Finanzas: Capítulo 1 - Cómo Calcular el Valor Presente PDF

Finanzas C A P Í T U L O 1 : C Ó M O CA L C U L A R E L VA L O R P R E S E N T E  Resultados de Aprendizaje 1. Comprender los conceptos fundamentales de las Finanzas modernas y aplicarlos en la toma de decisiones empresariales. 2. Habilitar herramientas para la i...

Finanzas C A P Í T U L O 1 : C Ó M O CA L C U L A R E L VA L O R P R E S E N T E  Resultados de Aprendizaje 1. Comprender los conceptos fundamentales de las Finanzas modernas y aplicarlos en la toma de decisiones empresariales. 2. Habilitar herramientas para la interacción con el área de Finanzas en una empresa real. 3. Determinar si una inversión crea o destruye valor. 4. Analizar cuantitativamente la estrategia de creación de valor que sigue una empresa. 5. Evaluar críticamente la salud financiera de una firma. 6. Examinar las estrategias financieras disponibles para una empresa, en sus requerimientos operativos y estratégicos. 7. Profundizar en el proceso de formación de precios de los activos financieros que se transan en los mercados de valores. Evaluación La nota del curso se obtendrá a través de los siguientes mecanismos: Promedio de controles con una ponderación de 20% de la nota final: Tres pruebas con las siguientes ponderaciones: ◦ Prueba 1 : 20% ◦ Prueba 2 : 25% ◦ Prueba 3 : 35% Evaluación La nota final será: 𝑁𝐹 = 20% × 𝑁𝑃 + 25% × 𝑁𝑃 + 35% × 𝑁𝑃 + 20% × 𝑁𝐶 Donde: NP1: Nota Prueba 1 NP2: Nota Prueba 2 NP3: Nota Prueba 3 NC: Nota Promedio de Controles Bibliografía Be rk & De M a r zo, H a r fo rd , “Fin a n za s C o r p orat iva s ”, 1 a E d i c i ó n, Pe a r s o n P r e nt i c e - Ha l l Br ea ley, M yer s & Al len , “ Pr i nc i pio s de Fi na n z as C or p o rat iva s ”, 9 a Ed i c i ó n , M c Gr aw H i l l Ro s s, Wes t er fi eld & Jaffe, “Fi na n za s Co r po rat iva s ”, 9 a Edi c i ó n , M cGraw Hill Ro s s, We st e r f ield & Jo rd an , “F u nd am ent o s de Fi na n z a s C o r po rat iv as ”, 9 a E d i c i ó n , M c Graw H i l l Presentación del Profesor Mauricio Javier González Paredes Ingeniero Civil de Industrias de la Pontificia Universidad Católica de Chile y Magíster en Finanzas de la Universidad de Chile. Profesor de la Escuela de Negocios y de la Facultad de Ingeniería y Ciencias de la Universidad Adolfo Ibáñez. Profesor Adjunto de la Escuela de Ingeniería UC. Profesor Jornada Parcial de la Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas y de la Facultad de Economía y Negocios de la Universidad de Chile. Profesor Jornada Extraordinaria de la Escuela de Administración de Servicios de la Universidad de Los Andes. Gerente de la Red de Inversionistas Ángeles DICTUC. Director de Operaciones de UDD Ventures. Gerente de Administración y Finanzas en DICTUC y en Constructora Bio Bio. Gerente de Administración en Inmobiliaria Norte Verde. Director de Finanzas y Proyectos de la Facultad de Ingeniería y Ciencias de la Universidad Adolfo Ibáñez. Consultor en temas de administración financiera, con especial foco en nuevas empresas y PYMES. Normas de Convivencia Asistir preparadas y preparados a las cátedras y evaluaciones. Aprovechar las clases para optimizar el tiempo de estudio personal. Respetar horario de las clases, ingresando con puntualidad a la sesión. Asegurar que otros compromisos no topen con las clases o evaluaciones del curso. 1. Valor del Dinero en el Tiempo ¿Cómo Valorar un Activo? La forma más simple, pero no siempre disponible, es el valor razonable. Si hay muchas personas dispuestas a comprar y vender un activo (una acción, un departamento, un automóvil) lo más probable es que, en un mercado profundo, amplio y bien informado, el fair value sea el valor real del activo. ¿Cómo Valorar un Activo? ¿Pero qué pasa con activos que no son transados en mercados profundos, amplios y bien informados? ¿Cuál es el valor razonable de un horno que hace ensayos para comportamiento de estructuras ante el fuego? ¿Cuál es valor de una acción que se transa muy poco en el mercado? Valor del Dinero en el Tiempo (VDT) Las matemáticas financieras permiten estudiar cómo varía el valor del dinero en el tiempo para poder responder a las distintas preguntas planteadas y elegir, racionalmente, qué opción es mejor. Importancia de las Matemáticas Financieras Inversiones: o Depósitos a plazo. o Fondos Mutuos. o Adquisición de Instrumentos Financieros. o Ahorros previsionales. Financiamiento: o Créditos de consumo. o Créditos hipotecarios. o Emisión de Instrumentos Financieros. o Leasing. Valor del Dinero en el Tiempo (VDT) ¿Qué prefieres: $100 hoy o $100 en un mes más? ¿Qué prefieres: $100 hoy o $200 en 10 años más? ¿Cuánto tendrías que recibir en un año más para que compenses el beneficio (utilidad) de no recibir el dinero hoy? ¿Existirá un valor donde sea indiferente a recibir el dinero en el futuro v/s recibirlo hoy ? ¿Por qué el VDT? Probablemente la mayoría de las personas actúen la con clásica racionalidad económica donde más es preferido a menos, lo que es válido sólo si consideramos “bienes” y éstos reportan utilidad. Por lo tanto, más bienes representan un mayor nivel de satisfacción. Este punto de vista se refiere al consumo intertemporal y la utilidad del mismo, por lo que dejar de consumir hoy sólo sería aceptado para consumir una cantidad superior mañana. De lo anterior, surge el valor del dinero en el tiempo, es decir, aquella cantidad extra que se debe obtener por intercambiar consumo presente por consumo futuro. Principales Conceptos ¿Qué es el costo de oportunidad? Hemos presentado la idea de la insatisfacción de dejar de consumir hoy para obtener consumo mañana y esto indica que existe una cantidad superior que nos dejaría indiferentes. Dicha cantidad marginal es el valor del dinero en el tiempo o el costo de oportunidad de los recursos. A modo de ejemplo… El Banco Central está recibiendo depósitos a plazo (o vendiendo bonos que como aprenderemos más adelante es lo mismo) y ofrece la tasa de política monetaria de mediados de 2024 del 5,75% al año. Si invirtiéramos $3.000.000, ¿cuánto obtendríamos en 1 año luego de realizar la inversión? Principales Conceptos ¿Esto es solo intercambiar consumo presente por consumo futuro? Sí, porque no hay probabilidad de que el Banco Central de Chile no nos devuelva los fondos. En el peor de los casos imprimirá más billetes para cumplir con su obligación. De hecho, Chile en nunca en la historia ha incumplido en el pago de sus bonos soberanos, que son emitidos habitualmente por el Banco Central (BCU, BCP, PDBC) y por la Tesorería General de la República (BTP, BTU). Interés ¿Qué son las tasas de interés? Es la tasa de intercambio entre el dinero de hoy y dinero de mañana. ¿Por qué cambian las tasas de interés? Costo de oportunidad. Incertidumbre. Impaciencia. Inflación. Riesgo. Riesgo El costo de oportunidad obviamente no será el mismo si existe riesgo de no pago. Por ejemplo, al hablar de Argentina, Grecia, La Polar o SMU, no es raro pensar en la probabilidad de default. En caso de que exista dicho riesgo de un no pago total o parcial, esto afectaría el consumo intertemporal, por lo tanto, el costo de oportunidad aumenta porque debe cubrir el valor del dinero en el tiempo y además el riesgo de dejarnos peor todavía. Dado esto, el riesgo influye significativamente en la toma de decisiones, aunque no es fácil calcular en cuánto aumenta el costo de oportunidad producto del riesgo. Valor del Dinero en el Tiempo (VDT) El valor de un peso hoy no es el mismo que el valor de un peso en el pasado o en el futuro. Un peso hoy vale más que un peso mañana. El valor temporal del dinero es diferente debido a la inflación, el interés, y el riesgo (costo de oportunidad). o Estos factores se combinan para determinar la “tasa de descuento” o “tasa de retorno”. Cada vez que vamos a recibir o pagar dinero en el futuro, hay que ajustar los flujos de caja al mismo valor (por lo general, el valor presente). o Al igual que se tienen que ajustar las divisas al CLP (o lb a kg) para hacer comparaciones entre países, se tienen que ajustar pesos futuros o pesos pasados al valor de hoy para hacer comparaciones intertemporales. Interés Compuesto Se invierten M$100 en un depósito a plazo que genera intereses del 8% anual. Al final del primer año, tenemos: o M$100 + M$8 de interés = M$108 o Esto es lo mismo que: M$100 × (1 + 0,08) = M$108 Al final del segundo año, tenemos: o M$108 × (1,08) = M$116,64 o Tengamos en cuenta que NO tenemos: M$100 + (M$8 × 2) = M$116 o Pero SI tenemos: M$100 × (1,08) × (1,08) = M$116,64 o Lo que es lo mismo que: M$100 × (1,08)2 = M$116,64 Al final del tercer año, tenemos: o M$116,64 × (1,08) = M$125,97 o M$100 × (1,08)3 = M$125,97 Generalizando la Idea... Al final del enésimo año, tenemos: o Valor Futuro en n años (VF) = M$100 × (1,08)n Si el depósito a plazo pagara r% de interés en lugar del 8% de interés: o VF = M$100 × (1 + r)n Si la inversión inicial fuera de $VP en lugar de M$100: o VF = VP × (1 + r)n Por lo tanto, el Valor Presente (VP) de lo que se invierte hoy a una tasa de interés r crece por (1 + r)n para obtener un Valor Futuro (VF) en n años a partir de ahora. Valor Futuro Supongamos que tenemos la posibilidad de reinvertir intereses a la misma tasa que todo el principal. Interés simple: Los intereses no se reinvierten. 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐹𝑢𝑡𝑢𝑟𝑜 = 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 × (1 + 𝑟 × 𝑛) Interés compuesto: Los intereses ganados se reinvierten (efecto composición). 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐹𝑢𝑡𝑢𝑟𝑜 = 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑜 𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 × (1 + 𝑟) Valor Futuro ¿En qué difieren una de la otra? El primer caso supone que los intereses no son reinvertidos cada año y por ende se consigue el mismo monto de intereses todos los años. En el segundo caso, nunca hacemos un retiro ni siquiera de los intereses, por lo tanto, se crea un “efecto composición”. Es de notar que esto es análogo a que en cada año se invirtiera un monto mayor correspondiente al depósito inicial más los intereses ganados. Valor Futuro Realizamos un solo depósito de $100.000 en el banco que nos ofrece una rentabilidad mensual de 8% ¿Cuánto tendremos al final de 3 meses? Interés simple: 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐹𝑢𝑡𝑢𝑟𝑜 = $100.000 × (1 + 8% × 3) Interés compuesto: 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐹𝑢𝑡𝑢𝑟𝑜 = $100.000 × (1 + 8%) Cálculos del Valor Temporal del Dinero Elementos: o VP = Valor presente (valor antes de los efectos de interés o descuento). o VF = Valor futuro (valor después de los efectos de interés o descuento). o r = Tasa de interés, tasa de descuento, o tasa de retorno. o n = Número de períodos entre el valor presente y el valor futuro. Cálculos de Valor Futuro (VF) VF = VP × (1 + r)n Si invirtiéramos M$10.000 en el mercado de capitales hoy en día, ¿cuánto dinero tendríamos en la jubilación? Supongamos lo siguiente: o 40 años para la jubilación. o Tasa de retorno esperada en mercado de capitales es 15% (compuesta anualmente). Cálculos de Valor Futuro (VF) Si invirtiéramos M$10.000 en el mercado de capitales hoy en día, ¿cuánto dinero tendríamos en la jubilación? Supongamos lo siguiente: o 40 años para la jubilación. o Tasa de retorno esperada en mercado de capitales es 15% (compuesta anualmente). VF = VP × (1 + r)n VF = 10.000 × (1,15)40 = M$2.678.635 Cálculos de Valor Futuro (VF) ¿Qué pasa si el retorno esperado es sólo de 5%? Supongamos lo siguiente: o 40 años para la jubilación (n). o Tasa de retorno esperada (r) es 5% (compuesta anualmente). VF = 10.000 × (1,05)40 VF = M$70.400 Cálculos de Valor Futuro (VF) ¿Qué pasa si planeamos jubilarnos en 30 años? Supongamos lo siguiente: o 30 años para la jubilación (n). o Tasa de retorno esperada (r) es 15% (compuesta anualmente). VF = 10.000 × (1,15)30 VF = M$662.118 Ejemplo de Cálculo de VF Pedro Menudo invierte $26.000 al 5% de interés anual en una cuenta de ahorros en el Banco de Extranja. ¿Cuál sería el saldo de su cuenta a los cinco años? ¿Y a los 50? 𝑆𝑎𝑙𝑑𝑜 𝑎ñ𝑜 5 = $26.000 × (1 + 5%) = $33.183 𝑆𝑎𝑙𝑑𝑜 𝑎ñ𝑜 50 = $26.000 × (1 + 5%) = $298.152 Valor Presente Un método (no él único) para valorar activos es el cálculo del Valor Presente (VP). Con este método se calcula en primer lugar la diferencia entre los ingresos y egresos de caja que generará un activo durante su vida. Dicha diferencia se trae valor presente. Valor Presente ¿Qué pasa si conocemos el Valor Futuro, pero no conocemos el Valor Presente? o VF = VP × (1 + r)n ¿Cuánto hay que invertir hoy en un depósito a plazo que gana intereses de 8% anual para tener M$108 en un año más? o VP = M$108 / (1,08) = M$100 ¿Qué tal si queremos M$125,97 en tres años? o VP = M$125,97 / (1,08)3 = M$100 ¿Qué tal si queremos M$100 en un año más? o VP = M$100 / (1,08) = M$92,59 o El valor presente de $1.000 en un año más es de $925,9 a un 8%. Cálculo del Valor Presente Definición de Valor Presente (VP): el valor actual de un flujo de caja futuro. Fórmula del VP: 𝑉𝐹 𝑉𝑃 = (1 + 𝑟) Donde: ◦ VF: Valor futuro. ◦ r: Tasa de descuento. ◦ n: Número de periodos. Cálculos de Valor Presente (VP) ¿Cuánto se debiera haber invertido en un instrumento de ahorro hace veinte años para tener M$10.000 hoy en día? Supongamos lo siguiente: o Los instrumentos de ahorro NO tienen pagos periódicos de intereses (éstos se agregan al principal y en forma compuesta). o El interés del instrumento fue del 15% (compuesto anualmente). VP = 10.000 / (1,15)20 VP = M$611 Cálculos de Valor Presente (VP) ¿Qué pasa si la tasa de interés fue sólo del 5%? Supongamos lo siguiente: o Los instrumentos de ahorro NO tienen pagos periódicos de intereses (éstos se agregan al principal y en forma compuesta). o El interés del instrumento fue del 5% (compuesto anualmente). VP = 10.000 / (1,05)20 VP = M$3.769 Cálculos de Valor Presente (VP) ¿Qué pasa si hubiéramos adquirido el instrumento de ahorro hace diez años? Supongamos lo siguiente: o Los instrumentos de ahorro NO tienen pagos periódicos de intereses (éstos se agregan al principal y en forma compuesta). o El interés del instrumento (r) fue del 15% (compuesto anualmente). VP = 10.000 / (1,15)10 VP = M$2.472 Ejemplo 1 de Cálculo de VP Supongamos que el próximo año necesitarás $600.000 para comprar un nuevo computador. La tasa de interés de los depósitos a plazo es del 2% anual. ¿Cuánto dinero debes ahorrar para hacer esa compra? ¿Y si puedes retrasar la compra a dos años? $600.000 𝑉𝑃 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎 𝑎 1 𝑎ñ𝑜 = = $588.235 (1 + 2%) $600.000 𝑉𝑃 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎 𝑎 2 𝑎ñ𝑜𝑠 = = $576.701 (1 + 2%) Ejemplo 2 de Cálculo de VP ¿Cuánto estarías dispuesto a pagar por un título (bono) que en 10 años más realiza un pago de $550.000, si la tasa de interés es de 7% por año? $550.000 𝑉𝑃 = = $279.592 (1 + 7%) Somos indiferentes a $550.000 en 10 años o $279.592 hoy. Estoy dispuesto a pagar $279.592 hoy por recibir un flujo de $550.000 en 10 años. Ejemplo 2 de Cálculo de VP ¿Qué pasa con el valor presente si el mismo título paga los $550.000 en 2 años más y no en los 10 años indicado anteriormente? $550.000 𝑉𝑃 = = $480.391 (1 + 7%) Se está dispuesto a pagar un valor menor por obtener un pago más lejano, ya que el costo de oportunidad es más alto. Valor Presente y Valor Futuro Lo anterior enuncia un punto fundamental del valor del dinero en el tiempo: el valor presente y el costo de oportunidad están inversamente relacionados. ¿Por qué? Porque a medida que pasen más periodos (meses, bimestres, trimestres, cuatrimestres, semestres, años, etc.) se está renunciado a más intereses, por lo que estaríamos dispuestos a pagar un monto menor por un flujo más lejano, puesto que el costo de oportunidad soportado es superior. Cálculo de VP con Flujos de Caja Irregulares Supongamos que queremos calcular el VP de un flujo de caja que es de $500 en el primer año, $700 en el segundo año y $900 en el tercer año, con una tasa de descuento del 10%: $500 $700 $900 𝑉𝑃 = + + = $2.079,19 1 + 10% (1 + 10%) (1 + 10%) En otras palabras: 𝐹 𝑉𝑃 = (1 + 𝑟) Importancia del Cálculo del VP El cálculo de VP nos permite comparar flujos de caja futuros con flujos de caja presentes. Nos ayuda a tomar decisiones informadas sobre inversiones y financiamiento. 2. Perpetuidades y Anualidades Pagos Periódicos Conceptos: ◦ Perpetuidad: Flujos infinitos constantes. ◦ Anualidad: Flujos finitos constantes (no necesariamente “anuales”). VP de una Perpetuidad Hay algunos casos en que, aplicando matemáticas, se pueden obtener fórmulas sencillas para calcular el VP de flujos que cumplen determinadas condiciones. El valor presente de un flujo constante “F” que se recibe desde el período 1 a perpetuidad (n  infinito) y que se descuenta a una tasa “r” es: 𝐹 𝑉𝑃 𝑃𝑒𝑟𝑝𝑒𝑡𝑢𝑖𝑑𝑎𝑑 = 𝑟 Ejemplo de Cálculo del VP de una Perpetuidad Una inversión cuesta $1.548.000 y paga $138.000 a perpetuidad. La tasa de interés es de 9%. ¿Cuánto es su Valor Presente Neto? $138.000 𝑉𝑃𝑁 = −$1.548.000 + = −$14.667 9% VP de una Perpetuidad Creciente El valor presente de un flujo inicial “F” recibido en el período 1, y que crece a una tasa anual constante “g”, descontado a una tasa “r” es: 𝐹 𝑉𝑃 𝑃𝑒𝑟𝑝𝑒𝑡𝑢𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝑟−𝑔 Observación: “r” debe ser mayor que “g”. Ejemplo de Cálculo del VP de una Perpetuidad Creciente Una acción común pagará un dividendo en efectivo de $4.000 el primer año y se espera que se incremente indefinidamente a 4% anual. La tasa de descuento es de 14%. ¿Cuánto es el VP de la serie de pagos de dividendos? $4.000 𝑉𝑃 = = $40.000 14% − 4% Anualidades Una Anualidad es un flujo constante de caja. o Anualidad Ordinaria (en período vencido):  Los pagos son al final de un período. o Anualidad Anticipada (o por adelantado):  Los pagos son al comienzo de un período. Ejemplo: VP de una Anualidad Ordinaria de M$500 para tres períodos a una tasa de interés del 8%. VP de M$500 dentro de un año al 8% = 500 / (1 + 8%) + VP de M$500 dentro de dos años al 8% = 500 / (1 + 8%)2 + VP de M$500 dentro de tres años al 8% = 500 / (1 + 8%)3 = M$1.288,55 Cálculos del Valor Temporal del Dinero Elementos: o VP = Valor presente (valor antes de los efectos de interés o descuento). o VF = Valor futuro (valor después de los efectos de interés o descuento). o r = Tasa de interés o de descuento. o n = Número de períodos entre el valor presente y el valor futuro. o C = Pago periódico de una anualidad (cuota). A menos que se especifique, se supone que se recibe al final de cada período. Cálculos del Valor Presente de Anualidades 𝐶 1 𝑉𝑃 = × 1− 𝑟 1+𝑟 Si aprobar este curso implica un extra de M$5.000 por año en tu sueldo hasta la jubilación, ¿cuánto estarías dispuest@ a pagar por éste? Supongamos lo siguiente: o 40 años para la jubilación. o Inflación esperada es 15% (compuesta anualmente). Cálculos del Valor Presente de Anualidades Si aprobar este curso implica un extra de M$5.000 por año en tu sueldo hasta la jubilación, ¿cuánto estarías dispuest@ a pagar por éste? Supongamos lo siguiente: o 40 años para la jubilación. o Inflación esperada es 15% (compuesta anualmente). 5.000 1 𝑉𝑃 = × 1− 0,15 1 + 0,15 VP = M$33.209 Cálculos del Valor Presente de Anualidades ¿Qué pasa si la inflación fuera sólo del 5%? Supongamos lo siguiente: o Sueldo extra por año (C) es M$5.000 o 40 años para la jubilación (n). o Inflación esperada (r) es 5% (compuesta anualmente). 5.000 1 𝑉𝑃 = × 1− 𝟎, 𝟎𝟓 1 + 𝟎, 𝟎𝟓 VP = M$85.795 Cálculos del Valor Presente de Anualidades ¿Qué pasa si planeamos jubilarnos en 30 años? Supongamos lo siguiente: o Sueldo extra por año (C) es M$5.000 o 30 años para la jubilación (n). o Inflación esperada (r) es 15% (compuesta anualmente). 5.000 1 𝑉𝑃 = × 1− 𝟑𝟎 0,15 1 + 0,15 VP = M$32.830 Valor Presente de una Anualidad Creciente En este caso, cada uno de los flujos de efectivo crecen por un factor de (1 + g), donde g es la tasa de crecimiento anual.. Similar a la fórmula de la anualidad, el VP de una anualidad creciente usa las mismas variables en adición a g: 𝐶 1+𝑔 𝑉𝑃 = × 1− 𝑟−𝑔 1+𝑟 Valor Futuro de una Anualidad Consiste en la idea de invertir todos los años la misma cantidad de dinero, para obtener un retorno en el futuro: (1 + 𝑟) −1 𝑉𝐹 = 𝐶 × 𝑟 Valor Futuro de una Anualidad Creciente Consiste en la idea de invertir cada año un monto creciente de dinero a una tasa g, para obtener un retorno en el futuro. Si r ≠ g, entonces: (1 + 𝑟) −(1 + 𝑔) 𝑉𝐹 = 𝐶 × 𝑟−𝑔 Si r = g, entonces: 𝑉𝐹 = 𝐶 × 𝑛 × (1 + 𝑟)  Ejemplo de Cálculo de VP y VF de Anualidades Mariela Polar tiene 30 años de edad y el próximo año su sueldo líquido como administradora de una empresa de servicios será de $40.000.000. Mariela ha pronosticado que su sueldo aumentará a una tasa estable de 5% por año hasta que se jubile cuando cumpla 60 años. 1. La tasa de descuento es de 8%. ¿Cuál es el VP de esos pagos de sueldo futuros? 2. Mariela ahorra 5% de su sueldo anualmente y lo invierte a una tasa de interés de 8%. ¿Cuánto tendrá ahorrado cuando cumpla 60 años? 3. Mariela planea gastar esos ahorros en montos iguales durante los siguientes 20 años a partir de su jubilación. ¿Cuánto puede gastar cada año? Respuesta 1 $40.000.000 1 + 5% 𝑉𝑃 = × 1− = $760.662.527 8% − 5% 1 + 8% Respuesta 2 (1 + 8%) −(1 + 5%) 𝑉𝐹 = $40.000.000 × 5% × = $382.714.301 8% − 5% Respuesta 3 𝐶 1 $382.714.301 = × 1− 8% (1 + 8%) $382.714.301 × 8% 𝐶= = $38.980.297 1 1− (1 + 8%) Pago Vencido y Pago Anticipado Hasta el momento hemos visto que cada uno de los flujos de caja están en periodos vencidos. ¿Qué pasa si el pago se realiza a inicio de mes? ¿Qué diferencia existirá entre un pago a inicio de mes v/s un pago a fin de mes? Pago Anticipado VP perpetuidad con pago anticipado: 𝐶 𝑉𝑃 = × (1 + 𝑟) 𝑟 VP anualidad con pago anticipado: 1 + 𝑟 − (1 + 𝑟) ( ) 𝑉𝑃 = 𝐶 × 𝑟 VF anualidad con pago anticipado: (1 + 𝑟)( ) −(1 + 𝑟) 𝑉𝐹 = 𝐶 × 𝑟 2. Tasas de Interés Tasas de Interés Hasta el momento solo hemos dicho “tasa de interés”, aunque sin apellido alguno, y esto podría ser un gran problema en la práctica. Los más grandes dolores de cabeza provienen de lo que se llama capitalización de intereses y las propiedades prácticas que podría tener. Ejemplo – Tasas de In terés ¿Cuánto tiempo te costaría triplicar una inversión inicial de USD 40.000 a una tasa de interés del 9% al año? 120.000 = 40.000 × (1 + 9%) → n = 12,75 años Ejemplo – Tasas de Interés Esto refleja el efecto composición, puesto que, si los intereses son del 9% al año, sobre USD 40.000 se obtienen USD 3.600 y si se requiere triplicar, para obtener esos USD 80.000 extra se debería mantener la inversión por 22,22 años (USD 80.000 / USD 3.600). Sin embargo, con un poco más de la mitad del tiempo se logra triplicar, gracias a la capitalización de los intereses. Cómo Calcular la Tasa de Interés 𝑉𝐹 𝑟= −1 𝑉𝑃 Diferentes Períodos de Capitalización Hasta el momento, hemos hecho capitalización anual. ¿Qué pasa con la capitalización semestral? (bonos) o Se divide la tasa anual (r) por 2 y se multiplican los años (n) por 2. ¿Cuál es el VP de un instrumento de ahorro de M$1.000 a 5 años al 12%... o ¿Capitalización anual?  VP = 1.000 / (1 + 12%)5 = M$567 o ¿Capitalización semestral?  VP = 1.000 / (1 + 6%)10 = M$558 o ¿Capitalización mensual?  VP = 1.000 / (1 + 1%)60 = M$550 o ¿Capitalización diaria?  VP = 1.000 / (1 + 0,033%)1.825 = M$549 Tipos de Tasas de Interés Tasa de interés nominal: la tasa de interés expresada en términos anuales. Tasa de interés efectiva: la tasa de interés que refleja el efecto del interés compuesto. Tasa de interés anual equivalente: la tasa de interés que refleja el efecto del interés compuesto en un año. Tasa Anual Equivalente (TAE) La tasa anual equivalente representa la rentabilidad que se conseguiría en un periodo determinado si es que se reinvirtieran a dicha tasa efectiva todos los flujos de caja obtenidos en los periodos intermedios. Equivalencia de Tasas La tasa de interés compuesta anual equivalente a una capitalización m veces al año, para una tasa nominal r, es: 𝑟 𝑇𝐴𝐸 = 1 + −1 𝑚 Equivalencia de Tasas A medida que el período de composición es más pequeño, más alta se hará la tasa efectiva anual equivalente, puesto que se generarán más intereses sobre intereses, hasta que en el límite se obtiene una tasa compuesta continuamente. En capitalización continua (e=2,718): 𝑇𝐴𝐸 = 𝑒 − 1 Equivalencia de Tasas 𝑇𝑎𝑠𝑎 𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑆𝑢𝑏𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 = (1 + 𝑇𝑎𝑠𝑎 𝐸𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 𝐴𝑛𝑢𝑎𝑙)( ) −1 Ejemplo de Tasa de Interés Anual Equivalente Supongamos que la tasa de interés nominal es del 12% anual, aunque los pagos se hacen semestralmente. La tasa de interés anual equivalente sería: 12% 𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 = 1 + − 1 = 12,36% 2  Ejemplo de Tasa Compuesta Continuamente La tasa de interés capitalizable continuamente es de 12%: 1. Hemos invertido $1.000 a esa tasa. ¿Cuánto vale la inversión después de cinco años? 2. ¿Cuál es el VP de $5 millones a recibir dentro de ocho años? 3. ¿Cuál es el VP de una serie continua de flujos de efectivo, que alcanza $2.000 anuales, comenzando inmediatamente y con una duración de 15 años? Respuesta 1 𝑉𝐹 = $1.000 × 𝑒 = $1.000 × 𝑒 %× = $1.822 Respuesta 2 $5.000.000 %× 𝑉𝑃 = = $5.000.000 × 𝑒 = $5.000.000 × 𝑒 = $1.914.464 𝑒 Respuesta 3 𝐶 $2.000 %× 𝑉𝑃 = × 1−𝑒 = × 1−𝑒 = $13.912 𝑟 12% ¿Y la Inflación? Chile cuenta con dos monedas: Pesos (CLP). Unidad de Fomento (UF) → Equivalencia en Pesos. Inflación y Tasas de Interés Nominales 1+𝑟 = (1 + 𝑟 ) × (1 + 𝑖𝑛𝑓𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛)  Ejemplo de Interés Real Para que los inversionistas ganen un 3% de interés real, indicar qué interés nominal deben ganar si la tasa de inflación anual es de: 1. 0% 2. 4% 3. 6% Respuesta 1 1+𝑟 = 1 + 3% × 1 + 0% 𝑟 = 1,03 − 1 = 3% Respuesta 2 1+𝑟 = 1 + 3% × 1 + 4% 𝑟 = 1,0712 − 1 = 7,12% Respuesta 3 1+𝑟 = 1 + 3% × 1 + 6% 𝑟 = 1,0918 − 1 = 9,18% 3. Créditos Créditos Aunque en estricto rigor los créditos representan instrumentos de renta fija y eso lo veremos más adelante, éstos son una aplicación interesante de matemáticas financieras. Consideremos que queremos saber cuánto será la cuota de un préstamo de USD 500.000 en 40 cuotas iguales al mes, a un interés del 15% nominal anual. Créditos Luego, es claro ver que 40 cuotas de USD 15.961 representan harto más que los USD 500.000 solicitados como préstamo originalmente, por lo tanto, sería interesante preguntarse: ¿cuánto de esta cuota corresponde al pago de intereses (costo de oportunidad) y cuánto realmente devuelve el préstamo (amortización)? La herramienta que nos permitirá analizar el comportamiento de todos los flujos de caja (iguales o no) es la tabla de desarrollo, también conocida como matriz de desarrollo o tabla de amortización. Créditos La tabla de desarrollo contiene los siguientes elementos: Saldo insoluto inicial: correspondiente al monto adeudado al inicio de cada periodo. Intereses: que es el monto devengado en cada periodo, resultante de multiplicar el saldo insoluto inicial por la tasa de interés efectiva del periodo. Cuota o cupón para los bonos: que representa el monto (conocido o desconocido) a pagar y debe ser la suma de los intereses devengados y la amortización del periodo. Amortización: que representa la parte del préstamo (principal o capital) que se devuelve (o capitaliza si no se paga) en cada periodo. Saldo insoluto final: que constituye el capital adeudado al final del periodo y será exactamente igual al saldo insoluto inicial del próximo periodo. Amortización de una Hipoteca El 1°/ene/2010, KP recibe un crédito hipotecario de M$10.000 por un plazo de tres años. El banco cobra un interés anual de 5,0% por la hipoteca. El pago requerido es M$3.672 por año. Cálculo del VP para obtener el pago: 10.000 = × 1− 𝟑 , , C = M$3.672 Pago = M$(3.672) Principal Interés Amortización Principal Saldo Inic. (Saldo Inic. × (3.672 – Saldo Final 5%) Interés) 31/12/2010 10.000 (500) (3.172) 6.828 Amortización de una Hipoteca El 1°/ene/2010, KP recibe un crédito hipotecario de M$10.000 por un plazo de tres años. El banco cobra un interés anual de 5,0% por la hipoteca. El pago requerido es M$3.672 por año. Cálculo del VP para obtener el pago: 10.000 = × 1− 𝟑 , , C = M$3.672 Pago = M$(3.672) Principal Interés Amortización Principal Saldo Inic. (Saldo Inic. × (3.672 – Saldo Final 5%) Interés) 31/12/2010 10.000 (500) (3.172) 6.828 31/12/2011 6.828 (341) (3.331) 3.497 Amortización de una Hipoteca El 1°/ene/2010, KP recibe un crédito hipotecario de M$10.000 por un plazo de tres años. El banco cobra un interés anual de 5,0% por la hipoteca. El pago requerido es M$3.672 por año. Cálculo del VP para obtener el pago: 10.000 = × 1− 𝟑 , , C = M$3.672 Pago = M$(3.672) Principal Interés Amortización Principal Saldo Inic. (Saldo Inic. × (3.672 – Saldo Final 5%) Interés) 31/12/2010 10.000 (500) (3.172) 6.828 31/12/2011 6.828 (341) (3.331) 3.497 31/12/2012 3.497 (175) (3.497) 0 ¿Qué Hemos Aprendido? Conceptos clave: ◦ Cálculo del Valor Presente (VP). ◦ Tipos de tasas de interés. ◦ Tabla de amortización de un crédito. Importancia del cálculo del VP en la toma de decisiones financieras: ◦ Permite comparar flujos de caja futuros con flujos de caja presentes. ◦ Ayuda a tomar decisiones informadas sobre inversiones y financiamiento. ◦ Es fundamental en la evaluación de proyectos y en la gestión de riesgos.