Aritmética: Números Reales - Curso Universitario 2024

# Bienvenidos a Aritmética: Números Reales ## Números Reales - Curso Universitario de Preparación para la Vida Universitaria - Ing. Jhony Jesus M. ### Signos de Relación y Simbología Matemática | Signo | Descripción | | Signo | Descripción | |---|---|---|---|---| | = | Igual | | ∈ | Pertenece a...

# Bienvenidos a Aritmética: Números Reales ## Números Reales - Curso Universitario de Preparación para la Vida Universitaria - Ing. Jhony Jesus M. ### Signos de Relación y Simbología Matemática | Signo | Descripción | | Signo | Descripción | |---|---|---|---|---| | = | Igual | | ∈ | Pertenece a | | ≠ | Diferente | | ∉ | No pertenece a | | ⊂ | Contenido en | | ⊂ | No incluido en | | ⊃ | Contiene a | | Ø | Conjunto Vacío | | < | Menor que | | < | Menor que | | > | Mayor que | | > | Mayor que | | ≤ | Menor o igual que | | ≠ | No es menor que | | ≥ | Mayor o igual que | | ≤ | No es mayor que | | ! | Factorial | | ≤ | Menor o igual que | | ≈ | Aproximación | | ≥ | Mayor o igual que | | ⇒ | Implicación | | ⊥ | Perpendicular a | | ⇔ | Si y sólo si | | || | Paralela a | | ∃ | Existe | | ∠ | Oblicua a | | ∃! | Existe y es único | | ℜ | Relaciona o vinculado | | ∀ | Para todo | | || | No paralelo | | ⊥ | Ortogonal | | || | Igual y paralelo a | | ∶ | Tal que | | .. | En consecuencia | | ∩ | Intersección | | ≡ | Equivalente a | | ∪ | Unión | | ~ | Semejante | | ⊆ | Incluido en | | ∞ | Infinito | ### Sistema de Números Reales - Reales (R) - Irracionales (I) - Racionales (Q) - Enteros (Z) - Naturales (N) ### ¿Qué son los números Naturales? - Número natural: sirve para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto. - Los números naturales son infinitos. - El conjunto de todos ellos se designa por N: N = {1, 2, 3, 4,..., 10, 11, 12,...} ### Números Enteros - Es el conjunto formado por los números enteros positivos, el cero y los números enteros negativos. - Z = {..., - 3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} - **Representación gráfica:** - Negativos - Cero - Positivos - Recta Numérica ### Números Racionales (Q) - Es un conjunto infinito, ordenado y denso, donde todos los números se pueden escribir como fracción: - a/b, donde a y b son enteros y b es distinto de cero - a: numerador - b: denominador - Ejemplos: 2; 17; 0; - 6; - 45; -1; ¼; 2/3; 0,489; 2,18; - 0,647 - 15/0 NO es racional - **Todo número entero es racional** ### Tipos de Fracciones - **Propias**: El numerador es menor que el denominador. Ejemplos: 2/5; 1/3; 9/10. - **Impropias**: El numerador es mayor o igual que el denominador. Ejemplos: 8/5; 7/8; 13/10. - **Mixtas**: Están compuestas por una parte entera y una fracción. Ejemplos: 1 2/7; 4 1/5; ### Irracionales - Los Números Irracionales se definen con la letra I y son los Números Reales que NO son Racionales - QUI=R - La unión de Racionales e Irracionales conforma al conjunto de los Números Reales - Los Números Irracionales solo pueden expresarse con infinitos decimales NO periódicos - Ejemplos: √2; π ; e ### Tipos de Irracionales - **Algebraicos**: Un número algebraico son las raíces "n-ésimas" de un polinomio de cualquier grado y con coeficientes reales. Ejemplos: √2; √3 . - **Trascendentes**: Los números trascendentes no se pueden expresar a través de operaciones entre raíces, provienen de las funciones trascendentes: trigonométricas, logarítmicas y exponenciales. - También surge al escribir número decimales no periódicos al azar o con un patrón que no lleva período definido. - Ejemplos: π ; e ### Propiedades de las Fracciones | Propiedad | Ejemplo | Descripción | |---|---|---| | a/b × c/d = ac/bd | (2/5)×(2/7) =10/21 | Para multiplicar fracciones, multiplique numeradores y denominadores. | | a/b ÷ c/d = a/b × d/c | 2/7 ÷ 3/5 = 2/7 × 5/3 =10/21 | Para dividir fracciones, multiplique por el recíproco del divisor. | | a/c + b/c = (a + b)/c | 2/5 + 7/5 = (2+7)/ 5 = 9/5 | Para sumar fracciones con el mismo denominador, sume los numeradores. | | a/b + c/d = ad+bc/bd | 2/3 + 3/5 = (2×5) + (3×3)/ (3×5) = 19/15 | Para sumar fracciones con denominadores diferentes, encuentre un común denominador y a continuación sume los numeradores. | | ac/bc = a/b | 2×5/3×5 = 2/3 | Cancele números que sean factores comunes en numerador y denominador. | | a/b = c/d entonces ad =bc | 2/6 = 3/9, así que 2 × 9=3×6 | Multiplicación cruzada. | ### Ley de Signos **Suma y Resta:** - (+)+ (+) = Se suma y se pone el signo + - (-)+ (-) = Se suma y se pone el signo - - (+) + (-) = Se resta y se pone el signo del número mayor **Multiplicación** - (+) x (+) = + - (-)x(-) = + - (+)x(-) = - - (-)x(+) = - **División** - (+) ÷ (+) = + - (-) ÷ (-) = + - (+) ÷ (-) = - - (-) ÷ (+) = - ### Propiedades de los Negativos | Propiedad | Ejemplo | |---|---| | 1. (-1)a = - a | (-1)5 = -5 | | 2. -(- a) = a | -(-5) = 5 | | 3. (- a)b = a(-b) = -(ab) | (-5)7 = 5(-7) = -(5.7) | | 4. (-a)(-b) = ab | (-4)(-3) = 4.3 | | 5. -(a + b) = -a-b | -(3+5) = -3-5 | | 6. -(a - b) = b - a | -(5-8) = 8-5 | ### La Jerarquía de las Operaciones - **P** Paréntesis primero - **E** Exponentes - **M** Multiplicar o Dividir - **D** Antes de sumar o restar - **A** Sumar o restar - **S** Sumar o restar ### Potenciación | Propiedad | Ejemplo | |---|---| | a0 = 1 | (-5)0 = 1 | | a1 = a | 231 = 23 | | an × am = an+m | x2× x -3 = x2-3 = x-1 | | an/am = an-m | 78/75 = 78-5 = 73 | | (ab)n = an × bn | (4 × x)3 = 43 × x3 | | (a/b)n = an/bn | (-3/2)3 = (-3)3/(2)3 = -27/8 | | (an)m = an.m | (m-1)3 = m -1 . 3 = m-3 | | √an = am | √83 = 85 | | a-n = 1/an | a-5 = 1/a5 | | (a/b)-n = (b/a)n | (2/-5) -2 = (-5/2) 2 = 25/4 | | (a + b)n ≠ an + bn | (4 + x)3 ≠ 43 + x 3 | ### Radicación - Sabemos lo que 2n significa siempre que n sea un entero. - Para dar significado a una potencia, por ejemplo 24/5, cuyo exponente es un número racional, necesitamos estudiar radicales. - **El símbolo √ significa "la raíz positiva de "**. - √a = b significa que b² = a y b ≥ 0 - **Ejemplos**: - √9 = 3 porque 3² = 9 y 3 ≥ 0 - **Raíz de un número:** - √x = x¹/n - **Potencia de un radical:** - (√x)m = √x^m = x^m/n - **Producto de radicales con un mismo índice radical:** - √x.y = √x × √y - **División de radicales con un mismo índice radical:** - √x/√y = √x/√y * √y/√y = √(x/y) y ≠ 0 - **Raíz de raíces:** - m√n√x = mn√x