Cómo Calcular Valores Presentes PDF

CAPÍTULO TRES 3 CÓMO CALCULAR VALORES PRESENTES En El capítulo 2 aprendimos cómo calcular el valor de un El término tasa de interés es claro por sí mismo, pero activo que...

CAPÍTULO TRES 3 CÓMO CALCULAR VALORES PRESENTES En El capítulo 2 aprendimos cómo calcular el valor de un El término tasa de interés es claro por sí mismo, pero activo que genera efectivo al cabo de un año. Sin embargo, veremos que se puede definir de muchas maneras. Explica- no explicamos cómo valuar activos que generan efectivo en remos la diferencia entre tasa de interés compuesta y tasa dos o más años. Es nuestro primer cometido en este capí- de interés simple, así como el efecto de los diferentes inter- tulo. Luego estudiaremos algunos métodos abreviados y valos de capitalización. fórmulas especializadas para calcular valores presentes. En Para entonces, se merecerá una recompensa por la particular, mostraremos una fórmula para valuar una inver- inversión mental que hizo para aprender cómo calcular sión que genera una corriente constante de flujos para valores presentes. Por lo tanto, en los dos capítulos siguien- siempre (una perpetuidad) y otra en un periodo determina- tes practicaremos estas nuevas herramientas con bonos y do (una anualidad). Asimismo, echaremos un vistazo a inver- acciones. Después, detallaremos los aspectos prácticos de siones que producen flujos crecientes. Veremos que estos las decisiones de inversión de capital de la empresa. procedimientos son útiles para tomar muchas decisiones Para simplificar, en este capítulo los problemas están financieras personales. En los siguientes capítulos mostra- expresados en dólares, pero los conceptos y cálculos serían remos que las grandes empresas aplican las mismas técni- idénticos si estuvieran expresados en euros, yenes o en cas para valuar proyectos de inversión multimillonarios y cualquier otra divisa. para emisiones de títulos. 3.1 VALUACIÓN DE ACTIVOS DURADEROS ¿Recuerda cómo calcular el valor presente (VP) de un activo que genera un flujo de efectivo (C1) al cabo de un año? C1 VP 5 FD1 3 C1 5 _ 1 1 r1 FD1 es el factor de descuento de un flujo de efectivo a un año, y r1 es el costo de opor- tunidad de invertir su dinero un año. En este sentido, supongamos que recibe un www.FreeLibros.me 36 PRIMERA PARTE Valor ingreso de $100 el próximo año (C1 = 100) y que la tasa de interés a un año de los bonos del Tesoro estadounidense fuera de 7% (r1 = 0.07). Por lo tanto, el valor presente sería igual a: C1 VP 5 _ 5 _ 5 $93.46 100 1 1 r1 1.07 Por consiguiente, podemos escribir de manera similar el valor presente de un flujo de efectivo producido en dos años como: C2 VP 5 FD2 3 C2 5 _2 (1 1 r2) C2 es el flujo de efectivo generado dentro de dos años, FD2 es el factor de descuento para los flujos de efectivo generados en dos años, y r2 es la tasa anual de interés sobre el dinero invertido durante dos años. Supongamos que usted tiene un flujo de efectivo de $200 en el segundo año (C2 = 200). La tasa de interés de los bonos del Tesoro a dos años es de 7.7% anual (r2 = 0.077); esto significa que un dólar invertido en bonos redi- tuará 1.0772 = $1.16 al final de dos años. El valor presente de su flujo de efectivo del año dos será igual a: C2 VP 5 _2 5 _2 5 $172.42 200 (1 1 r2) (1.077) Valuación de flujos de efectivo en varios periodos Algo bueno que tienen los valores presentes es que se expresan en dólares de hoy, de modo que es posible acumularlos. En otras palabras, el valor presente de un flujo de efectivo A + B es igual al valor presente del flujo A más el valor presente del flujo B. Por ejemplo, supongamos que le ofrecieron una inversión que genera dos flujos de efectivo, uno de $100 en el año 1 y otro de $200 en el año 2. La tasa de interés a un año es del 7%, mientras que la de dos años es de 7.7%. En la figura 3.1 se aprecia que el valor actual del primer flujo de efectivo es de C1/(1 + r1) = 100/1.07 = $93.46, y el del segundo es de F i g u r a 3.1 $200 Valor presente de una inversión que produce flujos de efectivo de $100 en el año 1 y de $200 en el año 2. $100 Valor presente 0 1 2 Año (año 0) 100/1.07 = $93.46 200/1.0772 = $172.42 Total = VP = $265.88 www.FreeLibros.me  CAPÍTULO 3 Cómo calcular valores presentes 37 C2/(1 + r2)2 = 200/1.0772 = $172.42. La regla para sumar los valores presentes establece que el valor presente total de la inversión es: C1 C2 VP 5 _ 1 _2 5 _ 1 _2 5 $265.88 100 200 1 1 r1 (1 1 r2) 1.07 1.077 La regla de la adición también sirve para hallar el valor presente de una serie de flujos de efectivo más extendida: C1 C2 C3 VP5 _ 1 _2 1 _3 1... 1 1 r1 (1 1 r2) (1 1 r3) La fórmula anterior se conoce como flujo de efectivo descontado (FED), la cual se abre- via como: Ct VP 5 ©_ (1 1 r ) t t donde © se refiere a la suma de la serie. Para encontrar el valor presente neto (VPN) agregamos a la fórmula anterior el flujo de efectivo inicial (por lo general, es negativo), como vimos en el capítulo 2: Ct VPN 5 C0 1 VP 5 C0 1 ©_ (1 1 r ) t t por qué el factor de descuento disminuye con el tiempo. Digresión sobre las máquinas de hacer dinero Si una moneda mañana vale menos que una moneda hoy, uno sospecharía que una moneda vale mucho menos pasado mañana. En otras palabras, el factor de descuento FD2 debe ser menor que FD1. ¿Pero es esto necesariamente cierto cuando las tasas de inte- rés rt son diferentes en cada periodo? Supongamos que r1 es igual a 20% y r2 a 7%. Entonces: FD1 5 _ 5.83 1 1.20 FD2 5 _2 5.87 1 (1.07) Al parecer, el dólar que se recibirá pasado mañana no necesariamente vale menos que el dólar que se recibirá mañana. Sin embargo, algo está mal en este ejemplo; porque cualquiera que tome y conceda préstamos a estas tasas de interés se volvería millonario de la noche a la mañana. Vea- mos cómo funcionaría esa “máquina de hacer dinero”. Supongamos que la señora Her- mione Kraft fue la primera persona en percatarse de esa oportunidad de inversión. Lo primero que hace es prestar $1 000 a un año con una tasa de interés de 20%. Aunque ese rendimiento ya es de por sí atractivo, la señora se da cuenta de que hay otra forma segu- ra de obtener una utilidad inmediata sobre su inversión. Su razonamiento es el siguiente: el próximo año tendrá $1 200 que puede reinvertir durante un año más. Pese a que des- conoce las tasas de interés que prevalecerán, está segura de que puede depositar su dinero en una cuenta de cheques y que al cabo de dos años seguirá teniendo $1 200. Por lo tanto, el siguiente paso es ir al banco y pedir prestado el valor presente de $1 200. A una tasa de interés de 7%, este valor presente es: VP 5 _ 1 200 5 $1 048 (1.07)2 www.FreeLibros.me 38 PRIMERA PARTE Valor Kraft toma un préstamo de $1 048, invierte $1 000 y recibe una ganancia de $48. Observe que su ganancia sería mucho más elevada si tomara un préstamo mayor e invirtiera más. Por ejemplo, se volvería millonaria si pidiera prestados $21 778 584 y, a su vez, invirtiera $20 778 584. Por supuesto, la historia es totalmente ficticia. Tal oportunidad de inversión no dura- ría mucho en nuestros mercados de capital. Cualquier banco que permitiera conceder un préstamo a un año con una tasa de interés de 20% y tomar un préstamo de dos años a una tasa de 7% sería rápidamente aniquilado por una avalancha de pequeños inver- sionistas que quisieran hacerse millonarios o multimillonarios. Sin embargo, nuestro ejemplo enseña dos lecciones. La primera es que un dólar mañana no puede valer menos que un dólar pasado mañana. Es decir, un dólar recibido al cabo de un año (FD1) no puede valer menos que un dólar recibido a los dos años (FD2). Tendrá que haber alguna ganancia adicional por prestar durante dos periodos en lugar de uno: (1 + r2)2 debe ser mayor que 1 + r1.1 La segunda lección es más general que la anterior y se resume con el postulado: “No existe la máquina de hacer dinero.” Arbitraje es el término técnico que se utiliza para describir una máquina de hacer dinero. En mercados de capital que funcionan correcta- mente, donde los costos de compraventa son bajos, las oportunidades de arbitraje son eliminadas casi instantáneamente por inversionistas que tratan de aprovecharlas.2 Es la misma idea que tienen los economistas cuando se refieren a la ley de un solo precio: dos activos idénticos deben venderse al mismo precio o de lo contrario los inversionistas aprovecharían las oportunidades de arbitraje comprando el activo más barato y ven- diendo el más caro. Más adelante recurriremos a la falta de oportunidades de arbitraje para probar varias propiedades útiles de los precios de los títulos. O sea, haremos afirmaciones como: “Los precios de los títulos X y Y deben tener la siguiente relación, de lo contrario habría opor- tunidades de arbitraje potenciales y los mercados de capital no estarían en equilibrio.” Para excluir las ganancias por arbitraje no se necesita que las tasas de interés sean las mismas en todos los periodos futuros. La relación entre tasa de interés y vencimiento de los flujos de efectivo se conoce como estructura temporal de las tasas de interés. En el capítulo 4 estudiaremos dicha estructura, pero por el momento obviaremos el problema suponiendo que es “plana”, es decir, la tasa de interés es la misma para todos los flujos de efectivo. Lo anterior significa que podemos sustituir la serie de tasas de interés r1, r2,..., rt, etc., por una tasa única r y expresar la fórmula del valor presente como: C1 C2 VP 5 _ 1 _2 1... 1 1 r (1 1 r) cálculo del Vp y del Vpn Pensemos que usted recibe malas noticias sobre su edificio de oficinas (el negocio des- crito al principio del capítulo 2): el contratista le dice que la construcción durará dos años en lugar de uno y le solicita los pagos de acuerdo con el siguiente calendario: 1. Un pago al contado de $120 000 ahora. (Observe que el terreno valuado en $50 000 también debe entregarse ahora.) 1 A menudo, el rendimiento extra por prestar a dos años, en lugar de a uno, se conoce como tasa de rendimiento forward. 2 A veces se oye a los financieros hablar de “arbitraje de riesgos”. Por lo general, se refiere a la compra de un título y a la venta simultánea de otro similar, en la creencia de que los precios están desequilibrados. Con excepción de los rendimientos provenientes del arbitraje puro, en el arbitraje de riesgos los rendimientos no están asegurados. En cierto modo, el término “arbitraje de riesgos” es un oxímoron parecido a “estudiante egresado” o “cálculo elemen- tal”. www.FreeLibros.me  CAPÍTULO 3 Cómo calcular valores presentes 39 2. Un pago aplazado de $100 000 dentro de un año. 3. Un pago final de $100 000 cuando el edificio esté listo para ser rentado al final del segundo año. Su agente de bienes raíces afirma que, a pesar del retraso, el edificio valdrá $420 000 cuando esté terminado. Todo esto genera un nuevo pronóstico de flujos de efectivo: Periodo t50 t51 t52 Terreno 250 000 Construcción 2120 000 2100 000 2100 000 Ingreso 1420 000 Total C0 5 2170 000 C1 5 2100 000 C2 5 1320 000 Si la tasa de interés es de 5%, entonces el VPN es: C1 C2 VPN 5 C0 1 _ 1 _2 1 1 r (1 1 r) 5 2170 000 2 _ 1 _ 100 000 320 000 1.05 (1.05)2 Afortunadamente, las noticias sobre su edificio no son del todo desalentadoras. El contratista está dispuesto a aceptar un pago atrasado, lo cual significa que ahora es menor el valor presente de los honorarios del contratista. Ello compensa parcialmente el retraso del ingreso. Como se indica en la figura 3.2, el valor presente neto es de $25 011, aunque no disminuyó demasiado si lo comparamos con los $30 000 calculados en el capítulo 2. Le conviene seguir con el proyecto porque su valor presente neto es positi- vo.3 Los cálculos mostrados en la figura 3.2 se resuelven con pocas teclas de la calcula- dora. Sin embargo, como los problemas de la realidad son más complicados, los direc- + $320 000 F i g u r a 3.2 Cálculo del valor presente neto del proyecto de un edificio de oficinas. 0 1 2 Año – $100 000 Valor presente (año 0) –$170 000 – $100 000/1.05 = – $95 238 + $320 000/1.052 = + 290 249 Total = VPN = + $25 011 3 Suponemos que los flujos de efectivo son seguros. Si fueran riesgosos, el costo de oportunidad del capital sería más elevado, por ejemplo de 12%. Con esta tasa, el VPN es negativo. www.FreeLibros.me 40 PRIMERA PARTE Valor tores financieros utilizan calculadoras programadas especialmente para hallar valores presentes o también un software de hoja de cálculo. En el sitio electrónico del libro se encuentran dos apéndices sobre cómo manejar calculadoras financieras y hojas de cálculo para resolver problemas como los de este capítulo. En caso de que no tenga acceso a dichas calculadoras, los apéndices del libro contienen tablas útiles para encon- trar valores presentes. 3.2 EN bUSCA DE ATAjOS. PERPETUIDADES y ANUALIDADES cómo valuar perpetuidades A veces podemos utilizar atajos para calcular fácilmente los valores presentes. Veamos algunos ejemplos. Es sabido que ingleses y franceses han tenido desacuerdos y hasta han librado gue- rras. Al final de ciertas guerras, los ingleses consolidaban la deuda que habían emitido entre tanto. Los títulos que emitían se llamaban bonos consol, que son perpetuidades. Se trata de bonos que el gobierno no tiene obligación de liquidar, sino que ofrece a sus tenedores un pago fijo anual para siempre. A la fecha, el gobierno inglés continúa pagando los intereses de consols que fueron emitidos hace muchos años. La tasa anual de rendimiento de una perpetuidad es igual a la promesa anual de pago dividida entre el valor presente:4 flujo de efectivo Rendimiento 5 valor presente r5_ C VP Obviamente, podemos manipular la ecuación anterior para hallar el valor presente de una perpetuidad dada la tasa de descuento r y el pago en efectivo C: VP 5 _ C r Es el 2030 y usted ha sido fabulosamente exitoso y se ha convertido en multimillona- rio. Fue una verdadera bendición que hubiera tomado este curso de finanzas hace 4 Para verificarlo, escriba la fórmula del valor presente: VP 5 _ 1 _2 1 _3 1... C C C 11r (1 1 r) (1 1 r) Ahora bien, sea C/(1 + r) = a y 1/(1 + r) = x. Por lo tanto, tenemos que (1) VP 5 a(1 1 x 1 x2 1...). Después de multiplicar ambos lados por x, se tiene que (2) VPx 5 a(x 1 x2 1...). Si restamos (2) de (1), obtenemos que VP(1 – x) = a. Por lo tanto, sustituimos por a y x para llegar a: ( VP 1 2 _ 5 _ 1 11r C 11r ) Multiplicamos ambos lados por (1 + r) y reorganizamos los términos: VP 5 _ C r www.FreeLibros.me  CAPÍTULO 3 Cómo calcular valores presentes 41 muchos años. Ha decidido seguir los pasos de sus dos héroes: Bill Gates y Warren Buffet. El paludismo y otras enfermedades infecciosas son todavía un azote y le gustaría ayu- dar a erradicarlas donando a una fundación que financie investigaciones para combatir- las. Su objetivo es proporcionar $1 000 millones anuales al principio del próximo año. Si la tasa de interés es de 10%, tendrá que extender un cheque por la cantidad de: Valor presente 5 C 5 $1 000 millones 5 $10 000 millones de la perpetuidad r.1 Es importante señalar dos cosas sobre la fórmula de la perpetuidad. En primer lugar, es fácil confundirla con el valor presente de un pago único. El valor presente de un dólar al final de un año es 1/(1 + r), mientras que el de la perpetuidad es igual a 1/r. Estas cifras son completamente distintas. Y en segundo lugar, la fórmula de la perpetuidad se refiere al valor de una serie regu- lar de pagos que comienza en un periodo a partir de ahora. En consecuencia, la dona- ción de $10 000 millones dará a la fundación el primer pago en el plazo de un año. Por otro lado, si quisiera dar dinero por adelantado, necesitaría entregar $1 000 millones adicionales. cómo valuar anualidades Una anualidad es un activo que cada año genera una suma fija durante un número determinado de años. La hipoteca de una vivienda con pagos anuales constantes o un plan de financiamiento son ejemplos característicos de anualidades. En la figura 3.3 se ejemplifica un truco sencillo para valuar anualidades. La primera fila representa una perpetuidad que produce un flujo de efectivo de un dólar cada año a partir del año 1. Su valor presente es: VP 5 _ 1 r La segunda fila representa otra perpetuidad que produce un flujo de efectivo de un dólar en cada año a partir del año 4. En el año 3 su valor presente será de 1/r y, por lo tanto, hoy su valor presente es de: Flujo de efectivo F i g u r a 3.3 Año: 1 2 3 4 5 6... Valor presente Una anualidad que genera pagos durante los años del 1 al 3 es igual a la diferencia entre dos perpetuidades. 1 1. Perpetuidad A $1 $1 $1 $1 $1 $1... r 1 2. Perpetuidad B $1 $1 $1... r (1 + r )3 3. Anualidad de 1 1 $1 $1 $1 tres años (1 – 2) r r(1 + r )3 www.FreeLibros.me 42 PRIMERA PARTE Valor VP 5 _3 1 r(1 + r) Ambas perpetuidades generan flujos de efectivo a partir del año 4. La única diferencia entre las dos perpetuidades es que la primera también genera un flujo de efectivo cada año del 1 al 3. En otras palabras, la diferencia es una anualidad de un dólar durante tres años. El valor presente de la anualidad es, por lo tanto, la diferencia entre los valores de las dos perpetuidades.5 VP 5 _ 1 _ 1 r 2 r(1 1 r)3 La fórmula general para valuar una anualidad que produce un dólar al año durante cada uno de los t años a partir del año 1 es: Valor presente de una anualidad 5 _ 1 _ 1 r 2 r(1 1 r)t Por lo regular, la expresión anterior se conoce como factor de anualidad de t años.6 Recordar fórmulas es tan difícil como aprenderse las fechas de cumpleaños de los demás, pero se facilita si memoriza que una anualidad equivale a la diferencia entre una perpetuidad inmediata y otra diferida. Ejemplo del Vp de una anualidad cálculo del costo de un plan de financiamiento La mayoría de los planes de finan- ciamiento exigen series de pagos constantes. Supongamos que Autos Tiburón ofrece un plan denominado “pago fácil” para la adquisición de un automóvil Toyota nuevo. Este plan de financiamiento sin enganche consiste en cinco pagos anuales de $5 000 que deben ser liquidados al final de cada año. ¿Cuál es el verdadero costo del carro? Primero, hacemos los cálculos paso a paso para demostrar que si la tasa de interés es de 7%, el valor presente de los pagos del plan de financiamiento es de $20 501. La línea de tiempo que aparece en la figura 3.4 indica el valor de los flujos de efectivo y el valor presente total. Por el contrario, la fórmula de la anualidad es más directa: 5 000 c_ _ d 1 1 VP 5 000 4.100 $20 501.07.07(1.07)5 5 Aquí también podemos encontrar la expresión mediante álgebra sencilla. Para ello, necesitamos calcular la suma de la serie geométrica finita (1) VP = a(1 + x + x2 +... + xt – 1), donde a = C/(1 + r) y x = 1/(1 + r). Multiplicamos ambos lados por x para obtener (2) VPx = a(x + x2 +... + xt). Se resta (2) de (1) y se tiene que VP(1 – x) = a(1 – xt). Por lo tanto, sustituimos para a y x, ( 11r ) VP 1 2 _ 5 C c_ 1 1 11r 2_ 1 (1 1 r)t11 d A continuación multiplicamos ambos lados por (1 + r) y reorganizamos los términos para tener: 1 2_ VP 5 C c_ 1 d r r(1 1 r)t 6 Algunos piensan que esta fórmula equivalente es más intuitiva: Valor presente de la anualidad _1 c1 _ 1 d r (1 r)t fórmula un dólar menos un dólar de la a partir a partir de perpetuidad del año t+1 siguiente www.FreeLibros.me  CAPÍTULO 3 Cómo calcular valores presentes 43 $5 000 $5 000 $5 000 $5 000 $5 000 0 1 2 3 4 5 Año Valor presente (año 0) $5 000/1.07 = $4 673 $5 000/1.072 = $4 367 $5 000/1.073 = $4 081 $5 000/1.074 = $3 814 $5 000/1.075 = $3 565 Total = VP = $20 501 F i g u r a 3.4 Cálculos del valor presente anual de los pagos en abonos. La tabla 3 del apéndice A, al final del libro, contiene los factores de anualidad. Si no tiene a la mano una calculadora o una computadora, en esa tabla puede localizar el fac- tor de anualidad de 4.100. otro ejemplo de una anualidad de Vp Sacarse el premio mayor de la lotería Trece afortunados maquinistas de Ohio junta- ron su dinero para comprar billetes de lotería de Powerball y ganaron una bolsa que nunca se había reunido de $295 700 millones (otro miembro desertó en el último minuto para apostar por sus propios números). Sospechamos que los ganadores recibieron feli- citaciones inesperadas, buenos deseos y peticiones de cientos de organizaciones de beneficencia más o menos respetables. Como respuesta, los ganadores pudieron haber dicho que en realidad el premio no era de casi $295 700 millones, porque se los iban a pagar en 25 abonos anuales de $11 828 000. Si el primer pago ocurriera al final del pri- mer año, ¿cuál sería el valor presente del premio? La tasa de interés en ese momento era de 5.9%. Estos pagos representan una anualidad de 25 años. Para valuarla, multiplicamos $11 828 000 por el factor de anualidad de 25 años: VP 11.828 VP 11.828factor de anualidad factor de 25 años de anualidad de 25 años c _ 1 _ 1 25 d 11.828 11.828 c _1 _ 1 d r r(1 r r)r(1 r)25 Con una tasa de interés de 5.9%, el factor de anualidad es: c _ 1 __1__ 25 d c _ 1 1 12.9057 d 12.9057.059.059(1.059).059.059(1.059)25 www.FreeLibros.me 44 PRIMERA PARTE Valor El valor presente de los pagos en efectivo es de $11.828 × 12.9057 = $152.6 millones. Pese a que esta cifra está muy por debajo del tan celebrado premio, la ganancia no es del todo despreciable. Por lo general, los operadores de lotería ofrecen a los ganadores que tienen planes de grandes gastos un monto global equivalente. En nuestro ejemplo los ganadores pudie- ron haber aceptado ya sea $295.7 millones distribuidos a lo largo de 25 años o $152.6 millones en seguida. Ambos planes tenían el mismo valor presente. anualidades anticipadas de Vp Cuando empleamos la fórmula de la anualidad para valuar el premio de lotería de Powerball, presupusimos que el primero de los 25 pagos se haría al final del año, pero en realidad se realizó inmediatamente. ¿Cuánto cambiaría el valor del premio? Si descontamos los flujos de efectivo un año menos, el valor presente aumenta la cantidad (1 + r). En el caso del premio de lotería, el valor es de 152.6 × (1 + r) = 152.6 × 1.059 = $161.6 millones. Una serie de pagos constante que empieza inmediatamente se conoce como anuali- dad anticipada y vale (1 + r) veces el valor de una anualidad vencida. Ejemplo del cálculo de pagos anuales Determinación de los pagos hipotecarios Los problemas de anualidades pueden resultar confusos cuando se estudian por primera vez, pero verá que con la práctica se vuelven sencillos. Veamos un ejemplo en el que se debe aplicar la fórmula de anualidad para encontrar la cantidad que hay que pagar dado el valor presente. Supongamos que usted negoció con su banco local un crédito hipotecario de $250 000 para una vivienda. Por su parte, el banco le solicitó que liquidara la hipoteca en pagos anuales iguales durante los próximos 30 años. Por lo tanto, el banco debe establecer los pagos de tal forma que su suma tenga un valor presente de $250 000. Así: VP = pago hipotecario 3 factor de anualidad de 30 años = $250 000 Pago hipotecario = $250 000/factor de anualidad de 30 años Ahora pensemos que la tasa de interés es de 12% anual. Entonces, Factor de anualidad de 30 años c_1 _ 1 d 8.055.12.12(1.12)30 y Pago hipotecario = 250 000/8.055 = $31 037 El préstamo hipotecario es ejemplo de un crédito amortizable. “Amortización” significa que una parte de los pagos regulares sirve para pagar los intereses y otra para reducir el capital. En la tabla 3.1 se ilustra otro ejemplo de un préstamo amortizable, pero en esta oca- sión se trata de $1 000 a cuatro años con una tasa de interés de 10%, que es liquidable en pagos anuales de $315.47. En otras palabras, $1 000 divididos entre el factor de anuali- dad de cuatro años es igual a $315.47. Al final del primer año, el cargo por intereses equivale a 10% de $1 000 o $100. Por lo tanto, el pago de intereses absorbe 100 del pri- mer abono, y los $215.47 restantes reducen (o “amortizan”) el saldo del préstamo a $784.53. www.FreeLibros.me  CAPÍTULO 3 Cómo calcular valores presentes 45 Saldo Intereses Pago Saldo insoluto al principio sobre el saldo total al Amortización al final del Año del año al final del año final del año del préstamo año 1 $1 000.00 $100.00 $315.47 $215.47 $784.53 2 784.53 78.45 315.47 237.02 547.51 3 547.51 54.75 315.47 260.72 286.79 4 286.79 28.68 315.47 286.79 0 t a b l a 3.1 Ejemplo de amortización de un préstamo sobre saldos insolutos. Si usted tomara un préstamo de $1 000 a una tasa de interés de 10%, debería realizar pagos anuales de $315.47 durante cuatro años para liquidar el préstamo junto con los intereses. El año entrante, el saldo pendiente es más bajo, así que el cobro de los intereses es de nada más $78.45. Por lo tanto, $315.47 – 78.45 = $237.02 puede aplicarse como amortiza- ción. Como el préstamo se liquida gradualmente, la fracción de cada pago destinada a los intereses baja de continuo al tiempo que aumenta la fracción que aminora la deuda. Al terminar el año 4, la amortización es suficiente para reducir a cero el saldo del prés- tamo. Valor futuro de una anualidad: un ejemplo En ocasiones, usted tendrá la necesidad de calcular el valor futuro de una serie constan- te de pagos. Tal vez tiene planeado adquirir un velero, por ejemplo uno de 40 metros de la marca Benetau le vendría muy bien. Calcula que, una vez que empiece a trabajar, podría ahorrar $20 000 anuales de su salario y recibir ganancias de 8% de interés por estos ahorros. ¿Cuál será su saldo disponible después de cinco años? Aquí estudiamos los flujos constantes de efectivo, o sea, la anualidad. Ya hemos visto que hay un atajo para calcular su valor presente. Por esa misma razón, debe haber una fórmula similar para calcular el valor futuro de una serie constante de flujos de efectivo. Antes que nada, usted debe darse una idea de cuánto valen sus ahorros hoy. Tiene que guardar $20 000 durante cinco años. Por ello, el valor presente de esta anualidad de cinco años es igual a VP $20 000 factor de anualidad de 5 años _1 _ 1 c 5d $20 000 $79 854 VP $20 000 factor.08 de.08(1.08) anualidad de 5 años $20 000 _1 _ 1 c de cinco años d $79 854 A continuación, piense cuánto tendría después.08.08(1.08)5 si invirtiera $79 854 hoy. 5 ¡Es muy sencillo! Únicamente multiplique por (1.08) : Valor al final del año 5 = $79 854 × 1.085 = $117 332 Podría comprarse un hermoso velero por $117 000. Primero calculamos el valor futuro de una anualidad encontrando su valor presente y después éste lo multiplicamos por (1 + r)t. Por lo tanto, la fórmula general del valor _1 efectivo _ (1durante __ 1 de un dólar alt año r)t 1t años es: c d futuro de unafuturo Valor serie constante de flujos de de la anualidad (1 r) r r(1 r)t r (1 r)t 1 Valor futuro de la anualidad c _ _t d (1 r)t __ 1 1 r r(1 r) r www.FreeLibros.me 46 PRIMERA PARTE Valor 3.3 MÁS ATAjOS. PERPETUIDADES y ANUALIDADES CRECIENTES perpetuidades crecientes Ahora ya sabe valuar flujos de efectivo, pero a veces hay que valuar flujos que se incre- mentan a una tasa constante. Por ejemplo, recuerde sus planes de donación de $10 000 millones para luchar contra el paludismo y otras enfermedades infecciosas. Desafortu- nadamente, no tomó en cuenta los incrementos de salarios y otros costos relacionados, los cuales probablemente promediarán alrededor de 4% al año a partir del año 1. Por lo tanto, en lugar de donar $1 000 millones anuales para siempre, deberá donar $1 000 millones en el año 1, 1.04 × $1 000 millones en el año 2, y así sucesivamente. Si g repre- senta la tasa de crecimiento de los costos, podemos escribir el valor presente de esta serie de flujos de efectivo como: C1 C2 C3 VP 5 _ 1 _2 1 _3 1... 1 1 r (1 1 r) (1 1 r) C C (1 g) C1(1 1 g)2 5_1_ 1_ 1 1... 1 1 2 11r (1 1 r) (1 1 r)3 Afortunadamente, existe una fórmula sencilla para hallar la suma de esta serie geomé- trica.7 Si suponemos que r es mayor que g, nuestros desmañados cálculos se simplifi- can: C1 Valor presente de la perpetuidad creciente 5 _ r2g En síntesis, si usted quiere proporcionar una serie perpetua de ingresos que tome en cuenta la tasa de crecimiento de los costos, la cantidad que debe ahorrar hoy es: C1 _ _ $1 000 millones VP r g $16 667 millones.10.04 anualidades crecientes Digamos que usted piensa en comprar una membresía en el St. Swithin’s and Ancient Golf Club. Actualmente, el costo de la membresía anual es de $5 000, pero una membre- sía de tres años le costaría solamente $12 750 pagados por adelantado. ¿Cuál es la mejor alternativa? La respuesta depende de qué tan rápido se incrementen las cuotas durante tres años. Por ejemplo, supongamos que las cuotas se deben pagar al final de cada año y se espera que aumenten 6% por año. La tasa de descuento es de 10%. El problema radica en cómo calcular el valor de una serie de flujos de efectivo a tres años, la cual crece a una tasa de g =.06 cada año. Por supuesto, podría calcular el flujo de efectivo anual y descontarlo con una tasa de 10%. La opción es recurrir al mismo truco que usamos para encontrar la fórmula de una anualidad vencida (véase la figura 7 Necesitamos calcular la suma de la serie geométrica infinita VP = a(1 + x + x2 +...), donde a = C1/(1 + r) y x = (1 + g)/(1 + r). En la nota 4 explicamos que la suma de una serie de este tipo era a/(1 – x). Si sustituimos por a y x en esta fórmula, obtenemos: C1 VP 5 _ r2g www.FreeLibros.me  CAPÍTULO 3 Cómo calcular valores presentes 47 Flujo de efectivo Año: 1 2 3 4 5 6... Valor presente 1. Perpetuidad 1 $1 $1 x (1 + g) $1 x (1 + g)2 $1 x (1 + g)3 $1 x (1 + g)4 $1 x (1 + g)5... creciente A r–g 2. Perpetuidad 1 $1 x (1 + g)3 $1 x (1 + g)4 $1 x (1 + g)5... creciente B (r – g)(1 + r)3 3. Anualidad 1 1 creciente de $1 $1 x (1 + g) $1 x (1 + g)2 r–g (r – g)(1 + r)3 3 años (1 – 2) F i g u r a 3.5 Serie de flujos de efectivo a tres años que crece a una tasa g y es igual a la diferencia entre dos perpetuidades crecientes. 3.5). La primera fila muestra el valor de una perpetuidad que produce un flujo de efec- tivo de $1 en el año 1, de un dólar × (1 + g) en el año 2, y así sucesivamente. Su valor presente es de: VP 5 _ $1 (r 2 g) La segunda fila muestra otra perpetuidad similar que produce su primer flujo de efecti- vo de $1 × (1 + g)3 en el año 4. Su valor presente será de $1 × (1 + g)3/(r – g) en el año 3 y, por lo tanto, hoy su valor es de: (1 1 g)3 VP 5 _ 3 _3 $1 (r 2 g) (1 1 r) Por otro lado, en la figura la tercera fila indica que la diferencia entre los dos conjuntos de flujos de efectivo consiste en una serie de flujos de efectivo de tres años que comien- za con $1 en el año 1 y cada año crece a la tasa g. Su valor es igual a la diferencia entre las dos perpetuidades crecientes: (1 1 g)3 VP 5 _ 2 _ 3 _3 $1 $1 (r 2 g) (r 2 g) (1 1 r) En el ejemplo del club de golf, el valor presente de las tres cuotas de membresía anual sería: VP 5 [1y(.10 2.06) 2 (1.06)3y(.10 2.06)(1.10)3] 3 $5 000 5 2.629 3 $5 000 5 $13 146 Si contara con el efectivo suficiente, usted estaría mejor si hoy pagara la membresía de tres años. www.FreeLibros.me 48 PRIMERA PARTE Valor 3.4 TASAS DE INTERÉS COMPUESTAS y VALORES PRESENTES Hay una distinción importante entre tasas de interés compuestas y tasas de interés simples. Cuando el dinero se invierte a tasa de interés compuesta, cada pago de intere- ses se reinvierte para ganar más intereses en periodos subsecuentes. Por el contrario, en una inversión que solamente paga una tasa de interés simple, se pierde la oportunidad de ganar intereses sobre intereses. En la tabla 3.2 se compara el crecimiento de $100 invertidos a una tasa de interés compuesta en lugar de una simple. Observe que en el caso del interés simple, únicamen- te se pagan intereses sobre la inversión inicial de $100, por lo que la riqueza aumenta sola- mente $10 al año. En el caso del interés compuesto, se gana 10% sobre la inversión inicial en el primer año, con lo que se tiene un saldo de 100 × 1.10 = $110 al final del año. Por su parte, en el segundo año se recibe otro 10% de $110 y, en consecuencia, el saldo al final ese año es de 100 × 1.102 = $121. En la tabla 3.2 se destaca que la diferencia entre el interés simple y el compuesto es nula para una inversión de un periodo, pequeña para una inversión de dos periodos, y abrumadora para una inversión de 10 años o más. Una suma de $100 que se hubiera invertido durante la Guerra de Independencia a una tasa de interés compuesta de 10% anual hoy valdría más de $330 000 millones. ¿No le hubiera gustado que sus antecesores ahorraran unos cuantos centavos? Las dos líneas superiores de la figura 3.6 comparan los resultados de invertir $100 a 10% de interés simple y a 10% de interés compuesto. Parece como si la tasa de creci- miento fuera constante en el caso del interés simple y se acelerara en el caso del interés compuesto. Sin embargo, es una ilusión óptica porque sabemos que con interés com- puesto nuestra riqueza crece a una tasa constante de 10%. De hecho, la figura 3.7 es una representación más útil. En este caso, las cifras fueron graficadas con una escala semilo- garítmica, donde las tasas constantes de crecimiento compuesto se representan por líneas rectas. En Estados Unidos se debe tener el cuidado de entender la forma en que se cotizan las tasas de interés para créditos de consumo. Las leyes de transparencia crediticia requieren que las empresas se basen en la tasa de interés anual o TIA. Por ejemplo, si la Interés simple Interés compuesto Año Saldo Saldo Saldo Intereses inicial 1 Intereses 5 final inicial 1 finales 5 Saldo 1 $100 1 10 5 $110 $100 1 10 5 $110 2 110 1 10 5 120 110 1 11 5 121 3 120 1 10 5 130 121 1 12.1 5 133.1 4 130 1 10 5 140 133.1 1 13.3 5 146.4 10 190 1 10 5 200 236 1 24 5 259 100 1 090 1 10 5 1 100 1 252 783 1 125 278 5 1 378 061 200 2 090 1 10 5 2 100 17 264 116 042 1 1 726 411 604 5 18 990 527 646 230 2 390 1 10 5 2 400 301 248 505 631 1 30 124 850 563 5 331 373 356 194 t a b l a 3.2 Valor de $100 invertidos a tasas de interés compuestas y simples de 10%. www.FreeLibros.me  CAPÍTULO 3 Cómo calcular valores presentes 49 Dólares F i g u r a 3.6 Interés compuesto e interés Crecimiento simple. Las dos líneas ascendentes a interés superiores muestran el $300 compuesto crecimiento de $100 invertidos a (10%) interés simple y compuesto. 259 Crecimiento Cuanto más dure la inversión, a interés mayor será la ventaja del interés 200 200 simple compuesto. La línea inferior indica (10%) que hoy deben ser invertidos $38.55 para obtener $100 100 después de 10 periodos. Por el puesto 100 a interés com contrario, $38.55 es el valor Crecimiento to al 10% Descuen presente de $100 a recibir dentro 38.55 de 10 años. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Tiempo futuro (años) F i g u r a 3.7 Dólares (escala logarítmica) Aquí se aplica el mismo argumento que en la figura $400 3.6, excepto que la escala Crecimiento a interés vertical es logarítmica. La compuesto línea recta ascendente (10%) representa una tasa Crecimiento constante de crecimiento 200 a interés compuesto. En esta gráfica simple se aprecia claramente que (10%) la tasa de crecimiento de una inversión a interés 100 simple en realidad 100 disminuye conforme pasa el est o tiempo. mpu 0% erés co de 1 int cue nto en to a Des 50 cimi Cre 38.55 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Tiempo futuro (años) tasa de interés mensual de su tarjeta de crédito es de 1%, el banco debería cotizarle una TIA de 12%. Pero observe que esta TIA cotizada en realidad significa que se paga 1% cada mes y que si se acumulara durante el año sería igual a una tasa de interés efectiva del 1.0112 – 1 =.1268 o 12.68%.8 8 En otros países, la TIA se calcula de manera diferente. Por ejemplo, en la Unión Europea debe estar expresada como tasa compuesta anualmente y, por lo tanto, es más alta. www.FreeLibros.me 50 PRIMERA PARTE Valor Los problemas financieros que enfrentan las empresas casi siempre involucran el uso del interés compuesto en lugar del interés simple; por eso quienes se dedican a las finan- zas suponen que se habla de interés compuesto a menos que usted especifique otra cosa. El descuento es un proceso de interés compuesto. Algunos creen que es útil susti- tuir la pregunta: ¿cuál es el valor presente de $100 a recibir en 10 años a partir de ahora si el costo de oportunidad del capital es de 10%?, por la pregunta: ¿cuánto tendría que invertir ahora para recibir $100 después de 10 años dada una tasa de interés del 10%? La respuesta a la primera pregunta es: VP 5 _ 100 5 $38.55 (1.10)10 Y la respuesta a la segunda pregunta es: Inversión 3 (1.10)10 5 $100 Inversión 5 _ 100 5 $38.55 (1.10)10 Las líneas inferiores de las figuras 3.6 y 3.7 muestran la senda de crecimiento de una inversión inicial de $38.55 hasta su valor terminal de $100. Uno puede pensar que el descuento es un viaje en reversa a lo largo de la línea inferior, desde el valor futuro hasta el valor presente. nota sobre periodos de capitalización Hasta ahora hemos supuesto que los flujos de efectivo ocurren al final del año, lo cual no siempre es correcto. Por ejemplo, en Francia y Alemania los bonos de casi todas las empresas pagan intereses anuales, mientras que en Estados Unidos y el Reino Unido lo hacen semestralmente. En estos países el inversionista puede recibir intereses semestra- les adicionales sobre el primer pago, por lo que una inversión de $100 en un bono que paga un interés de 10% por año capitalizable semestralmente valdría $105 después de seis meses, y al final del año sería de 1.052 × 100 = $110.25. En otras palabras, 10% com- puesto semestralmente es equivalente a 10.25% compuesto anualmente. Veamos otro ejemplo. Supongamos que un banco estadounidense le ofrece un présta- mo automotriz a una TIA de 6%. Si usted debe pagar intereses mensuales, tendría que pagar la doceava parte de la tasa anual, es decir, 6/12 =.5% por mes. Como el rendi- miento mensual es capitalizable, la verdadera tasa de interés anual sobre su préstamo no es de 6%, sino de 1.00512 – 1 = 0.067 o 6.17%. En general, una inversión de un dólar a una tasa de r por año capitalizable m veces al año es igual a [1 + (r/m)]m al final del año, y la tasa de interés compuesta anual equiva- lente es [1 + (r/m)]m – 1. Regresemos al ejemplo de la hipoteca a 30 años. Supongamos que el vendedor de hipotecas le sugiere a usted que, en lugar de pagar una tasa anual de 12%, le sería más conveniente y barato tener una tasa mensual de 1%. Esa idea es mejor porque usted liquidaría mensualmente, y los pagos hipotecarios serían deducidos directamente de su cuenta bancaria. Como habrá 30 × 12 = 360 pagos, el vendedor calcula el pago dividien- do el valor del préstamo entre el factor de anualidad de 360 meses: Factor de anualidad de 360 meses c _ 1 _ 1 d 97.218.01.01(1.01)360 www.FreeLibros.me  CAPÍTULO 3 Cómo calcular valores presentes 51 Por lo tanto, Abono hipotecario mensual 5 monto del préstamoyfactor de anualidad de 360 meses 5 250 000y97.218 5 $ 2 572 De ahí que el vendedor señale que sus pagos anuales se reducirían de $31 037 a tan sólo 12 × 2 572 = $30 864. A estas alturas usted ya debería ser capaz de entender estas tácticas. ¡El argumento del vendedor ignora el valor del dinero en el tiempo! Es verdad que la cantidad total de pagos es menor en el plan mensual, porque los pagos comienzan antes. La tasa anual que es equivalente a 1% mensual no es 12% sino 1.0112 – 1 = 12.68%, como vimos en el ejemplo de la tarjeta de crédito. capitalización continua En nuestro ejemplo del financiamiento automotriz, el interés se capitalizaba m = 12 veces por año y la tasa de interés era de 6%. Entonces, la tasa de interés capitalizable anualmente era [1 + (r/m)]m – 1 = [1 + (0.06/12)]12 – 1 =.0617, o 6.17%. En lugar de capi- talizar el interés mensualmente, se podría capitalizar semanalmente (m = 52) o diaria- mente (m = 365). De hecho, no hay un límite a la frecuencia de los pagos o a la duración del periodo de capitalización. Uno puede imaginar una situación en la que los pagos se distribuyen igual y continuamente a lo largo del año y la tasa de interés se capitaliza continuamente.9 En este caso, el valor de m sería infinito. Resulta que muchas veces la capitalización continua es una herramienta útil en las finanzas. Más adelante veremos que una primera aplicación es el presupuesto de capital y otra son los modelos de asignación de precios de opciones como el modelo de Black- Scholes que presentaremos en el capítulo 22. Se trata de modelos en tiempo continuo. De hecho, muchos programas informáticos de cálculo de precios de opciones piden la tasa de interés capitalizable continuamente. Parecería que se necesitarían demasiados cálculos para encontrar una tasa de interés capitalizable continuamente. Sin embargo, basta con recordar el álgebra de bachillerato. Conforme m se aproxima al infinito [1 + (r/m)]m se aproxima a (2.718)r. La cifra 2.718 (e, como se le conoce) es la base del logaritmo natural. Por lo tanto, un dólar invertido a una tasa r capitalizable continuamente crecerá hasta er = (2.718)r al final del primer año y hasta ert = (2.718)rt. Ejemplo 1 Supongamos que usted invierte un dólar a una tasa capitalizable continua- mente de 11% (r =.11) por un año (t = 1). El valor de final de año es e.11, o $1.116. Es decir, invertir a 11% durante un año capitalizable continuamente es exactamente lo mis- mo que invertir a 11.6% durante un año capitalizable anualmente. Ejemplo 2 Ahora supongamos que usted invierte un dólar a una tasa capitalizable continuamente de 11% (r =.11) por dos años (t = 2). El valor final de la inversión es ert = e.22, o $1.246. 9 Por pagos continuos damos a entender que el dinero fluye de forma continua como el agua que sale de la llave. Esto nunca es del todo posible. Por ejemplo, en lugar de donar $1 000 millones cada año para acabar con el paludismo, usted podría entregar alrededor de un millón de dólares cada 8¾ horas, $10 000 cada 5¼ minutos, o $10 cada 3 1 ∕6 segundos, pero de ninguna manera podría pagar continuamente. Los administradores financieros simulan que los pagos son continuos en lugar de por hora, diarios o semanales, porque 1) se simplifican los cálculos y 2) permite realizar una buena aproximación al VPN de los pagos frecuentes. www.FreeLibros.me 52 PRIMERA PARTE Valor A veces es más razonable suponer que los flujos de efectivo de un proyecto se distri- buyen equitativamente durante el año, en lugar de que todos ocurran al final del mis- mo. Es fácil adaptar las fórmulas anteriores a este caso. Por ejemplo, supongamos que deseamos calcular el valor presente de una perpetuidad de C dólares al año. Ya sabemos que si se realizara el pago al final de año, deberíamos dividirlo entre la tasa r capitaliza- ble anualmente: VP 5 _ C r Si el mismo pago total se distribuye a lo largo de todo el año, usamos la misma fórmula pero sustituimos la tasa compuesta continuamente. Ejemplo 3 Supongamos una tasa capitalizable anualmente de 18.5%. El valor presente de la perpetuidad de $100 es de 100/.185 = $540.54 si cada flujo de efectivo se recibe al final del año. Pero si el flujo se recibiera continuamente, debemos dividir $100 entre 17% porque esta cifra capitalizable continuamente es equivalente a 18.5% capitalizable anu- almente (e.17 = 1.185). El valor presente del flujo continuo de efectivo es 100/17 = $588.24. Los inversionistas están preparados para pagar más por los pagos de efectivo continuos porque empiezan a fluir inmediatamente. En el caso de otros pagos continuos, siempre podemos utilizar nuestra fórmula para valuar anualidades. Por ejemplo, supongamos que usted ha reflexionado sobre su dona- ción, y en lugar de apoyar en la lucha contra el paludismo decidió financiar un progra- ma de vacunación en países en desarrollo, lo cual costaría $1 000 millones anuales a partir de hoy y durante 20 años. Antes habíamos utilizado una tasa capitalizable anual- mente de 10%, pero ahora tenemos que usar la tasa compuesta continuamente de r = 9.53% (e.0953 = 1.10). Para cubrir ese desembolso, usted deberá reservar la siguiente suma:10 ( VP 5 C _ 1 _ 1 _ 1 r 2 r 3 ert ) 5 $1 000 millones (_ 1.0953 2 _ 3 _) 5 $1 000 millones 3 8.932 5 $8 932 1.0953 1 6.727 millones Si repasa nuestra exposición sobre las anualidades, se dará cuenta de que el valor presente de $1 000 millones pagados al final de cada uno de los 20 años era de $8 514 millones. Por lo tanto, entregar una corriente continua de pagos le costará $418 millones adicionales o 5%. En finanzas, muchas veces solamente se necesita un cálculo aproximado del valor presente. En realidad, un error de 5% en un cálculo de valor presente es perfectamente aceptable, y en tal caso no importa tanto si suponemos que los flujos de efectivo ocurren al final del año o en una corriente continua. En los casos en que la precisión sea impor- tante, sí deberemos preocuparnos por la frecuencia exacta de los flujos de efectivo. 10 Recuerde que una anualidad es simplemente la diferencia entre una perpetuidad recibida hoy y una perpetuidad recibida en el año t. Una corriente continua de C dólares anuales en perpetuidad vale C/r, donde r es la tasa de capi- talización continua. Por lo tanto, nuestra anualidad es igual a: VP 5 _ _ C C r 2 valor presente de r para recibir en el año t Como r es la tasa capitalizable continuamente, C/r recibido en el año t vale (Cyr) 3 (1yert) hoy. En consecuencia, la fórmula de la anualidad es: VP 5 _ C _ C _ 1 r 2 r 3 ert que a veces se escribe como: _ C (1 2 e2rt) r www.FreeLibros.me  CAPÍTULO 3 Cómo calcular valores presentes 53 Lo difícil de cualquier ejercicio de valor presente es plantear correctamente el proble- Resumen ma. Después de plantearlo, hay que saber hacer los cálculos necesarios, pero no son complicados. Después de estudiar el capítulo, le resta practicar un poco más. La fórmula básica del valor presente de un activo que paga en varios periodos es la siguiente extensión obvia de nuestra fórmula para un periodo: C1 C2 VP 5 _ 1 _2 1... 1 1 r1 (1 1 r2) Con esta fórmula, usted siempre podrá encontrar cualquier valor presente. Incluso cuando la tasa de descuento sea la misma para cualquier vencimiento, hay atajos que reducen los cálculos engorrosos. Examine la tabla 3.3, en la que se resumen algunos atajos. Ahí, el primer flujo de efectivo de una anualidad anticipada ocurre inmediata- mente. El resto de las fórmulas suponen que el primer flujo de efectivo ocurre al final de un año. El siguiente paso fue mostrar que el descuento era un proceso de interés capitali- zable. El valor presente es la cantidad que necesitaríamos invertir hoy a una tasa compuesta r a fin de producir los flujos de efectivo C1, C2, etc. Cuando alguien nos presta cierta cantidad a una tasa anual de r, siempre debemos verificar el periodo de capitalización del interés. Si es anual, tendremos que pagar (1 + r)t dólares, pero si es continuo el pago será de 2.718rt (es decir, ert) dólares. En el caso del presupuesto de capital, a menudo suponemos que los flujos de efectivo ocurren al final de cada año, y por lo tanto los descontamos a una tasa de interés capitalizable anualmente. Sin embargo, a veces sería mejor suponer que se distribuyen equitativamente a lo largo del año; en este caso, es conveniente utilizar la composición continua. En este capítulo presentamos dos ideas muy importantes que volverán en capítu- los posteriores. Primero, los valores presentes se pueden sumar: si la fórmula del valor presente de A + B no es la misma que la del valor presente A más el valor pre- sente de B, entonces hubo un error. Y segundo, las oportunidades de arbitraje o Flujo de efectivo ($) Año: 0 1 2......t21 t t11... Valor presente Perpetuidad 1 1... 1 1 1... _ 1 r Anualidad a t periodos 1 1... 1 1 _ 1 _ 2 1 r r (1 1 r)t Anualidad antici- pada a t periodos 1 1 1... 1 (1 + r) _( 1 _ 1 r 2 r(1 1 r)t ) Perpetuidad creciente 1 1 3 (1 1 g) 1 3 (1 1 g)t22 1 3 (1 1 g)t21 1 3 (1 1 g)t... _ 1 r2g Anualidad creciente (1 1 g) t a t periodos 1 1 3 (1 1 g) 1 3 (1 1 g)t22 1 3 (1 1 g)t21 _ 1 2_3 _ 1 r2g r2g (1 1 r)t t a b l a 3.3 Algunos atajos útiles. www.FreeLibros.me 54 PRIMERA PARTE Valor máquinas de hacer dinero son raras y pronto desaparecen. Si usted cree haber encon- trado una, verifique sus cálculos. PROYeCTOs en Hay docenas de sitios en internet que contienen calculadoras para apoyar en las decisiones LA ReD financieras. Dos ejemplos excelentes son www.quicken.com y www.smartmoney.com. (Nota: En ambas calculadoras la tasa anual equivale a 12 veces la tasa mensual.) 1. Supongamos que usted tiene ahorros bancarios de $5 000 y un plan de ahorro de $500 mensuales. Si recibe un rendimiento de 12% anual (1% mensual), ¿cuánto habrá acumulado dentro de 30 años, cuando se jubile? A continuación vaya al sitio de Quicken para buscar una calculadora de ahorros. Úsela para verificar su respuesta. 2. Supongamos que usted contrató un préstamo hipotecario a 30 años de $200 000 a una tasa de interés de 10%. ¿Cuál es el pago mensual total? ¿Cuánto reducirá el primer pago men- sual el tamaño del préstamo? ¿Y el pago que ocurrirá dentro de dos años? Verifique estas respuestas en la página de finanzas personales de www.smartmoney.com utilizando la calculadora hipotecaria. PReGunTAs 1. Escriba la fórmula del valor presente de una inversión que genera flujos de efectivo de C1, COnCePTuA- C2 y C3. (página 37) 2. ¿Cuál es la fórmula del factor de descuento de dos años, FD2? (página 37) Les 3. ¿Es posible que la tasa de descuento de dos periodos (r2) sea menor que la tasa de un periodo (r1)? (página 38) CuesTIOnARIO 1. El factor de descuento a seis años es de.507 para una tasa de interés de 12%. ¿Cuánto dinero valdrán $.507 en seis años si se invierten a 12%? 2. Si $125 es el valor presente de $139, ¿cuál es el factor de descuento? 3. Si el costo de capital es de 9%, ¿cuál es el VP de $374 pagados en el año 9? 4. Un proyecto genera un flujo de efectivo de $432 en el año 1, de $137 en el año 2 y de $797 en el año 3. Si el costo de capital es de 15%, ¿cuál es el VP del proyecto? 5. Si usted invirtiera $100 a una tasa de interés de 15%, ¿cuánto tendría al final de ocho años? 6. Una inversión cuesta $1 548 y paga $138 en perpetuidad. Si la tasa de interés es de 9%, ¿cuál es el VPN? 7. Una acción ordinaria pagará un dividendo en efectivo de $4 por año y se espera que se incremente indefinidamente a 4% anual. Si la tasa de descuento es de 14%, ¿cuál es el VP de la serie de pagos de dividendos? www.FreeLibros.me  CAPÍTULO 3 Cómo calcular valores presentes 55 8. La tasa de interés es de 10%. a) ¿Cuál es el VP de un activo que paga $1 por año en perpetuidad? b) El valor de un activo que se aprecia 10% por año se duplica aproximadamente en sie- te años. ¿Cuál es el VP aproximado de un activo que paga $1 por año en perpetuidad a partir del año 8? c) ¿Cuál es el VP aproximado de un activo que paga $1 por año durante cada uno de los siguientes siete años? d) Un terreno genera un ingreso que aumenta 5% por año. Si $10 000 son el ingreso en el primer año, ¿cuál es el valor del terreno? 9. a) El costo de un automóvil nuevo es de $10 000. Si la tasa de interés es de 5%, ¿cuánto debe ahorrar usted ahora para entregar esa cantidad en cinco años? b) Usted debe pagar $12 000 anuales en colegiaturas al final de cada uno de los siguien- tes seis años. Si la tasa de interés es de 8%, ¿cuánto debe guardar hoy para pagar esos gastos? c) Usted ha invertido $60 476 a 8%. Después de pagar las colegiaturas anteriores, ¿cuán- to quedaría al final de los seis años? 10. La tasa de interés capitalizable continuamente es de 12%. a) Usted ha invertido $1 000 a esa tasa. ¿Cuánto vale la inversión después de cinco años? b) ¿Cuál es el VP de $5 millones a recibir dentro de ocho años? c) ¿Cuál es el VP de una serie continua de flujos de efectivo, que alcanza $2 000 anuales, comenzando inmediatamente y con una duración de 15 años? 11. Le cotizaron una tasa de interés de 6% en una inversión de $10 millones. ¿Cuál es el valor de su inversión después de cuatro años si el interés se capitaliza en los siguientes plazos? a) Anualmente. b) Mensualmente. c) Continuamente. 12. ¿Cuál es el VP de $100 recibidos en: eJeRCICIOs a) el año 10 (a una tasa de descuento de 1%). PRÁCTICOs b) el año 10 (a una tasa de descuento del 13%). c) el año 15 (a una tasa de descuento del 25%). d) Cada año del 1 al 3 (a una tasa de descuento de 12%). 13. a) Si el factor de descuento de 1 año es.905, ¿cuál es la tasa de interés a un año? b) Si la tasa de interés a dos años es de 10.5%, ¿cuál es el factor de descuento de dos años? c) Dados esos factores de descuento de uno y dos años, calcule el factor de anualidad de dos años. d) Si $24.65 es el VP de $10 anuales durante tres años, ¿cuál es el factor de anualidad de tres años? e) Con las respuestas c) y d), calcule el factor de descuento de tres años. 14. Una fábrica cuesta $800 000. Usted calculó que produciría un entrada, después de incluir los costos operativos, de $170 000 al año durante 10 años. Si el costo de oportunidad del capital es de 14%, ¿cuál es el valor presente de la fábrica? ¿Cuánto valdrá la fábrica den- tro de cinco años? 15. Una máquina cuesta $380 000 y se espera que produzca los siguientes flujos de efectivo: Año 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Flujo de efectivo ($000) 50 57 75 80 85 92 92 80 68 50 Si el costo de capital es de 12%, ¿cuál es el VPN de la máquina? www.FreeLibros.me 56 PRIMERA PARTE Valor 16. Mike Polanski tiene 30 años de edad y el próximo año su salario será de $40 000. Mike ha pronosticado que su salario se incrementará a una tasa estable de 5% por año hasta que se jubile cuando cumpla 60 años. a) Si la tasa de descuento es de 8%, ¿cuál es el VP de esos pagos de salario futuros? b) Si Mike ahorra 5% de su salario anualmente y lo invierte a una tasa de interés de 8%, ¿cuánto tendrá ahorrado cuando cumpla 60 años? c) Si Mike planea gastar esos ahorros en cantidades iguales durante los siguientes 20 años, ¿cuánto puede gastar cada año? 17. Una fábrica cuesta $400 000 y producirá entradas de efectivo, después de descontar los costos operativos, de $100 000 en el año 1, de $200 000 en el año 2, y de $300 000 en el año 3. El costo de oportunidad del capital es de 12%. Calcule el VPN. 18. Líneas Alción ha pensado adquirir un nuevo carguero en $8 millones. Los ingresos pro- nosticados son $5 millones anuales y los costos operativos ascienden a $4 millones. Se necesitaría una reparación sustancial en 5 y en 10 años, la cual costaría $2 millones. Después de 15 años se espera que el valor de rescate del barco sea de $1.5 millones. Si la tasa de descuento es de 8%, ¿cuál es el VPN del barco? 19. Como ganador de un concurso de cereales para el desayuno, usted puede seleccionar uno de los siguientes premios: a) $100 000 ahora. b) $180 000 al final de cinco años. c) $11 400 anuales para siempre. d) $19 000 anuales durante los próximos 10 años. e) $6 500 el próximo año, que después se incrementará en 5% anual para siempre. Si la tasa de interés es de 12%, ¿cuál premio es más valioso? 20. Siegfried Basset tiene 65 años de edad y sus expectativas de vida son de 12 años más. Quiere invertir $20 000 en una anualidad que generará pagos iguales al final de cada año hasta su fallecimiento. Si la tasa de interés es de 8%, ¿cuánto dinero recibirá anualmente? 21. David y Helen Zhang ahorran para comprar un yate dentro de cinco años. Si el yate cuesta $20 000 y reciben 10% al año por sus ahorros, ¿cuánto necesitan ahorrar al final de los años 1 a 5? 22. Autos Canguro está ofreciendo financiamiento gratuito para un automóvil nuevo de $10 000. Usted pagaría $1 000 al contado y después $300 mensuales durante los próximos 30 meses. La empresa que está a un lado, Motores Tortuga, no ofrece financiamiento gra- tuito, pero le rebajaría $1 000 del precio de lista. Si la tasa de interés es de 10% anual (alrededor de.83% mensual), ¿qué empresa le ofrece el mejor trato? 23. Vuelva a calcular el VPN de la construcción del edificio de oficinas de la sección 3.1, pero a tasas de 5, 10 y 15%. Grafique los valores con el VPN en el eje vertical y las tasas de descuento en el horizontal. ¿A qué tasa de descuento (aproximadamente) el VPN valdría cero? Verifique su respuesta. 24. Si la tasa de interés es de 7%, ¿cuál es el valor de las tres inversiones siguientes? a) Una inversión que ofrece $100 por año para toda la vida y que entrega los pagos al final de cada año. b) Una inversión similar con pagos al principio de cada año. c) Una inversión similar con pagos distribuidos equitativamente en todos los años. 25. Vuelva a la sección 3.2. Si la tasa de interés es de 8% en lugar de 10%, ¿cuánto necesitaría ahorrar para entregar lo siguiente? a) Mil millones al final de cada año para siempre. b) Una perpetuidad que paga mil millones al final del primer año y crece 4% por año. www.FreeLibros.me  CAPÍTULO 3 Cómo calcular valores presentes 57 c) Mil millones al final de cada año durante 20 años. d) Mil millones por año distribuidos equitativamente durante 20 años. 26. ¿Cuánto tendría al final de 20 años si invirtiera $100 hoy a 15% capitalizable anualmente? ¿Cuánto tendría si invirtiera a 15% capitalizable continuamente? 27. Acaba de leer un anuncio que dice: “Dénos $100 cada año durante 10 años y a partir del último año le devolveremos $100 anuales durante toda su vida.” Si es un trato conve- niente, ¿cuál es la tasa de interés? 28. ¿Qué proyecto preferiría?: a) Una inversión que paga intereses de 12% compuestos anualmente. b) Una inversión que paga intereses de 11.7% compuestos semestralmente. c) Una inversión que paga 11.5% capitalizable continuamente. Calcule el valor de las inversiones después de 1, 5 y 20 años. 29. En 1880, a cinco rastreadores aborígenes se les prometió el equivalente a 100 dólares aus- tralianos por ayudar a capturar al famoso bandido Ned Kelley. En 1993, las nietas de dos rastreadores denunciaron que la recompensa no fue pagada. El primer ministro de Victo- ria dijo que, de ser verdad, el gobierno estaría dispuesto de pagar los $100. Sin embargo, las nietas también reclamaron los intereses capitalizados. ¿Cuánto recibiría cada una si la tasa de interés fuera de 5%? ¿Y si fuera de 10%? 30. Un contrato de arrendamiento especifica un pago inmediato de $100 000 y nueve pagos semestrales de $100 000. ¿Cuál sería el VP de esos pagos si la tasa de descuento anual fuera de 8%? 31. Hace varios años The Wall Street Journal publicó que el ganador del premio de la Lotería del Estado de Massachusetts tenía la desgracia de haber quebrado y estaba en la cárcel acusado de fraude. El premio fue de $9 420 713 para ser pagado en 19 entregas anuales e iguales (había 20 pagos, pero el ganador ya había recibido uno). El juez del tribunal de quiebras dispuso que el premio debía ser vendido al mejor postor en subasta y las ganancias utilizadas para pagar a los acreedores. a) Si la tasa de interés fuera de 8%, ¿cuánto estaría usted dispuesto a ofrecer por el pre- mio? b) La Empresa de Seguros Enhance ofreció 4.2 millones. Utilice Excel para encontrar el rendimiento que buscaba la empresa. 32. Un crédito hipotecario se liquida con pagos de $70 000 al final de cada uno de los siguientes ocho años. La tasa de interés es de 8%. a) ¿Cuál es el valor presente de esos pagos? b) Para cada año, calcule el saldo pendiente del préstamo, el pago de intereses y la reducción del saldo. 33. Usted calculó que en 35 años se jubilará y para ese tiempo habrá ahorrado dos millones de dólares. Si la tasa de interés es de 8% y usted vivirá 15 años después de jubilarse, ¿cuánto podrá gastar al año con esos ahorros? Desafortunadamente, la inflación reducirá el valor de su pensión. Suponga una tasa de inflación de 4% y determine un plan de gastos para después de su jubilación en el que considere la inflación. 34. La tasa de descuento capitalizable anualmente es del 5.5%. Se le ha pedido que calcule el valor presente de una anualidad a 12 años con pagos de $50 000 anuales. Calcule el VP para los siguientes casos. a) Los pagos de la anualidad llegan en intervalos de un año. El primer pago ocurre un año a partir de ahora. b) El primer pago se hace en seis meses. Los pagos posteriores llegan en intervalos de un año (por ejemplo, en 18 meses, 30 meses, etcétera). www.FreeLibros.me 58 PRIMERA PARTE Valor 35. Estimado asesor financiero: Mi esposa y yo tenemos 62 años y esperamos jubilarnos en tres años. Después pensa- mos recibir $7 500 mensuales (libres de impuestos) de nuestro plan de pensiones de la empresa para la que trabajamos, así como $1 500 mensuales, también libres de impues- tos, del seguro social. Sin embargo, nuestros gastos mensuales ascienden a $15 000 y nuestros compromisos sociales tampoco nos permiten ahorrar más. Hemos invertido $1 000 000 en un fondo de inversión mutualista que administra bonos municipales libres de riesgo de alta calificación. El rendimiento que ofrece el fon- do es del 3.5% anual. Pensamos hacer retiros anuales para pagar la diferencia entre nues- tra pensión más el ingreso del seguro social y nuestros gastos de subsistencia. ¿En cuántos años nos quedaremos sin dinero? Saludos cordiales, La pareja sin lujos Marblehead, MA Suponga que los retiros (uno por año) serán depositados en una cuenta de cheques (sin intereses), que la pareja utilizará para protegerse contra déficits mensuales. DesAFÍOs 36. He aquí dos reglas prácticas útiles. La “regla del 72” dice que, en la composición discre- ta, 72/tasa de interés (en porcentaje) es el tiempo que toma una inversión en duplicarse. Por el contrario, la “regla del 69” afirma que, en la composición continua, 69.3/tasa de interés (en porcentaje) es exactamente el tiempo que le lleva a una inversión duplicar su valor. a) Si la tasa de interés capitalizable anualmente es del 12%, aplique la regla del 72 para calcular el tiempo aproximado que se tardará en duplicar su dinero. Ahora realice el cálculo exacto. b) Demuestre la regla del 69. 37. Trace en Excel sus propias tablas de anualidades. 38. Digamos que usted es propietario de un oleoducto que el año entrante le generará un rendimiento de $2 millones en efectivo. Los costos de operación del oleoducto son insig- nificantes y se espera que dure mucho tiempo. No obstante, el volumen de petróleo transportado ha disminuido y se espera que los flujos de efectivo caigan un 4% al año. La tasa de descuento es del 10%. a) ¿Cuál es el VP de los flujos de efectivo del oleoducto si se espera que duren toda la vida? b) ¿Cuál es el VP de los flujos de efectivo si el oleoducto se desmantela dentro de 20 años? www.FreeLibros.me  4 C A P Í T U L O C U AT r O VALUACIÓN DE BONOS UNA NUEVA INVERSIÓN en planta y equipo necesita capital; bonos son enormes. A mediados de 2006 la cantidad total a menudo, en gran cantidad. A veces las empresas retienen de títulos del Tesoro de Estados Unidos era cercana a 8.4 utilidades para cubrir los costos de las inversiones, pero en billones de dólares.2 Las cantidades correspondientes en otras ocasiones deben obtene