Movimiento en dos dimensiones (PDF)

62 CAPÍTULO 3 | Vectores y movimiento en dos dimensiones 3.3 Desplazamiento, velocidad y aceleración en dos dimensiones En un movimiento en un...

62 CAPÍTULO 3 | Vectores y movimiento en dos dimensiones 3.3 Desplazamiento, velocidad y aceleración en dos dimensiones En un movimiento en una dimensión, como se explicó en el capítulo 2, la dirección de El desplazamiento del y S objeto es el vector r. una cantidad vectorial como la velocidad o bien la aceleración puede ser tomada en cuen- ta al especificar la cantidad ya sea positiva o negativa. Por ejemplo, la velocidad de un cohete es positiva si éste va hacia arriba y negativa si va hacia abajo. Esta solución simple  Sr no está disponible en dos o tres dimensiones. En cambio, se debe hacer uso completo del ti tf concepto vectorial. S ri Considere un objeto que se mueve a través del espacio como se muestra en la figura Trayectoria S rf del objeto 3.13. Cuando el objeto está en algún punto  en el tiempo ti, su posición se describe me- S x diante el vector de posición r i, dibujado desde el origen hasta . Cuando el objeto se ha S O movido hacia algún otro punto en el tiempo tf , su vector de posición es r f. Del diagrama vectorial en la figura 3.13, el vector de posición final es la suma del vector de posición S S S S Figura 3.13 Un objeto se mueve inicial y el desplazamiento Dr : r f 5 r i 1 Dr. A partir de esta correspondencia, se obtienen a lo largo de una trayectoria curva las siguientes: entre los puntos  y. El vector de S desplazamiento Dr es la diferencia de los vectores de posición: El desplazamiento de un objeto se define como el cambio en su vector de posición, S S S Dr 5 rf 2 ri. o bien S S S Dr ; r f 2 r i [3.6] Unidad SI: metro (m) Ahora se presentan varias generalizaciones de las definiciones de velocidad y acelera- ción expuestas en el capítulo 2. Velocidad promedio c La velocidad promedio de un objeto durante un intervalo de tiempo )t es su despla- zamiento dividido entre )t: S DrS v prom ; [3.7] Dt Unidades SI: metros por segundo (m/s) Debido a que el desplazamiento es una cantidad vectorial y el intervalo de tiempo es una cantidad escalar, se concluye que la velocidad promedio es una cantidad vectorial dirigida S a lo largo de Dr. S Velocidad instantánea c La velocidad instantánea v de un objeto es el límite de su velocidad promedio cuan- do )t tiende a cero: S  DrS v ; lím [3.8] Dt S 0 Dt Unidades SI: metros por segundo (m/s) La dirección del vector velocidad instantánea es el recorrido a lo largo de una línea que es tangente a la trayectoria del objeto y en la dirección de su movimiento.  www.elsolucionario.org 3.4 | Movimiento en dos dimensiones 63 La aceleración promedio de un objeto durante un intervalo de tiempo )t es el cam- b Aceleración promedio S bio en su velocidad )v dividido entre )t, o bien S S Dv a prom ; [3.9] Dt Unidades SI: metro por segundo cuadrado (m/s2) S El vector aceleración instantánea a de un objeto es el límite de su vector aceleración b Aceleración instantánea promedio conforme )t tiende a cero: S S Dv a ; lím [3.10] Dt S 0 Dt Unidades SI: metro por segundo cuadrado (m/s2) Es importante reconocer que un objeto puede acelerar en diferentes formas. Primero, la magnitud del vector velocidad (la rapidez) puede cambiar con el tiempo. Segundo, la dirección del vector velocidad puede cambiar con el tiempo, incluso si la rapidez es cons- tante, como puede suceder a lo largo de una trayectoria curva. Tercero, tanto la magnitud y la dirección del vector velocidad pueden cambiar al mismo tiempo. Examen rápido 3.4 ¿Cuál de los objetos que siguen no puede estar acelerando? a) Un objeto móvil con rapidez constante; b) un objeto móvil con una velocidad constante; c) un objeto móvil a lo largo de una curva. 3.5 Considere los siguientes controles en un automóvil: pedal para acelerar, freno, volante. Los controles en esta lista que ocasionan una aceleración del automóvil son a) los tres controles, b) el pedal de aceleración y el freno, c) sólo el freno, o bien d) sólo el pedal de aceleración. 3.4 Movimiento en dos dimensiones En el capítulo 2 se estudió el movimiento de objetos a lo largo de trayectorias en línea recta, como el eje x. En este capítulo, examinamos objetos que se mueven en las dos direc- ciones x y y de manera simultánea bajo aceleración constante. Un caso especial importante de este movimiento en dos dimensiones se le conoce como movimiento de un proyectil. b Movimiento de un proyectil Cualquiera que haya lanzado alguna clase de objeto en el aire ha observado un movi- miento de un proyectil. Si se omiten los efectos de la resistencia del aire y la rotación de la Tierra, la trayectoria del proyectil dentro del campo de gravedad de la Tierra es una curva en forma de parábola, como se muestra en la figura activa 3.14. La dirección x positiva es horizontal y hacia la derecha, y la dirección y es vertical y positiva hacia arriba. El hecho experimental más importante acerca del movimiento Figura activa 3.14 La componente y de la Trayectoria parabólica de una par- velocidad es cero en el y tícula que deja el origen con una pico de la trayectoria. S S velocidad de v0. Observe que v cambia con el tiempo. Sin embargo, S vy  0 v0x S g La componente x de la la componente x de la velocidad, vx , v vy velocidad permanece permanece constante en el tiempo, v0x constante en el tiempo. S u igual que su velocidad inicial v 0x. v0 Además, vy 5 0 en el pico de la tra- v0x u v0y vy S v yectoria, pero la aceleración siempre es igual a la aceleración en caída u0 v0x libre y actúa verticalmente hacia x abajo. v0x u0 S v0y v 64 CAPÍTULO 3 | Vectores y movimiento en dos dimensiones Figura activa 3.15 Se lanza un y (m) proyectil desde el origen con una 150 rapidez inicial de 50 m/s en diferen- vi  50 m/s Los valores 75 tes ángulos de proyección. complementarios del 100 ángulo inicial u dan como 60 resultado el mismo valor de 45 R (el alcance del proyectil). 50 30 15 x (m) 50 100 150 200 250 de un proyectil en dos dimensiones es que los movimientos horizontal y vertical son com- pletamente independientes entre sí. Esto significa que el movimiento en una dirección no tiene efecto sobre el movimiento en la otra dirección. Si una pelota es lanzada en una trayectoria parabólica, como en la figura activa 3.14, el movimiento en la dirección y se verá muy semejante al de una pelota lanzada en una trayectoria recta hacia arriba bajo la influencia de la gravedad. La figura activa 3.15 muestra el efecto de diferentes ángulos iniciales; observe que los ángulos complementarios dan el mismo alcance horizontal. La figura 3.16 es un experimento que ilustra la independencia del movimiento horizon- tal y vertical. La pistola apunta directamente a la bola objetivo y es disparada en el instante en que ésta es liberada. En ausencia de gravedad, el proyectil daría en el blanco porque el objetivo no se movería. Sin embargo, el proyectil aún da en el blanco en presencia de la gravedad. Eso significa que el proyectil está cayendo con el mismo desplazamiento vertical que el objetivo, a pesar de su movimiento horizontal. El experimento también funciona iniciando como en la figura 3.17, cuando la velocidad inicial es la componente vertical. Tip 3.4 Aceleración en el punto más alto www.elsolucionario.org En general, las ecuaciones de aceleración constante desarrolladas en el capítulo 2 vie- nen por separado para la dirección x y la dirección y. Una diferencia importante es que ahora la velocidad tiene dos componentes, no precisamente una como en ese capítulo. La aceleración en la dirección S Suponga que en t 5 0 el proyectil deja el origen con una velocidad inicial v0. Si el vector y no es cero en la parte superior de la trayectoria del proyectil. Sólo velocidad forma un ángulo u0 con la horizontal, donde a u0 se le conoce como ángulo de la componente y de la velocidad proyección, entonces, a partir de las definiciones de las funciones coseno y seno y la figura es cero. Si la aceleración también 3.14, se tiene fuera cero, ¡el proyectil jamás llegaría abajo! v 0x 5 v 0 cos u0 y v 0y 5 v 0 sen u0 donde v0x es la velocidad inicial (en t 5 0) en la dirección x y v0y es la velocidad inicial en la dirección y. La velocidad del proyectil (flechas rojas) cambia de dirección y magnitud, pero su aceleración (flechas moradas) y se mantiene constante. Arma S Objetivo v0 Línea visual. Charles D. Winters/Cengage Learning Punto de 0 colisión x Figura 3.16 Una bala se dispara a un obje- Figura 3.17 Fotografía multiflash de la demostración proyectil- tivo en el mismo instante en que el objetivo es objetivo. Si el arma se dirige directamente al objetivo y se dispara liberado. Ambos caen verticalmente a la misma en el mismo instante en que el objetivo empieza a caer, el proyectil velocidad y colisionan. dará en el blanco.  3.4 | Movimiento en dos dimensiones 65 Ahora, las ecuaciones 2.6, 2.9 y 2.10 desarrolladas en el capítulo 2 para el movimiento con aceleración constante en una dimensión llevan hacia el caso en dos dimensiones; existe un conjunto de tres ecuaciones para cada dirección con las velocidades iniciales modificadas como ya se explicó. En la dirección x, con ax constante, se tiene vx 5 v 0x 1 axt [3.11a] Dx 5 v 0x t 1 12a x t 2 [3.11b] vx2 5 v 0x2 1 2ax Dx [3.11c] donde v0x 5 v0 cos u0. En la dirección y, se tiene vy 5 v 0y 1 ayt [3.12a] Dy 5 v 0y t 1 12a y t 2 [3.12b] vy2 5 v 0y2 1 2ay Dy [3.12c] donde v0y 5 v0 sen u0 y ay es contante. La rapidez del objeto v puede ser calculada a partir de los componentes de la velocidad aplicando el teorema de Pitágoras: v5 vx 2 1 vy 2 El ángulo que forma el vector velocidad con el eje x se conoce por vy u 5 tan21 vx Esta fórmula para u, como se estableció previamente, se debe aplicar con precaución, por- que la función tangente inversa sólo proporciona valores entre 290° y 190°. Es necesario sumar 180° para vectores que se encuentran en el segundo o el tercer cuadrantes. Las ecuaciones de cinemática son fáciles de adaptar y simplificar para proyectiles cerca de la superficie de la Tierra. En ese caso, suponiendo que la fricción del aire es despre- ciable, la aceleración en la dirección x es 0 (porque se omite la resistencia del aire). Esto significa que ax 5 0 y el componente de velocidad del proyectil a lo largo de la dirección x permanece constante. Si el valor inicial de la componente de velocidad en la dirección x es v0x 5 v0 cos u0, entonces éste también es el valor de v en cualquier tiempo posterior, así vx 5 v 0x 5 v 0 cos u0 5 constante [3.13a] mientras que el desplazamiento horizontal es simplemente Dx 5 v 0xt 5 (v 0 cos u0)t [3.13b] Para el movimiento en la dirección y, se hace la sustitución ay 5 2g y v 0y 5 v 0 sen u0 en las ecuaciones 3.12, lo que proporciona vy 5 v 0 sen u0 2 gt [3.14a] Dy 5 v 0 sen u0 t 2 12gt 2 [3.14b] vy2 5 (v 0 sen u0)2 2 2g Dy [3.14c] Los hechos importantes del movimiento de un proyectil se pueden resumir como sigue: 1. Siempre que se omita la resistencia del aire, la componente horizontal de la ve- locidad vx permanece constante porque no existe componente horizontal de la aceleración. 2. La componente vertical de la aceleración es igual a la aceleración en caída libre 2g. 3. La componente vertical de la velocidad vy y el desplazamiento en la dirección y son idénticos a los de un cuerpo en caída libre. 4. El movimiento de proyectil puede describirse como una sobreposición de dos mo- vimientos independientes en las direcciones x y y. 70 CAPÍTULO 3 | Vectores y movimiento en dos dimensiones Aceleración constante en dos dimensiones Hasta ahora hemos estudiado únicamente problemas en los que un objeto con una velo- cidad inicial sigue una trayectoria determinada sólo por la aceleración de la gravedad. En el caso más general, otros agentes pueden ocasionar aceleraciones, como la fricción con el aire, fricción superficial, o bien, los motores. Estas aceleraciones, consideradas juntas, forman una cantidad vectorial con componentes ax y ay. Cuando ambas componentes son constantes, se pueden aplicar las ecuaciones 3.11 y 3.12 para estudiar el movimiento, como en el siguiente ejemplo.  3.5 | Velocidad relativa 71 En un despliegue de destreza parecido al que se describe en el ejercicio 3.9, el teme- rario motociclista Evel Knievel intentó saltar por encima de Hells Canyon, parte del siste- ma Snake River en Idaho, en su Harley-Davidson X-2, Motocicleta del cielo, impulsada por cohete. Perdió el conocimiento al arranque y liberó una palanca, desplegando de manera prematura su paracaídas y cayendo antes de llegar del otro lado. Aterrizó con seguridad en el cañón. 3.5 Velocidad relativa La velocidad relativa vincula las mediciones de dos observadores diferentes, uno moviéndo- se con respecto al otro. La velocidad observada de un objeto depende de la velocidad del observador con respecto al objeto. Por ejemplo, en una autopista los automóviles se mue- ven frecuentemente en la misma dirección con magnitudes de velocidad considerables con respecto a la superficie de la tierra, pero en relación unos con otros difícilmente se mueven del todo. Para un observador en reposo al lado del camino, un automóvil podría  www.elsolucionario.org 72 CAPÍTULO 3 | Vectores y movimiento en dos dimensiones y A estar viajando a 60 mi/h, pero para un observador viajando en un camión en la misma dirección a 50 mi/h, el automóvil aparecería estar sólo viajando a 10 mi/h. Así, la medición de la velocidad depende del marco de referencia del observador. Los marcos de referencia son simplemente sistemas coordenados. La mayoría de las veces uti- lizamos un marco de referencia estacionario con respecto a la superficie de la tierra, pero T rAS S S S rAB  rAT  rBT ocasionalmente usaremos un marco de referencia móvil asociado con un autobús, auto- móvil o avión moviéndose con velocidad constante relativa a la superficie de la Tierra. S x E rB Los cálculos de la velocidad relativa en dos dimensiones pueden ser confusos, de tal T B manera que es importante y útil un planteamiento sistemático. Sea T un observador, con- siderado fijo con respecto a la superficie de la Tierra. Considere dos automóviles etiqueta- dos como A y B e introduzca la siguiente notación (véase la figura 3.23): S r AT 5 posición del automóvil A como lo observa T (en un sistema coordenado fijo con Figura 3.23 La posición del auto- respecto a la tierra). móvil A relativo al automóvil B se S puede hallar mediante resta de vec- r BT 5 posición del automóvil B como lo observa T. S tores. La razón de cambio del vector r AB 5 posición del automóvil A como se observa desde el automóvil B. resultante con respecto al tiempo es la ecuación de velocidad relativa. De acuerdo con la notación anterior, la primera letra nos señala hacia dónde apunta el vector, la segunda letra nos indica dónde inicia el vector de posición. Los vectores de S S posición del automóvil A y del automóvil B relativos a E, r AT y r BT se muestran en la figura. S ¿Cómo determinamos r AB, la posición del automóvil A visto desde el automóvil B? Simple- mente se dibuja una flecha apuntando a partir del automóvil B hacia el automóvil A, la S S cual se puede obtener al restar r BT de r AT: S S S r AB 5 r AT 2 r BT [3.15] Ahora, la razón de cambio de estas cantidades con el tiempo nos proporciona la corres- pondencia entre las velocidades asociadas: S S S www.elsolucionario.org vAB 5 vAT 2 vBT [3.16] El sistema coordenado del observador E no necesita estar fijo a la Tierra, aunque frecuen- temente lo está. Tome nota cuidadosamente del diseño de los subíndices; en lugar de memorizar la ecuación 3.16 es mejor estudiar la deducción breve a partir de la figura 3.23. Además observe que la ecuación no funciona para observadores viajando a una fracción considerable de la rapidez de la luz, que es cuando la teoría de Einstein de la relatividad especial entra en juego. ESTRATEGI A PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS Velocidad relativa 1. Marque cada objeto que se incluye (por lo general tres) con una letra que le recuerde qué es (por ejemplo, T para la Tierra). 2. Vea a través del problema por medio de frases como “La velocidad de A relativa a B” S y escriba las velocidades como vAB. Cuando se menciona una velocidad, pero no se establece claramente como relativa a algo, casi siempre es relativa a la Tierra. 3. Tome las tres velocidades que encontró y arme una ecuación parecida a la ecuación 3.16, con subíndices en un orden similar. 4. Existirán dos componentes desconocidos. Resuelva para ellos con los componentes x y y de la ecuación desarrollada en la etapa 3.  3.5 | Velocidad relativa 73 ESTR ATEGI A Resuelva estos problemas colocando los para la pelota. La segunda oración pregunta la velocidad S subíndices adecuados en las velocidades y reordene como de la pelota relativa a la Tierra, vBTi. El resto del problema en la ecuación 3.16. En la primera oración del enunciado puede resolverse identificando las componentes correctas del problema, se informa que el tren viaja a “15.0 m/s rela- de las cantidades conocidas y resolviendo para las incógni- S tiva a la Tierra”. Esta cantidad es vTi, con T para tren y Ti tas, aplicando una ecuación semejante a la 3.16. El inciso b) para Tierra. El pasajero lanza la pelota a “15.0 m/s relativa sólo requiere un cambio de signo. S al tren”, de tal modo que esta cantidad es vBT, donde B es