Systèmes d'équations et polynômes de degré 3

Si le coefficient 'r' est égal à 2 et que le système d'équations a un premier membre nul, alors le second membre doit également être nul pour que le système ait une infinité de solutions.

Si le coefficient 'r' est égal à 3 et que le système d'équations a un premier membre nul, alors le second membre doit également être nul pour que le système ait une solution unique.

Lorsqu'un polynôme P de degré 3 satisfait les conditions P(1) = 1, P(0) = 1, P(-1) = -1 et P'(1) = 3, il existe un seul polynôme qui vérifie ces conditions.

Dans un système d'équations linéaires, si le coefficient 'a' est égal à 1, le système a une infinité de solutions.

Dans un système d'équations linéaires, si le coefficient 'a' est différent de 1, le système a une solution unique.

Dans un système d'équations linéaires, si le coefficient 'a' est égal à 1 moins le nombre d'inconnues 'n', le système n'admet pas de solution.

L'intersection de deux sous-espaces vectoriels est toujours un sous-espace vectoriel.

Si F est un sous-espace vectoriel de E, il contient toutes les combinaisons linéaires de ses éléments.

Le sous-espace vectoriel le plus petit est le sous-espace vectoriel nul, qui contient uniquement le vecteur nul.

Si un sous-ensemble non vide est stable sous l'addition et la multiplication scalaire, c'est un sous-espace vectoriel.

La somme de deux sous-espaces vectoriels est aussi un sous-espace vectoriel.

L'intersection de deux sous-espaces vectoriels est toujours un sous-espace vectoriel.

Les sous-espaces vectoriels de R² sont la droite vectorielle passant par l'origine et R² lui-même.

Les sous-espaces vectoriels non nuls de R³ sont les droites vectorielles passant par l'origine, les plans vectoriels passant par l'origine et R³ lui-même.

L'ensemble E contient toutes les fonctions dérivables sur R dont la dérivée en 1 vaut 1. La fonction nulle n'appartient pas à E car sa dérivée est toujours nulle, et donc ne peut pas valoir 1 en 1.

Si f et g appartiennent à E, alors f' (1) = 1 et g' (1) = 1. La somme (f + g) est dérivable et (f + g)' (1) = f' (1) + g' (1) = 1 + 1 = 2, donc (f + g) n'appartient pas à E. Donc E n'est pas stable par addition.

Si f appartient à E et λ est un scalaire, alors f' (1) = 1. La fonction (λf) est dérivable et (λf)' (1) = λ f' (1) = λ. Si λ ≠ 1, alors (λf)' (1) ≠ 1, donc (λf) n'appartient pas à E.

L'ensemble E contient toutes les fonctions dérivables sur R dont la dérivée en 1 vaut 0. La fonction nulle appartient à E car sa dérivée est toujours nulle, et donc vaut 0 en 1.

Si f et g appartiennent à E, alors f' (1) = 0 et g' (1) = 0. La somme (f + g) est dérivable et (f + g)' (1) = f' (1) + g' (1) = 0 + 0 = 0, donc (f + g) appartient à E. Donc E est stable par addition.

Si f appartient à E et λ est un scalaire, alors f' (1) = 0. La fonction (λf) est dérivable et (λf)' (1) = λ f' (1) = λ * 0 = 0, donc (λf) appartient à E. Donc E est stable par multiplication par un scalaire.

L'ensemble E contient toutes les fonctions continues sur l'intervalle [0, 1] dont l'intégrale sur cet intervalle vaut 1. La fonction nulle n'appartient pas à E car son intégrale sur l'intervalle [0, 1] est nulle.

Si f et g appartiennent à E, alors l'intégrale de f sur [0, 1] et l'intégrale de g sur [0, 1] valent toutes les deux 1. L'intégrale de (f + g) sur [0, 1] est égale à la somme des intégrales de f et g, soit 1 + 1 = 2. Donc (f + g) n'appartient pas à E. Donc E n'est pas stable par addition.

La matrice de f dans la base canonique est une matrice 2x2 dont les colonnes représentent l'image des vecteurs de la base canonique par f.

Une application linéaire est injective si et seulement si son noyau est réduit au vecteur nul.

Une application linéaire est bijective si et seulement si elle est à la fois injective et surjective.

La matrice de passage de la base B à la base B' est une matrice dont la j-ème colonne contient les coordonnées du j-ème vecteur de B' dans la base B.

La matrice de passage de la base B' à la base B est l'inverse de la matrice de passage de la base B à la base B'.

Le rang d'une application linéaire est la dimension de son image.

Un endomorphisme f de E est nilpotent si il existe n ≥ 2 tel que f^n = 0. On notera I d l’identité de E.

Si f est nilpotent, alors ker(f) = Im(f), et f est injective si et seulement si f est surjective. En effet, si f^n = 0, alors ker(f^n) = ker(f^(n-1)). Ainsi, ker(f) = Im(f).

Un endomorphisme f est involutif si f^2 = I d. Cela signifie que l'application f est une involution.

Si f est involutif, alors f est bijective et Im(I d + f) et Im(I d - f) sont supplémentaires dans E.

Si f^2 = 0, alors Im(f) ⊂ ker(f). En effet, si x ∈ Im(f), alors il existe y ∈ E tel que f(y) = x. Ainsi, f^2(y) = f(x) = 0, ce qui implique x ∈ ker(f)

Si Im(f) ⊂ ker(f), alors f^2 = 0. En effet, si x ∈ E, alors f(x) ∈ Im(f) ⊂ ker(f). Ainsi, f^2(x) = f(f(x)) = 0.

Si E est un R-espace vectoriel de dimension finie, alors E = ker(f) ⊕ Im(f) si et seulement si ker(f) = ker(f^2).

Si E est un R-espace vectoriel de dimension finie, alors E = ker(f) ⊕ Im(f) si et seulement si ker(f) = ker(f^2).

La matrice A est une matrice carrée d'ordre 2. La matrice identité I est aussi une matrice carrée d'ordre 2. Le carré de A est égal à deux fois A. La puissance n-ième de A, pour n supérieur ou égal à 1, est égale à 2 élevé à la puissance n multiplié par A. Le carré de la matrice (A-I) élevé à la puissance n, pour n supérieur ou égal à 1, est égal à la matrice identité.

La matrice B est une matrice carrée d'ordre 2. Le rang d'une matrice est le nombre maximum de lignes (ou colonnes) linéairement indépendantes qu'elle possède. Le rang de B est de 1 car elle a une seule ligne ou colonne linéairement indépendante.

La matrice C est une matrice carrée d'ordre 3. Le rang de C est de 3 car elle possède trois lignes et trois colonnes linéairement indépendantes.

La matrice D est une matrice carrée d'ordre 3. Le rang de D est de 2 car elle possède deux lignes et deux colonnes linéairement indépendantes.

Ensemble de matrices carrées d'ordre 2 où le dernier élément de la première ligne est égal au premier élément de la deuxième ligne. Cet ensemble ne constitue pas un espace vectoriel car il ne respecte pas la propriété de fermeture par addition. Si on additionne deux matrices de cet ensemble, le résultat peut ne pas satisfaire cette condition.

Ensemble de matrices carrées d'ordre 2 où la somme des éléments de chaque ligne est nulle. Cet ensemble forme un espace vectoriel de dimension 3 car il respecte les axiomes des espaces vectoriels et possède trois vecteurs linéairement indépendants.

L'application f est une application linéaire qui transforme une matrice carrée d'ordre 2 en sa transposée. Cette application conserve les propriétés d'addition et de multiplication par un scalaire, ce qui la rend linéaire. Le noyau de f est composé des matrices qui sont égales à leur transposée. L'espace vectoriel associé au noyau de f est de dimension 0 car le seul vecteur qui vérifie cette condition est la matrice nulle.

Une matrice de rang r possède r vecteurs lignes et r vecteurs colonnes linéairement indépendants. Cependant, une famille contenant r vecteurs lignes ou colonnes n'est pas nécessairement libre. Elle peut contenir des vecteurs linéairement dépendants.