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三角函数 三角函数问题与解答 1. 三角函数的定义 在直角三角形中，三角函数反映了角度与边长之间的关系。以下是基于直角三角形边长比例的三角函数 定义： 正弦函数（sin）： 对边 sin(x) = 斜边 ，在图中表示为 sin(x) = a...

三角函数 三角函数问题与解答 1. 三角函数的定义 在直角三角形中，三角函数反映了角度与边长之间的关系。以下是基于直角三角形边长比例的三角函数 定义： 正弦函数（sin）： 对边 sin(x) = 斜边 ，在图中表示为 sin(x) = a c = 3 5 ，这表明对边与斜边的比例关系。 余弦函数 邻边 （cos）：cos(x) = 斜边 ，在图中表示为 cos(x) = b c = 4 5 ，这表示邻边与斜边的比例关系。 正切函数（tan）： 对边 tan(x) = 邻边 ，在图中表示为 tan(x) = a b = 3 4 ，这表示对边与邻边的比例关系。 通过这些定义，我们可以更深入地理解三角函数在直角三角形中的应用和意义。 2. 周期性 正弦函数和余弦函数的周期是 2π。 正切函数的周期是 π。 三角函数的周期性：深入理解与公式解析 在数学和物理学中，三角函数的周期性是一个核心概念。周期性指的是函数值在一定间隔后重复的性 质。在本文中，我们将深入探讨正弦函数、余弦函数和正切函数的周期性，以及它们之间的关系。 正弦函数和余弦函数的周期 正弦函数（sin）和余弦函数（cos）的周期是 2π。这意味着这两个函数每隔 2π 弧度，其值会重复。具 体来说，对于任何实数 x，都有以下等式成立： sin(x) = sin(x + 2π) cos(x) = cos(x + 2π) 这表明，如果你在一个直角坐标系中绘制正弦或余弦函数的图像，它们将在每隔2π 的地方重复。 正切函数的周期 正切函数（tan）的周期是 π。这意味着正切函数每隔 π 弧度，其值会重复。对于任何实数 x，都有以下 等式成立： tan(x) = tan(x + π) 正切函数的图像在每隔π的地方重复，但需要注意的是，正切函数在x = π 2 （其中k 是任意整数）处 + kπ 有不连续点，因为这些点是余弦值为零的位置。 周期性的扩展 除了上述基本周期，我们还可以进一步扩展这些函数的周期性。例如，对于正弦函数和余弦函数，我们 有： sin(x) = sin(x + 2kπ) cos(x) = cos(x + 2kπ) 这里，2kπ是正弦和余弦函数的周期，其中k 是任意整数。 由于正弦函数是奇函数，即 sin(−x) = − sin(x)，我们还可以得到以下等式： sin(x) = − sin(x − 2kπ) 余弦函数是偶函数，即 cos(−x) = cos(x)，所以我们还可以得到以下等式： cos(x) = cos(x − 2kπ) 对于正切函数，我们有： tan(x) = tan(x + kπ) 这里，k是任意整数。由于正切函数是奇函数，我们还可以得到以下等式： tan(x) = − tan(x − kπ) 结论 总结来说，正弦函数、余弦函数和正切函数的周期性是它们在数学和物理学中应用广泛的重要原因。这 些函数的周期性质可以帮助我们更好地理解和应用它们，解决实际问题。通过深入理解这些函数的周期 性，我们可以更好地利用它们在科学和工程领域的各种应用。 3. 常用公式 和差公式 sin(A + B) = sin(A) cos(B) + cos(A) sin(B) sin(A − B) = sin(A) cos(B) − cos(A) sin(B) cos(A + B) = cos(A) cos(B) − sin(A) sin(B) cos(A − B) = cos(A) cos(B) + sin(A) sin(B) 二倍角公式 sin(2A) = 2 sin(A) cos(A) 2 2 2 2 cos(2A) = cos (A) − sin (A) = 2 cos (A) − 1 = 1 − 2 sin (A)  2 tan(A) tan(2A) = 2 1−tan (A) 2 cot (A)−1 cot(2A) = 2 cot(A) 半角公式 2 a 1−cos(a) sin ( ) = 2 2 a 1+cos(a) 2 cos ( ) = 2 2 2 2 a 1−cos(a) sin (a) tan ( ) = = 2 1+cos(a) 1+cos(a) a 1−cos(a) sin(a) tan ( ) = = 2 sin(a) 1+cos(a) a cos(a) cot ( ) = + 1 2 sin(a) 积化和差公式 1 sin(A) cos(B) = [sin(A + B) + sin(A − B)] 2 1 cos(A) sin(B) = [sin(A + B) − sin(A − B)] 2 1 sin(A) sin(B) = [cos(A − B) − cos(A + B)] 2 1 cos(A) cos(B) = [cos(A − B) + cos(A + B)] 2 降幂公式 2 1−cos(2A) sin (A) = 2 1+cos(2A) 2 cos (A) = 2 和角公式 tan(A)+tan(B) tan(A + B) = 1−tan(A) tan(B) cot(A) cot(B)−1 cot(A + B) = cot(B)+cot(A) 反三角函数 arcsin(x) = sin −1 (x) ，定义域：[−1, 1]，值域：[−π/2, π/2] arccos(x) = cos −1 (x) ，定义域：[−1, 1]，值域：[0, π] arctan(x) = tan −1 (x) ，定义域：所有实数，值域：(−π/2, π/2) −1 arccot(x) = cot (x) −1 arcsec(x) = sec (x) −1 arccsc(x) = csc (x) 4. 三角函数值表 角度 sin cos tan ∘ 0 0 1 0 ∘ 1 √3 1 30 2 √3 2 ∘ √2 √2 45 1 2 2 ∘ √3 1 60 √3 2 2 90 ∘ 1 0 未定义 ∘ 1 √3 120 − −√ 3 2 2 ∘ √2 √2 135 − −1 2 2 ∘ 1 √3 1 150 − − 2 √3 2 ∘ 180 0 −1 0 ∘ √3 1 210 − − √3 2 2 ∘ √2 √2 225 − − 1 2 2 ∘ 1 √3 1 240 − − 2 √3 2 270 ∘ 0 0 未定义 ∘ √3 1 300 − −√ 3 2 2 ∘ √2 √2 315 − −1 2 2 ∘ 1 1 √3 330 − − 2 √3 2 ∘ 360 0 1 0 6. 典型问题与解答 问题 1：求 sin(150 ∘ ) 和 cos(150 )。 ∘ 解答：使用和差公式和特殊角的三角函数值， ， ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ 1 √3 √3 sin(150 ) = sin(90 + 60 ) = sin(90 ) cos(60 ) + cos(90 ) sin(60 ) = 0 × + 1 × = 2 2 2 ∘ cos(150 ) = cos(90 ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ + 60 ) = cos(90 ) cos(60 ) − sin(90 ) sin(60 ) = 0 × 1 2 − 1 × √3 2 = − √3 2 。 问题 2：求 sin(300 ∘ ) 和 cos(300 )。 ∘ 解答：使用和差公式和特殊角的三角函数值， ∘ sin(300 ) = sin(360 ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ − 60 ) = sin(360 ) cos(60 ) − cos(360 ) sin(60 ) = 0 × 1 2 − 1 × √3 2 = − √3 2 ， 。 ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ 1 √3 1 cos(300 ) = cos(360 − 60 ) = cos(360 ) cos(60 ) + sin(360 ) sin(60 ) = 1 × + 0 × = 2 2 2 问题 3：求 tan(120 )。 ∘ 解答：使用二倍角公式和特殊角的三角函数值， 。 ∘ 2 tan(60 ) 2×√ 3 ∘ ∘ tan(120 ) = tan(2 × 60 ) = 2 ∘ = = √3 1−tan (60 ) 1−(√ 3) 2