Physique 2: Polycopié de Cours, Science et Technologie PDF

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE UNIVERSITE DES SCIENCES ET DE LA TECHNOLOGIED’ORAN MOHAMED BOUDIAF FACULTE DE GENIE ELECTRIQUE Polycopié de Cours PHYSIQUE 2 Présenté par : Mr Abdeladim Mustapha Ce cours est destiné aux étudiants 1ère ANNEE SOCLE COMMUN Domaine Science et Technologie Année Universitaire 2015/2016 `Ìi`ÊÜÌ ÊvÝÊ* Ê `ÌÀÊ ÊvÀiiÊvÀÊViÀV>ÊÕÃi° /ÊÀiÛiÊÌ ÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV° Ì Table des matières Avant-propos...................................................................................................... 1 Chapitre I : Rappels mathématiques............................................................. 2 1) Introduction....................................................................................................... 3 2) Système de coordonnées................................................................................. 3 2-1) Base et cordonnées cartésiennes................................................................................... 3 2-2) Base et cordonnées cylindriques.................................................................................... 4 2-3) Base et cordonnées sphériques...................................................................................... 5 Chapitre II : Electrostatique............................................................................ 9 1) Charges électriques élémentaires.........................................................................................10 2) Expérience d’électrisation...............................................................................10 3) Loi de Coulomb.................................................................................................. 12 4) Principe de superposition.................................................................................. 13 5) Champ électrostatique...................................................................................... 14 5-1) Champ crée par une charge ponctuelle......................................................................... 15 5-2) Champ Electrique crée par un ensemble de charges ponctuelles.................................15 5-3) Champ électrique crée par une distribution continue de charges.................................16 5-4) Lignes de champ............................................................................................ 17 6) Potentiel électrostatique................................................................................... 17 6-1) Circulation du champ électrique d’une charge ponctuelle..................................... 17 6-2)Potentiel électrique................................................................................................. 18 6-3) Le potentiel électrique produit par une charge ponctuelle........................................ 19 6-4) Potentiel crée par plusieurs charges ponctuelles distinctes...................................... 20 `Ìi`ÊÜÌ ÊvÝÊ* Ê `ÌÀÊ ÊvÀiiÊvÀÊViÀV>ÊÕÃi° /ÊÀiÛiÊÌ ÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV° Ì 6-5) Potentiel électrique crée par une distribution continue de la charge....................20 7) Energie électrostatique...................................................................................................24 7-1) Définition................................................................................................................24 7-2) Energie d'un système de charges ponctuelles........................................................25 7-3) Energie d'un distribution continue de charges.......................................................25 8) Dipôle électrique............................................................................................... 25 8.1) Définition.................................................................................................................25 8.2) Potentiel électrique produit par un dipôle électrique...............................................26 8.3) Champ électrique produit par un dipôle électrique..................................................27 8.4) Energie du dipôle......................................................................................... 28 9) Flux du champ électrique.................................................................................. 29 10) Théorème de Gauss........................................................................................ 29 11) Conducteur en équilibre................................................................................. 32 11-1) Définition............................................................................................................... 32 11-2) Propriété d’un conducteur en équilibre.................................................................32 11-3) Pression électrostatique...........................................................................................33 11-4) Capacité d’un conducteur........................................................................................33 11-5) Phénomènes d’influence.........................................................................................35 12) Condensateurs................................................................................................ 36 12-1) Définition...............................................................................................................36 12-2) Capacité d’un condensateur.....................................................................................37 12-3) Groupement de condensateurs...............................................................................40 12-4) Energie emmagasinée dans un condensateur............................................................41 CHAPITRE II Electrocinétique.......................................................................... 43 `Ìi`ÊÜÌ ÊvÝÊ* Ê `ÌÀÊ ÊvÀiiÊvÀÊViÀV>ÊÕÃi° /ÊÀiÛiÊÌ ÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV° Ì 1) Conducteur électrique...................................................................................... 44 2) Courant électrique............................................................................................. 44 2-1) Définition............................................................................................................... 44 2-2) Intensité du courant électrique.............................................................................44 2-3) Densité de courant................................................................................................... 45 3) Loi d’Ohm.......................................................................................................... 45 4) Effet Joule.......................................................................................................... 46 5)Groupement de résistances............................................................................... 46 5-1) Groupement en série............................................................................................... 46 5-2) Groupement en parallèle............................................................................. 47 6) Les circuits électriques.................................................................................... 47 7) Lois de Kirchhoff.............................................................................................. 50 7-1) Première loi (loi des nœuds)........................................................................ 50 7-2) Deuxième loi (loi des mailles)......................................................................................... 50 CHAPITRE III Electromagnétisme................................................................. 54 1) Introduction....................................................................................................... 55 2) Définition d’un champ magnétique.................................................................................... 55 3) Force de Lorentz................................................................................................ 56 4) Loi de Laplace................................................................................................... 56 4-1) Expression mathématique du module de la force de Laplace.................................................... 56 4-2) Caractéristique de la force de Laplace....................................................................................... 57 5)Loi de Faraday.................................................................................................... 57 5-1) Description de l’expérience.................................................................................................. 58 `Ìi`ÊÜÌ ÊvÝÊ* Ê `ÌÀÊ ÊvÀiiÊvÀÊViÀV>ÊÕÃi° /ÊÀiÛiÊÌ ÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV° Ì 5-2) Interprétation................................................................................................ 58 5-3) Enoncé de la loi de Faraday-Henry...................................................................................... 58 6) Loi de Biot et Savart........................................................................................ 59 6-1) Enoncé de la loi.................................................................................................................... 59 6-2) Application de la loi de Biot et Savart pour le cas d’un fil conducteur rectiligne infiniment long.................................................................................................................................59 7) Dipôle magnétique.......................................................................................... 61 7-1) Le couple électromagnétique.......................................................................................... 61 7-2) Le moment magnétique................................................................................................... 61 Bibliographie...................................................................................................... 64 `Ìi`ÊÜÌ ÊvÝÊ* Ê `ÌÀÊ ÊvÀiiÊvÀÊViÀV>ÊÕÃi° /ÊÀiÛiÊÌ ÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV° Ì Avant-Propos Ce polycopié a été destiné aux étudiants inscrit en première année système LMD, sciences et technologie, deuxième semestre de l'année universitaire. Le contenu de ce polycopié, correspond au programme officiel de la matière enseigné en première année, socle commun, de domaine sciences et technologies. Il a été rédigé dans le but de permettre d'avoir un outil de travail et de référence recouvrant les connaissances qui leur sont demandés. Le manuscrit contient avec les rappels mathématiques au début, trois chapitres: - L'électrostatique - L'électrocinétique - L'électromagnétisme Afin de permettre à l'étudiant d'assimiler le cours, nous avons traité plusieurs exemples d'application. Bien que l'élaboration de ce manuscrit ait été faite avec le plus grand soin, le contrôle que nous avons pu faire de notre travail n'est pas absolu, et il serait étonnant qu'il ne subsiste pas d'erreurs. Aussi sommes-nous reconnaissant d'avance à nos lecteurs des remarques qu'ils voudront bien nous faire. Abdeladim Mustapha Page 1 `Ìi`ÊÜÌ ÊvÝÊ* Ê `ÌÀÊ ÊvÀiiÊvÀÊViÀV>ÊÕÃi° /ÊÀiÛiÊÌ ÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV° Ì Chapitre I RAPPELS MATHEMATIQUES `Ìi`ÊÜÌ ÊvÝÊ* Ê `ÌÀÊ ÊvÀiiÊvÀÊViÀV>ÊÕÃi° /ÊÀiÛiÊÌ ÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV° Ì Chapitre I Rappels Mathématiques 1- Introduction : La méthode de calcul des intégrales linéiques, surfaciques ou volumique dépend du système de coordonnés employées. Le système le plus général est celui des coordonnées cartésiennes (x,y,z) mais on verra que suivant les symétries du système on aura intérêt à employer d’autres systèmes de coordonnées comme les cylindriques ou les sphériques. 2- Système de coordonnées : En électrostatique par exemple avant d’étudier le champ créé par une charge, il faut indiquer par rapport à quel repère ou système de coordonnées. Dans ce paragraphe nous allons exposer les différents systèmes de coordonnées ainsi que leurs bases, c'est-à-dire l’ensemble des trois vecteurs sur lesquels on développe les vecteurs et on va donner les expressions du vecteur de déplacement infinitésimal, surface et volume élémentaires. 2-1)Base et coordonnées cartésiennes : Un repère cartésien est défini par un point origine O et trois axes (Ox, Oy, Oz) perpendiculaires entre eux (voir figure 1). Les vecteurs unitaires portés par les axes sont :횤⃑,횥⃑,푘 ⃑ Chaque point M de l’espace est repéré par les trois composantes du vecteur푟⃑ joignant O à M (voir figure I.1) : 푂푀= 푥횤⃑ + y 횥⃑ + z 푘 ⃑ 푅 ⃑ = ⃑ Déplacement (différentielle) en coordonnées cartésiennes : La différentielle du déplacement se trouve facilement à partir de sa définition : ⃑ = d푙⃑ = 푑푥횤⃑ + dy횥⃑ + dz 푘 ⃑ d 푂푀 Le volume élémentaire est défini par un déplacement élémentaire : dV = dx.dy.dz La surface élémentaire : dS = dx2+ dy2 + dz2 Figure I.1: Base cartésienne (a) Vecteur position et (b) déplacement et volume élémentaires Abdeladim Mustapha Page 3 `Ìi`ÊÜÌ ÊvÝÊ* Ê `ÌÀÊ ÊvÀiiÊvÀÊViÀV>ÊÕÃi° /ÊÀiÛiÊÌ ÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV° Ì Chapitre I Rappels Mathématiques 2-2) Base et coordonnées cylindriques : La base cylindrique (푢휌 ⃑,푘 ⃑ ) s’obtient par rotation de 횤⃑,횥⃑,푘 ⃑ d’un angle ѳ autour d e l’axe Oz. ⃑ ,푢ѳ (figure I.2). Figure I.2: Base cylindrique Remarque : Il faut noter aussi qu’on peut écrire : ⃑ = cos ѳ 횤⃑ + sin ѳ횥⃑ et dérivons ce vecteur par rapport à ѳ 푢휌 ⃑ on obtient : = -sin ѳ 횤⃑+ cos ѳ 횥⃑ , sachant que cos (ѳ + π/2)= - sin ѳ et sin(ѳ + π/2) = cos ѳ alors, ⃑ peut être obtenu par une rotation de 푢휌 ⃑d’un angle de π/2 et on peut écrire: ⃑ =푢ѳ ⃑. Le vecteur position ⃑ 푂푀 ⃑ s’écrit : 푂푀 = ρ푢휌 ⃑ + z푘 ⃑= (x횤⃑ +y횥⃑) +z푘 ⃑ Où x et y sont les coordonnées cartésiennes du point M dans le plan oxy données par : X = ρ cos ѳ, y = ρ sin ѳ et z=z 푂푀 = d푙⃑ =dρ푢휌 L’expression du déplacement élémentaire est : d ⃑ ⃑ + dz 푘 ⃑ ⃑ + ρdѳ푢ѳ L’expression de la surface élémentaire est : ds = ρ dρdѳ Abdeladim Mustapha Page 4 `Ìi`ÊÜÌ ÊvÝÊ* Ê `ÌÀÊ ÊvÀiiÊvÀÊViÀV>ÊÕÃi° /ÊÀiÛiÊÌ ÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV° Ì Chapitre I Rappels Mathématiques L’expression du volume élémentaire est : dV = ρ dρdѳ dz (figure I.3) Figure I.3: coordonnées cylindriques 2-3) Base et coordonnées sphériques : Les trois vecteurs (푢푟 ⃑, 푢휑 ⃑) formant la base sphérique peuvent être obtenus par une rotation de ⃑,푢ѳ (횤⃑,횥⃑,푘 ⃑ ) d’un angle φ autour de Oz, suivie d’une rotation d’un angle ѳ autour de 푢휑 ⃑. Figure I.4: Base sphérique Abdeladim Mustapha Page 5 `Ìi`ÊÜÌ ÊvÝÊ* Ê `ÌÀÊ ÊvÀiiÊvÀÊViÀV>ÊÕÃi° /ÊÀiÛiÊÌ ÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV° Ì Chapitre I Rappels Mathématiques Le vecteur position du point M en coordonnées sphériques, c’est-à-dire dans la base sphérique ⃑ ⃑ = x횤⃑ + y횥⃑ + z푘 ⃑. De la figure, on peut exprimer x, y et z en fonction de r, ѳ et φ. s’écrit : 푂푀 = r.푢푟 X = Om.cos φ= r sin ѳ cos φ Y= Om.sin φ= r sin ѳ sin φ Z=OM.cos ѳ=r cos ѳ, On déduit que : 푢푟 ⃑ = sin ѳ cos φ 횤⃑ + sin ѳ sin φ 횥⃑ + cos ѳ 푘 ⃑ Le vecteur unitaire , ⃑ s’écrit , 푢휌 ⃑ sur 푂푚 푢휌 ⃑ = cos φ 횤⃑ + sin φ 횥⃑. Le vecteur,푢휑 ⃑ peut être obtenu par remplacer φ par φ+2π dans 푢휌 ⃑ ou simplement par dériver ce dernier par rapport à φ : ⃑ = -sin φ횤⃑ + cos φ 횥⃑. Ce vecteur de base peut être exprimé en fonction du dérivé de 푢푟 푢휑 ⃑ rapport à φ. ⃑ ⃑= 푢휑 Le troisième vecteur de la base sphérique est donné par : ⃑ ⃑= 푢ѳ ѳ Le déplacement élémentaire est : ⃑ ⃑ ⃑ = d (r푢푟 d푀 ⃑) = dr 푢푟 ⃑+ r d푢푟 ⃑ =dr 푢푟 ⃑ +r( dѳ + dφ)= dr푢푟 ⃑ + dφ sin ѳ푢휑 ⃑+r(dѳ푢ѳ ⃑ ) ѳ La surface élémentaire : ds = r2sin ѳ dφdѳ Le volume élémentaire : dv = r2 dr sin ѳ dφdѳ (figure I.5) Abdeladim Mustapha Page 6 `Ìi`ÊÜÌ ÊvÝÊ* Ê `ÌÀÊ ÊvÀiiÊvÀÊViÀV>ÊÕÃi° /ÊÀiÛiÊÌ ÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV° Ì Chapitre I Rappels Mathématiques Figure I.5 : volumes élémentaires en coordonnées sphériques Applications : 1. Calculer le périmètre d’un cercle C de rayon R (intégrale simple). Solution : On a dl = R dѳ d’où C = ∫ 푅푑휃= 2π R. 2. Calculer l’aire d’un disque D de rayon R (intégrale double de surface). On adS = dρ ρ dѳ d’où Solution : D = ∬ dρρ dѳ= ∫ ρ dρ ∫ dѳ=π R2 3. Calculer le volume d’un cylindre V de rayon R et de hauteur H (intégrale triple de volume). On adV = dρ ρ dѳ dz d’où Solution : V = ∭ dρρ dѳ dz = ∫ ρ dρ ∫ dѳ ∫ 푑푧= π R2 H Abdeladim Mustapha Page 7 `Ìi`ÊÜÌ ÊvÝÊ* Ê `ÌÀÊ ÊvÀiiÊvÀÊViÀV>ÊÕÃi° /ÊÀiÛiÊÌ ÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV° Ì Chapitre I Rappels Mathématiques 4. Calculer l’aire d’une demi-sphère D de rayon R (sans le disque horizontal) (intégrale double de surface). On a dS = R dѳ R sin ѳdφ d’où Solution : 휋 휋 D= ∬ R dѳ sin ѳ d휑 =R ∫0 푠푖푛ѳdѳ ∫0 푑휑= 2 π R2 5. Calculer le volume d’une sphère V de rayon R (intégrale triple de volume). On a dV= rdr r sin ѳ dφ dѳd’où Solution : V = ∭ 푟 푑푟푠푖푛ѳ푑휑푑ѳ = ∫ 푟2 dr ∫ 푠푖푛ѳdѳ ∫ 푑휑 = 2 2π = π R3. Abdeladim Mustapha Page 8 `Ìi`ÊÜÌ ÊvÝÊ* Ê `ÌÀÊ ÊvÀiiÊvÀÊViÀV>ÊÕÃi° /ÊÀiÛiÊÌ ÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV° Ì ChapitreII ELECTROSTATIQUE `Ìi`ÊÜÌ ÊvÝÊ* Ê `ÌÀÊ ÊvÀiiÊvÀÊViÀV>ÊÕÃi° /ÊÀiÛiÊÌ ÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV° Ì Chapitre II Electrostatique 1. Charges électriques élémentaires : Les propriétés électriques de la matière trouvent leur principe au niveau de l’atome. La matière est constituée d’atomes. Chaque atome est constitué d’un noyau, autour duquel gravite un nuage formé d’électrons. Ces électrons se repoussent entre eux mais restent positionnés autour du noyau. Le noyau est constitué de protons, qui portent des charges positives, et de neutrons qui sont dépourvus de charge. L’ensemble des particules qui forment le noyau s’appelle nucléons. Les électrons et les protons portent la même charge électrique en valeur absolue qu’on note par e. Cette charge électrique est appelée la charge élémentaire de la charge électrique dont la valeur est : e= 1.602.10-19 (C) (II-1) La force électrique qui s’exerce entre les protons, chargés positivement, et les électrons, chargés négativement, est responsable de la cohésion des atomes et les molécules. La charge totale des atomes non ionisés (c’est –à-dire qui n’ont ni perdu ni gagné d’électron) est nulle. Une charge électrique ne peut prendre n’importe quelle valeur. En effet chaque charge électrique est toujours un multiple entier n de la charge élémentaire : Q= ± n.e (C) (II-2) Ceci traduit le principe fondamental de la quantification de la charge électrique. 2. Expérience d’électrisation : Lorsqu’on frotte une baguette de verre avec un morceau de soie et l’on approche à de petits bouts de papier, on voit que ces bouts sont attirés par la baguette ainsi on enlève des électrons de la baguette. Première expérience : On suspend par un fil une boule faite de sureau ou de polystyrène. On approche de cette boule une tige de verre ou d’ambre préalablement frotté : les deux tiges, chacune de son coté, l’attirent, puis la repoussent juste après l’avoir contactée (figure II.1-a). Par contre, si on approche simultanément les deux tiges côte à côte de la boule, rien ne se passe (figure II.1-b) Abdeladim Mustapha 10 `Ìi`ÊÜÌ ÊvÝÊ* Ê `ÌÀÊ ÊvÀiiÊvÀÊViÀV>ÊÕÃi° /ÊÀiÛiÊÌ ÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV° Ì Chapitre II Electrostatique Figure II.1 : Expérience d'électrisation Deuxième expérience : Si deux boules de la figure II.2, ont été électrisées suite à leur contact avec la tige de verre frottée, elles se repoussent. Par contre les deux boules s’attirent si chacune d’elles a touché l’une des deux tiges qui a touché l’une des deux tiges qui a été frottée et qu’elle est de matière différente de celle de l’autre tige. Figure II.2 : Electrisation, attraction et répulsion entre des charges Ces deux expériences montrent l’existence de deux états d’électrisation correspondant à deux types de charges électriques positives et négatives. Nous rappelons la règle suivante : Deux corps qui portent une charge électrique de même signe se repoussent, et s’attirent s’ils portent deux charges électriques de signes contraires. Abdeladim Mustapha Page 11 `Ìi`ÊÜÌ ÊvÝÊ* Ê `ÌÀÊ ÊvÀiiÊvÀÊViÀV>ÊÕÃi° /ÊÀiÛiÊÌ ÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV° Ì Chapitre II Electrostatique 3) Loi de Coulomb: Considérons deux charges ponctuelles q1 et q2 placées dans le vide. La première exerce sur la seconde une force proportionnelle à sa charge q1. Réciproquement, la seconde exerce sur la première une force proportionnelle à sa charge q2. On en déduit que la force entre deux charges ponctuelles appelée force électrostatique est proportionnelle au produit de leurs charges q1 q2. qui s’exprime par : ⃑ Fe = K ⃑ 푈 (II-3) Cette expression est la loi de Coulomb. Avec r : la distance séparant les deux charges. K dans le système international est défini par la relation : K = ℇ où ℇ0 représente la permittivité du vide, dont sa valeur expérimentale : K= 8.9875 109 Nm2C-2 On utilisera souvent la valeur approchée : 9 109. ⃑ : vecteur unitaire de direction joignant la charge q1 à la charge q2, dirigé de q1 vers q2 tel que : 푈 ⃑ = ⃑ 푈 (II-4) Application : Calculer la force qu’exerce la charge q1 = 3 10-3 C sur une charge q2= - 5 10-4 C séparées par la distance 20 mm. Solution : -.. F= K = 9. 109 = 33.75 106 N Abdeladim Mustapha Page 12 `Ìi`ÊÜÌ ÊvÝÊ* Ê `ÌÀÊ ÊvÀiiÊvÀÊViÀV>ÊÕÃi° /ÊÀiÛiÊÌ ÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV° Ì Chapitre II Electrostatique 4) Principe de superposition: Considérons maintenant une charge q placée en un point M et se trouvant en présence d’autres ⃑un vecteur unitaire porté par charges qi placées en des points Mi. Soit ri la distance de Mi à M et Uı ⃑ ⃑ s’exerçant sur la MıM et dirigé de Mi vers M ; le principe de superposition permet d’écrire la forceF charge q sous la forme : 퐹⃑ = ∑ ⃑ Uı (II-5) Application: Soit une charge q3 se trouvant en présence de charges q1 et q2 suivant la figure II.3. Calculer la force résultante agissant sur q3. Avec q1= -2.5 10-3 C ; q2= 1.5 10-3C ; q3= 0.8 10-3 C r1= AC= 1.2m ; r2= BC=0.8m. Figure II.3 Figure II.4 Solution : Raisonnant à partir de la figure II.4 Puisque Avec q1 q30 est une force de répulsion. D’où : Abdeladim Mustapha Page 13 `Ìi`ÊÜÌ ÊvÝÊ* Ê `ÌÀÊ ÊvÀiiÊvÀÊViÀV>ÊÕÃi° /ÊÀiÛiÊÌ ÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV° Ì Chapitre II Electrostatique.. ⃑ 퐹 = K ⃑; F13 = 9 109. U1 → F13 = 2.5 103 N. 10-3 (1.2) (. ) ⃑ 퐹 = K ⃑; F23 = 9 109... U2 → F23 = 16.87 101 N. (. ) R = 퐹 + 퐹 → R = 2.5 103 N 5) Champ électrostatique: Par définition, on dit qu’il existe un champ électrique en un point donné de l’espace où se trouve une charge q0 si cette charge est soumise à une force ⃑ Fe telle que : ⃑ 퐸 ⃑ = (II-6) Dans le système international unité de [E] V.m-1 퐸 ⃑ est parallèle à Fe ⃑. Le sens de퐸 ⃑ dépend de signe de q0 : Si q0>0 퐸 ⃑ et ⃑ Fe même sens. Si q0ÊÕÃi° /ÊÀiÛiÊÌ ÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV° Ì Chapitre II Electrostatique ⃑ ⃑ = 퐸(푀) ⃑ =. 푈 (II-7) Q : la charge présente au point O. ⃑. q0 : une charge test placée au point M, elle subit l’action de la forceFe 5-2) Champ Electrique crée par un ensemble de charges ponctuelles : Considérons maintenant n charges qi situées aux points Pi, quel serait alors le champ électrique produit par cet ensemble de charges au point M. Comme pour les forces, le principe de superposition est aussi valable pour les champs ⃑ est la somme vectorielle de toutes les contributions dues à électriques. Le champ total 퐸(푀) chacune des charges (Figure II.5). On a donc : ⃑) = ∑ 퐸(푀 ⃑ U (II-8) Figure II.5 : Composition des champs en un point 5-3) Champ électrique crée par une distribution continue de charges : Considérons une répartition continue de charges à l’intérieur d’un certain volume, sur une surface ou suivant une droite. Abdeladim Mustapha Page 15 `Ìi`ÊÜÌ ÊvÝÊ* Ê `ÌÀÊ ÊvÀiiÊvÀÊViÀV>ÊÕÃi° /ÊÀiÛiÊÌ ÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV° Ì Chapitre II Electrostatique Cas de volume : La répartition est caractérisée en chaque point P de volume par la donnée de la densité volumique de charge ρ(P)= dq/dv où dq désigne la charge électrique contenu dans l’élément de volume dv entourant le point P. Dans le cas où la répartition de charge est uniforme, dq est ⃑ crée en un point M suffisamment petite pour être considérée comme ponctuelle, donc le champ 푑퐸 par la charge dq a pour expression : ⃑ = 푑퐸 ⃑ 푈 (II-9) ⃑ = Soit 푑퐸 ⃑ 푈 (II-10) ⃑ = ⃑ avec r= Pm et 푈 PM/r. Nous écrivons donc pour l’ensemble de la répartition : 퐸 ⃑ = ∭ ⃑ 푈 (II-11) Cas de surface : Pour une répartition surfacique de charges caractérisée par la donnée de la densité surfacique σ = dq/dS en chaque point d’une surface Σ, nous écrirons de façon analogue : 퐸 ⃑ = ∬ 푈 ⃑ (II-12) Cas d’une droite : Pour une répartition linéique de charge caractérisée en chaque point d’une courbe Ґpar la densité linéique λ = dq/dl : 퐸 ⃑= ∫ ⃑ 푈 (II-13) 5-4) Lignes de champ : Abdeladim Mustapha Page 16 `Ìi`ÊÜÌ ÊvÝÊ* Ê `ÌÀÊ ÊvÀiiÊvÀÊViÀV>ÊÕÃi° /ÊÀiÛiÊÌ ÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV° Ì Chapitre II Electrostatique Une ligne de champ électrostatique est une courbe tangente en chaque point au vecteur champ électrostatique défini en ce point. L’ensemble des lignes de champ définit une cartographie du champ. Propriétés : 1. Deux lignes de champ ne se croisent jamais en un point M sauf si le champ E est nul en M. 2. Une ligne de champ électrostatique n’est pas fermée. Elle part d’une charge q et se termine sur une charge de signe opposé. 3. Pour savoir quelle est la direction du champ en un point M d’une ligne de champ, il faut y placer une charge positive et regarder la direction et le sens de la force électrostatique qu’elle subit. Ces direction et sens sont les mêmes que celles du champ. Dans le cas d’une charge ponctuelle, les lignes de champ sont des demi-droites qui se coupent au point où se trouve la charge. Si la charge est positive, le champ est dirigé vers l’extérieur, on dit qu’il est partant, il en va de même pour les lignes de champ. Le contraire est vrai pour la charge négative, les lignes de champ convergent vers la charge, le champ dans ce cas est dirigé vers la charge ( Figure I.6). Figure II.6 Lignes de champs pour les deux types de charges séparées. 6) Potentiel électrostatique : 6-1) Circulation du champ électrique d’une charge ponctuelle : Considérons une région de l’espace où règne un champ électrique. Toute particule chargée q0 présente dans ce champ est soumise à une force électrique. 퐹⃑ = q0퐸 ⃑ Abdeladim Mustapha Page 17 `Ìi`ÊÜÌ ÊvÝÊ* Ê `ÌÀÊ ÊvÀiiÊvÀÊViÀV>ÊÕÃi° /ÊÀiÛiÊÌ ÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV° Ì Chapitre II Electrostatique Le travail élémentaire dW pour déplacer la charge q0 un déplacement élémentaire dl est : ⃑ → dW = q0퐸 ⃑. 푑푙 dW = 퐹⃑. 푑푙 ⃑ Si on veut déplacer la charge q0 suivant un chemin quelconque AB, il faut fournir un travail WAB : ⃑→ WAB = q0∫ 퐸 ⃑. 푑푙 WAB = ∫ 퐹⃑. 푑푙 ⃑ (II-14) ⃑s’appelle circulation du champ électrique sur tout le long de la courbe de L’intégrale ∫ 퐸 ⃑. 푑푙 A jusqu’à B. 6-2) Potentiel électrique : Dans l’exemple schématisé sur la figure II.7 on a : ⃑ = ∫ 퐸 ⃑. 푑푙 ∫ 퐸 ⃑. 푑푙 ⃑ = ∫ 퐸 ⃑. 푑푙 ⃑ (II-15) C1 C2 C3 Figure II.7 : Travail indépendant du chemin suivi par la charge Cela veut dire que le travail nécessaire pour déplacer la charge du point A au point B est indépendant du chemin suivi. Lorsque la circulation du champ le long de la courbe ne dépend pas du chemin suivi, mais dépend uniquement du point du départ et du point d’arrivée, on dit dans ce cas que ce champ est conservateur. On pose : dV = - ⃑ ⃑ De façon plus générale, en coordonnées 퐸. 푑푙 cartésiennes, Abdeladim Mustapha Page 18 `Ìi`ÊÜÌ ÊvÝÊ* Ê `ÌÀÊ ÊvÀiiÊvÀÊViÀV>ÊÕÃi° /ÊÀiÛiÊÌ ÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV° Ì Chapitre II Electrostatique 퐸 ⃑ (- , - , - ) (II-16) De manière plus concise, ⃑V 퐸 ⃑ = -푔푟푎푑 (II-17) V est une grandeur scalaire appelée potentiel électrique, on dit dans ce cas que le champ électrique dérive du potentiel V. L’énergie nécessaire pour déplacer q0 entre A et B est donc : WAB = - ∫ q dV = q0 V =- (VB – VA) q0 (II-18) La grandeur VB – VA est appelé tension ou différence de potentiel entre les point B et A, on la note par UAB, telle que : UAB = VB – VA = (II-19) Cela nous mène à la définition de la différence de potentiel. Définition : La différence de potentiel ( UAB = VB – VA ) est égale au travail fourni à la charge unité pour la transporter du point A au point B. 6-3) Le potentiel électrique produit par une charge ponctuelle: On a vu que le champ E produit par une charge q est radial : 퐸(푟)=. Pour obtenir le potentiel V, on calcul d’abord la circulation du champ le long d’un rayon quelconque. On a dV = - 퐸 ⃑. ⃑ 푑푟 dV =-. → V =- ∫ = + Cte (II-20) En supposant V = 0 quand r tend vers l’infini on aura la Cte = 0 volts. Abdeladim Mustapha Page 19 `Ìi`ÊÜÌ ÊvÝÊ* Ê `ÌÀÊ ÊvÀiiÊvÀÊViÀV>ÊÕÃi° /ÊÀiÛiÊÌ ÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV° Ì Chapitre II Electrostatique On obtient : V(r) = (II-21) Le potentiel est constant sur des sphères de rayon r dont leur centre est la charge q. On dit que ces sphères constituent des surfaces équipotentielles. 6-4) Potentiel crée par plusieurs charges ponctuelles distinctes : On part du lien entre E et le potentiel V, plus exactement de la relation différentielle: ⃑. 푑푙 dV =E(M) ⃑ Pour un ensemble de charges qi concentrées au pont M et en utilisant le théorème de superposition : dV = - ⃑ ⃑ = - ∑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ 퐸(푀).푑푙 [ 퐸 (푀)]. 푑푙 =∑ [−E (푀)]. 푑푙 = ∑ 푑Vi La somme d’un ensemble de différentielles étant la différentielle de la somme : dV = ∑ 푑Vi = d(∑ Vi) V(M) = ∑ Vi = ∑ (II-22) Où ri est la distance entre qi et le point M. La charge qi peut être positive ou négative, c’est pour cela qu’il faut la prendre avec son signe. 6-5) Potentiel électrique crée par une distribution continue de la charge : Dans ce cas, on doit procéder à une intégration après avoir choisi une charge élémentaire correspondante, avec le même procédé que celui du champ électrique pour un pareil cas. dV = Abdeladim Mustapha Page 20 `Ìi`ÊÜÌ ÊvÝÊ* Ê `ÌÀÊ ÊvÀiiÊvÀÊViÀV>ÊÕÃi° /ÊÀiÛiÊÌ ÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV° Ì Chapitre II Electrostatique V(M) = ∫ (II-23) Dans le cas général il est préférable de calculer le potentiel en premier lieu, puis en déduire le champ électrique par dérivation. On suppose que la distribution de charge est uniforme dans toute notre étude. a) Si la distribution est volumique concentrée au point P : V(M) = ∭ (II-24) ρ densité volumique b) Si la distribution est surfacique: V (M)=∬ (II-25) σ densité surfacique. c) Si la distribution est linéique : V(M) = ∫ (II-26) λ densité linéique. Applications : 1) Champ et potentiel créés par un anneau : Un anneau de centre O et de rayon R, porte une charge q répartie uniformément avec une densité linéique λ >0. 1. Calculer le potentiel crée au point M de l’axe oy et situé à la distance y de O. 2. En déduire le vecteur champ au point M. Solution : Pour le point donné M, les grandeurs r, y, R sont constantes. Partant de la figure I.8 et en posant K = on peut écrire : dV = K → ∫ 푑푉 = ∫ 푑푞 → V = + Cte Abdeladim Mustapha Page 21 `Ìi`ÊÜÌ ÊvÝÊ* Ê `ÌÀÊ ÊvÀiiÊvÀÊViÀV>ÊÕÃi° /ÊÀiÛiÊÌ ÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV° Ì Chapitre II Electrostatique Sur la figure on peut voir que : r = 푅 + 푦 Après remplacement de K et q = λ. 2π R on arrive à l’expression : V =. ℇ + Cte Reste maintenant à déterminer le module E. Pour cela il suffit de dériver l’expression de V par rapport à y en exploitant la relation :. 퐸 ⃑ = - → 퐸 ⃑ =. ⃑ 푈 Figure II.8 : Champ électrostatique crée par un anneau chargé au point M 2)Champ et potentiel créés par un disque : Soit un disque de centre O, de rayon R, uniformément chargé en surface. La densité surfacique de charge est σ (σ>0) (figure II.9). 1. Calculer le champ électrique et le potentiel créés par cette distribution, en un point M de l’axe (Oz). Pour cela, décomposons le disque en anneaux de rayon ρ et de largeur dρ. Soit P un point de l’anneau et P’ le symétrique de P par rapport à O. Abdeladim Mustapha Page 22 `Ìi`ÊÜÌ ÊvÝÊ* Ê `ÌÀÊ ÊvÀiiÊvÀÊViÀV>ÊÕÃi° /ÊÀiÛiÊÌ ÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV° Ì Chapitre II Electrostatique Figure II.9 : Champ électrostatique crée par un disque chargé au point M Examinons d’abord la symétrie du problème : la distribution présente une symétrie de révolution autour de OZ. Tout plan contenant l’axe OZ est un plan de symétrie paire de la ⃑: distribution. Donc le champ E en un point M de l’axe OZ est porté par 퐾 퐸 ⃑(M) = E (0,0,Z) = E(Z) 퐾 ⃑ Un élément de charge dq = σ dS, centré en P (figure I I-9), crée en un point M de l’axe du ⃑ donné par : disque un champ élémentaire 푑퐸 ⃑ = 푑퐸 ⃑ 푈 ℇ avec, dS =ρdρdѳ et r = (ρ 2 + Z2)1/2 le disque chargé présente une symétrie de révolution autour de son axe, par exemple l’axe Z’Z, le champ est alors porté par cet axe. On a : ѳ ⃑ dE = ⃑ 푈 ℇ ⃑ 푑퐸 = dE ⃑ cosα = ѳ cosα퐾 ⃑ ℇ Abdeladim Mustapha Page 23 `Ìi`ÊÜÌ ÊvÝÊ* Ê `ÌÀÊ ÊvÀiiÊvÀÊViÀV>ÊÕÃi° /ÊÀiÛiÊÌ ÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV° Ì Chapitre II Electrostatique ѳ ⃑ 퐸(푀) = ∬ ⃑ et comme cosα = cosα퐾 ℇ ⃑= ∬ ѳ 퐸(푀) ⃑ 퐾 ℇ ⃑ 퐸(푀) = ℇ ∫ ⃑ (∫ 푑휃) 퐾 ⃑ 퐸(푀) = ( – √ ⃑ )퐾 ℇ | | Lorsque Z est grand le champ s’affaiblit, par contre lorsque R >>Z, M très prés de disque le champ devient : ⃑ 퐸(푀) = ± ⃑ 퐾 ℇ Le potentiel en un point M est déduit du champ par intégration : ⃑ 퐸(푀) = -푔푟푎푑 ⃑ 푉(푀) = - 퐾 ⃑ Ainsi, V= (Z - √푅 + 푍 ) ℇ 7) Energie Electrostatique : 7-1) Définition : L’énergie électrostatique W d’un système de charges, supposées initialement éloignées les unes des autres, correspond au travail qu’il faut fournir pour mener ces charges à leur positions finales. Energie d’une charge ponctuelle placée dans un champ E : Pour une charge q se déplaçant de A à B dans le champ퐸 ⃑, le travail de la force électrostatique est : WAB = q(VA – VB) = qV (II-27) Abdeladim Mustapha Page 24 `Ìi`ÊÜÌ ÊvÝÊ* Ê `ÌÀÊ ÊvÀiiÊvÀÊViÀV>ÊÕÃi° /ÊÀiÛiÊÌ ÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV° Ì Chapitre II Electrostatique 7-2) Energie d’un système de charges ponctuelles : Chacune des charges est soumise à l’action du champ électrostatique créé par les autres charges. Initialement toutes les charges étaient éloignés les unes des autres et à l’infini : 1. On amène q1 de l’infini à A1 W1= 0 car E= 0, 2. On amène q2 de l’infini à A2 : En A2 le potentiel V2 créé par q1 est : V2 = , l’énergie potentielle de q1 est donc : q2V2 = Vi 4휋휖0 푟1 3. -q1 en A1, q2 en A2, on amène q3 de l’infini à A3 : En A3 le potentiel sera : 푞 3 푞 3 V3= + , et l’énergie de q3 sera : q3 V3 = + L’énergie totale sera : W= ∑ ∑ = ∑ Vi 푞.. (II-28) Le terme ½ provient du fait que dans l’interaction entre qi et qj est comptée 2 fois. 7-3) Energie d’une distribution continue de charges : On se ramène à un ensemble de charges ponctuelles en divisant la charge totale en dq : Distribution volumique : W = ∭ 휌. 푉. 푑푣 (II-29) Distribution surfacique : W= ∬ 휎. 푉. 푑푆 (II-30) Distribution linéique : W= ∫ 휆. 푉. 푑푙 (II-31) 8) Dipôle électrique: 8.1) Définition: Abdeladim Mustapha Page 25 `Ìi`ÊÜÌ ÊvÝÊ* Ê `ÌÀÊ ÊvÀiiÊvÀÊViÀV>ÊÕÃi° /ÊÀiÛiÊÌ ÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV° Ì Chapitre II Electrostatique Un dipôle électrique est l'ensemble de deux charges ponctuelles égales, de signes contraires et séparées par une très petite distance. Cette notion est principalement utilisée en électromagnétisme et par suite en chimie où certaines liaisons entre molécules peuvent être expliquées en modélisant ces molécules par un dipôle (liaison hydrogène par exemple). En physique, on s’intéresse au champ électrostatique E(r) créé en un point r éloigné du dipôle (on parle alors de dipôle actif). Mais on peut aussi étudier le comportement du dipôle lorsqu’il est placé dans un champ extérieur (on parle alors de dipôle passif). On appelle moment dipolaire d'un dipôle le vecteur libre푝⃑, il est égal au produit de la valeur de la charge q par le vecteur déplacement a de la charge, dirigé de la charge positive vers la charge négative (figure II.10) ⃑ = 푞⃑푎⃑ p (II-32) dans SI, 푝⃑ s’exprime en C.m. Figure II.10 : Dipôle électrique 8.2) Potentiel électrique produit par un dipôle électrique: On se propose de calculer le potentiel électrique produit par les deux charges +q et -q, au point P situé à la distance r1 de la charge +q et à la distance r2 de la charge -q. La distance a est très Abdeladim Mustapha Page 26 `Ìi`ÊÜÌ ÊvÝÊ* Ê `ÌÀÊ ÊvÀiiÊvÀÊViÀV>ÊÕÃi° /ÊÀiÛiÊÌ ÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV° Ì Chapitre II Electrostatique petite devant les distances r1 et r2. Le point P est repéré par ses coordonnées polaires (voir figure II.10): 푟⃑ = ⃑ ⃑ , ⃑ 푂푃 , ѳ = (푂푥 푂푃 ), AH= r2-r1 On suppose r>> a = AB, O étant le milieu de AB. Le potentiel V créé en P par le dipôle est : ( ) V= ∑ 푉푖→ V = K [ - ] → V = K.q. (II-33) Puisque r>>a, on peut considérer r2.r1≈ r2 et r2-r1= a.cosѳ, donc :.. ѳӨ. ѳӨ V=. →V= (II-34). 8.3) Champ électrique produit par un dipôle électrique: Comme V ne dépend que de r et de ѳ, seules les composantes Er et Eѳ de E seront non nulles. ⃑ V. On va essayer de calculer 퐸 ⃑ à partir de l’équation.퐸 ⃑ = -grad - En coordonnées polaires : A partir de la figure II.11 et l’équation du potentiel, on calcule les composantes du champ électrique en coordonnées polaires. Nous savons que 퐸 ⃑ = Er ⃑+ Eѳ ⃑ , et donc :. ѳ Er= - = (II-35) ℇ ѳ EӨ= - = p. (II-36) ѳ ℇ Abdeladim Mustapha Page 27 `Ìi`ÊÜÌ ÊvÝÊ* Ê `ÌÀÊ ÊvÀiiÊvÀÊViÀV>ÊÕÃi° /ÊÀiÛiÊÌ ÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV° Ì Chapitre II Electrostatique Figure II-11 Coordonnées polaires du champ En conclusion le champ créé par un dipôle est proportionnel à et le potentiel à , alors que pour une charge ponctuelle, 퐸 ⃑créé est proportionnel à et V à. Pour P éloigné,퐸 ⃑ et V créés par le dipôle seront négligeables par rapport à 퐸 ⃑ et V créés par des charges situées à proximité du dipôle. 8.4) Energie du dipôle : Energie interne du dipôle : C’est l’énergie contenu dans le dipôle, c'est-à-dire dans les deux charges –q et + q situées à la distance a l’une de l’autre. Elle correspond à l’énergie nécessaire pour amener une charge de l’infini à une distance a de l’autre charge. Supposons –q en A et amenons +q de l’infini à B. Le travail mis en jeu est : ⃑ = - dT = -퐹⃑.푑푙 ⃑ÊÕÃi° /ÊÀiÛiÊÌ ÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV° Ì Chapitre II Electrostatique Ф = ∮ 퐸 ⃑. ⃑ 푑푆 = ∑ qi 흐 = 흐 (II-40) ퟎ ퟎ qi : le nombre de charges présentes à l’intérieur du volume entouré par S (quel que soient leurs signes).S est appelée surface de Gauss. Enoncé du théorème : le flux d’un champ électrique à travers une surface fermée est égal à la somme algébrique des charges se trouvant à l’intérieur du volume limité par cette surface, divisé par la permittivité du vide ℇ0. Le théorème de Gauss est un outil puissant pour le calcul des champs électrostatiques ⃑ 퐸. Dans les situations de symétrie, le théorème de gauss permet ainsi le calcul plus simple de 퐸 ⃑. Applications : Champ électrique produit par un plan infini chargé uniformément. Considérons un plan infini uniformément avec une densité surfacique σ >0 et calculons le champ électrostatique en tout point de l’espace. On choisit comme surface de gauss un cylindre perpendiculaire au plan. (Figure II.13) Figure II.13 : Plan infini chargé Il y a trois surface : la surface de base S1, la surface de base S2 et la surface latérale S3 :퐸 Le flux à travers la base de surface S1 : Ф = E.S1 Le flux à travers la base de surface S2 : Ф = E. S2 Abdeladim Mustapha Page 30 `Ìi`ÊÜÌ ÊvÝÊ* Ê `ÌÀÊ ÊvÀiiÊvÀÊViÀV>ÊÕÃi° /ÊÀiÛiÊÌ ÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV° Ì Chapitre II Electrostatique Le flux à travers la base latérale S3 : est nul (dS.dE). Faire attention à : ⃑ S.= - ⃑ 푆 mais E.S1= E. S2, donc : Ф = 2 E. S = ℇ (II-41) A la fin, on remarque que le champ électrique est uniforme quelque soit la distance entre le point considéré et le plan : E = ℇ (II-42) Champ électrique produit par une sphère pleine chargée uniformément : La surface de Gauss qui convient ici est une sphère de rayon r. En appliquant le théorème de Gauss on écrit : Ф = ∮ 퐸 ⃑. ⃑ 푑푆 → 퐸 ⃑.푆⃑ = (II-43) ℇ Figure II.14 : Sphère pleine chargée Discussion : Cas R>r : (la figure II.14.a), seule une partie de la charge portée par la sphère se trouve à l’intérieur de la surface de Gauss : Abdeladim Mustapha Page 31 `Ìi`ÊÜÌ ÊvÝÊ* Ê `ÌÀÊ ÊvÀiiÊvÀÊViÀV>ÊÕÃi° /ÊÀiÛiÊÌ ÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV° Ì Chapitre II Electrostatique E.4πr2 = ℇ = ℇ → E = ℇ r (II-44) E est proportionnel à la distance r. Cas RÊÕÃi° /ÊÀiÛiÊÌ ÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV° Ì Chapitre II Electrostatique ⃑V montre que le potentiel est constant à l’intérieur du conducteur 2- La relation générale 퐸 ⃑ = -푔푟푎푑 et par continuité, à la surface de celui-ci. Autrement dit, un conducteur en équilibre est une surface équipotentielle : Vi = Cte ce qui prouve que le champ est perpendiculaire à la surface du conducteur. 3- La charge dans le conducteur en équilibre est nulle, elle se concentre sur la surface du conducteur. En effet, puisque le nombre de protons est égal au nombre d’électrons, la charge totale à l’intérieur du conducteur est nulle. 11-3) Pression électrostatique : Calculons maintenant les forces auxquelles sont soumises les charges électriques situées à la surface d’un conducteur en équilibre. De nombreuses expériences montrent que ces forces sont dirigées normalement à la surface de ces conducteurs. L’expression de la force élémentaire df appliquée sur la surface élémentaire extérieure dS d’un conducteur qui porte sur sa surface une charge élémentaire dq= σ.dS est : ⃑ ⃑. 푑푓 = dq.퐸 ⃑ = σ.푑푆 (II-48) ℇ D’où: ⃑ ⃑ = 푑푓 ⃑ →.푑푆 = = pe (II-49) ℇ ⃑ ℇ c’est la pression électrostatique, c’est une grandeur scalaire, elle est toujours positive. Cette pression peut être considérée aussi comme étant la force capable d’arracher les charges au conducteur. 11-4) Capacité d’un conducteur : Considérons un conducteur isolé en équilibre électrostatique, placé en un point O de l’espace et portant une charge Q, répartie sur sa surface externe avec une densité surfacique σ telle que : Q = ∬ 휎 푑푆 (II-50) Abdeladim Mustapha Page 33 `Ìi`ÊÜÌ ÊvÝÊ* Ê `ÌÀÊ ÊvÀiiÊvÀÊViÀV>ÊÕÃi° /ÊÀiÛiÊÌ ÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV° Ì Chapitre II Electrostatique Si la charge Q augmente, la densité surfacique σ augmente proportionnellement : Cela, en raison de la linéarité des équations qui régissent le problème de l’équilibre des conducteurs. Le potentiel créé par Q, en un point M de l’espace tel que OM = r, s’écrit V=K ∬ soit V = K Q ∬ (II-51) Ce résultat reste valable pour tout point de la surface du conducteur. L’intégrale dépend uniquement de la géométrie et des dimensions du conducteur. On en déduit que le rapport, entre la charge et le potentiel auquel est porté le conducteur, C= (II-52) ne dépend que de la géométrie du conducteur, on l’appelle capacité propre du conducteur. Celle-ci est donnée par l’expression : Q=CV (II-53) La capacité C est une grandeur positive, d’ont l’unité est appelée le Farad (F). Le farad est ainsi défini comme la capacité d’un conducteur isolé dont le potentiel est de 1 volt lorsqu’il reçoit une charge de 1 coulomb. Le farad est une unité très grande, on utilise plutôt des sous multiples : Le microfarad : 1µF = 10-6 F, le nanofarad : 1nF = 10-9 F, le picofarad : 1 pF = 10-12 F.. Exemple : Le cas d’un conducteur sphérique, placé dans le vide, de rayon R, s’il porte la charge Q, le potentiel à l’intérieur de la sphère vaut : V = ℇ qui identifie à la relation générale Q = C V fournit l’expression de c : C = 4 πℇ0.R Pour la terre, en considérant que le rayon est R = 6400 km, sa capacité vaut.C = 70 µF. Pour une sphère de rayon r = 10cm, le potentiel V = 1000V par rapport à la terre, sa capacité est C = 10 pF. Abdeladim Mustapha Page 34 `Ìi`ÊÜÌ ÊvÝÊ* Ê `ÌÀÊ ÊvÀiiÊvÀÊViÀV>ÊÕÃi° /ÊÀiÛiÊÌ ÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV° Ì Chapitre II Electrostatique 11-5) Phénomènes d’influence : Influence partielle : Considérons un conducteur A électriquement neutre (figure II.15). Approchons de ce dernier, un conducteur B chargé positivement, tel que représentée sur la figure. Le conducteur B crée dans l’espace et en particulier dans le conducteur A un champ électrique ⃑ 퐸. Figure II.15: Influence partielle Les électrons libres du conducteur A vont, sous l’action de ce champ, se déplacer dans le sens ⃑ inverse de 퐸. Ces électrons s’accumulent progressivement sur la face en regard de B et forment à l’équilibre des charges négatives dont la résultante est –Q. A l’inverse, des charges positives, dont la résultante est +Q, vont apparaître sur l’autre face par défaut d’électrons comme le montre la figure. Ces charges, qui résultent d’une électrisation par influence, apportent leur contribution au champ électrique à l’intérieur et à l’extérieur du conducteur. Elles créent un champ induit Eı ⃑ qui vient s’opposer au champ inducteur ⃑ 퐸 et réduire ainsi le champ total. A l’intérieur du conducteur A les électrons libres ne cessent leur mouvement que lorsque le champ électrique total s’annule. Le système formé par les deux conducteurs atteint alors un état d’équilibre. Lignes de champ : La topographie de l’espace électrique, représentée sur la figure montre que seules certaines lignes de champ, qui émanent du corps inducteur B, aboutissent au conducteur A. Il en résulte, en vertu du théorème des éléments correspondants, que la charge Q créée par influence, est inférieure à la charge inductrice du conducteur B. Ce type d’influence est dit partiel. Influence totale: On parle d’influence totale lorsque toutes les lignes de champ partant de B aboutissent sur A. Ceci est obtenu lorsque A entoure complètement B (figure II.16). Abdeladim Mustapha Page 35 `Ìi`ÊÜÌ ÊvÝÊ* Ê `ÌÀÊ ÊvÀiiÊvÀÊViÀV>ÊÕÃi° /ÊÀiÛiÊÌ ÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV° Ì Chapitre II Electrostatique Figure II.16 : Influence totale L’application du théorème des éléments correspondants, montre que la charge qui apparaît sur la surface interne de A est égale et opposée à la charge du conducteur B. QB = - QAint 12) Condensateurs : 12-1) Définition : On appelle un condensateur un ensemble de deux conducteurs A et B en influence totale, dont l’un est creux et entoure complètement l’autre ; ces deux conducteurs sont appelés armatures du conducteur ; l’espace séparant les deux armatures peut être vide ou rempli d’un diélectrique. Nous considérerons essentiellement, dans ce paragraphe, les condensateurs à vide. Le condensateur est désigné par ce nom parce qu’il fait apparaître le phénomène de la condensation des charges électriques dans une région restreinte de l’espace. Plus la capacité est grande, plus on obtient de grandes charges électriques sous de basses tensions. La figure I.17 représente un condensateur ; charger un condensateur, c’est établir une différence de potentiel entre ses armatures. Figure II.17: Un condensateur Les faces en regard portent des charges opposées. Abdeladim Mustapha Page 36 `Ìi`ÊÜÌ ÊvÝÊ* Ê `ÌÀÊ ÊvÀiiÊvÀÊViÀV>ÊÕÃi° /ÊÀiÛiÊÌ ÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV° Ì Chapitre II Electrostatique On pose : Q1 = C(V1-V2) où C est la capacité du condensateur en Farad. La charge Q1 est appelée charge du condensateur, V1-V2 est appelé la différence de potentiel entre les armatures. Exemple de calculs de capacité : Une méthode générale de calcul de capacité d’un condensateur consiste à calculer la relation entre sa charge Q et la tension appliquée entre les deux armatures (V1-V2). A en déduire le champ entre les armatures puis calculer V1-V2 en utilisant l’expression de la circulation du champ électrique. ⃑ = V1-V2 = U = ∫ 퐸 ⃑. 푑푙 (II-54) Cette méthode ne s’applique, bien entendu, que dans des cas géométriques simples, tels que ceux que nous allons examiner maintenant. 12-2) Capacité d’un condensateur : a) Condensateur sphérique : Considérons le condensateur formé par deux sphères concentriques minces, de rayons R1 et R2avec R1< R2 (figure II.18). Figure II.18: Un condensateur sphérique Par l’application du théorème de Gauss, le calcul du champ E produit par une sphère à une distance r ( R1< rÊÕÃi° /ÊÀiÛiÊÌ ÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV° Ì Chapitre II Electrostatique On calcule la circulation du champ pour calculer la différence de potentiel entre les deux armatures : U = V1-V2= ∫ 퐸 ⃑. ⃑ 푑푟 = Q( - ) (II-56) ℇ D’où la capacité : C = → C = 4 πℇ0 (II-57) b) Condensateur cylindrique : On considère deux cylindres illimités et coaxiaux, de rayons R1 et R2 avec R1< R2(figure II.19). On cherche la capacité d’un tronçon de hauteur h. On désigne par Q la charge portée par l’armature interne sur la longueur h. Figure II.19: Un condensateur cylindrique Le calcul de E (qui est radial) à une distance r (R1< rÊÕÃi° /ÊÀiÛiÊÌ ÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV° Ì Chapitre II Electrostatique E. 2π r h = Q/ℇ0 Et la relation : V1-V2= ∫ 퐸 ⃑. ⃑ 푑푟 = ℇ ∫ 푑푟/푟 = ℇ ln(R2/ R1) (II-58) D’où la capacité du condensateur cylindrique étudié est : ℇ C= = ( / ) (II-59) c) Condensateur plan : Le condensateur plan est constitué de deux plans conducteurs parallèles distants de e et de surface S (figure II.20). Soit la charge Q qui est répartie régulièrement sur chaque armature avec la densité superficielle (uniforme) : σ = Q/S Figure II.20 : Un condensateur plan Abdeladim Mustapha Page 39 `Ìi`ÊÜÌ ÊvÝÊ* Ê `ÌÀÊ ÊvÀiiÊvÀÊViÀV>ÊÕÃi° /ÊÀiÛiÊÌ ÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV° Ì Chapitre II Electrostatique Le champ électrostatique entre les armatures est la composition des champs résultants des deux plans infinis, soit ⃑= ⃑ E 퐸 +퐸 ⃑ = ⃑ k+ (-k ⃑ = ⃑ ⃑) → E k (II-60) ℇ ℇ ℇ en utilisant l’expression de la circulation du champ électrique. V1-V2 = U = ∫ 퐸. 푑푧 = ℇ (z2-z1) → U = ℇ 푒 (II-61) La capacité du condensateur plan est donc : C= = ℇ0 (II-62 ) 12-3) Groupement de condensateurs : Les condensateurs peuvent être groupés soit en série, soit en parallèle. 1. Groupement en série : Reportons-nous à la figure II.21 où les notations sont précises ; A cause du phénomène l’influence totale tous les condensateurs emmagasinent la même charge Q. La tension entre les extrémités de tout l’ensemble est égale à la somme des tensions : U = V0 – Vn= (V0 – V1)+ ( V1 – V2) + (V2 – V3) + …….. (Vn-1 – Vn) (II-63) U = + + + …….+ (II-64) Figure II.21 : Groupement de condensateurs en série Abdeladim Mustapha Page 40 `Ìi`ÊÜÌ ÊvÝÊ* Ê `ÌÀÊ ÊvÀiiÊvÀÊViÀV>ÊÕÃi° /ÊÀiÛiÊÌ ÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV° Ì Chapitre II Electrostatique Résultat: L’inverse de la capacité équivalente est égal à la somme des inverses des capacités des condensateurs montés en série: = + + +.........+ (II-65) 2. Groupement en parallèle : Reportons-nous cette fois à la figure II-22 Tous les condensateurs sont soumis à la même tension. La charge totale est égale à la somme des charges, et comme la charge Qi de chaque condensateur est proportionnelle à sa capacité Ci, nous pouvons écrire : Q = Q1 + Q2 + Q3 +……… Qn (II-66) Q = C1U + C2U + C3U +……… CnU Q = ( C1 + C2 + C3 Cn) U C.U = (C1 + C2 + C3 +……… Cn) U C = C1 + C2 + C3 +……… Cn (I-66) Figure I.22: Groupement de condensateurs en parallèle Résultat: la capacité équivalente est égale à la somme des capacités des condensateurs montés en parallèle: C = C1 + C2 + C3 +……… Cn (II-67) 12-4) Energie emmagasinée dans un condensateur : Abdeladim Mustapha Page 41 `Ìi`ÊÜÌ ÊvÝÊ* Ê `ÌÀÊ ÊvÀiiÊvÀÊViÀV>ÊÕÃi° /ÊÀiÛiÊÌ ÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV° Ì Chapitre II Electrostatique L’étude théorique a démontré, comme le prouvent les expériences que l’énergie emmagasinée par un condensateur, chargé de charge Q, est proportionnelle au carré de la tension appliquée entre ses armatures. Son expression est : W= C. U2 (II-68) Sachant que Q = C.U , on peut écrire : W= (II-69) Abdeladim Mustapha Page 42 `Ìi`ÊÜÌ ÊvÝÊ* Ê `ÌÀÊ ÊvÀiiÊvÀÊViÀV>ÊÕÃi° /ÊÀiÛiÊÌ ÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV° Ì CHAPITRE III ELECTROCINETIQUE `Ìi`ÊÜÌ ÊvÝÊ* Ê `ÌÀÊ ÊvÀiiÊvÀÊViÀV>ÊÕÃi° /ÊÀiÛiÊÌ ÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV° Ì Chapitre III Electrocinétique L’électrocinétique est l’étude des courants électriques, c’est-à-dire l’étude des charges électriques en mouvement dans des milieux matériels appelés conducteurs. Autrement dit, c’est l’étude des circuits et réseaux électriques. 1) Conducteur électrique : En électricité, un conducteur est un matériau qui contient des porteurs de charge électrique pouvant se déplacer facilement. Lorsque ce conducteur est soumis à un champ électrique le mouvement de porteurs de charge devient globalement ordonné, ce qui fait qu’on observe un courant électrique. Par extension, un conducteur est un composant électrique ou électronique de faible résistance, servant à véhiculer le courant d’un point à un autre. Parmi les matériaux conducteurs, on peut citer les métaux, les électrolytes (ou solution ioniques) et les plasmas. Les conducteurs parfait n’existant pas, on utilise des conducteurs ohmiques, dont les meilleurs sont l’argent, l’or et l’aluminium. 2) Courant électrique : 2-1) Définition : Le courant électrique est un déplacement collectif et organisé des porteurs de charges (électrons ou ions). Cet écoulement de charges peut se produire dans le vide (faisceau d’électrons dans les tubes cathodiques..), ou dans la matière conductrice (les électrons dans les métaux, ou les ions dans les électrolytes).Un courant électrique apparait dans un conducteur quand une différence de potentiel est établie entre les bornes de ce dernier. 2-2) Intensité du courant électrique : L’intensité du courant électrique est un nombre décrivant le débit de charge électrique à travers une surface donnée, notamment la section d’un fil électrique. ( ) I(t) = (III-1) Abdeladim Mustapha Page 44 `Ìi`ÊÜÌ ÊvÝÊ* Ê `ÌÀÊ ÊvÀiiÊvÀÊViÀV>ÊÕÃi° /ÊÀiÛiÊÌ ÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê

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