सदिशो का गुणनफल PDF

## सदिशो का गुणनफल (Multiplication of vectors) - सदिशों का गुणनफल दो प्रकार के होता है. - **अदिश गुणनफल** (**scalar product** or **dot product** or **inner product**): सदिशों का अदिश गुणनफल या डॉट प्रोडक्ट या बिन्दु गुणनफल एक अदिश राशि होती है जिसका मान दोनो सदिशों के मापांकी और उनके बीच के को...

## सदिशो का गुणनफल (Multiplication of vectors) - सदिशों का गुणनफल दो प्रकार के होता है. - **अदिश गुणनफल** (**scalar product** or **dot product** or **inner product**): सदिशों का अदिश गुणनफल या डॉट प्रोडक्ट या बिन्दु गुणनफल एक अदिश राशि होती है जिसका मान दोनो सदिशों के मापांकी और उनके बीच के कोण के कोज्या के गुणनफल के बराबर होता है. - **सदिश गुणनफल** (**vector product** or **cross product** or **outer product**): सदिशों का सदिश गुणनफल या क्रॉस गुणनफल एक सदिश राशि होती है जिसका परिमाण दोनो सदिशों के मापांकी और उनके बीच के कोण के ज्या के गुणनफल के बराबर होता है. ### सदिशों के अदिश गुणनफल की परिभाषा जब दो सदिशों को गुण किया जाता है एक अदिश राशि प्राप्त होता है जिसका मान दोनो सदिशों के मापांकी और उनके बीच के कोण के कोज्या के गुणनफल के बराबर होता है. - **ज्या**: sine - **कोज्या**: cosine - **स्पर्श**: tangent - tan - सदिशों के अदिश गुणनफल के परिभाषण से: - A.B = A x B x cosθ - A.B = AB cosθ - इसे **बिन्दु गुणनफल** (**Dot product**) भी कहा जाता है. ### सदिशों के अदिश गुणनफल के कुछ नियम - **दो समोतर सदिशों का अदिश गुणनफल उनके मापांकी के गुणनफल के बराबर होता है**: - A.B = AB cos0° = AB (cos 0° = 1) - **दो लम्वत सदिशों के अदिश गुणनफल शून्य (0) होता है**: - A.B = AB cos90° = 0 (cos 90° = 0) - **अदिश गुणनफल कम्यूटेटिव होता है**: - A.B = B.A - **सदिश के अदिश गुणनफल वितरण नियम का पालन करता है**: - A. (B+C) = A.B + A.C ### किसी सदिश का उसी सदिश से अदिश गुणनफल - किसी सदिश का उसी सदिश से अदिश गुणनफल उस सदिश के मापांकी के वर्ग के बराबर होता है. - A.A = A² cos0° = A² (cos 0° = 1) ### समकोणिक सदिश का अदिश गुणनफल - समकोणिक सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य होता है. - i.j = i x j x cos 90° = 0 - j.k = j x k x cos 90° = 0 - k.i = k x i x cos 90° = 0 ### दो सदिशों के बीच कोण ज्ञात करना - माना कि दो सदिश A और B हैं जिसके बीच का कोण θ है. - उनके बीच का कोण ज्ञात करना: - A.B = AB cos θ - cos θ = A.B / AB - θ = arccos(A.B / AB) ### सदिशों के योगफल के नियम - सदिशों के योगफल के लिए दो मुख्य नियम है: - **त्रिभुज नियम**: सदिशों को त्रिभुज के रूप में लगाए जाते हैं. - **समांतर चतुर्भुज नियम**: सदिशों को समांतर चतुर्भुज के रूप में लगाए जाते हैं. ### सदिशों के बीच कोण ज्ञात करना - किसी सदिश कोण ज्ञात करने के लिए, उसे **head-to-tail** रूल द्वारा लगाए जाते हैं. - 1) सदिशों के बीच कोण ज्ञात करना. - सदिश उनके **head** और **tail** के बीच के कोण से निर्धारित होते हैं जो **head-to-tail** रूल द्वारा ज्ञात होता है. ### एकांक सदिश - एकांक सदिश वैसा सदिश होता है जिसका परिमाण 1 होता है. - किसी सदिश की इकाई **सदिश ** को उसके परिमाण से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है. - **इकाई सदिश** को **दिशा** से इंडिकेट किया जाता है. ### शून्य सदिश - शून्य सदिश वैसा सदिश होता है जिसका परिमाण 0 होता है. - शून्य सदिश का **दिश** ज्ञात नहीं किया जा सकता है. ### समांतर सदिश - समांतर सदिश वैसा सदिश होता है जिसमे या दो या दो से अधिक सदिश एक दूसरे के विपरीत या समांतर होते हैं. ### असमान सदिश - असमान सदिश वैसा सदिश होता है जिसका परिमाण और दिशा, दोनों ही समान नहीं होते हैं. ### विपरीत या ऋणात्मक सदिश - वैसा सदिश जिसका परिमाण समान हो प्रन्तु दिशा दूसरे के विपरीत हो उसे विपरित या ऋणात्मक सदिश कहा जाता है. ### सदिशों के प्रक्षेप (Projection of vectors) - किसी सदिश को दूसरे सदिश पर प्रोजेक्ट करने का मतलब है उस सदिश के दूसरे सदिश पर पडने वाले समकोण वाले घटक को ज्ञात करना. - प्रक्षेप दो प्रकार के होते हैं. - **अदिश प्रक्षेप**: यह प्रक्षेप दूसरे सदिश पर प्रोजेक्ट किए गए सदिश के परिमाण को दर्शाता है. - **सदिश प्रक्षेप**: यह प्रक्षेप दूसरे सदिश पर प्रोजेक्ट किए गए सदिश के परिमाण और दिशा दोनों को दर्शाता है. ### सदिशों को जोड़ना (Addition of vectors) - सदिशों को जोड़ने के लिए **त्रिभुज नियम** और **समांतर चतुर्भुज नियम** का प्रयोग किया जाता है. - **त्रिभुज नियम**: सदिशों को जोड़ने के लिए सदिशों को एक त्रिभुज में रखकर जोड़ते हैं, जिसमें पहले सदिश के head को दूसरे सदिश के tail से जोड़ा जाता है और इस प्रकार बनाए गए त्रिभुज के head को परिणामी सदिश के tail से जोड़ा जाता है. - **समांतर चतुर्भुज नियम**: सदिशों को जोड़ने के लिए दोनो सदिशों को उनके initial point से जोड़ा जाता है और फिर सदिशों के समांतर रेखाएं खींची जाती है. इस प्रकार बनाए गए समांतर चतुर्भुज के विकर्ण परिणामी सदिश को दर्शाता है. ### सदिशों का घटाव (Subtraction of vectors) - सदिशों को घटाने के लिए दूसरे सदिश को ऋणात्मक करके जोड़ा जाता है. - सदिशों को घटाने के लिए **त्रिभुज नियम** का प्रयोग किया जाता है. - **त्रिभुज नियम**: सदिशों को घटाने के लिए सदिशों को त्रिभुज में रखकर जोड़ते हैं, जिसमें पहले सदिश के head को दूसरे सदिश के head से जोड़ा जाता है और इस प्रकार बनाए गए त्रिभुज के tail को परिणामी सदिश के tail से जोड़ा जाता है. ### सदिशों का गुणनफल (Multiplication of vectors) - सदिशों का गुणनफल दो तरीकों से किया जाता हैः - **अदिश गुणनफल** ( **डॉट प्रोडक्ट**): यह एक अदिश संख्या है जो दो सदिशों के परिमाणों तथा उनके बीच कोण के cosine के गुणनफल के बराबर होती है. - **सदिश गुणनफल** ( **क्रॉस प्रोडक्ट**): यह एक सदिश है जो दो सदिशों के परिमाणों तथा उनके बीच कोण के sine के गुणनफल के बराबर होता है और जिसकी दिशा दोनों सदिशों के लम्बवत होती है. - सदिशों का गुणनफल - **कम्यूटेटिव** नहीं है, अर्थात A x B ≠ B x A - **एसोसिएटिव** नहीं है, अर्थात (A x B) x C ≠ A x (B x C) - **वितरण नियम** का पालन करता है, अर्थात A x (B + C) = A x B + A x C ### सदिशों के विभाजन (Division of vectors) - सदिशों को विभाजित नहीं किया जा सकता है. ### सदिशों का प्रमाण (Magnitude of vectors) - सदिश के प्रमाण को दर्शाने वाला एक अदिश होता है जो सदिश की लंबाई को दर्शाता है. - सदिश का प्रमाण पाइथागोरस प्रमेय द्वारा ज्ञात किया जा सकता है. ### सदिशों का दिशा (Direction of vectors) - सदिश की दिशा एक कोण द्वारा दर्शायी जाती है जो सदिश के सापेक्ष एक निश्चित दिशा के साथ बनाता है. ### सदिशों का घटाव (Subtraction of vectors) - सदिशों का घटाव द्वारा किया जाता है जिसमें सदिश को ऋणात्मक करके जोड़ा जाता है. ### सदिशों की समस्याओं का हल (Solving Problems related to Vectors) - सदिशों से सम्बंधित समस्याओं को हल करने के लिए ऊपर दी गई धारणाओं और नियमों का प्रयोग किया जाता है. - समस्याओं को हल करने के लिए **त्रिभुज नियम**, **समांतर चतुर्भुज नियम**, **सदिशों का प्रक्षेप**, **सदिशों का गुणनफल**, **सदिशों का विभाजन** और **सदिशों का प्रमाण** का उपयोग किया जाता है.