Getallenreeksen en Machtreeksen - Bachelor 1

Een reeks getallen waarbij elk getal met dezelfde constante factor (de reden/ratio) wordt vermenigvuldigd om het volgende getal te verkrijgen.

Een reeks getallen waarbij elk getal wordt verkregen door het verschil tussen de twee voorgaande getallen op te tellen.

Een reeks getallen die geen vaste formule heeft, maar wordt gedefinieerd door een specifieke regel.

Een reeks getallen die oneindig klein wordt naarmate het aantal termen toeneemt.

Een reeks getallen die oneindig groot wordt naarmate het aantal termen toeneemt.

Een reeks waarbij de termen afwisselend positief en negatief zijn.

Een kenmerk dat aangeeft of een wisselreeks convergeert of divergeert. De termen van de reeks moeten afnemen in absolute waarde en de limiet van de termen moet naar 0 gaan.

Een reeks waarbij elke term een functie is van x. De reeks kan worden geschreven als een sommatie van functie-termen.

Een bijzonder geval van een reeks van functies waarbij elke term een machtfunctie is van x.

Een term in een machtreeks is een machtsfunctie die de vorm (x - x0)^n heeft, waarbij x0 een vast punt is en n een geheel getal is.

Een getallenrij is een reëelwaardige functie waar het domein de verzameling van natuurlijke getallen (zonder nul) is.

De algemene term van een getallenrij is het voorschrift dat aangeeft hoe de n-de term van de rij wordt berekend.

Een getallenrij kan worden bepaald door een functievoorschrift. Dit voorschrift geeft een formule die de n-de term van de rij berekent.

Een rekenkundige rij is een getallenrij waar het verschil tussen twee opeenvolgende termen constant is. Dit verschil wordt de 'reden' van de rij genoemd.

De harmonische rij is een getallenrij waar de algemene term de omgekeerde waarde is van het natuurlijke getal n.

Een recursievergelijking is een vergelijking die de n-de term van een getallenrij relateert aan de voorgaande term(en) van de rij.

De rij van Catalan genaamd is een specifieke getallenrij die voorkomt in combinatorische problemen.

De rij van Catalan telt het aantal manieren waarop n+1 factoren binnen haakjes kunnen worden gezet.

Een getallenreeks is een optelling van oneindig veel termen. De algemene term (un) van de reeks geeft aan hoe de termen in de reeks zijn opgebouwd.

Een rij van partieelsommen (sn) is een reeks die de sommen van de eerste n termen van de oorspronkelijke reeks weergeeft.

Een convergente reeks heeft een eindige som, terwijl een divergente reeks een oneindige som heeft.

De limiet van de rij van partieelsommen (sn) bepaalt of de reeks convergeert. Als de limiet bestaat, is de reeks convergent.

Een meetkundige reeks is een reeks waarbij elke term het product is van de vorige term en een constante factor (q).

Een meetkundige reeks convergeert als de absolute waarde van de constante factor (q) kleiner is dan 1. De reekssom is dan a/(1-q).

De harmonische reeks is een reeks waarbij de termen de reciproke waarden zijn van de natuurlijke getallen.

De harmonische reeks divergeert, wat betekent dat de som oneindig groot wordt.

Een reeks die naar oneindig convergeert. Dit betekent dat de som van de termen in de reeks oneindig groot wordt.

Een reeks die naar een eindige waarde convergeert. Dit betekent dat de som van de termen in de reeks eindig is.

Een voorwaarde die moet worden vervuld voor een reeks om te kunnen convergeren. Als de limiet van de algemene term van de reeks niet gelijk is aan nul, zal de reeks divergeren.

Een test die gebruikt wordt om te bepalen of een reeks convergeert. De test vergelijkt de reeks met een oneigenlijke integraal. Als de integraal convergeert, zal de reeks ook convergeren.

Een type reeks waar de algemene term de reciproke waarde is van een macht van n. Voorbeeld: 1/n, 1/n^2

Een reeks waarvan de algemene term gelijk is aan 1/n. Deze reeks is divergent, wat betekent dat de som van de termen in de reeks oneindig groot wordt.

Een test die gebruikt wordt om te bepalen of een reeks convergeert door de ratio van twee opeenvolgende termen te bekijken. Als de ratio kleiner is dan 1, zal de reeks convergeren. Als de ratio groter is dan 1, zal de reeks divergeren.

Een specifiek voorbeeld van de hyperharmonische reeks, waar p gelijk is aan 2. Deze reeks convergeert naar een bekende waarde.

Een machtreeks is een oneindige som van termen die allemaal de vorm hebben van een constante vermenigvuldigd met een macht van (x - x0). De variabele x0 is een vast getal.

De convergentieverzameling is de verzameling van alle waarden van x waarvoor de machtreeks convergeert, oftewel waarvoor de som van de reeks een eindige waarde heeft.

De convergentiestraal is de afstand van het middelpunt x0 tot de grens van de convergentieverzameling. Deze straal bepaalt het interval waarvoor de machtreeks convergeert.

De convergentiestraal kan berekend worden door de limiet te nemen van de absolute waarde van de ratio van opeenvolgende coëfficiënten. De formule hiervoor is: R = lim (n→∞) |an / an+1|.

Als de limiet van de absolute waarde van de ratio van opeenvolgende coëfficiënten gelijk is aan 0 (R = 0), dan convergeert de machtreeks enkel voor x = x0. Als de limiet gelijk is aan oneindig (R = +∞), dan convergeert de machtreeks voor alle waarden van x. Als de limiet een positief getal is (R > 0), dan convergeert de machtreeks voor alle x in het interval ]x0 - R, x0 + R[.

Als R = 0, dan convergeert de machtreeks alleen voor x = x0. Dit betekent dat de reeks alleen convergeert voor het middelpunt van het interval.

Als R = +∞, dan convergeert de machtreeks voor alle waarden van x. Dit betekent dat de reeks convergeert op het hele reële getallenlijn.

Als R is een positief getal, dan convergeert de machtreeks voor alle x in het interval ]x0 - R, x0 + R[. Dit betekent dat de reeks convergeert binnen een bepaald interval rond het middelpunt x0.