Podcast
Questions and Answers
Wat is de reekssom van de harmonische wisselreeks?
Wat is de reekssom van de harmonische wisselreeks?
De machtreeks begint altijd bij n=1.
De machtreeks begint altijd bij n=1.
False
Wat is een bijzonder geval van machtreeksen?
Wat is een bijzonder geval van machtreeksen?
machtreeks
De reeks van functies is gegeven door de som van ___ van functies.
De reeks van functies is gegeven door de som van ___ van functies.
Signup and view all the answers
Koppel de reeksen aan hun kenmerk:
Koppel de reeksen aan hun kenmerk:
Signup and view all the answers
Wat is de tweede term van de Fibonacci-reeks?
Wat is de tweede term van de Fibonacci-reeks?
Signup and view all the answers
Een rekenkundige rij met een positieve veelvoud is altijd convergent.
Een rekenkundige rij met een positieve veelvoud is altijd convergent.
Signup and view all the answers
Geef de eerste drie termen van de Recamán-reeks.
Geef de eerste drie termen van de Recamán-reeks.
Signup and view all the answers
Elke meetkundige rij met |q| > 1 is ________.
Elke meetkundige rij met |q| > 1 is ________.
Signup and view all the answers
Koppel de reeks aan hun type:
Koppel de reeks aan hun type:
Signup and view all the answers
Wat beschrijft de convergentieverzameling van een machtreeks?
Wat beschrijft de convergentieverzameling van een machtreeks?
Signup and view all the answers
De convergentiestraal kan altijd een negatieve waarde zijn.
De convergentiestraal kan altijd een negatieve waarde zijn.
Signup and view all the answers
Welke formule gebruik je om de convergentiestraal R te berekenen?
Welke formule gebruik je om de convergentiestraal R te berekenen?
Signup and view all the answers
De verzameling van x-waarden waarvoor de machtreeks convergeert bevat altijd _____.
De verzameling van x-waarden waarvoor de machtreeks convergeert bevat altijd _____.
Signup and view all the answers
Koppel de mogelijkheden van convergentie van machtreeksen aan hun beschrijvingen.
Koppel de mogelijkheden van convergentie van machtreeksen aan hun beschrijvingen.
Signup and view all the answers
Wat is de waarde van de convergentiestraal R voor de reeks $\sum_{n=0}^{+\infty} n!(x-1)^n$?
Wat is de waarde van de convergentiestraal R voor de reeks $\sum_{n=0}^{+\infty} n!(x-1)^n$?
Signup and view all the answers
Een machtreeks kan alleen op één punt convergeren.
Een machtreeks kan alleen op één punt convergeren.
Signup and view all the answers
Noem een situatie waarin de convergentiestraal gelijk is aan +∞.
Noem een situatie waarin de convergentiestraal gelijk is aan +∞.
Signup and view all the answers
Wat is een noodzakelijke voorwaarde voor convergentie van de rij $ ext{a}_n$?
Wat is een noodzakelijke voorwaarde voor convergentie van de rij $ ext{a}_n$?
Signup and view all the answers
De harmonische reeks $ ext{H} = rac{1}{1} + rac{1}{2} + rac{1}{3} + rac{1}{4} + ...$ is convergent.
De harmonische reeks $ ext{H} = rac{1}{1} + rac{1}{2} + rac{1}{3} + rac{1}{4} + ...$ is convergent.
Signup and view all the answers
Wie heeft het oudste bewijs voor de divergentie van de harmonische reeks geleverd?
Wie heeft het oudste bewijs voor de divergentie van de harmonische reeks geleverd?
Signup and view all the answers
Wat is de algemene term voor de rij die begint met $u_1 = 2$ en $u_{n+1} = 2 + u_n$?
Wat is de algemene term voor de rij die begint met $u_1 = 2$ en $u_{n+1} = 2 + u_n$?
Signup and view all the answers
Een divergente reeks is een reeks die een eindige som heeft.
Een divergente reeks is een reeks die een eindige som heeft.
Signup and view all the answers
De hyperharmonische reeks $ ext{H}_p = rac{1}{n^p}$ is convergent voor $p$ = ___.
De hyperharmonische reeks $ ext{H}_p = rac{1}{n^p}$ is convergent voor $p$ = ___.
Signup and view all the answers
Koppel de volgende reeksen aan hun convergentie of divergentie:
Koppel de volgende reeksen aan hun convergentie of divergentie:
Signup and view all the answers
Wat is de voorwaarde voor een meetkundige reeks om convergent te zijn?
Wat is de voorwaarde voor een meetkundige reeks om convergent te zijn?
Signup and view all the answers
De som van een harmonische reeks kan worden weergegeven als $1 + rac{1}{2} + rac{1}{3} + ... + rac{1}{n}$. Deze reeks is ____.
De som van een harmonische reeks kan worden weergegeven als $1 + rac{1}{2} + rac{1}{3} + ... + rac{1}{n}$. Deze reeks is ____.
Signup and view all the answers
Wat is de conclusie van de integraaltest?
Wat is de conclusie van de integraaltest?
Signup and view all the answers
Als $ ext{lim}_{n o +
eich} ext{a}_n
eq 0$, dan is de reeks $ extstyle ext{a}_n$ altijd divergent.
Als $ ext{lim}_{n o + eich} ext{a}_n eq 0$, dan is de reeks $ extstyle ext{a}_n$ altijd divergent.
Signup and view all the answers
Koppel de volgende reeksen aan hun type:
Koppel de volgende reeksen aan hun type:
Signup and view all the answers
Wat is de som van een convergente reeks met een meetkundige rij waar $a = 2$ en $q = rac{1}{2}$?
Wat is de som van een convergente reeks met een meetkundige rij waar $a = 2$ en $q = rac{1}{2}$?
Signup and view all the answers
Wat is de waarde van de oneigenlijke integraal voor de harmonische reeks?
Wat is de waarde van de oneigenlijke integraal voor de harmonische reeks?
Signup and view all the answers
De rij van partieelsommen van een convergente reek is altijd divergent.
De rij van partieelsommen van een convergente reek is altijd divergent.
Signup and view all the answers
Wat is de limiet van de termen in een convergente rij als $n$ naar oneindig gaat?
Wat is de limiet van de termen in een convergente rij als $n$ naar oneindig gaat?
Signup and view all the answers
Wat is een getallenrij?
Wat is een getallenrij?
Signup and view all the answers
Een harmonische rij bestaat uit de omgekeerde waarden van de natuurlijke getallen.
Een harmonische rij bestaat uit de omgekeerde waarden van de natuurlijke getallen.
Signup and view all the answers
Wat is de algemene term van een getallenrij aangeduid als un?
Wat is de algemene term van een getallenrij aangeduid als un?
Signup and view all the answers
De rij van even natuurlijke getallen kan worden voorgesteld als $u_n = f(n) = 2n$ en de getallen zijn $______$.
De rij van even natuurlijke getallen kan worden voorgesteld als $u_n = f(n) = 2n$ en de getallen zijn $______$.
Signup and view all the answers
Match de volgende soorten rijen met hun kenmerken:
Match de volgende soorten rijen met hun kenmerken:
Signup and view all the answers
Welke formule komt overeen met een rekeneaardige rij?
Welke formule komt overeen met een rekeneaardige rij?
Signup and view all the answers
Eugène Catalan is de persoon die geassocieerd wordt met de rij van Catalan.
Eugène Catalan is de persoon die geassocieerd wordt met de rij van Catalan.
Signup and view all the answers
Wat is de vorm van de recursievergelijking voor een getallenrij die vermenigvuldigend is?
Wat is de vorm van de recursievergelijking voor een getallenrij die vermenigvuldigend is?
Signup and view all the answers
Study Notes
Getallenreeksen en Machtreeksen
- Wiskundige basistechnieken, Calculus.
- Docent: Prof. Dr. Dirk Keppens
- Cursus: Bachelor 1 Industriële Ingenieurswetenschappen
- Universiteit: KU Leuven, FIIW, Technologiecampus Gent
Overzicht
- Getallenrijen (10.2): Reëelwaardige functies met natuurlijke getallen als domein (zonder nul).
- Getallenreeksen (10.3): Optelling van oneindig veel termen met een rij van partieelsommen.
- Machtreeksen (10.4): Reeks van functies, waarbij elke term een functie of machtfunctie is.
- Begrippen zoals convergentie, divergentie, meetkundige en harmonische reeksen zijn cruciaal voor het begrip van deze onderwerpen.
Getallenrijen (Details)
- Definitie: Getallenrij = reëelwaardige functie met natuurlijke getallen als domein.
- Notatie: f(1), f(2), ..., f(n), ... of kortweg (un)n∈ℕ0 met algemene term un.
- Bepaald door: Functievoorschrift of recursievergelijking.
-
Voorbeelden van bepaling via functievoorschrift:
- Rij even natuurlijke getallen: un = 2n
- Rij omgekeerden natuurlijke getallen (harmonische rij): un = 1/n
-
Voorbeelden van bepaling via recursievergelijking:
- Rij van Fibonacci: un = un-1 + un-2 met u1 = 1 en u2 = 1 (voorbeeld van recursievergelijking)
- Rij van Recamán.
-
Convergentie/divergentie:
- Convergentie: limn→∞ un = L ∈ℝ. De rij (un) is convergent.
- Divergentie : limn→∞ un bestaat niet. De rij (un) is divergent.
- Voorbeeld: Elke rekenkundige rij met v ≠ 0 is divergent.
- Voorbeeld: Elke meetkundige rij met |q| < 1 is convergent, anders divergent.
- Rij van Fibonacci: Kan een convergente verhouding hebben (gulden snede).
- Gulden snede: Verhouding ≈ 1,618.
Getallenreeksen (Details)
- Definitie: Optelling van oneindig veel termen (met partiële sommen).
-
Convergentie/Divergentie:
- Convergentie: limn→∞ Sn = S ∈ℝ. De reeks ∑un is convergent.
- Divergentie: limn→∞ Sn bestaat niet. De reeks ∑un is divergent.
-
Meetkundige reeksen:
- Convergent als |q| < 1, reeks som = a/(1−q).
- Divergent als |q| ≥ 1 of oneindig reekssom.
- Harmonische reeks: ∑(1/n) is divergent.
- Hyperharmonische reeks: ∑(1/np) met p > 1 convergent, anders divergent.
Machtreeksen (Details)
- Definitie: Reeks van functies, elke term is een machtfunctie ∑an(x – x0)n, met an als coëfficiënt en x0 als een vaste waarde.
-
Convergentie:
- Convergeert enkel voor x = x0.
- Convergeert voor alle x.
- Convergeert voor x in een interval rond x0, bepaald door convergentiestraal.
- Convergentiestraal R: Limieten van de reekscoëfficiënten om het interval te bepalen.
Extra informatie (Kenmerk van Leibniz voor wisselreeksen)
- Condititie voor convergentie: Als de rij |un| dalend is en limiet → 0 (vanaf een zekere n) dan is de wisselreeks convergent.
Algemene Informatie
- Er worden belangrijke bewijstechnieken (zoals de integraaltest, ratiokenmerk van d'Alembert, en de term van Leibniz) beschreven, die gebruikt kunnen worden om de convergentie of divergentie van reeksen aan te tonen.
- Geschiedenis figuren zoals Nicole d'Oresme, Pietro Mengoli en Leonhard Euler worden genoemd.
Studying That Suits You
Use AI to generate personalized quizzes and flashcards to suit your learning preferences.
Related Documents
Description
Dit quiz behandelt getallenreeksen en machtreeksen zoals besproken in de eerste bacheloropleiding Industriële Ingenieurswetenschappen aan de KU Leuven. Belangrijke concepten zoals convergentie en divergentie komen aan bod, evenals de definities en notaties van getallenrijen. Test uw kennis en begrip van deze wiskundige basisconcepten.
