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tlIllCr()S V () )CraCl()nCS El Estándar de Números y operaciones describe el conocimiento y la competencia básicos relativos a contar, a los números y a la aritméti- ca, así como una forma de comprender los conjuntos numéricos y sus estructuras. Incluye los conceptos y algoritmos de la aritmética elemen- lli':tónca/lIU7tL, el tal y las características de las clases de números que intervienen en los inicios de la teoría de números. El punto central de este Estándar es el llu/lIero ba. ido ltl piedra desarrollo del sentido numérico: la habilidad para descomponer núme- ros de forma natural, utilizar ciertos números como 100 o 1/2 como Illlgular de! curní:ulo de referentes, usar las relaciones entre las operaciones aritméticas para resolver problemas, comprender el sistema decimal de numeración, 'IlIfl t el}/{ I ticaso estimar, dar sentido a los números y reconocer las magnitudes relativa y absoluta de los números (Sowder 1992). Históricamente, el número ha sido la piedra angular del currículo de matemáticas, tanto internacionalmente como en Estados Unidos y Canadá (Reys y Nohda 1994). Todas las matemáticas propuestas, desde Prekindergarten al nivel 12, están fuertemente basadas en el número. Los principios que rigen la resolución de ecuaciones en álgebra coinci- den con las propiedades estructurales de los conjuntos numéricos. En Geometría y medida, los atributos se describen con números. El área de Análisis de datos conlleva dar sentido a los números. A través de la resolución de problemas, los estudiantes pueden explorar y consolidar sus conocimientos sobre los números. El razonamiento matemático de los más pequeños es más probable que se dé sobre situaciones numéri- cas, y sus primeras representaciones probablemente sean de números. Las investigaciones han demostrado que el aprendizaje relativo a números y operaciones es un proceso complejo para los niílos (p.e, Fuson ). En estos Estándares, la comprensión del número y las operaciones, el desarrollo del sentido numérico y conseguir fluidez de Estándar de cálculo aritmético, constituyen el núcleo de la educación matemática Tútneros y en los niveles elementales. Según van avanzando desde Prekindergarten al último nivel, los estudiantes deberían alcanzar una rica comprensión operaCIones de los números: lo que son; cómo pueden representarse con objetos, numerales o rectas numéricas; cómo se relacionan unos con otros; Los programas de enseñan- cómo están inmersos en sistemas que poseen estructuras y propiedades, za de todas las etapas deberían y cómo utilizar números y operaciones para resolver problemas. capacitar a todos los estudian- Es fundamental conocer las combinaciones básicas de números: la tes para: adición y multiplicación con pares de números de un solo dígito e, igualmente, respecto a la sustracción y la división. Asimismo, es esen- comprender los números, cialla fluidez de cálculo, esto es, tener y utilizar métodos eficaces y las diferentes formas de seguros para calcular. Esta fluidez tiene que ponerse de manifiesto al representados, las rela- usar estrategias mentales y anotaciones sobre papel o un algoritmo con ciones entre ellos y los con- papel y lápiz, particularmente con números grandes, en la producción juntos numéricos; rápida de resultados exactos. Independientemente del método utiliza- comprender los significa- do, los alumnos deberían ser capaces de explicar cuál han empleado, dos de las operaciones y entender que existen distintos métodos y ver la utilidad de métodos cómo se relacionan unas que sean eficaces, segu~os y generales. También necesitan ser capaces con otras; de estimar y juzgar lo razonable de los resultados. La fluidez en el cál- culo debería desarrollarse conjuntamente con la comprensión del papel calcular con fluidez y hacer y significado de las operaciones aritméticas en los sistemas numéricos estimaciones razonables. (Hiebert et al., 1997; Thornton 1990).  En determinadas ocasiones, debería disponerse de calculadoras, en particular cuando se necesitan muchos o incómodos cálculos para resolver problemas. Sin embargo, cuando los profesores están trabajan- do con sus alumnos en el desarrollo de los algoritmos de cálculo, debe- rían desecharse. La calculadora es hoy una herramienta de cálculo comúnmente usada fuera del aula; el ambiente en ésta debería reflejar tal realidad. Comprender los números, las diferentes formas de representarlos, las relaciones entre ellos y los conjuntos numéricos La comprensión de los números se desarrolla, desde La representación de Prekindergarten al nivel 2, cuando los niños cuentan y aprenden a reconocer "cuántos hay" en colecciones de objetos. Una idea clave es nlÍllzeros con di l'enos que un número puede ser descompuesto y pensado de varias formas. Por ejemplo, 24 es 2 dieces y 4 unos y, también, 2 conjuntos de doces. 'lJ1aterialesfísicos debería Pasar de ver "diez" como la reunión de 10 unos, a vedo como 10 unos y también como 1 diez, constituye un primer paso importante en la CO/lstitllir una parte comprensión de la estructura del sistema decimal de numeración (Cobb y Wheatley 1988). En los niveles elementales, los alumnos pue- principal de la den aprender sobre los tipos de números y sus características; por instrucción 17ltltel71áticll ejemplo, qué números son impares, pares, primos, compuestos o cua- drados. en los niveles Además de comprender los números naturales, se puede animar a los niños para que entiendan y representen fracciones usadas en con- ele7Jzelltales. textos familiares, tales como 1/2 de una galleta o 1/8 de una pizza, y para ver las fracciones como partes de una unidad entera o de una colección. Los profesores deberían ayudar a los alumnos a desarrollar la noción de fracción como división de números. Y, en los niveles medios, en parte como una base para el estudio de la proporcionalidad, los alumnos necesitan dar solidez a su conocimiento de las fracciones como números. El conocimiento y uso de los decimales debería asegu- rarse bien antes de llegar a los niveles superiores. Con un conocimien- to sólido del número, los alumnos de estos niveles pueden utilizar variables que representen números, para hacer manipulaciones simbóli- cas significativas. La representación de números con diversos materiales físicos debe- ría constituir una parte principal de la instrucción matemática en los niveles elementales. En estos niveles, los alumnos deberían llegar a comprender que los números pueden representarse de diversas mane- ras; ver que, por ejemplo, 1/4,25% Y 0,25 son diferentes formas de expresar el mismo número. La comprensión y la habilidad para razonar irán creciendo a medida que vayan representando fracciones y decima- les con materiales físicos y sobre la recta numérica, y aprendiendo a generar representaciones equivalentes de fracciones y decimales. Al tiempo que los estudiantes llegan a comprender los números y cómo representados, adquieren una fundamentación para entenoer las relaciones entre ellos. En' los niveles 3-5, pueden aprender a comparar fracciones, mediante referencias familiares, como 1/2. Y, a medida que se desarrolla su sentido numérico, deberían ser capaces de razonar sobre números; por ejemplo, explicar que 1/2 + 3/8 tiene que ser  menos que 1, porque uno de los sumandos es 112 y el otro es menor que 1/2. En los niveles 6-8, es importante que sepan desenvolverse bien con fracciones equivalentes, decimales y porcentajes, y de ordenar y comparar números racionales utilizando diversas estrategias. Al pasar de los naturales a los enteros, las intuiciones de los alumnos de los niveles medios sobre orden y magnitud serán más fiables, y tendrán una visión de cómo funcionan estos conjuntos de números. En la etapa 9-12, se pueden usar varia bles y funciones para representar relaciones entre conjuntos de números y para ver las propiedades de las distintas clases de números. Aunque en los niveles superiores se da más importancia a otras áreas que a la de números, los alumnos deberían ver los conjuntos numéricos desde una perspectiva más global. Deberían aprender las diferencias entre ellos y qué propiedades se conservan y cuáles no al pasar de un conjunto a otro. Comprender los significados de las operaciones y cómo se relacionan unas con otras Durante los primeros niveles, los estudiantes deberían enfrentarse con una variedad amplia de significados para la adición y la sustracción de números naturales. Investigadores y profesores han llegado a saber cómo entienden los niños las operaciones, a través de cómo abordan sencillos problemas aritméticos como el que sigue: Bob compró 2 galletas. Ahora tiene 5 galletas. ¿Cuántas galletas tenía antes? Para resolver este problema, los niños podrían usar la adición y con- tar a partir de 2, llevando la cuenta con los dedos, hasta llegar a 5. O bien, reconocer en este problema una situación sustractiva y utilizar el hecho de que 5 - 2 = 3. Explorar estrategias de pensamiento como éstas o darse cuenta de que 7 + 8 es lo mismo que 7 + 7 + 1, ayudará a los alumnos a comprender el significado de las operaciones. Estas exploraciones ayudan también al profesorado a averiguar lo que pien- san sus alumnos. La multiplicación y la división pueden empezar a tener sentido para los niños de la etapa Pre-K-2, al resolver problemas que surjan de su entorno; por ejemplo, cómo repartir por igual una bolsa de pasas entre cuatro personas. Una 17ÚSIlltloperación En los niveles 3-5, la enseñanza debería orientarse a ayudar a desarro- llar el significado de la multiplicación y de la división con números natu- puede apbcarse a rales. Al crear y trabajar con representaciones (diagramas u objetos con- cretos, por ejemplo) de situaciones de multiplicar y de dividir, los estu- proble77ltlS que parecen diantes pueden llegar a dar sentido a las relaciones entre las operaciones. Deberían ser capaces de decidir si deben sumar, restar, multiplicar o divi- totahnente diferentes. dir para resolver un problema determinado. Para hacerlo, tienen que darse cuenta de que una misma operación puede aplicarse a problemas que parecen totalmente diferentes, saber cómo se relacionan unas opera- ciones con otras, y tener una idea de qué clase de resultado deben esperar. En los niveles 6-8, debería darse la mayor importancia a las opera- ciones con números racionales. Las intuiciones de los estudiantes sobre las operaciones, deben adaptarse cuando trabajan con una estructura numérica ampliada (Graeber y Campbell 1993). Por ejemplo, al multi- plicar un número natural por una fracción comprendida entre O y 1 (p.e., 8 x 1/2), el resultado es menor que dicho número natural. Esto contradice la experiencia previa (con números naturales) de los alum- nos, según la cual, al multiplicar resulta siempre un número mayor. Un centro de atención principal en estos Estándares es trabajar con proporciones en los niveles medios. Los alumnos deberían llegar a ser competentes en la generación de razones numéricas para hacer compa- raciones en situaciones que se refieran a parejas de números, como en el siguiente problema: Si con tres paquetes de cacao pueden hacerse quince tazas de chocolate caliente, ¿cuántos paquetes se necesitan para hacer' sesenta tazas? En los niveles medios, los alumnos necesitan también aprender a operar con números enteros. En la etapa 9-12, cuando aprendan a combinar aritmética mente vectores y matrices, experimentarán con otras clases de conjuntos en los que aparecen números con propiedades y patrones nuevos. Calcular con fluidez y hacer estimaciones razonables Desarrollar fluidez requiere equilibrio y conexión entre la compren- sión conceptual y la competencia de cálculo. Por un lado, los métodos de DeS{l1i~ollllrJluide.::; cálculo que se practican repetidamente sin comprenderlos, con frecuen- cia se olvidan o se recuerdan incorrectamente (Hiebert 1999; Kamii, requiere equilibrio J' Lewis y Livingston 1993; Hiebert y Lindquist 1990). Por otro, compren- conexión entre 1ft der, pero no tener la fluidez necesaria para calcular, puede inhibir el pro- ceso de resolución de problemas (Thornton 1990). A medida que los c0771prensión conceptual y nifíos de los niveles Pre-K-2 van comprendiendo el significado de los números naturales y de las operaciones de adición y sustracción, la ense- la c0771petenciade ñanza debería centrarse sobre estrategias de cálculo que desarrollen la flexibilidad y la fluidez. Los alumnos generarán una serie de estrategias cálculo. interesantes y útiles para resolver problemas de cálculo, que deberían compartirse y discutirse. Al final del nivel 2, deberían conocer las combi- naciones básicas de adición y sustracción, y tener destreza al sumar y res- tar números de dos cifras. En los niveles 3-5, según van desarrollando las combinaciones numéricas básicas respecto a la multiplicación y la divi- sión, tendrían también que desarrollar algoritmos fiables para resolver problemas aritméticos con eficacia y seguridad. Estos métodos deberían aplicarse a números mayores, y practicarse para adquirir soltura. Investigadores y profesores con experiencia coinciden en que cuan- do se anima a los alumnos de los niveles elementales a desarrollar, registrar, explicar y criticar las estrategias de resolución de problemas de cálculo, tiene lugar un número importante de tipos de aprendizaje (ver, p.e, Hiebert ; Kamii, Lewis y Livingston ; Hiebert et al. ). Debe discutirse la eficacia de las diversas estrategias. E igualmente respecto a la generalización: ¿Funcionará esto con números cualesquiera o sólo con los dos que intervienen en este caso? Y la expe- riencia enseña que en las clases centradas en el desarrollo y discusión de las estrategias, surgen naturalmente varios algoritmos "estándar" o pueden ser introducidos opornmamente por el profesor. El hecho es que los alumnos han de llegar a tener soltura con los cálculos aritméti- cos y métodos eficaces y precisos que se apoyen en la comprensión de los números y las operaciones. Los algoritmos "estándar" del cálculo aritmético son un medio para alcanzar esta fluidez. Parte de la capacidad de El desarrollo de los conceptos de número racional es un objetivo fundamental en la etapa 3-5, lo que debería conducir a métodos infor- caleu!ar C077 Jlu ide'::. males de cálculo con fracciones. Por ejemplo, un problema tal como calcular 1/4 + 1/2 se resolvería mentalmente con facilidad, porque los radica en decidir alumnos pueden imaginar 1/2 y 1/4, o pueden utilizar estrategias de descomposición, tal como 1/4 + 1/2 = 1/4 + (1/4 + 1/4). En estos nive- illte/igelltelJlente qué les, habría que desarrollar y aplicar los métodos de cálculo con decima- les, y en la etapa 6-8 los estudiantes deberían adquirir soltura operando bellt1771ielltas usar y con números racionales, tanto en forma de fracción como en forma decimal. Cuando, en una evaluación nacional, se pidió estimar 12113 + cutlndo usar/as. 7/8, sólo un 24% de alumnos de 13 aii.os, dijeron que la respuesta era próxima a 2 (Carpenter et al. 1981). La mayoría contestó que estaba cerca de 1, de 19 o de 21, lo que refleja los errores comunes en la suma de fracciones y sugiere una falta de comprensión de la operación reali- zada. Si los estudiantes entienden la adición de fracciones y han desa- rrollado el sentido numérico, estos errores no tienen por qué darse. A medida que desarrollan la comprensión del significado y la representa- ción de los números enteros, deberían también desarrollar métodos para calcular con ellos. En la última etapa, 9-12, deberían operar con fluidez con números reales, y tener cierta competencia básica con vec- tores y matrices para resolver problemas, utilizando la tecnología cuan- do sea apropiado. Parte de la capacidad de calcular con fluidez radica en decidir inteli- gentemente qué herramientas usar y cuándo usadas. Los alumnos deberían tener experiencias que les ayuden a aprender a elegir entre cálculo mental, estrategias de lápiz y papel, estimación y uso de la cal- culadora. El contexto, la pregunta y los números que intervengan desempei'ían papeles importantes en esas decisiones. ¿Permiten los números un cálculo mental? ¿Pide el contexto una estimación? ¿El problema requiere cálculos repetidos y tediosos? Los alumnos deberían considerar los contextos de los problemas para determinar si es necesa- rio un resultado estimado o exacto, usar provechosamente su sentido numérico y ser capaces de dar racionalidad a sus decisiones.  , Al!!cbra El Álgebra tiene sus raíces históricas en el est;Idio de métodos gen- erales para resolver ecuaciones. El Estándar de Algebra se centra en las relaciones entre cantidades -incluyendo las funciones-, las formas de representación de relaciones matemáticas y el análisis del cambio. Las relaciones funcionales pueden expresarse usando la notación simbólica, lo que permite expresar sucintamente ideas matemáticas complejas y analizar el cambio con eficacia. Actualmente, el trabajo en muchas áreas se apoya en los métodos e ideas del Álgebra. Por ejemplo, las redes de distribución y comunicación, las leyes de la física, los modelos de población y los resultados estadísticos pueden expresarse en el 'fodos lo estudia/lte lenguaje simbólico algebraico. Además, el Álgebra también tiene que ver con las estructuras abstractas y con el uso de los principios refer- deberíall aprCJuhr entes a éstas en la resolución de problemas expresados con símbolos. Mucho del énfasis simbólico y estructural en el Álgebra puede cons- dlKebn¡ truirse sobre la extensa experiencia numérica de los estudiantes. El Álgebra está también íntimamente ligada a la Geometría y al Análisis de datos. Las ideas incluidas en el Estándar de Álgebra constituyen un componente principal del currículo de las matemáticas escolares, y ayu- dan a unificado. La competencia algebraica es importante en la vida adulta, tanto para el trabajo como para la educación postsecundaria. Todos los estudiantes deberían aprender Álgebra. Al considerar el Álgebra como un bloque del currículo, desde Prekindergarten, los profesores pueden ayudar a los alumnos a construir una sólida base de comprensión y experiencia, como preparación para un trabajo más complejo en Álgebra en los niveles medios y en la escuela secundaria. Por ejemplo: Una experiencia sistemática con patrones puede ayudar a entender la idea de función (Erick Smith, próxima aparición); en la experiencia con números y sus propiedades se fundamenta el trabajo posterior con símbolos y expresiones algebraicos. Cuando los estudiantes aprenden que las situaciones pueden describirse frecuentemente usando Estándar de Álgebra las matemáticas, pueden empezar a adquirir nociones elementales de la modelización matemática. Muchos adultos equiparan el Álgebra escolar Los programas de enseñan- con la manipulación de símbolos: resolver complicadas ecuaciones y sim- za de todas las etapas deberían plificar expresiones algebraicas. Por supuesto que los símbolos algebraicos capacitar a todos los estudian- y los procedimientos para trabajar con ellos constituyen un destacado tes para: acontecimiento histórico, y son imprescindibles en el quehacer matemáti- co, pero el Álgebra es más que manipular símbolos. Los estudiantes nece- comprender patrones, rela- sitan comprender sus conceptos, las estructuras y principios que rigen la ciones y funciones; manipulación de los símbolos y cómo pueden usarse éstos para registrar representar y analizar situa- ideas y ampliar su comprensión de las situaciones. Hoy, los ordenadores y ciones y estructuras las calculadoras pueden dibujar gráficas de funciones, realizar operaciones matemáticas utilizando con símbolos y hacer al instante cálculos sobre columnas de datos. Los símbolos algebraicos; estudiantes necesitan ahora aprender cómo interpretar las representacio- nes tecnológicas y cómo usar la tecnología con eficacia y prudencia. usar modelos matemáticos Frecuentemente, el Álgebra no se ha tratado explícitamente en el para representar y com- currículo escolar hasta el tradicional curso sobre Álgebra de las étapas prender relaciones cuanti- media o de la escuela secundaria. Al promover que se estudie desde los tativas; primeros niveles, Principios y Estándares apoya otras posibilidades de analizar el cambio en con- configurar programas en las citadas etapas. Lo? Estándares para la textos diversos. etapa 6-8 ponen un significativo énfasis en el Algebra, proponen mucha  más Geometría que la que hasta ahora se ha ofrecido normalmente, y abogan por la integración de ambas áreas. Los E~tándares para los niveles 9-12, asumiendo que esta sólida base de Algebra se alcanzará al final del nivel 8, describen un ambicioso programa de Álgebra, Geometría, Análisis de datos y Estadística, y hacen una llamada a la integración y la conexión entre las ideas. Comprender patrones, relaciones y funciones Las primeras experiencias clasificando y ordenando objetos resultan naturales e interesantes a los niños. Los profesores podrían ayudarles a notar que la secuencia rojo-azul-azul-rojo-azul-azul puede ampliarse añadiendo otra secuencia rojo-azul-azul, o ayudarles a predecir que el duodécimo término es azul, considerando que el patrón rojo-azul-azul se repite indefinidamente. Inicialmente, los estudiantes pueden descri- bir verbalmente la regularidad de patrones, más que con símbolos matemáticos (English y Warren 1998). En la etapa 3-5, pueden empe- zar a usar variables y expresiones algebraicas cuando describen y am- plían patrones. Al final de la escuela secundaria, podría resultarles cómodo utilizar la notación de las funciones para describir relaciones. El L4~g'elJ111 es 771ásque En los primeros niveles, pueden describir patrones como 2, 4, 6, 8,... fijando la atención en cómo se obtiene un término a partir del anterior; 7nfl7ziplllaT sÍ7nbolos. en este ejemplo, sumando 2. Este es el comienzo del pensamiento recur- sivo. Más tarde, es posible estudiar sucesiones que pueden definirse y cal- cularse mejor mediante la recursión; tal es el caso de la sucesión de Fibonacci 1, 1,2,3,5,8,... en la que cada término es la suma de los dos términos anteriores. Estas sucesiones aparecen naturalmente en muchos contextos y pueden estudiarse usando tecnología. A medida que los alumnos avanzan hacia la escuela secundaria, deberían desarrollar un repertorio de muchos tipos de funciones. En los niveles medios, centrándose en la comprensión de las relaciones lineales. Luego, deberían ampliar el repertorio y estudiar las caracterís- ticas de diferentes tipos de funciones. Muchos estudiantes universitarios entienden la noción de función sólo como una regla o fórmula, como "dado n, hallar 2n, para n = O, 1,2 Y 3" (Vinner y Dreyfus 1989). En los niveles medios, deberían ser capa- ces de comprender las relaciones entre tablas, gráficas y símbolos, y con- siderar las ventajas y desventajas de cada una de estas formas de repre- sentar las relaciones, según el caso particular. Trabajando con diversas representaciones (numéricas, gráficas y simbólicas) desarrollarán una comprensión más amplia de las funciones (ver Leinhardt, Zaslavsky y Stein 1990; Moschkovich, Schoenfeld y Arcavi 1993; NRC 1998). Representar y analizar situaciones y estructuras matemáticas utilizando símbolos algebraicos. La comprensión de las propiedades de los números se desarrolla gradualmente desde Pr.ekindergarten hasta la Secundaria. Mientras los niños cuentan de dos en dos, pueden observar que los números resul- tantes terminan en O, 2, 4, 6 u 8, y luego utilizar esta observación de tipo algebraico para ampliar el patrón. En los niveles 3- 5, al investigar las propiedades de las operaciones con números naturales, pueden des- cubrir que se puede multiplicar mentalmente 18 por 14 calculando Fig.3.2. 18 x 10 Y añadiendo 18 x 4, esto es, aplicando la propiedad distribu- Demostración de que 1 + 3 + 5 + 7 = 42 tiva de la multiplicación respecto a la adición. A veces, los estudian- tes pueden comprender ciertos argumentos geométricos mucho antes de que puedan realizar razonablemente manipulaciones com- plicadas de símbolos algebraicos. Por ejemplo, el diagrama de la figura 3.2 podría ayudar a conjeturar, a estudiantes de los últimos niveles de la escuela elemental, que la suma de los 12 primeros núme- ros impares es 122 En la escuela media deberían ser capaces de enten- der cómo se relaciona el diagrama con la igualdad. En la escuela secundaria deberían saber representar la relación en términos gene- rales, con símbolos, como 1 + 3 +... + (212 - 1) = 122, Y ser capaces de probar la validez de esta generalización. La investigación indica que los estudiantes tienen dificultades con el concepto de variable (Küchemann 1978; Kieran 1983; Wagner y Parker 1993), por lo que es importante desarrollar la comprensión de tal concepto a través de los niveles. En los niveles elementales, lo típico es considerar que una variable es el símbolo indicativo de un número determinado, como en x + 2 = 11. Más tarde, debería aprenderse que el uso de la variable x en la ecuación 3x + 2 = 11 es muy diferente del uso de la variable x en la identidad O x x = OY que ambos son completa- mente diferentes del uso de t· en la fórmula A = P r. La comprensión de la noción de variable requiere mucho tiempo y necesita basarse en una amplia experiencia (Sfard 1991). La noción de igualdad debería también desarrollarse a lo largo del currículo. Como consecuencia de la enseñanza recibida, los niños per- ciben generalmente el signo igual desde un punto de vista operativo, es decir, como una señal para "hacer algo" (Behr, Edwanger y Nichols 1976; Kieran 1981). Deberían llegar a vedo como un símbolo de equi- valencia y equilibrio. Los estudiantes de los niveles medios deberían empezar a desarrollar destreza para hallar expresiones equivalentes y resolver ecuaciones linea- les, tanto mentalmente como con lápiz y papel. En la escuela secundaria, deberían adquirir fluidez operando con símbolos; a mano o mentalmente en los casos sencillos, y con programas simbólicos de ordenador en todos los casos. En general, si los alumnos se ocupan excesivamente de la mani- pulación simbólica antes de haber desarrollado un sólido fundamento conceptual para su trabajo, serán incapaces de hacer algo más que mani- pular de forma mecánica (NRC 1998). La base para un trabajo útil con la notación simbólica debería prepararse durante mucho tiempo. Usar modelos matemáticos para representar y comprender relaciones cuantitativas Uno de los usos más poderosos de las matemáticas es la modeliza- ción de fenómenos. Los estudiantes de todos los niveles deberían tener oportunidades de modelizar matemáticamente una amplia variedad de fenómenos, en la forma apropiada para cada nivel. En los niveles 'inicia- les, pueden utilizar objetos, dibujos y símbolos para modelizar situacio- nes relativas a la adición y sustracción de números naturales. Cuando los niños muestran la situación "Gary tiene 4 manzanas y Becky tiene 5 más" disponiendo fichas, están empezando a construir modelos.  Durante la etapa 3-5, los alumnos deberían usar modelos para hacer predicciones, extraer conclusiones o entender mejor situaciones cuantita- tivas. Estos usos de modelos irán aumentando en complejidad. Por ejem- plo, al resolver un problema sobre cómo hacer un ponche, los alumnos podrían describir las relaciones existentes en el problema mediante la fórmula P = 8/3 Z, donde P es el número de copas de ponche y Z es el de copas de zumo. Este modelo matemático puede usarse para decidir cuánto ponche podrá hacerse con cincuenta copas de zumo. Los alumnos de la escuela secundaria deberían ser capaces de desa- rrollar modelos a partir de su conocimiento de muchos tipos de funcio- nes -para decidir, por ejemplo, si una situación se puede modelizar mejor mediante una función lineal o una función cuadrática- y de sacar conclusiones acerca de la situación analizando el modelo. Usando labo- ratorios basados en ordenadores (con sensores que recogen datos, tales como la velocidad o la distancia de un objeto, y los transmiten directa- mente a un ordenador para que puedan generarse gráficas, tablas y ecuaciones), los alumnos pueden obtener rápidamente datos numéricos fiables a partir de experimentos físicos. Esta tecnología les permite obtener modelos en una amplia gama de situaciones interesantes. Comprender el cambio es fundamental para comprender las funcio- nes y entender muchas de las ideas que se presentan en las noticias. El estudio del cambio matemático se formaliza en Análisis, cuando los estudiantes estudian el concepto de derivada. La investigación indica C07Jlprellder el [{17Jlbio que la noción de cambio no es generalmente comprendida con profun- didad, incluso después de estudiar cálculo (Smith, próxima aparición). es flllUltllllt lltal pllra Si las ideas relativas al cambio reciben un enfoque más explícito desde los primeros niveles, quizás los estudiantes lleguen, con el tiempo, a (I)7Jlprellder llls jlllláoller abordar el cálculo con una base más sólida para entenderlo. Desde Prekindergarten hasta el nivel 2, los niños pueden, al principio, descri- J' elltender 7Ill/clJas de las bir cambios cualitativos ("crecí más durante el pasado verano"); luego, ideas que se preselltan cambios cuantitativos ("el año pasado crecí dos pulgadas"). Mediante gráficas y tablas, los alumnos de la etapa 3-5 pueden empezar a obser- ell llls noticias. var y describir cambios; por ejemplo, en la forma de crecer una planta: "crece despacio, luego más deprisa, después va más despacio." Y cuan- do examinan sucesiones, pueden distinguir entre crecimiento aritméti- co (2,5,8, 11, 14,...) Y crecimiento geométrico (2, 4,8,16,...). Con una considerable atención a la linealidad en los niveles medios, los estudiantes podrían aprender que la pendiente representa la tasa cons- tante de cambio de las funciones lineales, y estar así preparados para estudiar, en la escuela secundaria, tipos de funciones en los que la tasa de cambio no es constante.