Aportes para la enseñanza de Geometría - Nivel Medio (2007) - PDF

Aportes para la enseñanza. Nivel Medio Aportes para la enseñanza. Nivel Medio 2007 Matemática...

Aportes para la enseñanza. Nivel Medio Aportes para la enseñanza. Nivel Medio 2007 Matemática Geometría G. C. B. A. Ministerio de Educación Subsecretaría de Educación Dirección General de Planeamiento Dirección de Currícula  Matemática Geometría G.C.B.A.  Aportes para la enseñanza. Nivel Medio 2007 Matemática Geometría G.C.B.A. G. C. B. A. MINISTERIO DE EDUCACIÓN SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN DIRECCIÓN GENERAL DE PLANEAMIENTO DIRECCIÓN DE CURRÍCULA Ministerio de Educación Matemática geometría / coordinado por Graciela Cappelletti. - 1a ed. - Buenos Aires : Ministerio de Educación - Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires, 2008. 96 p. ; 30x21 cm. (Aportes para la enseñanza. nivel medio) ISBN 978-987-549-351-3 1. Material Auxiliar para la Enseñanza. I. Cappelletti, Graciela, coord. II. Título CDD 371.33 ISBN 978-987-549-351-3 © Gobierno de la Ciudad Autónoma de Buenos Aires Ministerio de Educación Dirección General de Planeamiento Dirección de Currícula. 2007 Hecho el depósito que marca la Ley nº 11.723 Esmeralda 55, 8º piso C1035ABA - Buenos Aires Teléfono/fax: 4343-4412 Correo electrónico: [email protected] Permitida la transcripción parcial de los textos incluidos en esta obra, hasta 1.000 palabras, según Ley nº 11.723, art. 10º, colocando el apartado consultado entre comillas y citando la fuente; si éste excediera la extensión mencionada, deberá solicitarse autorización a la Dirección de Currícula. Distribución gratuita. Prohibida su venta.  GOBIERNO DE LA CIUDAD DE BUENOS AIRES Jefe de Gobierno JORGE TELERMAN Ministra de Educación ANA MARÍA CLEMENT Subsecretario de Educación LUIS LIBERMAN Directora General de Educación ADELINA DE LEÓN Directora de Área de Educación Media y Técnica MARTA GARCÍA PEYRET G.C.B.A.  Aportes para la enseñanza. Nivel Medio Elaboración del material Equipo Central Graciela Cappelletti Marta García Costoya Especialistas María Haydée Barrero Susana Beltrán Fernando Bifano Cristina Carpintero Gema Fioriti Diana Giuliani Carmen Sessa Silvia Veiga G.C.B.A. EDICIÓN A CARGO DE LA DIRECCIÓN DE CURRÍCULA COORDINACIÓN EDITORIAL: Virginia Piera SUPERVISIÓN DE EDICIÓN: María Laura Cianciolo DISEÑO DE LA SERIE: Adriana Llano y Alejandra Mosconi REALIZACIÓN GRÁFICA: Alejandra Mosconi CORRECCIÓN: Paula Galdeano APOYO ADMINISTRATIVO Y LOGÍSTICO: Olga Loste, Jorge Louit  Matemática Geometría PRESENTACIÓN................................................................................................................... 9 INTRODUCCIÓN................................................................................................................... 11 CAPÍTULO 1: LOS CONCEPTOS DE CÍRCULO Y CIRCUNFERENCIA....................................... 15 1. Familiarización con las nociones de circunferencia y círculo..................... 16 2. Posiciones relativas de una recta y una circunferencia.............................. 21 3. Ángulos inscriptos................................................................................................ 26 CAPÍTULO 2: UN TIPO DE TAREA: LAS CONSTRUCCIONES................................................. 33 1. Construcciones de triángulos y elaboración de criterios de igualdad...... 33 2. Construcciones con regla no graduada y compás......................................... 47 3. Construcciones “imposibles”.............................................................................. 51 CAPÍTULO 3: UNA TÉCNICA: LA COMPARACIÓN DE ÁREAS................................................ 55 1. Comparación de las áreas del triángulo y el rectángulo. La noción de altura de un triángulo................................................................. 56 2. Más actividades para afianzar la técnica de comparación de áreas. El rectángulo de Euclides.................................................................................... 64 3. Las fórmulas para calcular el área del rombo y el paralelogramo. Variación del área de un triángulo en función de los datos......................... 73 4. El teorema de Thales. La comparación de áreas al servicio de la comparación de segmentos...................................................................... 79 5. Actividades para después de haber trabajado la propiedad de que todo ángulo inscripto en una semicircunferencia es recto............ 84 CAPÍTULO 4: UN PROBLEMA FÉRTIL PARA HACER GEOMETRÍA EN EL AULA..................... 87 G.C.B.A.  PRESENTACIÓN El Ministerio de Educación del Gobierno de la Ciudad Autónoma de Buenos Aires desarrolla un conjunto de acciones dirigidas a promover una distribución equitativa del conocimiento, mejorar la oferta de enseñanza, y propiciar aprendizajes que les permitan a los estudiantes ejercer sus derechos ciudadanos, continuar con estudios superiores y acceder a un trabajo remunerado. En este marco, la Dirección General de Planeamiento a través de la Dirección de Currícula pro- mueve el fortalecimiento de las escuelas medias y el mejoramiento de la experiencia educativa que ofrecen los establecimientos de ese nivel. Los programas de las asignaturas revisten especial importancia para el logro de los objetivos antes mencionados ya que, por su carácter de instru- mento normativo, constituyen una herramienta para la tarea docente al establecer lineamientos de trabajo común y organizar la propuesta formativa alrededor de propósitos explícitos. En este marco se elaboraron programas de 1º y 2º año del nivel medio,* sin modificación en su conjunto desde el año 1956. Esto contribuye a configurar un contexto propicio para la profundiza- ción de la reflexión y el fortalecimiento de la mirada pedagógica sobre los procesos de enseñanza en la escuela media. Estos programas se realizaron considerando distintas instancias: una primera formulación por parte de equipos de especialistas de la Dirección de Currícula y, luego, reuniones sistemáticas de consul- ta con docentes del Sistema Educativo. Este trabajo, realizado durante los años 2001 y 2002, tuvo como resultado las versiones definitivas. Durante los años 2003 y 2004 se llevó a cabo un trabajo con profesores para el seguimiento de los programas y su implementación en las escuelas. Los materiales curriculares que integran la serie “Aportes para la Enseñanza. Nivel Medio”, que a continuación se presentan, tienen su origen en los programas mencionados, en las consultas que se realizaron para su elaboración y en las acciones de seguimiento llevadas a cabo en ese sentido entre la Dirección de Currícula y los profesores del nivel. G.C.B.A. Esta serie está concebida como una colección de recursos para la enseñanza, pretende atender al enfoque de los programas, favorecer las prácticas reflexivas de los profesores y colaborar con la lógica de organización de recursos por parte de la escuela, el departamento, la asignatura. Cada título que integra la serie posee una identidad temática. Es decir, los recursos que agrupa cada material remiten a algún contenido especificado en los programas. Tal es el caso, por ejemplo, de “Las relaciones coloniales en América” en Historia, o “Números racionales” en Matemática. La elección del tema se ha realizado considerando uno o más de los siguientes crite- * Programas de 1º año, Resolución Nº 354/2003; y 2º año, Resolución Nº 1.636/2004, en vigencia. Corresponden a los planes de estudios aprobados por el Decreto PEN N° 6.680/56, la Resolución N° 1.813/88 del Ministerio de Educación y Justicia, y la Resolución N° 1.182/90 de la Secretaría de Educación de la M.C.B.A.   G. C. B. A. Ministerio de Educación Dirección General de Planeamiento Dirección de Currícula rios: se aborda aquello sobre lo que hay mayor dificultad para enseñar y/o mayores obstáculos para que los alumnos aprendan, aquello sobre lo que no hay suficientes recursos, o aquello sobre lo que lo existente no está tratado según el adecuado enfoque. Cada material tiene la impronta de la asignatura, y, según el caso, incluye diversos recursos: selecciones de textos para los alumnos, artículos periodísticos, mapas, imágenes (pinturas, grabados, fotografías, láminas), selecciones de videos, selecciones musicales, gráficos, propuestas de actividades. En esta oportunidad, se presentan los siguientes títulos que continúan la serie comenzada duran- te el año 2006. Biología. Procesos relacionados con la vida y su origen: la célula y las estructuras asociadas a sus funciones. Aborda contenidos del programa de 2º año: el origen de la vida, la nutrición en el nivel celular, la célula como sistema abierto y la diversidad biológica: nutrición y multicelularidad. La propuesta permite trabajar los contenidos antes mencionados partiendo de distintos recursos: textos científicos, láminas, video y actividades exploratorias y experimentales. Geografía. Relaciones entre Estados: el caso de las plantas de celulosa en Fray Bentos. Atiende al programa de 2º año. Propone el trabajo a partir del caso de las pasteras que posibilita la articulación de contenidos de diversos bloques: “Los Estados y los territorios” (los conflictos entre los Estados, las relaciones y articulaciones entre los niveles nacional, provincial y municipal a partir de las decisiones y las acciones tomadas por sus gobiernos), del bloque: “Los cambios en la producción industrial y las transformaciones territoriales” (la industria, la organización de la producción y los territorios; los factores de localización industrial, los espacios industriales, los cambios en la división territorial del trabajo, etcétera). Para el desarrollo del tema se presentan artículos periodísticos, mapas, imágenes, cuadros estadísticos y un video. Historia. Los mundos del medioevo. Esta propuesta tiende a incrementar y diversificar los mate- riales disponibles para el desarrollo del programa de 1º año, en particular para el tratamiento del tercer bloque de contenidos: “Los mundos durante el medioevo”. Se trata de un conjunto de recursos –documentos escritos, imágenes, interpretaciones de historiadores y mapas– que el docente podrá seleccionar y decidir el tipo de actividad por desarrollar a partir de las posibilida- des que los mismos brinden. Plástica. El color, la textura y la forma en la indumentaria del habitante de la Ciudad. Presenta propuestas para el trabajo en el aula tomando como eje la indumentaria de los habitantes. El material se estructura a partir de un video, que el docente puede utilizar para promover el análisis G.C.B.A. y la reflexión de los alumnos sobre el tema. Está acompañado por propuestas pedagógicas. TÍTULOS ANTERIORES: Biología. Los intercambios de materia y de energía en los seres vivos Geografía. Problemáticas ambientales a diferentes escalas Historia. Las relaciones coloniales en América Matemática. Números racionales Música. Taller de audición, creación e interpretación Teatro. El espacio teatral  INTRODUCCIÓN Este material se presenta como un aporte a la compleja tarea que enfrentan los profesores de Matemática a diario, al pensar y gestar una clase. Retoma el espíritu de los Programas de primero y segundo año vigentes y del documento Números racionales. Aportes para la enseñanza. Nivel Medio. G.C.B.A., Ministerio de Educación. D.G.Pl., D. C., 2006). Del mismo modo que lo fue aquel documento, éste es el producto del trabajo conjunto de especialistas de la Dirección de Currícula y profesores de Escuelas Medias de la Ciudad de Buenos Aires. Recuperamos las ideas centrales de los programas acerca de los objetivos de la enseñanza de Matemática en la escuela media: se trata fundamentalmente de involucrar a los alumnos en una verdadera actividad de producción. Esto hace necesario crear un ambiente en la clase que aliente a los alumnos a ensayar, producir diferentes resoluciones y aportar ideas para enfrentar los problemas propuestos. Ensayos, resoluciones e ideas que son la materia prima a partir de la cual el docente organiza las interacciones en la clase con el objeto de discutir sobre la validez, precisión, claridad, generalidad, alcance, etc., de lo que se produjo.1 En este documento se ha elegido abordar la enseñanza de la geometría, con referencia a temas de todas las unidades de los programas de primero y segundo año.2 El trabajo en geometría adquiere características propias que lo diferencian del álgebra y la aritmética, y plantea a los docentes cues- tiones específicas por tener en cuenta para involucrar a los alumnos en el aprendizaje. Comencemos señalando la compleja relación entre los objetos del espacio físico –a partir de los datos que provienen de la percepción y la medición– y los objetos geométricos (figuras, cuerpos, etc.) que son objetos teóricos que obedecen a reglas de la matemática (en sus definiciones, sus reglas de “funcionamiento” y los modos de validación de sus propiedades). En el Documento Nº 5 citado anteriormente, se sostiene la importancia de un trabajo con las figuras en el segundo ciclo, que avance más allá del uso de la percepción y la manipulación de los objetos. Las activi- dades propuestas en ese documento, centradas en la construcción de figuras, promueven la anticipación G.C.B.A. de los alumnos, y permiten el establecimiento de relaciones entre distintos elementos de las figuras. Para los primeros años de la escolaridad media se propone una profundización de este trabajo tanto en el establecimiento de relaciones más complejas (entre ellas, algunos teoremas clásicos de la geometría plana) como en la entrada a la argumentación deductiva como forma de trabajo en geometría. 1 Para profundizar sobre esta temática se recomienda la lectura del Documento Nº 2, La formación de los alumnos como estudiantes. Estudiar Matemática, G.C.B.A., Dirección General de Planeamiento, 2000. http://www.buenosaires.gov.ar/edu- cacion/ 2 Recomendamos la lectura de Matemática. La enseñanza de la geometría en el segundo ciclo, Documento N0 5, G.C.B.A., Secretaría de Educación, D.G.Pl., Dirección de Currícula, 1998, para conocer los lineamientos en el tratamiento de la Geometría en el segundo ciclo para las escuelas de la Ciudad.   G. C. B. A. Ministerio de Educación Dirección General de Planeamiento Dirección de Currícula Se trata de un proceso que requiere que las situaciones que se presenten a los alumnos cumplan ciertas características: permitir que los saberes geométricos aparezcan como instrumentos en la resolución de problemas que no puedan ser resueltos desde la percepción o desde la medición. La validación de la respuesta dada a un problema –es decir, la decisión autónoma del alumno acerca de la verdad o la falsedad de su respuesta– no se podrá establecer empíricamente sino que deberá apoyarse en las propiedades de los objetos geométricos. Es necesaria, entonces, una reflexión sobre el papel del registro figurativo en el trabajo geométrico: las representaciones gráficas, o sea los dibujos sobre el papel, constituyen una “parada intermedia” entre los objetos teóricos y los objetos reales. El dibujo de un cuadrado sobre una hoja puede ser considerado tanto la representación gráfica del objeto geométrico “cuadrado” como la represen- tación de un objeto cuadrado del espacio físico. La representación gráfica de una figura puede constituirse en una herramienta poderosa para la resolución de un problema. En particular, juega un papel importante en el proceso de elaboración de una demostración. Al decir esto les asignamos a los dibujos el papel de representación de los objetos geométricos, y reservamos para la enseñanza lograr que los alumnos comprendan la diferencia entre el objeto y su representación. La construcción de los objetos teóricos de la geometría se constituye apoyándose en la percepción, pero al mismo tiempo oponiéndose a los datos de la evidencia. Este juego de acuerdos y desacuer- dos parece ser propicio para su aprovechamiento didáctico. Entrar en el juego de la demostración supone, entonces, poder validar las afirmaciones o conjeturas sin recurrir a la constatación empírica. Validar una afirmación es parte del proceso de construcción de conocimiento en la medida en que las argumentaciones a partir de las propiedades conocidas de los cuerpos y figuras producen nuevo conocimiento sobre ellos. Es necesario tener presente que no se piensa en exigir de entrada demostraciones tal como se entienden en matemática. Hay que pensar en un proceso largo que tendrá idas y vueltas, y que debe ser provocado y “empujado hacia delante” desde las actividades que se proponen para realizar en el aula y desde la gestión de la clase por el docente. ¿Cuánta precisión requerimos para aceptar como válida una demostración? Si bien parece legíti- mo tender a que los alumnos vayan mejorando la calidad de sus argumentaciones, al principio es necesario poder aceptar justificaciones incompletas, argumentaciones imprecisas, escrituras “poco formales”. G.C.B.A. En un principio, exigir la demostración de propiedades evidentes o muy conocidas por los alumnos puede ser contraproducente, pues no se entiende la necesidad de validarlas. Se trata de que los alumnos puedan producir razonamientos deductivos a partir de propiedades conocidas, usándolas como si fueran “axiomas” sin llegar a identificar en la clase un sistema axiomático mínimo. Una vez que los alumnos hayan entrado en este “juego” deductivo, podrán comprender mejor la necesidad de validar las propiedades, aun en el caso de que estas les sean familiares o evidentes. Aprender geometría es también construir un sentido para las afirmaciones que se formulan, sentido que se va precisando a partir de las discusiones e interacciones en el aula. Sería importante que los estudiantes llegaran a requerir, o al menos apreciar, una mayor formalización al servicio de una mayor claridad tanto en las definiciones de los objetos como en la formulación de los algoritmos de construcción y en la redacción de una argumentación.  Aportes para la enseñanza Nivel Medio / Matemática. Geometría  Para organizar la progresión en el trabajo geométrico a lo largo de los dos primeros años resulta útil pensarlo como una trama donde se articulan diferentes planos: los conceptos, propiedades, relaciones, teoremas, etcétera; los diferentes tipos de tareas, tales como construir, establecer una conjetura, realizar clasifica- ciones, redactar una demostración, estudiar una demostración hecha por otro, etcétera; técnicas específicas (modos de hacer), como la técnica para partir un segmento en partes iguales, la técnica de comparar áreas “cortando y pegando”, las técnicas que resultan de utilizar las relaciones trigonométricas, etcétera. Cada uno de estos tres componentes puede mirarse atravesando los diferentes temas por enseñar, y con niveles crecientes de complejidad. De esta mirada transversal queremos dar cuenta en este documento. En el capítulo 1 se presenta una progresión de trabajo en torno a los conceptos fundamentales de círculo y de circunferencia. En el capítulo 2 se propone un conjunto de actividades referidas a un tipo de tarea: las construccio- nes de figuras. En particular se presenta un trabajo para la elaboración de los criterios de igualdad de triángulos. En el capítulo 3 la técnica de comparación de áreas es el eje en torno al cual se articulan diferen- tes actividades. En particular se aborda la demostración del teorema de Pitágoras y del teorema de Thales. Finalmente, en el capítulo 4 se presenta un ejemplo de una actividad pensada para trabajar colec- tivamente en la elaboración de nuevas –y no conocidas– clasificaciones de cuadriláteros, y la formu- lación y validación de teoremas para esas clases. G.C.B.A.  CAPÍTULO 1 LOS CONCEPTOS DE CÍRCULO Y CIRCUNFERENCIA Las nociones de círculo y de circunferencia son centrales para la elaboración de propiedades de la geometría plana, y en particular para la realización y validación de construcciones de figuras, temas de los cuales se ocupan los programas de primero y de segundo año. En este capítulo se abordan algunas problemáticas que involucran los con- ceptos de circunferencia y círculo, incluidos en diferentes unidades de estos programas. Organizamos la presentación en tres apartados: El primer apartado propone problemas que permiten poner en juego la idea de la circunferencia como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de uno fijo3 y el tratamiento de sus elementos: centro y radio, diámetros y cuerdas. Sugerimos trabajar estos problemas antes de abordar el estudio de construccio- nes de triángulos que presentamos en el primer apartado del capítulo 2. Se incluye también una reflexión sobre diferentes instrumentos, caseros y com- prados, para construir circunferencias, y en especial del objeto compás. Para explicar su funcionamiento se necesitan los criterios de igualdad de triángulos. El segundo apartado aborda contenidos del programa de Geometría de segundo año: posiciones relativas de una recta y una circunferencia, y de dos circunfe- rencias. Se incluyen también situaciones para tratar temas necesarios para el estudio de los anteriores, como el trazado de una circunferencia por 1, 2, 3 ó 4 puntos dados. Todo lo anterior aporta a una caracterización de la recta tangente a una circunferencia y a su construcción por un punto dado. G.C.B.A. En el tercer apartado se desarrolla una secuencia para el estudio de los ángulos inscriptos. Algunas de las actividades que se proponen han sido tomadas del programa de segundo año, las hemos retrabajado y hemos completado sus análisis; se las incluye en este documento para que el lector tenga una visión más general y global del tratamiento del tema. Para completar el estudio de los ángulos inscriptos se proponen actividades de reinversión de los conocimientos construidos. 3 Esta concepción de círculo y circunferencia está presente en el Diseño Curricular para la Escuela Primaria, Segundo Ciclo, G.C.B.A., Secretaría de Educación, D.G.Pl., Dirección de Currícula, 2004. Se recomienda la lectura del Documento de trabajo Nº 5, op.cit., para profundizar sobre esta temática en particular y en general, sobre la entrada al trabajo geométrico en la escuela.   G. C. B. A. Ministerio de Educación Dirección General de Planeamiento Dirección de Currícula 1. FAMILIARIZACIÓN CON LAS NOCIONES DE CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO INSTRUMENTOS PARA TRAZAR CIRCUNFERENCIAS Y TRASLADAR DISTANCIAS PROBLEMA 1 Marcar un punto A. Marcar todos los puntos que están a 3 cm de A. Marcar todos los puntos que están a menos de 3 cm de A. COMENTARIOS Con este problema se apunta a la recuperación de las nociones de circunferencia y círculo, en términos de distancia a un centro dado. Es posible que los alumnos consideren sólo 4 puntos que están exactamente a 3 cm del punto A, y podrían ubicarlos usando la regla de esta manera: A Para poner en cuestión esta solución el docente podrá preguntar si no es posible pensar otra ubi- cación “torcida”. Por ejemplo: A Una vez aceptada esta como otra respuesta, se podrá preguntar por todas las inclinaciones posibles G.C.B.A. para las cruces. De esta forma, se puede comenzar a discutir acerca de la solución que se obtiene, al unir uno a uno los puntos cuando esa suerte de “cruz” va girando. El dibujo de la circunferencia surge entonces como solución al problema; se podrá re-construir con los alumnos su definición como el conjunto de puntos que están a igual distancia de otro fijo llamado centro. La pregunta sobre la ubicación de los puntos que están a menos de 3 cm de A permitirá recordar la definición de círculo y la relación entre ambos conceptos. En el aula, probablemente convivan diferentes formas de dibujar la circunferencia. La discusión sobre ellas cobra importancia en la medida en que permite una profundización de las nociones de círculo y circunferencia.  Aportes para la enseñanza Nivel Medio / Matemática. Geometría  DISCUSIÓN SOBRE LOS INSTRUMENTOS PARA TRAZAR CIRCUNFERENCIAS Para dibujar circunferencias se puede recurrir a distintos tipos de herramientas: tapas, monedas, bocas de vasos o cualquier objeto redondo; cordones o piolines, reglas, el compás y eventualmente el transportador. Cada uno de ellos pone en juego diferentes relaciones inherentes a la circunferencia. Por ejemplo, una tapa o la boca de un vaso permiten la construcción efectiva de una circunferencia, sin embargo no es posible identificar dónde se halla su centro, ni por tanto determinar con precisión su radio. Además, si queremos construir una circunferencia de un radio determinado, debiéramos contar con un vaso o una tapa que cumpla con las características necesarias. La construcción de una circunferencia con un cordón o piolín permite identificar claramente su centro y la dimensión del radio, que coincide con la longitud del cordón. Esta es una técnica que se puede utilizar en espacios grandes, mucho más grandes que la hoja del cuaderno o el pizarrón, donde el compás que se usa en la escuela puede ser un instrumento poco adecuado. Los obreros de la construcción llaman “compás” a un instrumento casero constituido por un clavo que se fija al suelo y un piolín atado a este, con una cuña en el extremo que permite el trazado de una circunferencia en el piso. El uso de la regla, para ir midiendo distancias a un punto O de la misma longitud, permite también localizar puntos de la circunferencia, que luego hay que unir de manera aproximada. Finalmente, tenemos el compás, instrumento privilegiado para las construcciones en la clase de geometría, que sin embargo, los alumnos no usan ni espontáneamente ni con frecuencia. En princi- pio, ellos pueden aceptar que, al maniobrar un compás, sin modificar su abertura, logran conservar la distancia entre las dos patas, aunque no es evidente que esa distancia es exactamente la longitud del radio de la circunferencia que se dibuja. Cuando el radio se prevé con anterioridad, se trata de modificar la abertura para hacer coincidir esa distancia entre las patas del compás con el radio. Será conveniente volver a una reflexión sobre este instrumento con posterioridad a la construcción de los criterios de igualdad de triángulos: las dos patas del compás pueden considerarse como los lados de un triángulo. Para cada abertura dada, el triángulo queda totalmente determinado y con ello el tercer lado, que “no se ve” y cuyos extremos son las dos puntas. De este modo también se justifica su utiliza- ción para trasladar longitudes. Se entiende así la importancia de mover el compás “con cuidado”, dada la necesidad de no modificar la abertura (el ángulo) para conservar la longitud del segmento. Incluimos estas reflexiones sobre los instrumentos a propósito de este problema, aunque puede incorporarse en otro momento del trabajo con circunferencias. G.C.B.A. PROBLEMA 2 Se tiene una circunferencia de centro O; dos puntos A y B en la circunferencia que están alineados con el centro O; y otros dos puntos M y N de la circunfe- rencia que no están alineados con O. a) ¿Qué relación hay entre la longitud de AB y la de MN?, ¿se puede lograr que sean iguales? b) ¿Qué relación hay entre el radio de la circunferencia y la longitud de AB y la de MN?, ¿se puede lograr que alguna de de ellas sea igual al radio?   G. C. B. A. Ministerio de Educación Dirección General de Planeamiento Dirección de Currícula COMENTARIOS La idea de este problema es provocar una discusión con los alumnos para llegar a establecer que, entre todos los segmentos que se pueden construir uniendo dos puntos de la circunferencia, la lon- gitud mayor se obtiene cuando ese segmento pasa por el centro. Para poder justificar estos hechos es necesario apoyarse en la propiedad triangular, que podría ser identificada por los alumnos en su enunciado: “La manera más corta de ir de un punto a otro es ir en línea recta”. Este problema es una situación propicia para nombrar a los diámetros, los radios y las cuerdas de una circunferencia, e identificar que, para una circunferencia determinada, todos sus diámetros y radios miden lo mismo, mientras que se pueden construir cuerdas tan chicas como se quiera, siempre menores que un diámetro. PROBLEMA 3 Se presenta a los alumnos una hoja con dos puntos marcados a 6 cm de distancia: Px xQ El esquema representa dos ovejas atadas a sogas que están estaqueadas al suelo. En este esquema, cada centímetro representa 2 metros. La soga de la oveja atada a P es de 6 m y la de la oveja atada a Q es de 8 m. a) Marcar en el esquema la zona donde podría pastar la oveja de la estaca P. b) Marcar la zona donde pueden comer las dos. c) ¿De qué longitud debería ser la soga de la estaca Q para que las ovejas no se encuentren (dejando fija la longitud de la soga de la estaca P)? COMENTARIOS Entre las soluciones a este problema se puede suponer que habrá alumnos que tracen una circun- ferencia de centro P y radio 3 cm, y otra de centro Q y radio 4 cm, de esta manera identificarán la zona en la que se mueve cada oveja, y responderán así a las preguntas a) y b) del problema. G.C.B.A. La pregunta c) intenta poner en cuestión las condiciones de posibilidad o no de intersección de dos circunferencias, tema que será abordado también en otros apartados de este trabajo. Se espera que en esta instancia los alumnos lleguen a concluir que la separación mínima entre ambas estacas, para que las ovejas no tengan zonas comunes para pastar, coincide con la suma de los radios de las circunferencias, es decir que las dos sogas deben sumar menos que la distancia entre las estacas. Es posible que aparezcan en el aula cuestiones que se desprenden del contexto como el largo de cada oveja, u otras no tan pertinentes como el hambre que puedan tener; es una oportunidad para discutir con los alumnos la idea de que en el trabajo matemático estamos haciendo un modelo de la realidad, que toma en cuenta algunas variables de la situación y produce una respuesta en relación con esas variables que se consideraron.  Aportes para la enseñanza Nivel Medio / Matemática. Geometría  Para continuar el trabajo, el docente podrá proponer otras situaciones cambiando las variables del problema: la longitud de cada una de las sogas y/o la separación entre estacas, a fin de discutir con los alumnos las distintas soluciones que vayan surgiendo en cada uno de los casos: circunferencias secantes, circunferencias tangentes, circunferencias que no se tocan. PROBLEMA 4 El esquema representa un cantero cuadrado de 4 m de lado (escala 1 cm = 1 m). El cantero tiene una reja en su perímetro. Un perro está atado a la reja con una soga de 8 m y no puede entrar al cantero. a) Marcar en el esquema la zona que puede pisar el perro si la soga está fija en un punto situado a 3 m del vértice. b) Marcar la zona si la soga se fija en el punto medio del lado del cantero. COMENTARIOS Este problema retoma lo trabajado en los problemas anteriores y permite resignificar los conceptos de centro y radio de una circunferencia. Los alumnos para marcar la zona necesitan ubicar en cada paso un nuevo centro, y determinar un nuevo radio de circunferencia. La figura que se obtiene es una espiral diferente en cada consigna; se podrán variar los datos para lograr otro tipo de figuras. Puede ser que el docente tenga que poner a discusión el enunciado del problema, de modo que los alumnos interpreten que el radio de circunferencia va variando. G.C.B.A. PROPUESTAS COMPLEMENTARIAS A continuación se plantean problemas descontextualizados; se trata de que los alumnos encuentren puntos que equidistan de otros dos puntos dados. Si bien ya se ha discutido sobre circunferencias secantes y tangentes en el problema 3, este trabajo descontextualizado permitiría abrir un camino para construir el concepto de mediatriz de un segmento. La propiedad acerca de la perpendicu- laridad entre un segmento y su mediatriz se podrá validar cuando se disponga de los criterios de igualdad de triángulos, tarea que se propone en el Capítulo 2.   G. C. B. A. Ministerio de Educación Dirección General de Planeamiento Dirección de Currícula PROBLEMA 5 (Entregar a los alumnos una hoja con dos puntos marcados a menos de 8 cm.) xA xB a) Dibujar un punto P que esté a 4 cm de distancia del punto A y a 4 cm del punto B. ¿Cuántos puntos cumplen esta condición? b) ¿Qué distancia de separación debe haber entre A y B para que haya un único punto que se encuentre a 4 cm de cada uno de ellos? ¿Y para que no haya ninguno? COMENTARIOS Dependiendo de la profundidad con que se hayan trabajado los problemas anteriores, podría ser que todavía algún alumno, para responder a la consigna a), piense en encontrar el punto P sobre el segmento AB, y en ese caso no llegaría a ninguna solución. A x x B Habrá que orientar la discusión en torno al resto de los puntos del plano. Es ahí donde una vez más toma sentido la construcción de la circunferencia porque permite encontrar los dos únicos puntos que cumplen en simultáneo con ambas condiciones pedidas. El dibujo de los arquitos al que los alumnos pueden estar acostumbrados se puede analizar ahora como partes de una circunferencia que no se dibuja toda porque hay una anticipación de la zona donde se va a cortar con otra. La pregunta b) pone en cuestión nuevamente el tema de los posibles puntos de contacto que puede haber entre dos circunferencias no concéntricas. Trabajar en el contexto matemático puede favore- cer la reflexión sobre las ideas que se ponen en juego en este problema, y se presta para clarificar y distinguir las nociones de circunferencias tangentes y secantes. PROBLEMA 6 G.C.B.A. Se sabe que los puntos A y B están a 5 cm de distancia. Decidir antes de construir, cuántos puntos cumplen las condiciones solicitadas a continuación. Luego, si es necesario, comprobar realizando la construcción. a) ¿Cuántos puntos que estén simultáneamente a 7 cm de A y de B es posible encontrar? b) ¿Cuántos puntos que estén simultáneamente a 3 cm de A y de B es posible encontrar? c) ¿Cuántos puntos que estén simultáneamente a 2,5 cm de A y de B es posible encontrar? d) ¿Cuántos puntos que estén simultáneamente a 2 cm de A y de B es posible encontrar?  Aportes para la enseñanza Nivel Medio / Matemática. Geometría  COMENTARIOS Nuevamente aquí se ponen en juego las nociones de circunferencias tangentes y secantes, y tam- bién circunferencias que no se cortan entre sí. La novedad en este problema se vincula al hecho de que se les proponga a los alumnos anticipar el resultado y que recurran a la construcción como herramienta de verificación o validación de lo conjeturado. Las construcciones son una herramienta para probar la validez de las anticipaciones hechas por los alumnos. Constituyen una validación empírica del problema y van más allá de una figura de análisis. Los alumnos podrán elaborar otro tipo de pruebas cuando trabajen con problemas que requieran argumentos de orden más deductivo. Las marcas que quedarán dibujadas sobre un mismo esquema, cuando respondan a los distintos ítems, permitirán a los alumnos “encontrarse” con el hecho de que todos los puntos quedaron ali- neados. Es una situación propicia para encarar el estudio de la noción de mediatriz. La discusión y justificación de que la mediatriz de un segmento (considerada como el conjunto de puntos que equidistan de los extremos del mismo) es la recta perpendicular a ese segmento que pasa por su punto medio necesita, como ya dijimos, de los criterios de igualdad de triángulos, que serán abor- dados en el primer apartado del Capítulo 2. Otra cuestión interesante que podría discutirse a propósito de este problema es qué pasaría si se permite que las distancias a A y a B sean distintas. Esta nueva situación podría servir como punto de partida para la discusión acerca de la posibilidad o no de construir un triángulo cuyos lados midan, por ejemplo, 9, 5 y 4 cm ó 10, 3 y 6 cm. Se pone en juego la desigualdad triangular, propiedad que es necesario identificar y formular, aunque a esta altura de la escolaridad no se disponga de recursos para validarla.4 Esta propiedad se pondrá en juego también en el primer apartado del Capítulo 2, cuando se trabajen las construcciones de triángulos a partir de conocer la medida de los lados. 2. POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UNA CIRCUNFERENCIA RECTAS TANGENTES, SECANTES Y EXTERIORES. CARACTERIZACIÓN DE LA RECTA TANGENTE. CONSTRUCCIÓN DE LA RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA POR UN PUNTO DADO El concepto de recta tangente es central en matemática. Para segundo año de la escuela media, G.C.B.A. se propone su tratamiento en relación con la circunferencia, pues en este caso se puede dar una definición precisa sin apelar al cálculo infinitesimal: una recta es tangente a una circunferencia si se corta con ella en un único punto. Con el estudio de las parábolas y la función cuadrática, en años siguientes, esta primera definición de recta tangente deberá ser revisada para establecer sus límites y dar lugar a otra que recupere la idea de “punto doble de contacto”. Presentamos una primera actividad preparatoria de los temas que se tratarán en este bloque. Para poder abordarla es necesario que los alumnos hayan trabajado antes con la noción de mediatriz y realizado su construcción. 4 La relación entre lado e hipotenusa de un triángulo rectángulo que resulta del Teorema de Pitágoras permite construir una validación de la desigualdad triangular para el caso de triángulos acutángulos.   G. C. B. A. Ministerio de Educación Dirección General de Planeamiento Dirección de Currícula PROBLEMA 7 a) Trazar una circunferencia que pase por dos puntos dados. ¿Cuántas se pue- den trazar? b) Trazar una circunferencia que pase por tres puntos dados. ¿Cuántas se pueden trazar? c) Trazar una circunferencia que pase por cuatro puntos dados. ¿Cuántas se pueden trazar? COMENTARIOS Esta actividad requiere que los alumnos hayan trabajado con el concepto de mediatriz de un seg- mento; en la consigna a) es probable que a partir de una primera exploración, los alumnos dibujen el segmento entre los puntos dados, marquen el punto medio y lo consideren el centro de una de las circunferencias pedidas. Si esta fuera la única solución que aparece en la clase, será una buena oportunidad para recuperar la definición de circunferencia y la propiedad que debe cumplir el centro. Los alumnos deberían poder concluir que hay infinitas circunferencias y que los centros se encuentran sobre la mediatriz del segmento determinado por los dos puntos. En la consigna b),5 para encontrar el centro de la circunferencia, los alumnos deberán buscar un punto equidistante de los tres dados. Esta búsqueda puede apoyarse en el trabajo realizado a partir de la consigna a: el trazado de dos mediatrices permite determinar el lugar donde debe estar ubi- cado el centro. La justificación de esa construcción incluye discutir la unicidad de la solución. En torno a esta situación se podrá también plantear la discusión acerca de la existencia de solución en relación con la ubicación relativa de los tres puntos dados. Por un lado, el sentido común podría permitir anticipar que si estos puntos están alineados, no es posible encontrar una circunferencia que pase por los tres. Lo interesante aquí es reflexionar sobre la construcción realizada antes: dados los puntos A, B y C, el centro de la circunferencia se ubicaba en la intersección de las mediatrices de los segmentos AB y BC; pero estas mediatrices no van a cortarse si los segmentos AB y BC son paralelos; como los segmentos tiene un punto en común, esta condición se traduce en que los puntos A, B y C están alineados. La consigna c) también genera un trabajo exploratorio; los alumnos pueden considerar tres de los G.C.B.A. cuatro puntos y determinar la única circunferencia que pasa por ellos según lo estudiado en la consigna b). Si el cuarto punto no pertenece a esta circunferencia, entonces el problema no tiene solución. Sería interesante que, al trabajar con el problema 19 del tercer apartado, se pueda iden- tificar una condición necesaria que deben cumplir cuatro puntos A, B, C y D para pertenecer a una circunferencia: la suma de los ángulos ABC y CDA debe ser igual a dos rectos.6 5 El ejemplo 24 del programa de segundo año plantea una situación similar en contexto. 6 Esta condición en realidad es también suficiente pero no se incluye su discusión en el problema 19.  Aportes para la enseñanza Nivel Medio / Matemática. Geometría  PROBLEMA 8 a) Dibujar si es posible - una recta y una circunferencia que se corten en dos puntos, - una recta y una circunferencia que se corten en un punto, - una recta y una circunferencia que no se corten, - una recta y una circunferencia que se corten en tres puntos. b) Dibujar si es posible - dos circunferencias que no se corten, - dos circunferencias que se corten en un punto, - dos circunferencias que se corten en dos puntos, - dos circunferencias que se corten en tres puntos. COMENTARIOS Este problema propone un trabajo exploratorio acerca de la intersección de rectas y circunferencias, y de circunferencias entre sí. Como ya dijimos, se trata de una actividad netamente exploratoria. La consigna a) permitirá caracterizar rectas secantes, tangentes y exteriores a una circunferencia. La justificación del trazado de una recta que corte a una circunferencia en un solo punto se reserva para realizar después del problema 9. En cuanto a la consigna b), a partir de la realización de los tres primeros dibujos que se piden, el docente podrá proponer a los alumnos analizar la relación entre los radios y la distancia entre los centros, y de este modo se podrá caracterizar circunferencias exteriores, secantes y tangentes. El cuarto dibujo que se pide puede considerarse como una construcción imposible;7 el trabajo realiza- do en el problema 7 permite argumentar acerca de esta imposibilidad. PROBLEMA 98 Se tiene una circunferencia de centro O. Marcar si es posible marcar dos puntos A y B sobre la circunferencia de manera que el ángulo BAO sea recto. G.C.B.A. COMENTARIOS Para abordar este problema, los alumnos pueden intentar dibujar un ángulo recto en las condicio- nes pedidas; en ese caso se enfrentarían con la imposibilidad práctica de esta construcción. Si esto sucede, el docente debe reformular la tarea y pedir entonces una justificación de por qué esta es 7 En el Capítulo 2 de este documento se presentan otras construcciones imposibles. 8 En las tres actividades que siguen se presenta una posible trayectoria para el estudio de las rectas tangentes a una circunfe- rencia. Recuperan esencialmente las ideas del ejemplo 18 del programa de segundo año.   G. C. B. A. Ministerio de Educación Dirección General de Planeamiento Dirección de Currícula una construcción imposible. Pedir la justificación de esta afirmación es colocar a los alumnos en un plano diferente del dibujo y la visualización. De este modo, se tiende a lograr que los estudiantes se involucren en la elaboración de argumentos. Este es un objetivo de la enseñanza: requiere una inten- cionalidad del docente, que irá instalando la argumentación como una actividad usual del aula. Una justificación puede apoyarse en el hecho de que si A y B son dos puntos de la circunferencia, el triángulo BOA siempre será isósceles, con ángulo B = ángulo A, y por lo tanto estos nunca podrán ser rectos. B A O PROBLEMA 10 Discutir la validez de la siguiente afirmación: “Si una recta pasa por un punto P de una circunferencia y es perpendicular al radio que pasa por P, entonces esta recta es tangente a la circunferencia.” COMENTARIOS El trabajo realizado en el problema 9 permite construir una argumentación para validar la conjetura que se propone. Otra manera de justificar la veracidad de esta afirmación consiste en analizar que para cualquier punto Q de la recta, que no sea P, se obtiene un triángulo rectángulo QPO, del cual QO es su hipo- tenusa. Por la relación pitagórica, la longitud de ese segmento será mayor que la medida del radio, G.C.B.A. y por lo tanto el punto Q necesariamente será exterior a la circunferencia. Sería importante lograr que los dos tipos de argumentos fueran discutidos, distinguiéndolos de otros que pueden apoyarse en la percepción o en algún dibujo. Una vez instalada en la clase esta afirmación como verdadera se puede plantear el trazado efectivo de una recta tangente a una circunferencia por un punto de ella. En particular, sería interesante volver sobre el problema 8 para validar ahora la construcción de una recta y una circunferencia que se corta en un punto.  Aportes para la enseñanza Nivel Medio / Matemática. Geometría  PROBLEMA 11 Se da una circunferencia de centro O y radio r y un punto P exterior a ella. Hay que trazar una recta tangente a la circunferencia (no se sabe por qué punto de ella), de manera que la recta pase por P. ¿ Se puede hacer siempre? ¿Puede haber más de una recta que cumpla con estas condiciones? xP xO COMENTARIOS Para resolver esta actividad, el docente podría sugerir a los alumnos que comiencen realizando un dibujo aproximado de la recta, esquema que permitiría considerar tanto los datos como las condiciones que tiene que cumplir esa recta. Si se llama A al punto de contacto de la recta tangente con la circunferencia, el docente podría ahora preguntar qué se sabe sobre el triángulo PAO. Se puede sugerir a los alumnos ubicar el punto A en cualquier lugar y dibujar un triángulo, a modo de figura de análisis. De este triángulo se conoce: que es rectángulo en A, porque la tangente es perpendicular al radio, la medida de un cateto, que es la longitud del radio OA, la medida de la hipotenusa que es la distancia OP. Las construcciones geométricas realizadas en primer año son herramientas para construir ahora el triángulo PAO a partir de los datos. El docente puede proponer realizar esa construcción fuera de la circunferencia y de allí tomar la longitud del segmento AP. S G.C.B.A. SN = longitud de OP El lado MS tendrá la longitud del lado AP M r N Una vez realizada esta construcción, con la medida MS como radio pueden marcarse con el com- pás, centrado en P, los puntos A y A’ de intersección con la circunferencia. Esta construcción per- mite validar que por P pasan siempre dos rectas tangentes a la circunferencia.   G. C. B. A. Ministerio de Educación Dirección General de Planeamiento Dirección de Currícula En este problema aparece el recurso de la figura de análisis, herramienta muy útil en el trabajo en geome- tría. Realizar un esquema de la situación permite vincular tanto los datos entre sí como las relaciones que se buscan, y en ese sentido ayuda a organizar la construcción. En otros casos, estos esquemas permiten organizar una demostración o también formular una nueva conjetura. Que los alumnos lleguen a apropiarse de este recurso es algo que debe gestar la enseñanza, a partir de problemas donde aparezca su necesidad o al menos su eficacia. La propiedad de los ángulos inscriptos en una semicircunferencia, que será comentada en el problema 13, permite elaborar otro algoritmo de construcción para la tangente por un punto exterior; sería interesante volver sobre este problema después del trabajo con esa propiedad. En efecto, el punto A por el cual la recta cortará a la circunferencia permite determinar un ángulo recto OAP. Después del problema 13, los alumnos saben que todos los ángulos inscriptos en una semicircunferencia son rectos y pueden buscar el punto A en la circunferencia que tiene como diámetro el segmento OP. En definitiva, el punto A buscado debe estar en la intersección de esta circunferencia con la dada. A P O A' PROBLEMA 12 Un móvil parte de un punto de una circunferencia de 15 m de radio. Siguiendo la dirección que marca la tangente en dicho punto, se desplaza durante dos horas, a una velocidad de 20 m/h. ¿A qué distancia del centro de circunferencia se encon- trará al cabo de ese tiempo? COMENTARIOS G.C.B.A. Este último problema integra el concepto de recta tangente estudiado previamente con la noción de velocidad y la relación métrica dada por el Teorema de Pitágoras. 3. ÁNGULOS INSCRIPTOS ÁNGULOS INSCRIPTOS EN UNA SEMICIRCUNFERENCIA Y EN UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA. RELACIÓN CON EL ÁNGULO CENTRAL CORRESPONDIENTE La relación entre un ángulo inscripto en un arco de circunferencia y el ángulo central correspon- diente es propicia para la exploración y la formulación de conjeturas. Los problemas 13, 14 y 15  Aportes para la enseñanza Nivel Medio / Matemática. Geometría  recuperan esencialmente el ejemplo 19 del programa de segundo año. A partir del problema 16 se presentan actividades de reinversión de los conocimientos recién construidos PROBLEMA 13 Se presenta una hoja con dos segmentos dibujados y se pide, para cada segmento, dibujar un rectángulo que tenga el seg- mento dado por diagonal. En caso de que fuera posible dibujar más de uno, dibujar tres distintos, decidir cuántos es posible dibujar en total y cómo se podrían dibujar todos. COMENTARIOS Esta actividad comienza con una fase exploratoria; es posible que para algunos alumnos el primer seg- mento se visualice como la diagonal de un único rectángulo, aquel de lados horizontal y vertical respec- tivamente. Esta idea resulta insuficiente para construir rectángulos con el segundo segmento. Se espera que algunos alumnos aprovechen los lados de la escuadra para el trazado de ángulos rectos que pasen por los extremos del segmento dado y otros actualicen la propiedad que verifican las diagonales de un rectángulo: son iguales y se cortan en su punto medio. Gracias a esta propiedad es posible construir nuevos rectángulos dibujando la segunda diagonal con distintas inclinaciones. De este trabajo exploratorio se espera arribar colectivamente a la siguiente conjetura (que surge de una “visión” de los rectángulos dibujados): “los vértices de todos los rectángulos dibujados caen sobre una circunferencia”. El docente puede escribirla y redefinir la tarea pidiendo una justificación de esta afirmación. Los alumnos están en condiciones de darla apoyándose en el hecho de que todas las diagonales de los distintos rectángulos son iguales (e iguales al dato inicial) y se cortan en su punto medio. El punto en que se cortan todas las diagonales resultará el centro de la circunferen- cia y los vértices dibujados están todos a una distancia del centro igual a la mitad de la diagonal. 9 PROBLEMA 14 G.C.B.A. Dados dos puntos A y B en un plano, hallar los puntos P de ese plano de modo que el ángulo APB sea recto. COMENTARIOS La clave para la resolución del problema consiste en encontrar otra caracterización –el lugar geomé- trico– de todos los puntos P que verifican una cierta condición. En una primera instancia, una fase 9 Este problema complementa el estudio realizado en el problema 13. Es posible pensar el tratamiento de estos dos problemas en el orden inverso al que los presentamos.   G. C. B. A. Ministerio de Educación Dirección General de Planeamiento Dirección de Currícula exploratoria puede favorecer como conjetura que el conjunto buscado es la circunferencia de cen- tro en O, punto medio de AB, y de radio AB/ 2 (exceptuando los puntos A y B). Queda ahora la tarea de validar esta conjetura. En el problema 13 se llegó a justificar que todo vérti- ce cae efectivamente en esta circunferencia, faltaría probar que todo punto de la circunferencia es el vértice de un ángulo recto. Para validar esta última afirmación se puede proponer a los alumnos la consideración de los triángulos AOP y BOP, ambos isósceles: P B O A y el triángulo APB. Un juego argumentativo entre las propiedades de los ángulos de un triángulo isósceles y el hecho de que los ángulos interiores de todo triángulo sumen dos rectos les permitirá arribar a la conclusión de que APB es recto. En este trabajo se aborda la problemática de condición necesaria y suficiente, problemática deli- cada desde el punto vista de la enseñanza pero al mismo tiempo inherente a muchas situaciones del trabajo geométrico. No se piensa que todos los alumnos puedan comprender en profundidad la necesidad de este tipo de razonamiento a partir del trabajo con un único problema. Para colaborar con su comprensión será necesario retomar esta cuestión en diferentes momentos. PROBLEMA 15 En una circunferencia se marca un punto P y se dibuja un ángulo con vértice en P, de manera que uno de los P lados del ángulo corte a la circunferencia en un punto A A y el otro de los lados pase por el centro O de la circun- O ferencia y la corte en un punto B, tal como muestra el dibujo. B G.C.B.A. a) Si se sabe que el ángulo AOB mide 78º 36’, ¿se puede saber cuánto mide el ángulo APB? b) Determinar, si es posible, un ángulo AOB y un punto P´ en la situación des- cripta en la consigna a) de manera que el ángulo AP´B sea mayor que la mitad del ángulo AOB. COMENTARIOS Esta actividad tiene como objetivo que los alumnos lleguen a elaborar la relación entre un ángulo inscripto y el central correspondiente. Para resolver la consigna a) es probable que algunos alumnos  Aportes para la enseñanza Nivel Medio / Matemática. Geometría  realicen un dibujo aproximado del ángulo AOB y lleguen a un valor aproximado del ángulo APB midiendo sobre el papel. Es esperable que de este modo se obtengan en el aula distintos resultados, hecho que resulta propicio para que el docente plantee una discusión acerca de la aproximación que necesariamente está implicada en el dibujo y en la medición. Quedaría abierta la posibilidad de apelar a otros recursos para llegar a la respuesta exacta. Eventualmente, con algunas propuestas del docente –dibujar el segmento AB–, los alumnos podrían resolver el problema estudiando nuevamente los triángulos isósceles que quedan determinados. La argumentación resulta ser una herramienta para arribar a un resultado numérico. Es posible que los estudiantes lleguen al resultado 39º 18’ paso a paso, sin identificar que se trata de la mitad del ángulo dato. Enfrentar la tarea de la consigna b) va a permitir la formulación general de la relación y su validación. La búsqueda del punto y el ángulo solicitados en la consigna b) resultará infructuosa pues se trata de una construcción imposible. Se espera que de su exploración surja la propiedad que sí se verifica: “el ángulo central es siempre el doble del ángulo inscripto”. La justificación de esta afirmación se podrá apoyar en los hechos siguientes: APB = OAP por ángulos iguales de un triángulo isósceles, AOB = 180º - AOP, AOP = 180º - 2APB. Estas condiciones permiten concluir que APB = 1 AOB. 2 Para completar el estudio de los ángulos inscriptos, falta todavía el planteo más general para un ángulo inscripto cualquiera, sin que necesariamente uno de sus lados pase por el centro de la cir- cunferencia. La validación de la propiedad en el caso general podría quedar a cargo del docente. Los problemas 13, 14 y 15 permitieron la identificación de conocimientos geométricos relativos a ángulos inscriptos. Esta identificación se pudo elaborar a partir de actividades de construcción, de validación y discusiones en la clase. En las actividades siguientes estos conocimientos se pondrán en juego para resolver una variedad de problemas geométricos. Para algunas de ellas no se presenta un análisis detallado sino un comentario que orienta sobre el posible trabajo por realizar en el aula. G.C.B.A. PROBLEMA 16 A Se tiene una circunferencia. Se marcan en ella los B puntos A y B que determinan un arco, se señala un punto P y se dibuja el ángulo inscripto APB, como se indica en el dibujo: a) Encuentren un punto M en la circunferencia, P que pertenezca al arco AB que contiene a P, de manera tal que el ángulo AMB sea igual al ángu- lo APB.   G. C. B. A. Ministerio de Educación Dirección General de Planeamiento Dirección de Currícula b) Encuentren un punto M en la circunferencia, que pertenezca al arco AB que contiene a P, de manera tal que el ángulo AMB sea mayor que el ángulo APB. c) Encuentren un punto M en la circunferencia, que pertenezca al arco AB que contiene a P, de manera tal que el ángulo AMB sea menor que el ángulo APB. COMENTARIOS Para resolver este problema es probable que los alumnos ubiquen M en distintos lugares. Es espe- rable que algunos midan el ángulo APB obteniendo un valor. Al seleccionar un punto M y trazar el ángulo inscripto AMB, la medida será muy similar a la del ángulo APB. Es una oportunidad para discutir nuevamente acerca de la aproximación que necesariamente se obtiene al dibujar y medir. Para las consignas b) y c) es posible que los alumnos construyan diferentes ángulos AMB con el trans- portador; podría ser útil promover la sospecha de que siempre miden “casi” lo mismo, y que parece ser imposible encontrar un punto M para el cual el ángulo APB sea diferente que el ángulo AMB. El docente podrá promover la búsqueda de argumentos que sostengan la igualdad de todos los ángulos obtenidos: si se consideran dos ángulos AMB y ANB, por un lado, hay que identificar que ambos comparten un mismo ángulo central que pasa por A y B, y tiene su vértice sobre el centro de la circunferencia; por otro lado, hay que recuperar lo elaborado en el problema 15 para concluir que ambos ángulos miden la mitad que AOB. Nuevamente, a partir de una construcción imposible se logra enunciar una propiedad de los ángulos inscriptos y validarla. PROBLEMA 1710 Construir un triángulo rectángulo dadas la hipotenusa y la altura correspondien- te a la hipotenusa. hipotenusa altura G.C.B.A. COMENTARIOS B El dibujo que se adjunta es una figura de análisis que puede C servir para orientar la tarea. A 10 Extraídos del programa de Matemática. Segundo año. GCBA., Secretaría de Educación, D.G.P.L., Dirección de Currícula, 2003.  Aportes para la enseñanza Nivel Medio / Matemática. Geometría  Para trazar el triángulo, los alumnos deben ubicar el punto B, de manera que ABC sea un ángulo recto y que la distancia de B al lado AC sea igual a la altura dada. El problema es una aplicación de la propiedad recién estudiada según la cual si un ángulo está inscripto en una semicircunferencia, es recto. El punto buscado resulta ser entonces la intersección entre la circunferencia con centro en el punto medio de la hipotenusa y radio igual a la mitad de la misma, y la recta paralela a la hipotenusa que está a una distancia de la misma igual a la altura. Si los alumnos intentaran dibujar el triángulo “al tanteo”, la exploración que realicen puede servir de base para construir una argumentación. Será interesante estudiar las condiciones para que el problema tenga solución y discutir la cantidad de soluciones posibles. Esta discusión se puede apoyar en una descripción de la construcción más que en la construcción efectiva. Como caso particular se puede preguntar acerca de las condiciones que deben cumplir los datos para llegar a obtener un triángulo isósceles. PROBLEMA 18 Por un punto S exterior a una circunferencia se trazan dos secantes, como se muestra en el siguiente dibujo: M P A S Q R ¿Es verdad que los ángulos del triángulo MPA son respectivamente iguales a los ángulos del triángulo RAQ? ¿Cómo se explica esto? ¿Se puede decir lo mismo de los ángulos de los triángulos MQS y RPS? G.C.B.A. COMENTARIOS Este problema se propone como una aplicación de la propiedad estudiada en el problema 16. Se podrá retomar cuando se trabaje el concepto de semejanza de figuras, intercalándolo en una secuen- cia de semejanza para estudiar la proporcionalidad entre pares de lados.   G. C. B. A. Ministerio de Educación Dirección General de Planeamiento Dirección de Currícula M PROBLEMA 19 En la siguiente figura, O es centro de la circunferen- cia. Calcular la medida del ángulo MRO sin utilizar el transportador, sabiendo que el ángulo MNO O mide 20° y que el ángulo NOR mide 120°. N R COMENTARIOS La idea es que los alumnos entren en un juego deductivo, a partir del valor de algunos ángulos. Quizás sea necesaria una intervención docente para el trazado del segmento MO, que permitirá considerar los dos triángulos isósceles MON y MOR. A partir de esto se puede poner en juego la relación entre un ángulo inscripto y el central correspon- diente, o considerar los tres ángulos con vértice en O que completara un giro. PROBLEMA 20 E D Si A es centro de la circunferencia y DCF mide 62°, determinar la medida del ángulo DEF. A F C COMENTARIOS G.C.B.A. Este problema, al igual que el anterior, requiere poner en juego la relación entre el ángulo central y el ángulo inscripto correspondiente. Pone de manifiesto que el ángulo central puede resultar mayor que 180°, dependiendo del valor del ángulo inscripto que le corresponde y le da sentido a los ángulos cóncavos. Como continuación de la tarea se podría proponer a los alumnos analizar la validez de la siguiente afirmación:En todo cuadrilátero inscripto en una circunferencia, la suma de los ángulos opuestos es dos rectos, que requiere la utilización de las propiedades de la circunferencia para validar propieda- des de los cuadriláteros y viceversa. Otra pregunta que se puede plantear es: Si imaginamos que el punto F se va desplazando sobre la circunferencia, ¿dónde se puede ubicar para que los ángulos DCF y DEF sean iguales?  CAPÍTULO 2 UN TIPO DE TAREA: LAS CONSTRUCCIONES En este capítulo se proponen distintas actividades en torno a un tipo de tarea: las construcciones geométricas, a través de las cuales se abordan diferentes temáticas de la geometría de los dos primeros años de la escuela media. Las actividades de construcción –con una gestión de la clase que favorezca la reflexión– pueden resultar muy fértiles para promover la exploración y la elaboración de propiedades, así como para poner en juego propiedades ya conocidas. Las primeras actividades de construcción de triángulos que se proponen en el primer apartado son exploratorias, e incluyen el estudio de las condiciones sobre los datos para asegurar la existencia de soluciones y la unicidad de las mismas. Se propone una actividad de reproducción de un triángulo, a partir de la cual se espera elaborar los criterios de igualdad de triángulos. Es decir que los criterios serán el producto de una actividad de los alumnos antes de convertirse en un conocimiento-herramienta eficaz para la elaboración de argumentaciones. En el segundo apartado se proponen actividades en las que se solicita una validación de las construcciones por realizar. A diferencia del apartado anterior, en este se restringen los instrumentos de construcción a la regla no graduada y el compás. De este modo se pretende provocar en los alumnos la necesidad de argumentar –a partir de propiedades ya conocidas– para asegurar la validez de las construcciones realizadas. Los criterios de igualdad de triángulos, entre otras propiedades, serán aquí apoyos para las validacio- nes. La fundamentación de construcciones clásicas con regla no graduada y compás, como la de mediatriz y bisectriz, son algunas de las actividades propuestas. En el tercer apartado se propone una colección de construcciones imposibles. En este caso, la imposibilidad de realizar el dibujo exige buscar argumentos que justifi- quen la imposibilidad de realizar el dibujo. G.C.B.A. 1. CONSTRUCCIONES DE TRIÁNGULOS Y ELABORACIÓN DE CRITERIOS DE IGUALDAD Las actividades propuestas en este apartado consisten en la construcción de triángulos a partir de diferentes datos. Estas construcciones ponen en juego relaciones entre lados, entre ángulos, y entre lados y ángulos de los triángulos. A partir de los distintos juegos de datos, los alumnos deberán decidir si es posible construir o no un triángulo, analizar si la construcción es única o si puede haber más de un triángulo que verifique esas condiciones.11 11 En el ejemplo 27 del Anexo del Programa de Matemática. Primer año. G.C.B.A., Ministerio de Educación, D.G.P.L., Dirección de Currícula, 2002) se presentan sintéticamente actividades de construcción de triángulos.   G. C. B. A. Ministerio de Educación Dirección General de Planeamiento Dirección de Currícula En el contexto de las actividades de construcción se discutirá por qué el compás aparece como un instrumento adecuado para trasladar segmentos o ángulos. Los alumnos de primer año suelen tener poca familiaridad con este uso del instrumento compás, así como con la noción de circunferencia como lugar geométrico de los puntos que equidistan de uno fijo. Sería conveniente entonces abordar con anterioridad las actividades propuestas en el primer apartado del capítulo 1. Un objetivo de estas actividades de construcción es la elaboración de criterios que permitan decidir bajo qué circunstancias se puede afirmar que dos triángulos son iguales. El conocimiento de los cri- terios de igualdad de triángulos será fundamental para avanzar en el plano de las argumentaciones y validaciones de conjeturas. Para llegar a la formulación de tales criterios se propone el problema 8 de reproducción de un triángulo, a partir de datos que los alumnos deben pedir a otro grupo de alumnos (o al docente). Las últimas actividades que se proponen en este apartado están referidas, por un lado, a la consi- deración de la altura del triángulo como uno de los datos posibles para la construcción, y, por otro, a construcciones de triángulos rectángulos e isósceles. CONSTRUCCIONES DE TRIÁNGULOS A PARTIR DE LADOS PROBLEMA 1 Dados los segmentos a y b: a b construir, si es posible, un triángulo que tenga un lado igual a a y otro lado igual a b. ¿Se pueden construir dos distintos? ¿Por qué? COMENTARIOS G.C.B.A. Los alumnos suelen sentirse desconcertados ante esta actividad y piden más datos para determinar el triángulo. Muchas veces es necesario que el docente habilite explícitamente la posibilidad de que ellos elijan a su gusto los datos que faltan y de ese modo es posible que lleguen a construir más de un triángulo que cumple las condiciones planteadas. Los triángulos que más frecuentemente aparecen en el aula son acutángulos, rectángulos e isósceles –que resultan de repetir alguna de las longitudes dadas para dos de los lados o de “inventar” un ángulo recto–. Para que los alumnos también construyan triángulos obtusángulos puede ser necesaria una intervención docente que lo solicite explícitamente. Con la variedad de respuestas producidas por los alumnos es posible identificar el ángulo entre los dos segmentos dados como una variable de la actividad que puede ser elegida arbitrariamente.  Aportes para la enseñanza Nivel Medio / Matemática. Geometría  Llegado este punto se podrá preguntar cuántos triángulos diferentes es posible armar. Muchos chicos responden 180 o 179, como consecuencia de una identificación implícita “un grado-un ángulo”. Este tipo de respuestas, lejos de representar un problema para el desarrollo de la actividad, abre el espacio a discusiones fructíferas en torno a las ideas de infinito, de medida y de ángulos. Es probable que los alumnos no recurran al compás para realizar la construcción. Para hacerlo “entrar en escena”, el docente podría presentar una figura como la siguiente, señalando que al dibujar el segmento a quedan determinados dos de los vértices del triángulo, mientras que el tercer vértice quedará determinado según la posición elegida para el segmento b: b b b a A partir de este dibujo se les pueden hacer preguntas a los alumnos, tales como: ¿Dónde se puede ubi- car el tercer vértice? ¿Qué figura describen las distintas posiciones del vértice “libre” del segmento b? Aquí podría resultar fructífera una discusión en torno a si es posible “tomar” la longitud de los lados “sin medir”. Si previamente se ha trabajado con la propuesta del capítulo 1 sobre los diferentes ins- trumentos que están disponibles para hacer construcciones de circunferencias, como el compás y el cordón –entre otros– y las posibilidades que brinda cada uno de ellos, es de esperar que los alumnos puedan discutir y argumentar acerca de por qué el compás es un instrumento eficaz para determinar todos los puntos posibles donde puede estar ubicado el tercer vértice del triángulo. Otra discusión se puede generar en torno a la necesidad de que los tres vértices no queden alineados. Será necesario proponer a los alumnos una reflexión en torno a qué sucedería si se comienza la cons- trucción a partir del segmento b y se traza una circunferencia con centro en uno de sus extremos y radio igual a la medida del segmento a. Los alumnos podrían pensar que de esta manera se obtendrán nuevos triángulos, diferentes de los anteriores, aun aquellos que observen una cierta simetría. Hará falta una intervención del docente para que se instale como norma de la clase de geometría que G.C.B.A. cuando dos figuras pueden superponerse, se consideran iguales; es decir, que la posición de la figura en la hoja de papel no es una propiedad de la figura. Para el caso de dos triángulos, la superposición puede identificarse con la igualdad de los tres lados y de los respectivos ángulos comprendidos. La formulación de los criterios de igualdad a partir del problema 8 servirá para retomar esta caracterización. Como cierre de esta actividad se debería discutir qué sucede cuando se cambian las longitudes de los segmentos. La idea es llegar a determinar que la construcción realizada y las infinitas soluciones encontradas seguirán obteniéndose cualesquiera sean las longitudes de los dos lados-datos.   G. C. B. A. Ministerio de Educación Dirección General de Planeamiento Dirección de Currícula PROBLEMA 2 a Dados los segmentos a, b y c construir, si es posible, un triángulo que tenga b un lado igual a a, otro lado igual a b y el otro c lado igual a c. ¿Es posible construir dos distintos? ¿Por qué? COMENTARIOS Por lo trabajado en la actividad anterior (y las del capítulo 1), es de esperar que el compás sea conside- rado como una herramienta útil para trasladar segmentos. La situación permite a los alumnos la toma de algunas decisiones: el lado por donde empezar la construc- ción, cuál de los dos extremos del segmento elegir para trazar las circunferencias con las medidas de los otros dos lados, cuál de los dos puntos de intersección de las circunferencias elegir para formar el trián- gulo. Todas estas decisiones, si bien pueden generar incertidumbre en los alumnos, son fecundas porque promueven la confrontación de posturas que se deben sostener con distintos tipos de argumentos. La discusión sobre la simetría y la superposición de figuras a propósito de la actividad anterior hará posible concluir que se trata siempre del mismo triángulo, pero que ocupa distintas posiciones en la hoja. El trabajo realizado en estas actividades permite dotar de sentido a una “manera de hacer” que tienen los alumnos, según la cual los triángulos surgen a partir de “marquitas” que quedan en la hoja luego de transportar con el compás la longitud de un lado. Esas “marquitas” se pueden ver ahora como una sección de una circunferencia que el compás permitiría trazar completamente. Después del problema 2 podría quedar instalada la idea de que, conociendo los tres lados, siempre se puede construir un triángulo. La siguiente actividad pone de relieve que debe existir alguna relación entre las longitudes de los lados –la desigualdad triangular– para que se pueda realizar la construcción. PROBLEMA 3 G.C.B.A. Dados los segmentos a, b y c a construir, si es posible, un triángulo que tenga un lado igual a a, otro lado igual a b y el otro b lado igual a c. ¿Se pueden construir dos c triángulos distintos? ¿Por qué? COMENTARIOS El objetivo de esta actividad es generar una discusión en torno a las razones que hacen que no se pueda lograr la construcción pedida. Es posible que los alumnos argumenten que “los lados no  Aportes para la enseñanza Nivel Medio / Matemática. Geometría  cierran”, “los lados no alcanzan”, “los lados no se juntan”. Se trata de avanzar en la precisión de la respuesta hasta llegar a alguna formulación de la desigualdad triangular. Enfrentar la tarea de una construcción imposible es, en este caso, un punto de partida para precisar las condiciones que deben cumplir los lados de un triángulo. El hecho de que el enunciado de una actividad pida realizar algo que no resulta posible hace entrar a los alumnos en una suerte de contradicción: si la actividad (el docente) lo pide, debe ser posible realizarlo. En ese sentido, además de apuntar a precisar las condiciones de la desigualdad triangular, la activi- dad permitiría al docente establecer –tal vez implícitamente– una nueva “regla de juego”: la solución a un problema puede ser responder que éste no tiene solución. Esta norma que se establece en la clase propicia la autonomía de los alumnos: los impulsa a moverse de la posición de “no me sale”, a la de estudiar si el problema tiene o no solución. Concluida esta etapa de tres actividades, sería conveniente hacer una síntesis con los alumnos de lo trabajado hasta aquí. CONSTRUCCIONES DE TRIÁNGULOS A PARTIR DE ÁNGULOS Los problemas 4 y 5 buscan movilizar las concepciones de los alumnos en relación con la idea de ángulos interiores de los triángulos y establecer condiciones sobre dichos ángulos para que las cons- trucciones se puedan realizar. PROBLEMA 4 A Dados los ángulos A y B B Construir, si es posible, un triángulo que tenga un ángulo igual a A y otro ángulo igual a B. ¿Es posible construir dos distintos? ¿Por qué? ¿Será cierto que dados dos ángulos, siempre es posible construir un triángulo? G.C.B.A. COMENTARIOS Los ángulos aparecen en escena por primera vez como datos y puede ser necesario revisar con los alumnos que la medida del ángulo no depende de la longitud de los lados, sino de la “abertura” que hay entre ellos. Como la actividad no presenta las medidas de los ángulos, hay que buscar la forma de “trasladarlos” o “copiarlos”. Los alumnos podrán hacerlo con compás o con transportador. Tanto el procedimiento para transportar ángulos con compás como su fundamentación serán tratados en el segundo apartado de este capítulo. El docente podrá decidir el momento más apropiado para desarrollar esta actividad.   G. C. B. A. Ministerio de Educación Dirección General de Planeamiento Dirección de Currícula Para realizar la tarea, es posible que los alumnos intenten ubicar los dos ángulos-datos en los dos extremos de un lado, dibujado “horizontalmente”. Pero hay una decisión que se debe tomar: ¿qué longitud se le debe dar al lado sobre el cual se construyen los dos ángulos? Puede ser que algunos alumnos lo dibujen de un tamaño “estándar”, sin darse cuenta de que están determinando una longitud para el lado. Puede ser que otros alumnos demanden ese segmento faltante. Puede ser necesario que el docente explicite que la elección depende de ellos porque no es un dato del enunciado. Esto abrirá el espacio para una discusión posterior sobre las distintas soluciones obtenidas y el porqué de la multiplicidad de respuestas. Esta actividad no apunta necesariamente a que se trabajen las nociones de semejanza ni de proporcionali- dad. En principio, será suficiente señalar que todos los diferentes triángulos construidos poseen longitudes diferentes para los lados, pero tienen en común la abertura de dos de sus ángulos. Con relación a la pregunta: ¿será cierto que, dados dos ángulos, siempre es posible construir un triángulo?, esperamos que los alumnos puedan llegar a establecer la condición de que, si esos dos ángulos suman menos que 180º, la construcción será siempre posible. En tanto que si la suma de los dos ángulos es mayor o igual que 180º, la construcción será imposible. Pueden apoyarse en construcciones como la siguiente: 100º 90º Suponemos que la mayoría de las justificaciones que den los alumnos se apoyarán en dibujos, pero no descartamos que algún alumno recuerde la propiedad de la suma de los ángulos interiores de un triángulo. De todas formas, esta cuestión se ahondará en las dos actividades que se proponen a continuación. PROBLEMA 5 a) Construir, si es posible, un triángulo cuyos ángulos midan 30º, 45º y 75º. ¿Es posible construir dos distintos? ¿Por qué? b) Construir, si es posible, un triángulo cuyos ángulos midan 30º, 45º y 105º. ¿Pueden construir dos distintos? ¿Por qué? G.C.B.A. COMENTARIOS Lo fecundo de la actividad gira en torno de la propiedad de la suma de los ángulos interiores de un triángulo. En ese sentido, el objetivo no se ve modificado si los alumnos utilizan el trasportador para dibujar los ángulos. En relación con la consigna a), es posible que algunos alumnos hagan la construcción ubicando los ángulos de 30º y 45º, y encuentren que el tercer ángulo no puede medir 75º. También puede suce- der que alguno, partiendo de los ángulos de 30º y de 45º, logre “cerrar” el triángulo, sin controlar que el tercer ángulo no mide 75º.  Aportes para la enseñanza Nivel Medio / Matemática. Geometría  Otra posibilidad es que algunos alumnos recuperen la propiedad de la suma de los ángulos interiores de un triángulo –propiedad que suele ser trabajada en la escuela primaria–, y argumenten la imposibilidad de la construcci