz 1.2.9 zeigt nach leichter Modifikation auch wie eine derar- tige Zerlegung gefunden werden kann. Wir beschreiben das Verfahren schrittweise und schreiben dafür σ für die obenstehende Permutation. Man finde den Träger supp σ. Nun sei i das kleinste Element von supp σ und man betrachte die iterierten Bilder von i unter σ, bis wir wieder die i finden und schreibe diese als Zykel auf. Formell, setzen wir i = min supp(σ) und betrachten schreiben den Zykel (i σ(i) σ 2 (i)... σ n (1)), wobei n ∈ N minimal mit der Eigenschaft ist, dass σ n+1 (i) = i gilt. Man setze auf gleiche Weise fort mit dem kleinsten Element von supp σ, das noch in keinem Zykel geschrieben wurde. σ ist das Produkt aller Zykel, die auf diese Art gefunden wurden. Übung 1.2.11. Bestimmen Sie die Zykelzerlegung der Permutation 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ( ). 1 5 4 10 8 9 7 2 3 6 15 Beispiel 1.2.12. Mit Hilfe der Zykelzerlegung und können leicht hohe Potenzen von Permutationen bestimmt werden. Wir illustrieren dies am Beispiel der Berechnung von σ 100 für 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 σ=( ). 4 1 3 5 9 8 6 7 2 10 Die Zykelzerlegung von σ ist σ = (1 4 5 9 2)(6 8 7). Es gilt also, da disjunkte Zykel kommutieren und die Länge eines Zykels dessen Ordnung ist σ 100 = (1 4 5 9 2)100 (6 8 7)100 = (1 4 5 9 2)20⋅5 (6 8 7)1+33⋅3 = (6 8 7). 1.3 Gruppenhomomorphismen In der modernen Mathematik hat sich herausgestellt, dass eine der erfolgreichsten Arten mathema- tische Objekte zu vergleichen ist, geeignete Abbildungen zwischen diesen zu studieren. Für Grup- pen sind dies die nachstehend definierten Gruppenhomomorphismen. Definition 1.3.1. Seien G, H Gruppen. Ein Gruppenhomomorphismus von G nach H ist eine Abbildung φ∶ G Ð→ H, so dass φ(g1 g2 ) = φ(g1 )φ(g2 ) für alle g1 , g2 ∈ G gilt. Beispiel 1.3.2. Ist H ≤ G eine Gruppe, so ist die Inklusionsabbildung ein injektiv Gruppen- homomorphismus H → G. Es gibt einen eindeutigen Gruppenhomorphismus φ∶ S4 Ð→ S3 , der φ((1 2)) = φ(3 4) = (1 2) und φ((2 3)) = (2 3) erfüllt. Eindeutigkeit folgt aus der Tatsache, dass S4 = ⟨(1 2), (2 3), (3 4)⟩ gilt, und die Exis- tenz kann nachgerechnet werden. Beispiel 1.3.3. Die Determinante über jedem Körper K ist Multiplikativ, das heißt det(AB) = det(A) det(B) gilt für all A, B ∈ Mn (K). Außerdem ist eine Matrix invertierbar genau dann wenn ihre Determinante nicht verschwindet. Es folgt also, dass det∶ GLn (K) → K × einen Grup- penhomomorphismus definiert. Beispiel 1.3.4. Für jeden Körper K gibt es eine Abbildung φ∶ Sn → GLn (K), die durch ⎧ ⎪1 ⎪ falls σ(j) = i φ(σ)ij = ⎨ ⎩0 ⎪ ⎪ andernfalls definiert ist. Es handelt sich um einen Gruppenhomomorphismus, wie man folgendermaßen am einfachsten sieht. Für die Operation auf Einheitsvektoren e1 ,... , en ∈ K n gilt φ(σ)ei = eσ(i) , 16 so dass für zwei Permutationen σ, ρ ∈ Sn folgt, dass φ(σ)φ(ρ)ei = φ(σ)eρ(i) = eσ(ρ(i)) = φ(σρ)ei. Es folgt also φ(σ)φ(ρ) = φ(σρ). Die Signum-Abbildung, die Sie bereits in der linearen Algebra kennengelernt haben, kann nun durch die Komposition sgn = det ○φ gewonnen werden. Wir nutzen diese Gleichung als Definition des Signums. Man erhält folgende bekannte Werte für transpositionen. Ist (i j) ∈ Sn eine Transposition und π ∈ Sn eine beliebige Permutation, die π(1) = i und π(2) = j erfüllt, so gilt sgn((i j)) = sgn(π(1 2)π −1 ) = sgn(π)sgn((1 2))sgn(π −1 ) = sgn(id)sgn((1 2)) = sgn((1 2)). Da φ((1 2)) blockdiagonal ist, folgt weiter 0 1 sgn((1 2)) = det(φ((1 2))) = det(( )) = −1. 1 0 Also ist das Signum jeder Transposition negativ. Proposition 1.3.5. Sei φ∶ G Ð→ H ein Gruppenhomomorphismus. Dann gelten die Aussagen. (i) φ(eG ) = eH (ii) Für all g ∈ G gilt φ(g −1 ) = φ(g)−1. Beweis. Wir zeigen zuerst (i). Es gilt φ(eG )2 = φ(e2G ) = φ(eG ). Nach multiplikation mit φ(eG )−1 folgt also φ(eG ) = eH. Um (ii) zu zeigen, fixieren wir g ∈ G. Dann gilt φ(g)φ(g −1 ) = φ(gg −1 ) = φ(eG ) = eH. Da Inverse eindeutig sind, folgt φ(g −1 ) = φ(g)−1. Definition 1.3.6. Ein bijektiver Gruppenhomomorphismus heißt Gruppenisomorphismus. Wir schreiben G ≅ H falls ein Gruppenisomophismus von G nach H existiert. Ein Gruppenautomor- phismus einer Gruppe G ist ein Gruppenisomorphismus φ∶ G Ð→ G. Beispiel 1.3.7. In Beispiel 1.1.18 haben wir die diahedrale Gruppen als Symmetrien regulärer Viele- cke eingeführt. Da jede Permutation der Ecken eines Dreieck sich zu einer eindeutigen Symmetrie des Dreiecks fortsetzt, erhalten wir den Gruppenisomorphismus D3 ≅ S3. Übung 1.3.8. Analog zur Zerlegung von Vektorräumen in direkte Summen, kann man auch von direkten Produktzerlegungen von Gruppen sprechen. Sind H, K ≤ G Untergruppen, so sagen wir, dass G ein direktes Produkt von H und K ist, wenn hk = kh für alle h ∈ H, k ∈ K gilt, H ∩ K = {e} gilt und 17  HK = G gilt. Man schreibt in diesem Fall G = H×K. Dies ist nicht zu verwechseln mit dem Kartesischen Produkt von Gruppen aus Beispiel 1.1.10. Sei nun G eine Gruppe und H, K ≤ G Untergruppen. Zeigen Sie, dass G ein direktes Produkt von H und K im obigen Sinne ist, genau dann wenn es einen Isomorphismus φ∶ G Ð→ H × K mit φ(h) = (h, eK ) und φ(k) = (eH , k) für alle h ∈ H und k ∈ K gibt. Die Zielmenge von φ ist hier das direkte Produkt von H und K im Sinne des Beispiels 1.1.10. Beispiel 1.3.9. Sei G eine Gruppe. Die Menge Aut(G) aller Gruppenautomorphismen von G bildet unter Komposition eine Gruppe. Es gibt eine Abbildung G → Aut(G) gegeben durch g ↦ Ad g mit (Ad g)(h) = ghg −1. Bild wird als innere Automorphismen bezeichnet Inn(G) und ist eine Untergruppe von Aut(G). Beispiel 1.3.10. Es gilt GLn (Q) ≅ Aut(Qn ), da jeder Gruppenautomorphismus von Qn au- tomatisch linear ist (Übung). Aber Aut(C) ≅/ GL1 (C) = C× , da die komplexe Konjugation ein Gruppenautomorphismus von C ist, der nicht C-linear ist. Aut(Sn ) ≅ Sn falls n ≠ 2, 6. Aut(S2 ) ≅ Aut(Z2 ) = {id} und ∣Aut(S6 )∣ = 2∣S6 ∣ (die Gruppe kann explizit beschrieben werden). 1.4 Kerne und Normalteiler Die folgende Definition sollte uns an den Kern einer linearen Abbildung denken lassen, wie sie in der linearen Algebra definiert wurde. Tatsächlich sind beide Definition kompatibel, das heißt be- trachten wir einen Vektorraum als Gruppe (mit der Addition von Vektoren als Gruppenoperation), so kann Definition 2.2.11 auf eine lineare Abbildung angewendet werden und liefert uns den bis dato bekannten Begriff des Kerns der linearen Abbildung zurück. Definition 1.4.1. Sei φ∶ G Ð→ H ein Gruppenhomomorphismus. Der Kern von φ is ker φ = {g ∈ G ∣ φ(g) = eH }. Beispiel 1.4.2. Ein Beispiel eines Kerns haben wir bereits in Beispiel 1.1.6 gesehen, nämlich die spe- zielle lineare Gruppe über einem Körper K. Es gilt SLn (K) = {A ∈ GLn (K) ∣ det A = 1} = ker det. Ein weiteres Beispiel ist die alternierende Gruppe An = ker sgn. Der Kern ist sehr praktisch, wenn wir bestimmen wollen, ob ein Gruppenhomomorphismus injektiv ist oder nicht, wie das nächste Resultat zeigt. Proposition 1.4.3. Sei φ∶ G → H ein Gruppenhomomorphismus. Dann ist φ injektiv genau dann wenn ker φ = {e} gilt. 18 Beweis. Ist φ injektiv, so folgt ker φ = φ−1 ({eH }) = {eG }. Umgekehrt sei ker φ = {eG } angenommen. Seien g1 , g2 ∈ G, so dass φ(g1 ) = φ(g2 ) gilt. Dann folgt φ(g1 g2−1 ) = φ(g1 )φ(g2 )−1 = e , was g1 g2−1 ∈ ker φ heißt. Also gilt nach Annahme g1 g2−1 = e, was zu g1 = g2 äquivalent ist. Dies zeigt Injektivität von φ. Implizit haben wir im obigen Beispiel 1.4.2 behauptet, dass der Kern eines Gruppenhomomor- phismuses schon eine Untergruppe ist. Dies ist tatsächlich der Fall, wie wir gleich sehen werden, aber noch mehr ist wahr. Definition 1.4.4. Eine Untergruppe N ≤ G heißt Normalteiler von G falls gN g −1 = N für alle g ∈ G gilt. Proposition 1.4.5. Sei φ∶ G Ð→ H ein Gruppenhomomorphismus. Dann ist ker φ ein Normalteiler von G. Beweis. Wir zeigen zuerst, dass ker φ eine Untergruppe von G ist. Hierzu seien k1 , k2 ∈ ker φ. Dann gilt H eH = eH. φ(k1−1 k2 ) = φ(k1 )−1 φ(k2 ) = e−1 Ist nun k ∈ ker φ und g ∈ G, so gilt weiter φ(gkg −1 ) = φ(g)φ(k)φ(g)−1 = φ(g)eH φ(g)−1 = eH , also gkg −1 ∈ ker φ. Es gilt also g(ker φ)g −1 ⊆ ker φ. Da g ∈ G beliebig war, folgern wir, dass auch g −1 (ker φ)g = g −1 (ker φ)(g −1 )−1 ⊆ ker φ gilt, was äquivalent zu ker φ ⊆ g(ker φ)g −1 ist. Beispiel 1.4.6. Sei G eine Gruppe. Dann ist die Untergruppe der inneren Automorphismen Inn(G) von G ein Normalteiler von Aut(G). Um dies zu beweisen betrachten wir Ad g für g ∈ G sowie α ∈ Aut(G) und müssen zeigen, dass α ○ (Ad g) ○ α−1 ein innerer Automorphismus ist. Dies kann elementweise nachgerechnet werden. Für h ∈ G gilt [α ○ (Ad g) ○ α−1 ](h) = [α ○ (Ad g)](α−1 (h)) = α(gα−1 (h)g −1 ) = α(g)α(α−1 (h))α(g −1 ) = [Ad α(g)](h). Es gilt also α ○ (Ad g) ○ α−1 = Ad α(g), womit folgt, dass Inn(G) tatsächlich ein Normalteiler von Aut(G) ist. 19 Beispiel 1.4.7. In Beispiel 1.1.20 haben wir die Kommutatoruntergruppe G′ = ⟨ghg −1 h−1 ∣ g, h ∈ G⟩ eingeführt. Diese ist ein Normalteiler, denn für g, h, k ∈ G gilt k[g, h]k −1 = k(ghg −1 h−1 )k −1 = k(g(k −1 k)h(k −1 k)g −1 (k −1 k)h−1 )k −1 = (kgk −1 )(khk −1 )(kg −1 k −1 )(kh−1 k −1 ) = (kgk −1 )(khk −1 )(kgk −1 )−1 (khk −1 )−1 = [kgk −1 , khk −1 ]. Also gilt für k ∈ G, die Gleichheit kG′ k −1 = ⟨k[G, G]k −1 ⟩ = ⟨[kGk −1 , kGk −1 ]⟩ = G′. Zum Schluss eine Definition, die in die Bausteine der Gruppentheorie spezifiziert. Definition 1.4.8. Eine Gruppe G heißt einfach falls {eG } und G ihre einzigen Normalteiler sind. Beispiel 1.4.9. Ist p eine Primzahl, so ist Z/pZ einfach. Man kann zeigen, dass die Gruppen An für n ≥ 5 einfach sind. 1.5 Nebenklassen und Quotienten In diesem Abschnitt werden wir die Betrachtungen über Normalteiler als Kerne von Homomor- phismen umkehren: wir werden jedem Normalteiler einen natürlichen Homomorphismus zuord- nen, dessen Kern er ist. Dies motivert das Konzept des Normalteilers abschließend, da es sich genau um die Kerne von Gruppenhomomorphismen handelt. Nebenklassen Bemerkung 1.5.1. Zum Einstieg beobachten wird, das eine Untergruppe N ≤ G genau dann Nor- malteiler ist, wenn gN = N g für all g ∈ G gilt. Dies motiviert die folgende Definition. Definition 1.5.2. Sei H ≤ G eine Untergruppe. Dann ist eine Linksnebenklasse von H in G eine Teilmenge der Form gH = {gh ∣ h ∈ H} ⊆ G. Eine Rechtsnebenklasse von H in G ist eine Teilmenge der Form Hg = {hg ∣ h ∈ H} ⊆ G. Beispiel 1.5.3. Die Links- beziehungsweise Rechtsnebenklassen von nZ ≤ Z sind identisch (denn es handelt sich um einen Normalteiler) und der Form k + nZ = {a ∈ Z ∣ a ≡ k (modn)} , wobei k ∈ {0,... , n − 1}. 20  Die Links- und Rechtsnebenklassen von R × {0} ≤ R2 sind genau die "horizontalen Linien" R × {y} ⊆ R2 , wobei y ∈ R ist. Ein Beispiel in dem Links- und Rechtsnebenklassen nicht übereinstimmen ist die Untergrup- pe H = {id, (1 2)} ≤ S3. Es handelt sich um keinen Normalteiler. Konkret erhalten wir die Linksnebenklassen H, (1 3)H = {(1 3), (1 2 3)} und (2 3)H = {(2 3), (1 3 2)}. Die Rechtsnebenklassen sind H, H(1 3) = {(1 3), (1 3 2)} und H(2 3) = {(2 3), (1 2 3)}. Beide Berechnungen wären mühselig ohne weitere Hilfmittel, folgen aber leicht, wenn man den nächsten Satz anwendet. Satz 1.5.4. Sei H ≤ G eine Untergruppe. Dann sind je zwei Linksnebenklassen von H in G disjunkt oder gleich. Außerdem gilt g1 H = g2 H genau dann wenn es ein h ∈ H gibt, so dass g1 h = g2 gilt. Die analoge Behauptung gilt für Rechtsnebenklassen. Beweis. Seien g1 H, g2 H zwei Linksnebenklassen, die nicht disjunkt sind. Wir zeigen, dass es h ∈ H gibt, so dass g1 h = g2. Denn folgt direkt auch g1 H = g2 hH = g2 H. Da g1 H ∩ g2 H ≠ ∅, gibt es h1 , h2 ∈ H, so dass g1 h1 = g2 h2. Nach Multiplikation von Rechts mit h−1 1 folgt g1 = g2 h2 h1 , so −1 dass wir h = h2 h−1 1 wählen können. Der vorhergehende Satz sagt also, dass {gH ∣ g ∈ G} eine Partition von G in Linksnebenklas- sen, beziehungsweise {Hg ∣ g ∈ G} eine Partition in Rechtsnebenklassen, definiert. Notation 1.5.5. Sei H ≤ G eine Untergruppe. Wir bezeichnen mit G/H die Menge der Linksneben- klassen von H in G und mit H/G die Menge der Rechtsnebenklassen von H in G. Während Rechts- und Linksnebenklassen im allgemeinen unterschiedlich sein können, wie wir im Beispiel 1.5.3 bereits gesehen haben, ist die Anzahl der Nebenklassen eine Größe die nur von der Untergruppe H ≤ G abhängt. Proposition 1.5.6. Sei H ≤ G eine Untergruppe. Dann ist die Anzahl der Linksnebenklassen von H in G gleich der Anzahl der Rechtsnebenklassen von H in G. Beweis. Wir behaupten, dass die Abbildung I∶ G/H Ð→ H/G∶ gH ↦ Hg −1 eine wohldefinierte Bijektion ist. Zur Wohldefiniertheit seien g1 H = g2 H zwei Representanten für dies selbe Linksnebenklasse. Dann gilt auch Hg1−1 = (g1 H)−1 = (g2 H)−1 = Hg2−1. Also ist I tatsächlich wohldefiniert. Aus der Identität gH = (Hg −1 )−1 folgt, dass I inject ist. Weiter ist I surjective, da Hg = I(g −1 H) für beliebiges g ∈ G gilt. 21  Dank des letzten Resultats, können wir sinnvoll von der Anzahl der Nebenklassen sprechen, ohne spezifizierung der Links- oder Rechtsnebenklassen. Dies führt zu folgender Definition. Definition 1.5.7. Sei H ≤ G eine Untergruppe. Der Index von H in G, geschrieben [G ∶ H] ist die Anzahl der Nebenklassen von H in G. Beispiel 1.5.8. Wir betrachten die alternierende Gruppe An ≤ Sn und behaupten, dass [Sn ∶ An ] = 2 gilt. Sind nämlich σ, π zwei ungerade permutationen, so ist σ −1 π eine gerade Permutation, so dass σAn = σ(σ −1 π)An = πAn folgt. Für endliche Gruppen, zeigt das nächste Resultat wie wichtig der Index ist. Satz 1.5.9 (von Lagrange). Sei H ≤ G eine Untergruppe einer Gruppe. Dann gilt ∣G∣ = [G ∶ H]∣H∣. Beweis für endliche Gruppen. Nach Satz 1.5.4 wird G durch die Linksnebenklassen von H in G partitioniert. Schreiben wir n = [G ∶ H] = ∣G/H∣, so gibt es also g1 ,... , gn ∈ G, so dass G = g1 H ⊔ ⋯ ⊔ gn H. Da H → gi H∶ h ↦ gi h eine Bijektion ist, folgt ∣H∣ = ∣gi H∣ für alle i ∈ {1,... , n}. Damit folgt ∣G∣ = ∣g1 H∣ + ⋯ + ∣gn H∣ = [G ∶ H]∣H∣. Beweis im allgemeinen Fall. Sei L ⊆ G eine Menge von Repräsentanten für die Linksnebenklassen von H in G, das heißt die Abbildung L → G/H∶ g ↦ gH sei eine Bijektion. Dann gilt ∣L∣ = [G ∶ H]. Betrachte die Abbildung L × H → G∶ (g, h) → gh. Dies ist eine Bijektion, da Surjektivität klar ist und für g1 , g2 ∈ L sowie h1 , h2 ∈ H mit g1 h1 = g2 h2 folgt, dass g1 = g2 (h2 h−1 1 ) und daher g1 H = g2 H gilt. Nach Wahl von L folgt g1 = g2 und damit h1 = g1−1 (g1 h1 ) = g2−1 (g2 h2 ) = h2. Nun schließen wir ∣G∣ = ∣L × H∣ = [G ∶ H]∣H∣. Wir betrachten nun einige Anwendungen des Satzes von Lagrange. Korollar 1.5.10. Sei G eine endliche Gruppe und g ∈ G. Dann teilt die Ordnung von g die Ordnung von G. Beweis. Indem wir Übung 1.1.28 in der ersten Gleichheit und den Satz von Lagrange in der zweiten Gleichheit anwenden, sehen wir ein, dass ord(g) = ∣⟨g⟩∣ ∣ [G ∶ ⟨g⟩] ⋅ ∣⟨g⟩∣ = ∣G∣ gilt. Ein weiteres Korollar des Satzes von Lagrange ist folgendes elementares Ergebnis der Zahlen- theorie. Korollar 1.5.11 (Kleiner Satz von Fermat). Sei p eine Primzahl und a ∈ Z. Dann gilt ap ≡ a(modp). Beweis. Falls a ≡ 0(modp), so gilt p∣a und damit auch p∣ap , da beide Kongruenzen Teilbarkeit durch p ausdrücken. Wir können also a ≢ 0(modp) annehmen. Sei G = Fp× die Gruppe der invertierbaren Elemente des Körpers mit p Elementen. Dann gilt ∣G∣ = p−1. Sei [a] die Restklasse von a in G. Nach 1.5.10 gilt [a]p−1 = in G, also [a]p = [a] in G. Anders ausgedrückt gilt also ap ≡ a(modp). 22 Quotienten Wir haben die Einführung von Nebenklassen damit, dass diese uns etwas über Normalteiler und daraus konstruierte Abbildungen sagen. Dies sehen wir in den nächsten beiden Resultaten. Proposition 1.5.12. Sei N ≤ G eine Untergruppe. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent. (i) N ist Normalteiler von G. (ii) Es gilt G/N = N /G (als Menge von Teilmengen von G) (iii) Jede Rechtsnebenklasse von N in G ist auch eine Linksnebenklasse von N in G. Beweis. Sei angenommen, dass N ⊴ G Normalteiler ist. Dann gilt gN = N g für alle g ∈ G, wie wir in Bemerkung rem:normalteiler-umformulierung festgehalten haben. Insbesondere folgt G/N = N /G. Weiter, können wir unter annahme dieser Identität folgern, dass jede Linksnebenklasse von N in G auch eine Rechtsnebenklasse von N in G ist. Sei nun letztere Eigenschaft angenommen und wir zeigen, dass N schon ein Normalteiler von G ist. Zu g ∈ G gibt es g ′ ∈ G, so dass gN = N g ′ gilt. Nach Multiplikation mit g −1 von links folgt N = g −1 N g ′. Also gibt es n ∈ N mit der Eigenschaft, dass e = g −1 ng ′ gilt. Dies kann umgeschrieben werden zu n−1 g = g ′ , so dass N g ′ = N n−1 g = N g folgt. Wir haben also gN = N g für beliebiges g ∈ G gezeigt, was Bermerkung 1.5.1 folgend beweist, dass N Normalteiler von G ist. Wir konstruieren nun einen natürlichen Gruppenhomomorphismus aus einem Normalteiler, dessen Kern der Normalteiler selbst ist. Die Abbildung πN im folgenden Satz wird Quotientenab- bildung genannt. Satz 1.5.13. Sei N ⊴ G ein Normalteiler. Dann gibt es eine eindeutige Gruppenstruktur auf G/N , für die die Quotientenabbildung πN ∶ G Ð→ G/N ∶ g ↦ gN ein Gruppenhomomorphismus ist. Es gilt ker πN = N. Beweis. Wir behaupten, dass die Abbildung G/N × G/N ∶ (g1 N, g2 N ) ↦ g1 g2 N wohldefiniert ist und G/N zu einer Gruppe macht. Die Wohldefiniertheit folgt indem wir Satz 1.5.4 anwenden un für g1 , g2 ∈ G sowie n1 , n2 ∈ N berechnen, dass (g1 n1 )(g2 n2 )N = g1 g2 (g2−1 n1 g2 )n2 N = g1 g2 N ´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶ ∈N gilt. Die Assoziativität der Verknüpfung folgt aus der Rechnung (g1 N g2 N )g3 N = (g1 g2 N )g3 N = (g1 g2 )g3 N = g1 (g2 g3 )N = g1 N (g2 N g3 N ). Direkt aus der Definition der Multiplikation folgt, das eG N = N das neutrale Element ist und g −1 N das Inverse von gN ist. Die Abbildung πN ist ein Gruppenhomomorphismus, denn für g1 , g2 ∈ G gilt πN (g1 )πN (g2 ) = (g1 N )(g2 N ) = g1 g2 N = πN (g1 g2 ) gilt. Aus dieser Rechnung folgt auch, dass die beschriebene Verknüpfung die eindeutige Gruppen- struktur auf G/N definiert, für die πN zum Gruppenhomomorphismus wird. 23 Korollar 1.5.14. Eine Untergruppe einer Gruppe G ist genau dann ein Normalteiler wenn sie Kern eines Gruppenhomomorphismus von G ist. Beweis. Nach Proposition 1.4.5 ist der Kern eines Gruppenhomomorphismus von G ein Normal- teiler von G. Umgekehrt zeigt Satz 1.5.13, dass ein Normalteiler N ⊴ G der Kern der Quotien- tenabbildung πN ist. Nun stellt sich das Problem Quotientengruppen zu berechnen. Erst im nächsten Abschnitt wer- den wir hierzu einen systematischen Zugang entwickeln. Für den Moment müssen wir uns mit elementaren Beweismethoden begnügnen. Beispiel 1.5.15. Wir betrachten die alternierende Gruppe An als Normalteiler von Sn und wollen Sn /An beschreiben. Da [Sn ∶ An ] = 2 gilt, ist Sn /An eine Gruppe von Ordnung 2, also isomorph zu Z/2Z. Weitere Beispiele von Qutientengruppen sind im folgenden Beispiel beschrieben. Beispiel 1.5.16. Sei K Körper und D = {diag(k, k,... , k) ∣ k ∈ K × } die Untergruppe der Diagonalmatrizen der allgmeinen linearen Gruppe über K. Der Quotient GLn (K)/D heißt projektive allgemeine lineare Gruppe und wird mit PGLn (K) bezeichnet. Das Bild von SLn (K) in diesem Quotienten wird mit PSLn (K) bezeichnet. Für endliche Körper Fp , p Prim und n ≥ 2 kann man zeigen, dass PSLn (Fp ) einfach ist, außer im Fall PSL2 (F2 ) ≅ S3 und PSL2 (F3 ) ≅ A4. Wir haben in Beispiel 1.4.7 gesehen, dass die Kommutatoruntergruppe G′ ein Normalteiler einer Gruppe G ist. Der Quotient G/G′ heißt Abelisierung von G und wird mit Gab bezeich- net. Zum Beispiel ist Sab n die triviale Gruppe für alle n ≥ 3, während Tn (K) ab ≅ (K × )n gilt. In Beispiel 1.4.6 haben wir gesehen, dass für jede Gruppe G die Untergruppe aller inneren Automorphismen ein Normalteiler der Automorphismengruppe ist, d.h. Inn(G) ⊴ Aut(G). Die Quotientengruppe wird gewöhnlich mit Out(G) = Aut(G)/Inn(G) bezeichnet und die äußere Automorphismengruppe von G genannt. 1.6 Die Isomorphiesätze für Gruppen In diesem Abschnitt werden wir Sätze sehen, die uns helfen Isomorphismen zwischen Gruppen zu finden, und speziell Quotientengruppen zu identifizieren. Dem liegt ein noch fundamentaleres Result zu Grunde, das die Existenz von bestimmten Gruppenhomomorphismen sicherstellt. Satz 1.6.1. Sei φ∶ G → H ein Gruppenhomorphismus und N ≤ ker φ ein Normalteiler von G. Dann gibt es einen eindeutigen Gruppenhomomorphismus φ∶ G/N → H, so dass φ ○ πN = φ gilt. Bemerkung 1.6.2. Diagramatisch, lässt sich der Inhalt des Satzes 1.6.1 dadurch beschreiben, dass das folgende Diagramm kommutiert, das heißt die Komposition entlang jedes Weges von einer Gruppe zu einer anderen im Diagramm, definiert den selben Gruppenhomomorphismus. φ G H πN ∃! ↺ G/N 24 Beweis von Satz 1.6.1. Falls die Abbildung φ existiert, so muss sie φ(gN ) = φ(g) erfüllen, was be- reits die Eindeutigkeit von φ zeigt. Um die Existenz zu beweisen, überprüfen wir, dass diese Abbil- dungsvorschrift einen wohldefinierten Gruppenhomomorphismus definiert. Gilt g1 N = g2 N , so gibt es nach Satz 1.5.4 ein n ∈ N , das g1 n = g2 erfüllt. Nun folgt φ(g2 ) = φ(g1 n) = φ(g1 )φ(n) = φ(g1 ). da N ≤ ker φ gilt. Also ist Abbildung φ∶ G/N Ð→ H wohldefiniert. Wir zeigen, dass φ ein Gruppenhomomorphismus ist. Für g1 , g2 ∈ G gilt φ((g1 N )(g2 N )) = φ(g1 g2 N ) = φ(g1 g2 ) = φ(g1 )φ(g2 ) = φ(g1 N )φ(g2 N ). Wir werden nun drei verschiedene Isomorphiesätze sehen, die das Hauptinstrument darstellen, um zu Beweisen, dass zwei Gruppen isomorph sind. Wir werden durchgängig die Bezeichnung ιH ∶ H → G für den Einbettungshomomorphismus einer Untergruppe H ≤ G verwenden. Korollar 1.6.3 (Erster Isomorphiesatz). Sei φ∶ G → H ein Gruppenhomomorphismus. Dann gibt es einen eindeutigen Isomorphismus φ∶ G/ ker φ Ð→ im φ, so dass ιim φ ○ φ ○ πker φ = φ gilt. Bemerkung 1.6.4. Diagrammatisch kann dieses Korollar formuliert werden, indem man sagt, dass folgendes Diagramm kommutiert (das heißt jede beliebige Verkettung von Abbildungen mit dem selben Start- beziehungsweise Endpunkt ergibt die selbe Abbildung). φ G H πker φ ↺ ιim φ ∃! G/ ker φ im φ Beweis von Korollar 1.6.3. Wendet man Satz 1.6.1 auf den Kern der Abbildung φ′ ∶ G → im φ, so erhält man eine Abbildung φ∶ G/ ker φ′ → im φ, die φ(g ker φ′ ) = φ′ (g) = φ(g) erfüllt. Da ker φ′ = ker φ gilt, folgt also ιim φ ○ φ ○ πker φ = φ. Wir müssen zeigen, dass φ ein Isomorphismus ist. Offensichtlich ist φ surjektiv, so dass Injektivität zu zeigen bleibt. Hierzu sei g ker φ ∈ ker φ. Dann folgt φ(g) = φ(g ker φ) = eH , also g ∈ ker φ. Das heißt g ker φ = ker φ ist das neutrale Element in G/ ker φ, was nach Proposition 1.4.3 die Injektivität von φ zeigt. Beispiel 1.6.5. Wir betrachten den Quotienten GLn (K) nach der normalen Untergruppe SLn (K). Da SLn (K) = ker det für die Determinante det∶ GLn (K) Ð→ K × , folgt GLn (K)/SLn (K) ≅ im det. Da für k ∈ K × die invertierbare Marix diag(k, 1,... , 1) ∈ GLn (K) Determinante k hat, ergibt sich im det = K ×. Also gilt GLn (K)/SLn (K) ≅ K ×. Der zweite und dritte Isomorphisatz beschreiben jeweils spezifischere Situationen. Wir benö- tigen zunächst etwas Vorbereitung. Notation 1.6.6. Seien A, B ⊆ G Teilmengen einer Gruppe. Dann ist AB = {ab ∣ a ∈ A, b ∈ B} das Produkt der Mengen. 25 Diese Schreibweise kann zum Beispiel genutzt werden, um die in der linearen Algebra zu bewei- sende QR-Zerlegung invertierbarer Matrizen kurz und bündig zu beschreiben: es gilt GLn (R) = O(n)Tn (R). Wir sind daran interessiert wann das Produkt von Gruppen wieder eine Gruppe ist. Dies ist nicht immer der Fall, wie schon das Beispiel {id, (1 2)}{id, (2 3)} = {id, (1 2), (2 3), (1 2 3)} ⊆ S3 zeigt. Der folgende Begriff wird uns die Formulierung einer Bedingung, die dies sicherstellt, er- leichtern. Definition 1.6.7. Sei H ≤ G eine Untergruppe. Dann ist der Normalisator von H in G die Unter- gruppe NG (H) = {g ∈ G ∣ gHg −1 = H}. Beispiel 1.6.8. Der Normalisator jedes Normalteilers H ⊴ G ist die ganze Gruppe G. Dies charakterisiert Normalteiler. Betrachten wir H = ⟨(1 2)(3 4)⟩ ≤ S4 so gilt πHπ −1 = H genau dann wenn π(1 2)(3 4)π −1 = (1 2)(3 4). Letzteres ist äquivalent zu {{π(1), π(2)}, {π(3), π(4)}} = {{1, 2}, {3, 4}}. Also ist der Normalisator NS4 (H) die Untergruppe 1 2 3 4 1 2 3 4 {id, (1 2), (3 4), (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3), ( ),( )} 3 4 2 1 4 3 1 2 Lemma 1.6.9. Seien H, K ≤ G Untergruppen einer Gruppe. Dann sind äquivalent: HK ≤ G ist Untergruppe von G. KH = HK. KH ⊆ HK. Insbesondere ist HK ≤ G eine Untergruppe, falls H ⊆ NG (K) = {g ∈ G ∣ gKg −1 = K} gilt. Beweis. Ist HK Untergruppe von G, so gilt KH = (HK)−1 = HK. Diese Gleichheit impliziert weiter die Inklusion KH ⊆ HK. Sei letzteres nun angenommen und wir zeigen, dass HK eine Untergruppe von G ist. Dies folgt aus der Tatsache, dass gilt eG ∈ HK ≠ ∅ und außerdem (HK)(HK)−1 = (HK)(KH) = HKH ⊆ HHK = HK. Gilt nun H ⊆ NG (K), so folgt KH = ⋃ Kh = ⋃ hK = HK , h∈H h∈H so dass HK tatsächlich eine Untergruppe von G ist. Von nun an gehen wir dazu über die Isomorphiesätze rein in diagrammatischer Sprache zu formulieren, wie es bereits in den Bemerkungen 1.6.2 und 1.6.4 vorbereitet wurde. 26 Korollar 1.6.10 (Zweiter Isomorphiesatz). Sei G Gruppe und K, H ≤ G, so dass H ≤ NG (K). Dann ist HK ≤ G eine Untergruppe und sowohl K ⊴ HK als auch H ∩ K ⊴ H sind Normalteiler. Weiter gibt es einen eindeutigen Isomorphismus φ∶ H/(H ∩K) Ð→ HK/K, so dass folgendes Diagramm kommutiert. ιH H HK πH∩K ↺ πK ∃! H/(H ∩ K) HK/K Beweis. Wir zeigen erst, dass K ⊴ HK und H ∩ K ⊴ H gilt. Für ersteres genügt es zu einzusehen, dass H, K ⊆ NG (K) und damit auch HK ⊆ NG (K). Um H ∩ K ⊴ H zu verifizieren, sei h ∈ H. Da Ad h ein Automorphismus von H ist, folgt h(H ∩ K)h−1 = (Ad h)(H ∩ K) = (Ad h)(H) ∩ (Ad h)(K) = H ∩ K. Die letzte Gleicheit nutzt hier die Tatsache, dass H ⊆ NG (K) gilt. Sei nun φ0 = πK ○ ιH ∶ H → HK/K. Der erste Isomorphiesatz aus Korollar 1.6.3 hierauf ange- wendet, gibt einen Isomorphismus φ∶ H/ ker φ → im φ0 , der ιim φ0 ○ φ ○ πker φ0 = φ erfüllt. Es gilt ker φ0 = H ∩ ker πK = H ∩ K und im φ = πK (H) = πK (HK) = HK/K. Also ist φ∶ H/(H ∩ K) → HK/K der gesuchte Isomorphismus. Eindeutigkeit folgt aus der Bedingung φ ○ πH∩K = πK ○ ιH , da πH∩K surjektiv ist. Beispiel 1.6.11. Indem man den zweiten Isomorphiesatz auf Quotienten von Z anwendet, findet man die bekannte Identität ggT(a, b)kgV(a, b) = ab wieder. Man betrachte H = aZ und K = bZ als untergruppen von Z. Dann ist der zweite Isomorphiesatz anwendbar und sagt aus, dass (H + K)/K ≅ H/(H ∩ K) gilt. Wir bestimmen die Gruppen die hierin auftauchen. H + K = ggT(a, b)Z b (H + K)/K = Z/( Z) ggT(a, b) H ∩ K = kgV(a, b)Z kgV(a, b) H/(H ∩ K) = Z/( )Z. a Es gilt also b ggT(a,b) = kgV(a,b) a , was äquivalent zu ggT(a, b)kgV(a, b) = ab ist. Beispiel 1.6.12. Sei F ein Körper. Dank des zweiten Isomorphiesatzes kann die Identifikation Tn (F )/UTn (F ) ≅ (F × )n , die in Beispiel 1.5.16 beschrieben wurde einfach bewiesen werden. Wir betrachten die Gruppe der invertierbaren Diagonalmatrizen H = {diag(k1 ,... , kn ) ∣ k1 ,... , kn ∈ F × und K = UTn (F ). Ist A ∈ Mn (F ) und h = diag(k1 ,... , kn ) ∈ H, so gilt (hAh−1 )ij = ki kj−1 Aij. Es folgt, dass H ≤ NG (K) gilt. Da HK = Tn (F ) gilt, folgt mit Hilfe des zweiten Iso- morphiesatzes Tn (F )/UTn (F ) = HK/K ≅ H/(H ∩ K) = H ≅ (F × )n. Der dritte und letzte Isomorphiesatz beschreibt eine Art Kürzungsregel für Quotienten von Gruppen. 27 Korollar 1.6.13 (Dritter Isomorphiesatz). Sei G Gruppe und seien K, H ⊴ G Normalteiler, so dass K ≤ H gilt. Dann gilt H/K ⊴ G/K und gibt es einen eindeutigen Isomorphismus φ∶ G/H Ð→ (G/K)/(H/K) , so dass das folgende Diagramm kommutiert. πK G G/K πH ↺ πH/K ∃! G/H (G/K)/(H/K) Beweis. Da H Normalteiler von G ist und πK ∶ G → G/K surjektiv ist, folgt, dass auch H/K = πK (H) ⊴ G/K ein Normalteilser ist, denn für g ∈ G gilt gK(H/K)(gK)−1 = πK (gHg −1 ) = πK (H) = H/K. Sei φ0 ∶ G → (G/K)/(H/K) durch die Verknüpfung φ0 = πH/K ○πK gegeben. Nach Korollar 1.6.3 gibt es einen eindeutigen Isomorphismus φ∶ G/ ker φ0 Ð→ im φ0 , so dass ιim φ0 ○ φ ○ πker φ0 = φ0 gilt. Da φ0 surjektiv ist, gilt im φ0 = (G/K)/(H/K) und ιim φ0 = id. Außerdem gilt ker φ0 = {g ∈ G ∣ gK ∈ HK} = {g ∈ G ∣ g ∈ H} , da gK ∈ HK genau dann gilt wenn es k1 , k2 ∈ K und h ∈ H gibt mit gk1 = hk2 , das heißt g ∈ hk2 k1−1 ∈ HK = H. Die Eindeutigkeit von φ folgt aus der Bedingung φ ○ πH = πH/K ○ πK , da πH surjektiv ist. Beispiel 1.6.14. Die bereits erwähnte Analogie zu Kürzungsregeln lässt sich durch Anwendung des dritten Isomorphiesatzes auf Untergruppen von Z illustrieren. Er zeigt auch wie die Quotienten Z/nZ miteinander in Verbindung stehen. Ist nämlich H = nZ und K = mnZ, so erhalten wir einen Isomorphismus Z/nZ Ð→ (Z/mnZ)/(nZ/mnZ). Insbesondere ist Z/nZ Quotient von Z/mnZ. Dies lässt sich durch eine „genau dann“ Aussage er- gänzen: Z/kZ ist ein Quotient von Z/lZ genau dann wenn k ∣ l. Bemerkung 1.6.15. Zum Abschluss dieses Abschnitts noch eine kurze Warnung bezüglich der Num- merierung der Isomorphiesätze. Diese ist keineswegs universell festgelegt, sondern unterschiedli- che Autoren folgen unterschiedlichen Konventionen. Ein kleiner Einblick in das Konventionschaos, das in der Literatur existiert gibt der englischsprachige Wikipediaartikel zu den Isomorphiesätzen: https://en.wikipedia.org/wiki/Isomorphism_theorems. 28 1.7 Gruppenwirkungen Definition 1.7.1. Sei G eine Gruppe. Eine Wirkung von G auf einer Menge X ist eine Abbildung G × X Ð→ X∶ (g, x) ↦ g ⋅ x, so dass g ⋅ (h ⋅ x) = (g ⋅ h) ⋅ x für alle g, h ∈ G und alle x ∈ X, sowie eG ⋅ x = x für alle x ∈ X. Man sagt, dass X eine G-Menge ist und schreibt G ↷ X. Das folgende Beispiel einer Gruppenwirkung ist charakteristisch, wie wir demnächst sehen werden. Beispiel 1.7.2. Sei G ≤ Sn eine Permutationsgruppe. Dann gibt es eine Wirkung G × {1,... , n} Ð→ {1,... , n}, die durch Anwenden einer Permutation definiert ist, das heißt σk = σ(k) für σ ∈ G und k ∈ {1,... , n}. Dies ist eine Gruppenoperation, da nach Definition der Verkettung von Funktionen (σ ⋅ π)(k) = σ(π(k)) für alle σ, π ∈ Sn und all k ∈ {1,... , n} gilt. Außerdem gilt eG = eSn = id{1,...,n}. Dieses Beispiel lässt sich direkt auf den Fall von Untergruppen allgemeiner symmetrischer Gruppen Sym(X) verallgemeinern. Zu einer festen Gruppe lässt sich eine Vielzahl von Gruppenwirkungen assozieren. Beispiel 1.7.3. Sei G eine Gruppe. Die Wirkung von G auf sich selbst G×G Ð→ G∶ (g, h) ↦ g ⋅h wird als linkreguläre Wirkung bezeichnet. Die Rechtsreguläre Wirkung ist durch (g, h) ↦ hg −1 definiert. (Überprüfen Sie zur Übung die Axiome einer Gruppenwirkung!) Die Konjugationswirkung von G auf sich selbst ist durch die Abbildung G × G∶ (g, h) ↦ ghg −1 definiert. Ist Sub(G) die Menge aller Untergruppen von G (hier steht Sub für das englische Wort „subgroup“), so gibt eine Wirkung von G × Sub(G) Ð→ Sub(G) gegeben durch (g, H) ↦ gHg −1. Und hier ein letztes Beispiel einer Gruppenwirkung, das ebenso wie Beispiel 1.7.2 sich auf seine Art als typisch herausstellen wird. Beispiel 1.7.4. Sei H ≤ G eine Untergruppe. Dann gibt es eine G-Wirkung auf den Linksnebenklas- sen von H in G, die durch G × G/H Ð→ G/H∶ (g, g ′ H) ↦ gg ′ H gegeben ist. Wir entwickeln als nächstes die grundlegende Theorie von Gruppenwirkungen. Hierzu begin- nen wir mit der folgenden Charakterisierung von Wirkungen, die Beispiel 1.7.2 in eine Kontext setzt. Satz 1.7.5. Sei G eine Gruppe und X eine Menge. Dann gibt es eine Bijektion zwischen der Menge aller Gruppenhomomorphismen von G nach Sym(X) und der Menge aller G-Wirkungen auf X. Hierbei wird einem Gruppenhomomorphismus φ∶ G Ð→ Sym(X) die Wirkung αφ ∶ G × X Ð→ X mit g ⋅αφ x = φ(g)(x) zugeordnet. Umgekehrt wird eine Wirkung α∶ G × X → X auf den Gruppenhomomorphismus φα ∶ G → Sym(X) mit φα (g)(x) = g ⋅α x abgebildet. 29 Beweis. Wir überprüfen zunächst, dass αφ eine Gruppenoperation ist. Sind g, h ∈ G und x ∈ G, so gilt g ⋅ (h ⋅ x) = φ(g)(φ(h)(x)) = [φ(g)φ(h)](x) = φ(gh)(x) = (gh)x und außerdem eG ⋅ x = φ(eG )(x) = idX (x) = x. Als nächstes Überprüfen wir, dass φα ein wohldefinierter Gruppenhomomorphismus ist. Hier- zu betrachten wir φα zunächst als Abbildung in die Halbgruppe X X aller Abbildungen von X nach X mit der Verkettung von Abbildungen als assoziativen Verknüpfung. Für g, h ∈ G und x ∈ X gilt [φα (g)φα (h)](x) = g ⋅α (h ⋅α x) = (gh) ⋅α x = φα (gh)(x) , so dass φα multiplikativ ist. Außerdem gilt φα (eG ) = idX. Es folgt, dass φα (g) ∈ X X die Inverse Abbildung φα (g −1 ) besitzt, womit φα tatsächlich Werte in Sym(X) annimmt. Also ist φα ∶ G → Sym(X) ein Gruppenhomomorphismus. Zum Abschluss des Beweises zeigen wir, dass α ↦ φα und φ ↦ φα invers zueinander sind. Für g ∈ G und x ∈ X gelten φαφ (g)(x) = g ⋅αφ x = φ(g)(x) und g ⋅αφα x = φα (g)(x) = g ⋅α x. Da g und x beliebig sind, zeigt dies φαφ = φ und αφα = α. Korollar 1.7.6 (Satz von Cayley). Jede Gruppe ist isomorph zu einer Untergruppe einer symmetrischen Gruppe. Ist die Gruppe endlich, so kann auch die symmetrische Gruppe endlich gewählt werden. Beweis. Sei G eine Gruppe. Wir betrachten die Linksreguläre Wirkung λ∶ G × G → G mit g ⋅λ h = gh für g, h ∈ G aus Beispiel 1.7.3. Sei φ ∶ G → Sym(G) der durch Satz 1.7.5 assozierte Gruppenhomomorphismus. Wir müssen zeigen, dass φ injektiv ist, das heißt ker φ = {eG }. Dies folgt, da für g ∈ G die Gleichheit φ(g)(eG ) = g ⋅λ eG = g gilt, so dass φ(g) = idG genau dann wenn g = eG. Um Gruppenwirkungen besser verstehen zu können betrchten wir als nächstes zwei grundle- gende Begriffe. Definition 1.7.7. Sei G ↷ X eine Wirkung. Für x ∈ X heißt Gx = {g ∈ G ∣ gx = x} der Stabilisator von x in G. Die Wirkung heißt frei, falls Gx = {eG } für alle x ∈ X gilt und treu falls ⋂x∈X Gx = {eG } gilt. Bemerkung 1.7.8. Wir bemerken, dass die Untergruppe ⋂x∈X Gx genau der Kern des zur Wirkung assozierten Gruppenhomomorphismus G → Sym(X) ist. (Übung!) 30 Definition 1.7.9. Sei G ↷ X eine Wirkung. Für x ∈ X heißt Gx = {gx ∣ g ∈ G} die G-Bahn von x. Die Wirkung heißt transitiv, falls Gx = X für ein (äquivalent für alle) x ∈ X gilt. Proposition 1.7.10. Ist G ↷ X eine Gruppenwirkung, x ∈ X und g ∈ G, so gilt Ggx = gGx g −1. Insbesondere folgt, dass wenn G ↷ X transitiv ist und x ∈ X, so ist ⋂y∈X Gy ≤ Gx der größte in Gx enthalt ene Normalteiler von G. Beweis. Wir betrachten zunächst die Formel für den Stabilisator. Ggx = {h ∈ G ∣ hgx = gx} = {h ∈ G ∣ g −1 hgx = x} = gGx g −1. Nun folgt auch, dass wenn G ↷ X transitive ist, und x ∈ X gegeben ist ⋂ Gy = ⋂ Ggx = ⋂ gGx g −1 y∈X g∈G g∈G gilt, welches der größte in Gx enthaltene Normalteiler von G ist. Beispiel 1.7.11. Betrachten wir die Wirkung G ↷ G/H auf den Linksnebenklassen einer Un- tergruppe H ≤ G, so gilt GgH = gHg −1. Um dies einzusehen, bemerken wir, dass g ′ gH = gH genau dann gilt, wenn es h ∈ H gibt mit g ′ g = gh, das heißt g ′ = ghg −1 ∈ gHg −1. Die Operation is also frei genau dann wenn H trivial ist und genau dann treu wenn H keinen nicht-trivialen Normalteiler von G enthält. Die Wirkung ist unabhängig von der Wahl von H transitiv. Der Stabilisator von n für die Wirkung Sn ↷ {1,... , n} ist die Untergruppe Sn−1. Wir betrachten zunächst die Tatsache, dass Bahnen eine G-Menge partitionieren. Proposition 1.7.12. Sei G ↷ X eine Wirkung. (i) Ist Gx ⊆ X eine G-Bahn und y ∈ Gx, so gilt Gy = Gx. (ii) Je zwei G-Bahnen sind entweder gleich oder disjunkt. Beweis. Seien y ∈ Gx wie beschrieben. Dann gibt es g ∈ G, so dass y = gx gilt, so dass Gy = Ggx = Gx folgt. Sind nun A, B ⊆ X zwei nicht-disjunkte Bahnen und x ∈ A ∩ B, so folgt A = Gx = B. Beispiel 1.7.13. Sei H ≤ G eine Untergruppe und H ↷ G die Einschränkung der Linksregulä- ren Wirkung. Dann sind die Bahnen der H-Wirkung genau die Rechtsnebenklassen von H in G. Ist nämlich g ∈ G, so ist Hg sowohl die Bahn, die g enthält als auch die Rechtsnebenklase, die g enthält. Analog gilt, dass die Bahnen der Einschränkung der Rechtsregulären Wirkung genau die Linksnebenklassen von H in G sind. 31  Der nächste Satz beschreibt transitive Wirkungen bis auf sogennante Konjugation von Wirkun- gen (nicht zu verwechseln mit der Konjugation in einer Gruppe oder der Konjugationswirkung). Eine Konjugation von G-Mengen ist eine mit den Wirkungen kompatible Bijektion. Satz 1.7.14. Sei G ↷ X eine transitive Wirkung, sei x ∈ X und H = Gx ≤ G. Dann ist die Abbildung σ∶ G/H → X∶ gH ↦ gx eine wohldefinierte Bijektion und erfüllt gσ(g ′ H) = σ(gg ′ H) für g, g ′ ∈ G. Beweis. Sind g ∈ G und h ∈ H = Gx , so gilt ghx = gx. Also ist σ wohldefiniert. Da G ↷ X transitiv ist, ist σ surjektiv. Injektivität folgt, da g ′ x = gx impliziert, dass g −1 g ′ x = x, also g −1 g ′ ∈ H, was gH = g ′ H zeigt. Die behauptete Identität folgt nun durch Nachrechnen. gσ(g ′ H) = g(g ′ x) = (gg ′ )x = σ(gg ′ H). Wir können nun den Satz von Lagrange auf Gruppenwirkungen übertragen. Korollar 1.7.15 (Bahnformel). Sei G ↷ X eine Wirkung und x ∈ X. Dann gilt ∣G∣ = ∣Gx∣∣Gx ∣ und ∣Gx∣ = [G ∶ Gx ]. Beweis. Wir betrachten die eingeschränkte Wirkung G ↷ Gx, welche nach Satz 1.7.14 konjugiert zu G ↷ G/Gx ist. Es gilt also ∣Gx∣ = ∣G/Gx ∣ = [G ∶ Gx ] und aus dem Satz von Lagrange 1.5.9 folgt ∣G∣ = [G ∶ Gx ]∣Gx ∣ = ∣Gx∣∣Gx ∣. Wir wollen zum Abschluss dieses Abschnittes, den Inhalt von Satz 1.7.14 noch einmal von einem allgemeineren Standpunkt aus betrachten. α β Definition 1.7.16. Seien G ↷ X und G ↷ Y zwei Wirkungen einer Gruppe. Diese heißen konju- giert zueinander, wenn es eine Bijektion σ∶ X Ð→ Y , für die σ(gx) = gσ(x) für alle g ∈ G und x ∈ X gilt. Satz 1.7.17. Sei G ↷ X eine Wirkung und G/X die Menge aller G-Bahnen in X. Seien (xi )i Repre- sentanten für die Elemente von G/X. Dann ist G ↷ X konjugiert zu G ↷ ⊔i G/Gxi. Beweis. Dies folgt direkt aus Satz 1.7.14 und Proposition 1.7.12. 1.8 Die Konjugationswirkung Wir spezialisieren die Bahnformel als nächstes auf die in Beispiel 1.7.3 beschriebene Konjugations- wirkung, was uns zur sogenannten Klassengleichung führen wird. Definition 1.8.1. Sei G eine Gruppe. Eine Konjugationsklasse von G ist eine Bahn für ihre Kon- jugationswirkung. Wir schreiben [g] für die eindeutige Konjugationsklasse, die das Element g ∈ G enthält. Eine Konjugationsklasse heißt trivial falls sie genau ein Element enthält. Wir bemerken, dass eine Konjugationsklasse [g] ⊆ G trivial ist genau dann wenn g mit allen Ele- menten der Gruppe G kommutiert. 32 Beispiel 1.8.2. Wir bestimmen alle Konjugationsklassen der Symmetrischen Gruppe Sn. Hierzu be- trachten wir den Zykeltyp einer Permtuation π, der die Funktion N≥2 → N ist, die jedem l ≥ 2 die Anzahl der l-Zykel in der Zykelzerlegung von π zuordnet. Der Zykeltyp wird gewöhnlich als formaler Ausdruck der Form l1a1 l2a2 ⋯lrar notiert, wobei l1 ,... , lr die Längen und a1 ,... , ar die ent- sprechende Anzahl der in π vorkommenden Zykel sind. Zum Beispiel besitzt (1 2 3)(4 5)(6 7 8)(9 10 11 12) den Zykeltyp 21 32 41. Wir zeigen, dass zwei Permutationen aus Sn genau dann konjugiert sind, wenn sie den sel- ben Zykeltypen haben. Aus Lemma 1.2.5 folgt direkt, dass für σ, π ∈ Sn , die Permutation σ und ihr Konjugiertes πσπ −1 den selben Zykeltypen haben. Umgekehrt seien σ, π ∈ S zwei Permuta- tionen vom selben Zykeltyp. Sei L die Summe der Längen aller Zykel in der Zykeldekompositi- on von σ bzw. π. Seien i1 ,... , iL und j1 ,... , jL Abzählungen von supp σ bzw. supp π, so dass σ = (i1... )(... )⋯(... iL ) und π = (j1... )(... )⋯(... iL ) Zykelzerlegungen mit von links nach rechts aufsteigenden Zykellängen sind. Sei ρ ∈ Sn eine Permutation, die ρ(i1 ) = j1 ,... , ρ(iL ) = jL. Dann gilt nach Lemma 1.2.5, dass ρσρ−1 = π. Definition 1.8.3. Sei G eine Gruppe. Der Zentralisator eines Elements g ∈ G ist der Stabilisator von g unter der Konjugationswirkung, das heißt ZG (g) = {h ∈ G ∣ hgh−1 = g}. Das Zentrum von G ist Z(G) = ⋂ ZG (g) = {h ∈ G ∣ ∀g ∈ G ∶ gh = hg}. g∈G Beispiel 1.8.4. Das Zentrum einer Gruppe ist der Kern des zur Konjugationswirkung asso- zierten Gruppenhomomorphismus G → Sym(G), wie bereits im Anschluss an Definiti- on 1.7.7 beschrieben. Ist G eine Gruppe, so gilt Z(G) = G genau dann wenn G abelsch ist. In Beispiel 1.6.8 haben wir bereits den Zentralisator eines Elements berechnet. Wir erinnern uns, dass der Normalisator NS4 (⟨(1 2)(3 4)⟩) berechnet und als folgende Gruppe identifi- ziert wurde: 1 2 3 4 1 2 3 4 {id, (1 2), (3 4), (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3), ( ),( )} 3 4 2 1 4 3 1 2 Da (1 2)(3 4) Ordnung zwei hat, gilt NS4 (⟨(1 2)(3 4)⟩) = ZS4 ((1 2)(3 4)). Das Zentrum von Sn , n ≥ 3 ist hingegen trivial. Um dies zu zeigen sei π ∈ Sn eine nicht- triviale Permutation und i ∈ supp π. Wir schreiben π(i) = j und wählen k ∈ {1,... , n} ∖ {i, j}, we möglich ist, da n ≥ 3 gilt. Es folgt, dann dass π(i k)π −1 = (j π(k)) gilt. Würde (i k) = (j π(k)) gelten, so folgt {i, k} = {j, π(k)}. Da i ≠ π(i) = j und k ≠ j gelten, folgt also (i k) ≠ (j π(k)). Damit gilt π(i k) ≠ (i k)π, so dass π nicht im Zentrum von Sn ist. 33  Das Zentrum der unipotenten oberen Dreiecksmatrizen UTn (K), n ≥ 2 ist nicht-trivial. Genauer gilt ⎛1 0 0 ⋯ 0 k⎞ ⎜0 1 0 ⋯ 0 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 0 1 ⋯ 0 0⎟ Z(UTn (K)) = {⎜ ⎜ ⎟ ∣ k ∈ K} ⎟ ⎜ ⋱ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 0 0 ⋯ 1 0⎟ ⎝0 0 0 ⋯ 0 1⎠ Eine nützliche Beobachtung zum Zentrum ist folgendes Resultat, welches wir später benutzen werden. Proposition 1.8.5. Sei G eine Gruppe und G/Z(G) eine zyklische Gruppe. Dann ist G abelsch. Beweis. Übung. Lemma 1.8.6. Sei G eine Gruppe und g ∈ G. Dann gilt [G ∶ ZG (g)] = ∣[g]∣. Beweis. Wir betrachten die Konjugationswirkung G ↷ G, für die [g] ein Bahn ist. Dann ist ZG (g) der Stabilisator von g, so dass die Bahnformel aus Korollar 1.7.15 sagt, dass [G ∶ ZG (g)] = [G ∶ Gg ] = ∣[g]∣. Proposition 1.8.7 (Klassengleichung). Sei G eine endliche Gruppe und seien g1 ,... , gn Repräsen- tanten für nicht-triviale Konjugationsklassen in G. Dann gilt n ∣G∣ = ∣Z(G)∣ + ∑[G ∶ ZG (gi )]. i=1 Beweis. Nach Proposition 1.7.12 bilden die Konjugationsklassen von G eine Partition von G. Eine Konjugationsklasse [g] ist genau dann trivial wenn g im Zentrum von G liegt. Da nach Korol- lar 1.7.15 die Gleichheit [G ∶ ZG (gi )] = ∣[gi ]∣ gilt, folgt also n n ∣G∣ = ∣g ∈ G, ∣[g]∣ = 1∣ + ∑ ∣[gi ]∣ = ∣Z(G)∣ + ∑[G ∶ ZG (gi )]. i=1 i=1 1.9 p-Gruppen Definition 1.9.1. Sei p eine Primzahl. Eine endliche Gruppe heißt p-Gruppe, falls ∣G∣ = pk für ein k ≥ 0 gilt. Beispiel 1.9.2. Zyklische Gruppen von Primpotenzordnung pk sind p-Gruppen. Umgekehrt ist jede Gruppe G von Primordnung p zyklisch, denn ist g ∈ G nicht-trivial, so folgt ord(g) = p womit der Homomorphismus φ∶ Z → G mit φ(1) = g zu einem Isomorphismus Z/pZ ≅ G faktorisiert. Die kleinsche Vierergruppe V4 = Z/2Z × Z/2Z ist eine 2-Gruppe, die nicht zyklisch ist. 34  Die Quaternionengruppe Q = ⟨I, J⟩ ≤ GL2 (C) mit i 0 0 1 I =( ) und J =( ) 0 −i −1 0 und die Gruppe D4 sind nicht-abelsche 2-Gruppen. Bemerkung 1.9.3. Nach dem Satz von Lagrange ist die Ordnung jedes Elements einer p-Gruppe ei- ne Potenz von p. Das Ziel ist diese Beobachtung zu einer Charakterisierung von p-Gruppen zu entwickeln. Lemma 1.9.4. Sei G eine endliche abelsche Gruppe deren Ordnung durch eine Primzahl p teilbar ist. Dann enthält G ein Element der Ordnung p. Beweis. Schreibe ∣G∣ = p ⋅ m mit m ≥ 1. Gilt m = 1, so ist G zyklisch von Ordnung p und enthält insbesondere ein Element der Ordnung p. Wir setzen mit Hilfe eines Induktionsarguments nach m ≥ 1 fort. Sei g ∈ G nicht-trivial. Falls p ∣ ord(g), so hat g ord(g)/p genau Ordnung p und der Beweis ist abgeschlossen. Andernfalls be- trachten wir die Untergruppe N = ⟨g⟩ ≤ G, welche ein Normalteiler ist, da G abelsch ist. Da ∣⟨g⟩∣ = ord(g) folgt ∣G/N ∣ = p ord(g) m. Nach Induktionsannahme gibt es gN ∈ G/N von Ordnung p. Da nach Beispiel 1.6.14 die Teilbarkeit p = ord(gN ) ∣ ord(g) gilt, folgt, dass g ord(g)/p ein Element der Ordnung p in G ist. Satz 1.9.5. Sei G eine endliche Gruppe deren Ordnung durch eine Primzahl p teilbar ist. Dann enthält G ein Element der Ordnung p. Beweis. Gibt es g ∈ G ∖ Z(G), so dass p ∣ ∣ZG (g)∣, so folgt durch Induktion nach der Ordnung der Gruppe, dass ZG (g) und damit auch G ein Element der Ordnung p enthält. Wir können also p ∤ ∣ZG (g)∣ für alle g ∈ G ∖ Z(G) annehmen. Die Klassengleichung aus Proposition 1.8.7 zeigt dann, dass n ∣G∣ = ∣Z(G)∣ + ∑[G ∶ ZG (gi )] i=1 für bestimmte g1 ,... , gn ∈ G ∖ Z(G). Da wir p ∤ ∣ZG (gi )∣ annehmen konnten, folgt aus der Bahnformel [G ∶ ZG (gi )] ⋅ ∣ZG (gi )∣ = ∣G∣, dass p ∣ [G ∶ ZG (gi )] für alle i gilt. Nun gilt auch p ∣ ∣G∣ nach Annahme, so dass p ∣ ∣Z(G)∣ folgt. Eine Anwendung von Lemma 1.9.4 auf Z(G) beendet also den Beweis. Korollar 1.9.6. Sei p eine Primzahl. Eine endliche Gruppe G ist eine p-Gruppe genau dann wenn die Ordnung jedes Elements von G eine p-Potenz ist. Beweis. Angenommen G ist eine p-Gruppe, so ist die Ordnung jedes Elements von G eine p-Potenz, da Sie die Ordnung von G nach dem Satz von Lagrange teilt. Umgekehrt, folgt aus ∣G∣ = pk m mit p ∤ m und m > 1, dass es eine Primzahl q ≠ p gibt mit q ∣ ∣G∣. Dann zeigt Satz 1.9.5, dass G ein Element von Ordnung q enthält. Wir schließen diesen Abschnitt mit einigen zusätzlichen Resultaten zur Struktur und Klassifi- kation von p-Gruppen ab. 35 Proposition 1.9.7. Sei p Primzahl und G eine nicht-triviale p-Gruppe. Dann ist das Zentrum von G nicht-trivial. Beweis. Seien g1 ,... , gn Repräsentanten der nicht-trivialen Konjugationsklassen in G. Dann gilt nach der Klassengleichung aus Proposition 1.8.7, dass n ∣G∣ = ∣Z(G)∣ + ∑[G ∶ ZG (gi )]. i=1 Da die Konjugationsklasesn [gi ] nicht-trivial sind, folgt, dass ZG (gi ) echte Untergruppen sind, wes- halb [G ∶ ZG (gi )] ein nicht-trivialer Teiler von ∣G∣ ist. Da G eine p-Gruppe ist, folgt p ∣ [G ∶ ZG (gi )] für alle i ∈ {1,... , n}. Es folgt also n ∣Z(G)∣ ≡ ∣Z(G)∣ + ∑[G ∶ ZG (gi )] ≡ ∣G∣ ≡ 0(modp) , i=1 das heißt p ∣ ∣Z(G)∣. Insbesondere gilt Z(G) ≠ {eG }. Beispiel 1.9.8. Wir betrachten die nicht-abelschen Gruppen von Ordnung 8, die wir bereits gesehen haben. Dies sind die diahedrale Gruppe D4 = ⟨r, s⟩ und die Quaternionengruppe Q = ⟨i, j, k⟩. Es gilt Z(D4 ) = ⟨r2 ⟩ ≅ Z/2Z und Z(Q) = ⟨−1⟩. Wir bemerken außerdem, dass eine Gruppe G der Ordnung 8 deren Zentrum Ordnung 4 hat, nach Proposition 1.8.5 bereits abelsch ist, denn der Quotient G/Z(G) hat Primordnung und ist daher zyklisch. Proposition 1.9.9. Sei p eine Primzahl und G eine Gruppe von Ordnung p2. Dann ist G abelsch. Ge- nauer gilt G ≅ Z/p2 Z oder G ≅ Z/pZ × Z/pZ. Beweis. Wir zeigen zunächst, dass G abelsch ist. Nach Proposition 1.9.7 gilt Z(G) ≠ {eG }. Also hat G/Z(G) Primordnung oder ist trivial und damit zyklisch. Nach Proposition 1.8.5 impliziert dies, dass G abelsch ist. Enthält G nun ein Element von Ordnung p2 so faktorisiert der Homomorphismus φ∶ Z Ð→ G mit φ(1) = g zu einem Isomorphismus Z/p2 Z ≅ G. Andernfalls hat jedes nicht-triviale Element von G Ordung p. Sei h ∈ G nicht-trivial und k ∈ G ∖ ⟨h⟩. Schreibe H = ⟨h⟩ und K = ⟨k⟩. Dann ist HK ≤ G eine Untergruppe deren Ordnung strikt größer als p ist, so dass HK = G folgt. Außerdem gilt H ∩ K = {e}, da jedes nicht-triviale Element einer Gruppe mit Primordnung Erzeuger ist. Wir folgern, dass G = H × K ≅ Z/pZ × Z/pZ. Beispiel 1.9.10. Wir klassifizieren einige 2-Gruppen. Wir wissen bereits, dass Gruppen von Primordnung isomorph zu Z/pZ sind, so dass es eine einzige Gruppe von Ordnung 2 gibt. Nach Proposition 1.9.9 sind Z/4Z und Z/2Z×Z/2Z bis auf Isomorphie die einzigen Gruppen von Ordnung 4. Alternativ findet folgendes Argument Anwendung, das auf jede Gruppe G angewendet wer- den kann, in der alle nicht-trivialen Elemente Ordnung zwei besitzen. Solche Gruppen hei- ßen elementare 2-Gruppen. Wir bemerken zuerst, dass jede solche Gruppe abelsch ist, da g = g −1 für alle g ∈ G und damit auch ghg −1 h−1 = ghgh = (gh)2 = eG für alle g, h ∈ G 36  gilt. Wir schreiben also G ab jetzt additiv. Nun kann die Gruppe G mit einer skalaren Mul- tiplikation des Körpers F2 mit zwei Elementen ausgestattet werden, wobei die entscheiden- de Beobachtung ist, dass die Distributivität der skalaren Multiplikation dank der Identität 1g + 1g = g + g = 0G gilt. Also besitzt G eine F2 -Basis und ist damit isomorph (sogar als F2 -Vektorraum) zu F2n für ein n. Als abelsche Gruppen gilt F2n ≅ (Z/2Z)×n. Wir betrachten nun Gruppen der Ordnung 8. Wir kennen bereits die Beispiele Z/8Z, Z/4Z× Z/2Z, Z/2Z, D4 und Q. Wir behaupten, dass jede Gruppe G von Ordnung 8 zu genau einer dieser Gruppen isomorph ist. Hierzu unterscheiden wir einige Fälle. Enthält G ein Element der Ordnung 8, so gilt G ≅ Z/8Z. Hat jedes nicht-triviale Element von G Ordnung 2, so haben wir bereits gesehen, dass G ≅ Z/2Z×3 gilt. Sei also angenommen, dass G nicht zyklisch ist und ein Element h von Ordnung 4 enthält. Dann ist H = ⟨h⟩ ≤ G eine Untergruppe von Index 2 und damit Normalteiler. Wir unterscheiden nun einige Fälle. Angenommen G∖H enthält ein Element g von Ordnung 2. Falls gh = hg gilt, so ist φ∶ Z/4Z × Z/2Z Ð→ G mit φ(1, 0) = g und φ(0, 1) = h ein wohl- definierter Isomorphismus. Andernfalls betrachten wir den nicht-trivialen Automorphismus α = Ad g ∈ Aut(H). Da H ≅ Z/4Z ist der einzige nicht-triviale Automorphismus durch Vertauschung der Erzeuger gegeben. Das heißt G = ⟨h, g⟩ mit gh = h3 g. Also ist φ∶ D4 → G mit φ(r) = h und φ(s) = g ein wohldefinierter Isomorphismus. Es bleibt der Fall zu betrachten in dem jedes Element in G ∖ H Ordnung 4 hat. Dann ist h2 das einzige Element in G, das Ordnung 2 hat. Für g ∈ G ∖ H gilt ord(g 2 ) = 2 und damit g 2 = h2. Da jedes Element mit seinen Potenzen kommutiert und g beliebig war, folgt also ⟨h2 ⟩ ≤ Z(G). Würde hier keine Gleichheit gelten, so wäre Z(G) mindestens von Ordnung 4 und damit höchstens von Index 2. Mit Proposition 1.8.5 folgt da