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El poseedor del récord actual absoluto de velocidad en...

El poseedor del récord actual absoluto de velocidad en tierra es el diseño británico ThrustSSC, un coche con motor turbofan gemelo que alcanzó 763 millas por hora (1 228 km/h) para la milla (1.6 km), rompiendo la barrera del sonido. El coche fue conducido por Andy Green (Reino Unido) el 15 de octubre de 1997 en el desierto Black Rock en Gerlach, Nevada. AP Photo/Ben Margot Movimiento en una dimensión 2 La vida es movimiento. Nuestros músculos coordinan microscópicamente el movimiento que 2.1 Desplazamiento nos permite caminar y desplazarnos. Nuestros corazones bombean sin descanso por décadas, 2.2 Velocidad moviendo la sangre a través de nuestros cuerpos. Los mecanismos de las paredes de la célula mueven de manera selectiva átomos y moléculas hacia adentro y hacia afuera de las mismas. 2.3 Aceleración Desde la persecución prehistórica del antílope a través de la sabana, hasta el seguimiento de 2.4 Diagramas de movimiento satélites en el espacio, el dominio del movimiento ha sido crucial para la sobrevivencia y éxito nuestros como especie. 2.5 Movimiento en una dimensión Al estudio del movimiento y de los conceptos físicos como la fuerza y la masa se le conoce con aceleración constante como dinámica. La parte de la dinámica que describe el movimiento sin importar sus causas se 2.6 Objetos en caída libre le conoce como cinemática. En este capítulo, el enfoque es sobre la cinemática en una dimen- sión: movimiento a lo largo de una línea recta. Esta clase de movimiento y, en realidad cualquier movimiento, involucra los conceptos de desplazamiento, velocidad y aceleración. Aquí se utilizan para estudiar el movimiento de objetos que se someten a una aceleración constante. En el capítulo 3 se reproducirá esta explicación para objetos moviéndose en dos dimensiones. La primera evidencia registrada del estudio de la mecánica puede ser atribuida a la gente de la antigua Sumeria y Egipto, quienes estuvieron interesados principalmente en comprender los movimientos de los cuerpos celestes. Los primeros estudios más sistemáticos y detallados del cielo fueron realizados por los griegos desde el año 300 a.C. hasta el 300 d.C. Los antiguos científicos y la gente común consideraron a la Tierra como el centro del Universo. Este modelo geocéntrico fue extensamente aceptado por personajes notables como Aristóteles (384-322 a.C.) y Claudio Ptolomeo (hacia 140 d.C.) y, debido a la autoridad de Aristóteles, el modelo geocéntrico fue la teoría del Universo aceptada hasta el siglo XVII. Hacia el año 250 a.C. el filósofo griego Aristarco trabajó los detalles de un modelo del Sis- tema solar en términos de una Tierra esférica que gira en su eje y revoluciona alrededor del Sol. Propuso que el cielo parece girar desde el Oeste porque la Tierra estaba girando hacia el Este. A este modelo no se le dio mucha importancia porque se creía que una Tierra girando generaría vientos poderosos que se mueven a través del aire. Ahora se sabe que la Tierra transporta el aire y diferentes cosas con ella mientras se mueve. Al astrónomo polaco Nicolás Copérnico (1473-1543) se le acredita como el iniciador de la revolución que finalmente sustituye el modelo geocéntrico. En su sistema, conocido como modelo heliocéntrico, la Tierra y los otros planetas giran en órbitas circulares alrededor del Sol. 25 26 CAPÍTULO 2 | Movimiento en una dimensión Este conocimiento inicial formó los fundamentos para el trabajo de Galileo Galilei (1564- 1642), a quien se le reconoce como el principal facilitador de la entrada de la física en la era moderna. En 1609 se convierte en uno de los primeros en hacer observaciones astronómicas con un telescopio. Observó montañas en la Luna, los grandes satélites de Júpiter, manchas en el Sol y las fases de Venus. Las observaciones de Galileo lo convencieron de la certeza de la teoría de Copérnico. Su estudio cuantitativo del movimiento configuró los fundamentos del trabajo revo- lucionario de Newton en el siglo siguiente. 2.1 Desplazamiento El movimiento involucra el desplazamiento de un objeto desde un lugar en el espacio y tiempo hacia otro. Describir el movimiento requiere algún sistema coordenado conve- niente y un origen específico. Un marco de referencia es una elección de ejes coordenados que definen el punto de inicio para medir cualquier cantidad, una primera etapa esencial en la solución implícita de cualquier problema en mecánica (figura 2.1). Por ejemplo, en la figura activa 2.2a, un automóvil se traslada a lo largo del eje x. Las coordenadas del auto en cualquier momento describen su posición en el espacio y lo más importante, su despla- zamiento en algún tiempo de interés dado. Definición de desplazamiento c El desplazamiento )x de un objeto se define como su cambio de posición y está dado por )x ; xf 2 xi [2.1] donde la posición inicial del auto se marca con xi y la posición final xf. (Los índices i y f establecen el inicio y el final, respectivamente.) Unidad SI: metro (m) Utilizaremos la letra griega delta, ), para indicar un cambio en cualquier cantidad física. A Tip 2.1 ¡Un desplazamiento partir de la definición de desplazamiento, vemos que )x (se lee “delta equis”) es positiva si no es una distancia! xf es mayor que xi y es negativa si xf es menor que xi. Por ejemplo, si el auto se mueve desde el punto  hasta el punto  de tal modo que la posición inicial es xi 5 30 m y la posición El desplazamiento de un objeto no es lo mismo que la distancia final es xf 5 52 m, el desplazamiento es )x 5 xf 2 xi 5 52 m 2 30 m 5 122 m. Sin embargo, que recorre. Arroje una pelota si el automóvil se mueve desde el punto  hasta el punto , en tal caso la posición inicial de tenis hacia arriba y atrápela. es xi 5 38 m y la posición final es xf 5 253 m, y el desplazamiento es )x 5 xf 2 xi 5 253 m La pelota recorre una distancia 2 38 m 5 291 m. Una respuesta positiva indica un desplazamiento en la dirección x posi- igual a dos veces la altura máxima tiva, mientras que una respuesta negativa indica desplazamiento en la dirección x negativa. que alcanza, pero su desplaza- La figura activa 2.2b despliega la representación gráfica de la posición del automóvil como miento es cero. una función del tiempo. NASA/USGS a NASA/USGS Figura 2.1 a) ¿Qué tan grande es el cañón? Sin un marco de referencia, es difícil decirlo. b) El cañón es Valles Marineris en Marte, y con un marco de referencia proporcionado por un esquema superpuesto de los Estados Unidos, su tamaño es fácil de entender. b  www.elsolucionario.org 2.2 | Velocidad 27 El auto se mueve a la derecha entre las posiciones  y .   x (m) 60  x (m) 40 x  60 50 40 30 20 10 0 10 20 30 40 50 60  20 t     0  x (m) 60 50 40 30 20 10 0 10 20 30 40 50 60 20 El auto se mueve a la  40 izquierda entre las  posiciones  y . 60 t (s) 0 10 20 30 40 50 a b Figura activa 2.2 a) Un automóvil se mueve de atrás hacia adelante a lo largo de una línea recta que se toma como el eje x. Debido a que estamos interesados sólo en la traslación del automóvil, podemos representarlo como un partícula. b) Gráfica de posición en términos del tiempo para el movimiento de la “partícula”. Debido a que el desplazamiento tiene una magnitud (tamaño) y una dirección, es una Tip 2.2 Los vectores tienen cantidad vectorial, como lo son la velocidad y la aceleración. En general, una cantidad tanto una magnitud como vectorial se caracteriza por tener una magnitud y una dirección. En contraste, una canti- una dirección dad escalar tiene magnitud, pero no dirección. Las cantidades escalares como la masa y Los escalares tienen tamaño. Los la temperatura se especifican por completo mediante un valor numérico con unidades vectores, también, tienen tamaño, adecuadas; no se involucra dirección alguna. pero además indican una Las cantidades vectoriales frecuentemente se indican en negritas con una flecha en- dirección. S S cima de la parte superior de la letra. Por ejemplo, v representa velocidad y a indica una aceleración, ambas cantidades vectoriales. No obstante, en este capítulo no es necesario utilizar esa notación porque en el movimiento en una dimensión un objeto sólo puede moverse en una de dos direcciones, y estas direcciones se especifican fácilmente mediante los signos más y menos. 2.2 Velocidad En el uso cotidiano, los términos rapidez y velocidad son intercambiables. Sin embargo, en física existe una distinción evidente entre ellos: rapidez es una cantidad escalar, sólo tiene magnitud, mientras que la velocidad es un vector, pues tiene magnitud y dirección. ¿Por qué la velocidad es un vector? Si se quiere ir a una ciudad a 70 km de distancia en el tiempo de una hora, no es suficiente conducir con una rapidez de 70 km/h; también necesita viajar en la dirección correcta. Esto es evidente, pero muestra que la velocidad proporciona considerablemente más información que la rapidez, como se hará más preci- so en la definición formal. La rapidez promedio de un objeto en un intervalo de tiempo determinado es la b Definición de rapidez distancia total recorrida dividida entre el tiempo total transcurrido: promedio distancia total Rapidez promedio ; tiempo total Unidades SI: metros por segundo (m/s) 28 CAPÍTULO 2 | Movimiento en una dimensión Simbólicamente, esta ecuación se podría rescribir v 5 d/t, con la letra v en el enten- dido de que es la rapidez promedio (no una velocidad), d representa la longitud de la trayectoria y t el tiempo trascurrido durante el movimiento. La longitud del trayecto es llamada a menudo “distancia total”, pero puede ser engañoso, porque la distancia tiene un diferente y preciso significado matemático basado en las diferencias en las coordenadas entre los puntos iniciales y los puntos finales. La distancia (despreciando la curvatura de la superficie) está dada por el teorema de Pitágoras, Ds 5 1 xf 2 xi 2 2 1 1 yf 2 yi 2 2 , que depende sólo de los criterios de valoración, (xi, yi) y (xf, yf), y no en lo que sucede en el medio. La misma ecuación da la magnitud de un desplazamiento. La distancia en línea recta de Atlanta, Georgia, a San Petersburgo, Florida, por ejemplo, es de unas 500 millas. Si alguien conduce un coche esa distancia en 10 h, la velocidad media del vehículo es de 500 mi/10 h 5 50 mi/h, aunque la velocidad del coche varía mucho durante el viaje. Sin embargo, si el conductor toma desvíos escénicos de la ruta directa a lo largo del camino, o se regresa, aumenta la longitud del desplazamiento, mientras que la distancia entre las dos ciudades se mantiene igual. Un viaje a Jacksonville, Florida, por ejemplo, podría añadir 100 millas a la longitud del viaje, por lo que la velocidad media del coche entonces sería de 600 mi/10 h 5 60 mi/h. La magnitud de la velocidad media, sin embargo, siguen siendo 50 mi/h. www.elsolucionario.org  2.2 | Velocidad 29 A diferencia de la rapidez promedio, la velocidad promedio es una cantidad vectorial, que tiene una magnitud y una dirección. Considere una vez más el automóvil de la figura 2.2, moviéndose a lo largo del camino (el eje x). Haga que la posición del automóvil sea xi en algún tiempo ti y xf en un tiempo posterior tf. En el intervalo de tiempo )t 5 tf 2 ti el des- plazamiento del automóvil es )x 5 xf 2 xi. La velocidad promedio v] durante un intervalo de tiempo )t es el desplazamiento )x b Definición de velocidad dividido entre )t: promedio Dx xf 2 x i v ; 5 [2.2] Dt tf 2 ti Unidades SI: metros por segundo (m/s) A diferencia de la rapidez promedio, que siempre es positiva, la velocidad promedio de Tabla 2.1 Posición del un objeto en una dimensión puede ser positiva o negativa, dependiendo del signo del des- automóvil en diferentes plazamiento. (El intervalo de tiempo )t siempre es positivo.) Por ejemplo, en la figura 2.2a tiempos la velocidad promedio del automóvil es positiva en la ilustración superior, un signo positivo Posición t (s) x (m) indica movimiento a la derecha a lo largo del eje x. De la misma manera, una velocidad promedio negativa para el automóvil, en la ilustración inferior de la figura, indica que se  0 30 mueve a la izquierda a lo largo del eje x.  10 52 Como ejemplo, se puede utilizar la información de la tabla 2.1 para determinar la velo-  20 38 cidad promedio en el intervalo de tiempo desde el punto  hasta el punto  (considere  30 0 dos cifras significativas):  40 237  50 253 Dx 52 m 2 30 m v5 5 5 2.2 m/s Dt 10 s 2 0 s Además de metros por segundo, otras unidades comunes para la velocidad promedio son pies por segundo (pies/s) en el sistema acostumbrado en Estados Unidos y centímetro por segundo (cm/s) en el sistema cgs. Para explicar más ampliamente la diferencia entre rapidez y velocidad, considere que  x está viendo una carrera desde un pequeño dirigible. En una carrera vemos un automóvil xi xf seguir la trayectoria en línea recta desde  hasta como se muestra en la figura 2.3 du- rante el intervalo de tiempo )t, y en una segunda carrera un auto sigue la trayectoria curva Figura 2.3 Una carrera de veloci- dad vista desde un pequeño dirigi- durante el mismo intervalo. De la definición en la ecuación 2.2, los dos autos tienen la ble. Un auto sigue la trayectoria en misma velocidad promedio porque tienen el mismo desplazamiento )x 5 xf 2 xi durante línea recta roja desde  hasta , el mismo intervalo de tiempo )t. De cualquier modo, el auto que toma el camino curvo y un segundo auto sigue la trayecto- recorrió una distancia mayor y tuvo la rapidez promedio más alta. ria curva azul. Examen rápido 2.1 La figura 2.4 muestra la trayectoria inusitada de un confundido jugador de fútbol. Después de recibir el balón en su propia meta, corre hacia el campo contra- rio cerca de la zona de anotación, invierte la dirección y corre de regreso hasta que es atrapado en la ubicación exacta donde en principio atrapó el balón. Durante esta corrida, que le tomó 25 segundos, ¿cuál 0 yd 50 yd 100 yd es a) la distancia total que viajó, b) su des- Figura 2.4 (Examen rápido 2.1) La trayecto- plazamiento y c) su velocidad promedio ria de un confundido jugador de fútbol. en la dirección x? d) ¿Cuál es su rapidez promedio? Interpretación gráfica de la velocidad Si un automóvil se mueve a lo largo del eje x desde  hasta  y luego hasta , y así suce- sivamente, se pueden dibujar las posiciones de estos puntos como una función del tiempo transcurrido desde el inicio del movimiento. El resultado es una representación gráfica  www.elsolucionario.org 30 CAPÍTULO 2 | Movimiento en una dimensión Figura activa 2.5 La velocidad media entre los dos a) Gráfica de la posición vs. puntos es igual a la pendiente de la tiempo para el movimiento línea azul que conecta los puntos. de un automóvil moviéndose a lo largo del eje x con velo- x (m) x (m) cidad constante. b) Gráfica 60 60  de la posición vs. tiempo para el movimiento de un 40  40  automóvil con velocidad  cambiante, utilizando la 20 20 información de la tabla 2.1. 0 0   –20 20   –40 40  –60 t (s) 60 t (s) 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 50 a b posición vs. tiempo parecida a la figura activa 2.5. En la figura 2.5a, la gráfica es una línea Tip 2.3 Pendientes recta porque el automóvil se mueve con velocidad constante. El mismo desplazamiento )x de gráficas se presenta en cada intervalo de tiempo )t. En este caso, la velocidad promedio siempre es Con frecuencia la palabra pen- la misma y es igual a )x/)t. La figura 2.5b es una gráfica de la información de la tabla 2.1. diente se utiliza en referencia a las gráficas de datos físicos. Indepen- Aquí, la gráfica posición vs. tiempo no es una línea recta ya que la velocidad del auto está dientemente de la clase de datos, cambiando. No obstante, entre dos puntos cualesquiera se puede dibujar una línea recta la pendiente se conoce mediante justo como en la figura 2.5a, y la pendiente de esa recta es la velocidad promedio )x/)t en cambio en el eje vertical ese intervalo de tiempo. En general, la velocidad promedio de un objeto durante el inter- Pendiente 5 cambio en el eje horizontal valo de tiempo )t es igual a la pendiente de la línea recta que une los puntos inicial y final La pendiente tiene unidades. en una gráfica de la posición del objeto en términos del tiempo. A partir de la información de la tabla 2.1 y la gráfica en la figura 2.5b, se ve que el automóvil se mueve en la dirección x positiva cuando viaja desde  hasta , alcanza una Tip 2.4 Velocidad promedio posición de 52 m en el tiempo t 5 10 s, después invierte la dirección y se dirige de regreso. vs. rapidez promedio En los primeros 10 s de su movimiento, conforme el automóvil viaja desde  hasta , su velocidad promedio es 2.2 m/s, como se calculó de manera previa. En los primeros 40 La velocidad promedio no es lo mismo que rapidez promedio. Si segundos, a medida que el auto va desde  hasta , su desplazamiento es )x 5 237 m 2 usted corre desde x 5 0 m hasta (30 m) 5 267 m. De tal modo que la velocidad promedio en este intervalo, la cual es igual x 5 25 m y regresa a su punto de a la pendiente de la recta azul en la figura 2.5b desde  hasta , es v] = )x/)t 5 (267 m)/ partida en un intervalo de tiempo (40 s) 5 21.7 m/s. En general, existirá una velocidad promedio diferente entre pares de de 5 s, la velocidad promedio es puntos distintos cualesquiera. cero, mientras que la rapidez pro- medio es 10 m/s. Velocidad instantánea La velocidad promedio no considera los detalles de lo que sucede durante un intervalo de tiempo. Por ejemplo, en un viaje en automóvil, usted puede aumentar o disminuir su velocidad tantas veces en respuesta al tráfico y a las condiciones del camino e incluso en rara ocasión por infracción de un oficial de policía con respecto a su velocidad. Lo más importante para la policía (y para su propia seguridad) es la rapidez de su auto y la direc- ción en la que se dirige en un instante particular del tiempo, que juntos determinan la velocidad instantánea del automóvil. Así, al conducir un automóvil entre dos puntos, la velocidad promedio debe calcularse en un intervalo de tiempo, pero la magnitud de la velocidad instantánea puede leerse en el velocímetro del automóvil. Definición de velocidad c La velocidad instantánea v es el límite de la velocidad promedio conforme el inter- instantánea valo de tiempo )t se hace infinitesimalmente pequeño: Dx v ; lím [2.3] Dt S0 Dt Unidades SI: metro por segundo (m/s)  2.2 | Velocidad 31 Tabla 2.2 Posición de un Tabla 2.3 Valores calculados de los intervalos de tiempo, automóvil con instantes desplazamiento y velocidades promedio para el automóvil de tiempo específicos de la tabla 2.2 t (s) x (m) Intervalo de tiempo (s) Dt (s) Dx (m) v] (m/s) 1.00 5.00 1.00 a 3.00 2.00 47.5 23.8 1.01 5.47 1.00 a 2.00 1.00 29.7 29.7 1.10 9.67 1.00 a 1.50 0.50 21.3 42.6 1.20 14.3 1.00 a 1.20 0.20 9.30 46.5 1.50 26.3 1.00 a 1.10 0.10 4.67 46.7 2.00 34.7 1.00 a 1.01 0.01 0.470 47.0 3.00 52.5 La notación lím significa que la relación )x/)t se evalúa de manera reiterada para Dt S0 intervalos de tiempo )t cada vez más pequeños. Conforme )t es extremadamente cercana a cero, la relación )x/)t se aproxima cada vez más a un número fijo, que se define como la velocidad instantánea. Para comprender mejor la definición formal, considere la información que se obtie- ne del vehículo por radar (tabla 2.2). En t 5 1.00 s, el automóvil está en x 5 5.00 m y en t 5 3.00 s, esto es en x 5 52.5 m. La velocidad promedio calculada para este intervalo )x/)t 5 (52.5 m 2 5.00 m)/(3.00 s 2 1.00 s) 5 23.8 m/s. Este resultado podría ser utilizado como una evaluación para la velocidad en t 5 1.00 s, pero no sería muy exacto ya que los cam- bios de rapidez son considerables en el intervalo de tiempo de 2 segundos. Utilizando el resto de la información, se puede construir la tabla 2.3. Cuando el intervalo de tiempo es más pequeño, la velocidad promedio es más cercana y se aproxima a la velocidad instantánea. Utilizando el intervalo final de sólo 0.0100 s se determina que la velocidad promedio es v] 5 )x/)t 5 0.470 m/0.0100 s 5 47.0 m/s, ya que 0.0100 s es un intervalo de tiempo muy breve, probablemente la velocidad instantánea real es muy cercana a esta última velocidad promedio, conocidos los límites en la capacidad del automóvil en acelerar. Por último, utilizando el factor de conversión del interior de la cubierta frontal del libro, se ve que es 105 millas/h, una violación probable del límite de velocidad. Como se puede ver en la figura 2.6, las cuerdas formadas por las líneas azules gradual- mente se aproximan a una recta tangente conforme el intervalo de tiempo se hace más pequeño. La pendiente de la recta tangente a la curva posición vs. tiempo en un “tiempo determinado” se define como la velocidad instantánea en ese tiempo. La rapidez instantánea de un objeto, que es una cantidad escalar, se define como la b Definición de rapidez magnitud de la velocidad instantánea. Similar a la rapidez promedio, la rapidez instantá- instantánea nea (que por lo general llamaremos, simplemente “rapidez”) no tiene dirección asociada Figura 2.6 Representación gráfica La pendiente de la recta azul representa la del movimiento del automóvil a par- velocidad promedio que se aproxima a tir de la información de la tabla 2.2. la pendiente de la recta tangente verde. x (m) 50.0 40.0 30.0 20.0 10.0 t (s) 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 32 CAPÍTULO 2 | Movimiento en una dimensión con ella y, por lo tanto, no tiene signo algebraico. Por ejemplo, si un objeto tiene una velo- cidad instantánea de 115 m/s a lo largo de una línea determinada y otro objeto tiene una velocidad instantánea de 215 m/s a lo largo de la misma línea, ambas tienen una rapidez instantánea de 15 m/s. www.elsolucionario.org  www.elsolucionario.org 2.3 | Aceleración 33 ti tf 2.3 Aceleración vi vf Desplazándose de un lugar a otro en su automóvil, rara vez viaja distancias considerables con velocidad constante. La velocidad del automóvil se incrementa cuando pisa firme el pedal del acelerador y disminuye cuando aplica los frenos. Además, la velocidad también Figura 2.8 Un automóvil se mueve cambia cuando rodea una curva, alterando su dirección de movimiento. El cambio de ve- a la derecha acelerando desde una locidad de un objeto al transcurrir el tiempo se le conoce como aceleración. velocidad de vi hasta una velocidad de vf en el intervalo de tiempo Aceleración promedio Δt 5 tf 2 ti. Un automóvil se mueve a lo largo de una autopista recta como en la figura 2.8. En el mo- mento ti tiene una velocidad de vi y en el momento tf su velocidad es vf , con )v 5 vf 2 vi y )t 5 tf 2 ti. La aceleración promedio a] durante el intervalo de tiempo )t es el cambio en la ve- b Definición de aceleración locidad )v dividida entre )t: promedio Dv vf 2 vi a; 5 [2.4] Dt tf 2 ti Unidades SI: metros por segundo por segundo (m/s2) Por ejemplo, considere el automóvil que se muestra en la figura 2.8 que acelera des- de una velocidad inicial de vi 5 110 m/s hasta una velocidad final vf 5 120 m/s en un intervalo de tiempo de 2 s. (Ambas velocidades están hacia la derecha, elegida como la dirección positiva.) Estos valores pueden ser insertados en la ecuación 2.4 para determinar la aceleración promedio: Dv 20 m/s 2 10 m/s a5 5 5 15 m/s2 Dt 2s La aceleración es una cantidad vectorial que tiene dimensiones de longitud dividida entre el tiempo al cuadrado. Las unidades comunes de aceleración son metros por segun- do por segundo ((m/s)/s, que por lo general se rescribe m/s2) y pies por segundo por segundo (pies/s2). Una aceleración promedio de 15 m/s2 significa que, en promedio, el automóvil incrementa su velocidad en 5 m/s cada segundo en la dirección x positiva. Para el caso de movimiento en una línea recta, la dirección de la velocidad de un ob- jeto y la dirección de su aceleración están relacionadas como sigue: cuando la velocidad y Tip 2.5 Aceleración negativa aceleración de un objeto están en la misma dirección, la rapidez de un objeto se incremen- La aceleración negativa no ta con el tiempo. Cuando la velocidad y la aceleración de un objeto están en direcciones necesariamente significa que opuestas, la rapidez del objeto disminuye con el tiempo. un objeto esté disminuyendo su velocidad. Si la aceleración es Para aclarar este punto, considere la velocidad de un automóvil que cambia desde negativa y la velocidad también 210 m/s hasta 220 m/s en un intervalo de tiempo de 2 s. El signo menos indica que las es negativa, ¡el objeto está velocidades del automóvil están en la dirección x negativa; ¡ello no significa que el auto- aumentando su velocidad! móvil esté disminuyendo su velocidad! La aceleración promedio del automóvil en este intervalo de tiempo es Dv 220 m/s 2 1 210 m/s 2 a5 5 5 25 m/s2 Dt 2s El signo menos indica que el vector aceleración también está en la dirección x negativa. De- Tip 2.6 Desaceleración bido a que los vectores velocidad y aceleración están en la misma dirección, la rapidez del La palabra desaceleración significa automóvil debe aumentar conforme se mueve a la izquierda. Aceleración positiva y negativa una reducción en la rapidez, una especifican direcciones relativas a los ejes elegidos, no “aumento” o bien “disminución” de disminución de velocidad. La velocidad. Los términos aumento de velocidad o bien disminución de velocidad se refieren a un confusión está con la aceleración aumento y a una disminución en la rapidez, respectivamente. negativa, que en ocasiones puede aumentar. (Véase el tip 2.5.) 34 CAPÍTULO 2 | Movimiento en una dimensión Un objeto con una aceleración no cero puede tener una velocidad de cero, pero sólo de forma instantánea. Cuando una pelota se lanza hacia arriba, su velocidad es cero cuan- do alcanza su la altura máxima. Sin embargo, la gravedad acelera incluso la bola en ese punto; de lo contrario, no caería. Aceleración instantánea Con frecuencia el valor de la aceleración promedio es diferente en intervalos de tiempo diferentes, de tal manera que es útil definir la aceleración instantánea, que es semejante a la velocidad instantánea explicada en la sección 2.2. Definición de aceleración c La aceleración instantánea a es el límite de la aceleración promedio conforme el instantánea intervalo de tiempo )t tiende a cero: Dv a ; lím Dt [2.5] Dt S0 Unidades SI: metros por segundo por segundo (m/s2) En este caso una vez más, la notación lím significa que la relación )v/)t se evalúa Dt S0 El coche se mueve para valores de )t cada vez más pequeños. En el límite, )t tiende a cero y el límite tiende con diferentes hacia un valor fijo, que es la aceleración instantánea. velocidades en los La figura 2.9, una gráfica de velocidad vs. tiempo, traza la velocidad de un objeto en puntos  y. términos del tiempo. Por ejemplo, la gráfica podría representar el movimiento de un au- tomóvil a lo largo de una calle con mucho tráfico. La aceleración promedio del automóvil entre los tiempos ti y tf se puede hallar mediante la determinación de la pendiente de la  recta que une los puntos  y. Si pensamos que el punto se acerca más y más al pun- x ti tf to , la recta se aproxima cada vez más y se convierte en tangente en . La aceleración v  vi v  vf instantánea de un objeto en un tiempo determinado es igual a la pendiente de la recta tan- gente a la gráfica velocidad vs. tiempo en ese tiempo. Desde ahora, se utilizará el término a aceleración para referirnos a “aceleración instantánea”. En el caso especial para el que la gráfica velocidad vs. tiempo del movimiento de un La pendiente de la recta verde objeto es una línea recta, la aceleración instantánea de un objeto en cualquier punto es es la aceleración instantánea del igual a su aceleración promedio. Esto también significa que la recta tangente de la gráfica se coche en el punto (Ec. 2.5). sobrepone a la misma gráfica. En ese caso, se dice que la aceleración del objeto es uniforme, v lo que significa que tiene un valor constante. Los problemas de aceleración constante son importantes en cinemática y se estudiarán extensamente en este capítulo y en el que sigue. vf  v vi t t ti tf La pendiente de la recta de conexión azul  y es el promedio la aceleración del coche durante el intervalo de tiempo t  tf  ti (Ec. 2.4). b Figura 2.9 a) Un automóvil, modelado como una partícula, moviéndose a lo largo del eje x desde  hasta , tiene velocidad vxi en t 5 ti y la velocidad vxf en t 5 tf. b) gráfica de velocidad vs. tiempo para un objeto en movimiento en línea recta.  2.4 | Diagramas de movimiento 35 2.4 Diagramas de movimiento Algunas veces son confundidas velocidad y aceleración una con otra, pero son conceptos diferentes, que se pueden explicar con la ayuda de diagramas de movimiento. La figura activa 2.12 (página 36) es la representación de un diagrama de movimiento de un objeto en intervalos de tiempo consecutivo, con vectores de velocidad y aceleración dibujados en cada posición, rojo para los vectores de velocidad y púrpura para los vectores de aceleración. Los intervalos de tiempo entre posiciones adyacentes en el diagrama de movimiento son considerados iguales. Un diagrama de movimiento es parecido a las imágenes que resultan de una fotografía estroboscópica de un objeto en movimiento. Cada imagen está hecha como el destello de luz de un flash estroboscópico. La figura 2.12 representa tres conjuntos de fotografías estroboscó- picas de automóviles en movimiento a lo largo de un camino recto de izquierda a derecha. Los intervalos de tiempo entre destellos del estroboscopio son iguales en cada diagrama. En la figura activa 2.12a, las imágenes del automóvil están igualmente espaciadas: el automóvil se mueve la misma distancia en cada intervalo de tiempo. Esto significa que el automóvil se mueve con velocidad constante positiva y tiene aceleración cero. Todas las flechas rojas tienen la misma longitud (velocidad constante) y no existen flechas púrpura (acele- ración cero). En la figura activa 2.12b, las imágenes del automóvil cada vez están más separadas con- forme avanza el tiempo y se incrementa el vector velocidad con el tiempo, porque el des- plazamiento del automóvil entre posiciones adyacentes crece con el avance del tiempo. El  www.elsolucionario.org 36 CAPÍTULO 2 | Movimiento en una dimensión Figura activa 2.12 Este automóvil se mueve v Diagramas de movimiento de un con velocidad constante vehículo en movimiento a lo largo a (aceleración cero). de una carretera recta en una sola dirección. La velocidad en cada ins- tante se indica con una flecha roja, Este automóvil se somete a v y la aceleración constante se indica aceleración constante en la por una flecha púrpura. b dirección de su velocidad. a Este automóvil se somete a v una aceleración constante c en la dirección opuesta de la velocidad en cada instante. a automóvil se está moviendo con una velocidad positiva y una aceleración positiva constante. Las flechas rojas en cada imagen están consecutivamente más largas, y las flechas púrpura apuntan a la derecha. En la figura activa 2.12c, conforme el automóvil se mueve hacia la derecha disminuye su velocidad porque su desplazamiento entre posiciones adyacentes disminuyen con el tiem- po. En este caso, el automóvil se mueve desde el principio hacia la derecha con aceleración constante negativa. El vector velocidad disminuye con el tiempo (las flechas rojas cada vez son más cortas) y, por último, alcanzan el cero, lo que sucedería al aplicar los frenos. Obser- ve que los vectores aceleración y velocidad no están en la misma dirección. El automóvil se mueve con una velocidad positiva, pero con una aceleración negativa. Intente construir sus propios diagramas para diferentes problemas que involucran cinemática. www.elsolucionario.org a x b + t O v + c t O – a + d O t 2.5 Movimiento en una dimensión – con aceleración constante Figura 2.14 (Examen rápido 2.5) Muchas aplicaciones en mecánica involucran objetos móviles con aceleración constante. Esta Seleccione las gráficas correctas. clase de movimiento es importante porque se aplica a numerosos objetos en la naturaleza, tal  2.5 | Movimiento en una dimensión con aceleración constante 37 como un objeto en caída libre cerca de la superficie de la Tierra (suponiendo que se a puede omitir la resistencia del aire). Una gráfica de aceleración en función del tiempo con aceleración constante se muestra en la figura activa 2.15a. Cuando un objeto se mueve con Pendiente  0 aceleración constante, la aceleración instantánea en cualquier punto en un intervalo de tiempo es igual al valor de la aceleración promedio en el intervalo completo de tiempo. En consecuencia, la velocidad se incrementa o disminuye con la misma relación en todo el a movimiento, y una gráfica de v en términos de t proporciona una línea recta con pendien- t tes ya sea positiva, cero, o bien, negativa. t Ya que la aceleración promedio es igual a la aceleración instantánea cuando a es cons- a tante, se puede eliminar de la ecuación la barra utilizada para denotar valores promedio que la define para aceleración, escribiendo a] 5 a, de tal modo que la ecuación 2.4 es v v f 2 vi a5 Pendiente  a tf 2 ti at El encargado de registrar el tiempo del movimiento siempre tiene la libertad de elegir el v0 v tiempo inicial, así, por conveniencia, sea ti 5 0 y tf cualquier tiempo arbitrario t. Además, v0 sea vi 5 v0 (la velocidad inicial en t 5 0) y vf 5 v (la velocidad en cualquier tiempo arbitra- t rio t). Con esta notación, se puede expresar la aceleración como t v 2 v0 b a5 t x o bien Pendiente  v v 5 v 0 1 at (para a constante) [2.6] La ecuación 2.6 establece que la aceleración a cambia constantemente la velocidad inicial v0 en una cantidad at. Por ejemplo, si un automóvil inicia con una velocidad de 12.0 m/s x0 hacia la derecha y acelera en la misma dirección con a 5 16.0 m/s2, tendrá una veloci- Pendiente  v0 t dad de 114 m/s después de 2.0 s transcurridos: t v 5 v0 1 at 5 1 2.0 m/s 1 (6.0 m/s2)(2.0 s) 5 114 m/s c La interpretación gráfica de v se muestra en la figura activa 2.15b. La velocidad varía lineal- Figura activa 2.15 mente con el tiempo de acuerdo con la ecuación 2.6, tal como para aceleración constante. Una partícula se mueve a lo largo Debido a que la velocidad es creciente o disminuye uniformemente con el tiempo, se puede del eje x con aceleración constante a. expresar la velocidad promedio en cualquier intervalo de tiempo como el promedio arit- a) aceleración vs. gráfica de tiempo mético de la velocidad inicial v0 y la velocidad final v: b) gráfica de velocidad vs. tiempo y c) grafica de posición vs. tiempo. v0 1 v v5 (para a constante) [2.7] 2 Recuerde que esta expresión es válida sólo cuando la aceleración es constante, en cuyo caso la velocidad se incrementa de manera uniforme. Ahora podemos utilizar este resultado junto con la ecuación que define la velocidad promedio, ecuación 2.2, para obtener una expresión para el desplazamiento de un objeto como una función del tiempo. Una vez más, se elige ti 5 0 y tf 5 t y, por conveniencia, se escribe )x 5 xf 2 xi 5 x 2 x0. Esto resulta en v0 1 v Dx 5 vt 5 a bt 2 Dx 5 12 1 v0 1 v 2 t (para a constante) [2.8] Podemos obtener otra expresión útil para el desplazamiento al sustituir la ecuación para v (ecuación 2.6) en la ecuación 2.8: Dx 5 12 1 v0 1 v0 1 at 2 t Dx 5 v0t 1 12at2 (para a constante) [2.9] Esta ecuación también se puede rescribir en términos de la posición x, a partir de )x 5 x 2 x0. La figura 2.15c muestra una gráfica de x en función de t para la ecuación 2.9, la cual se relaciona con la gráfica de velocidad vs. tiempo: el área bajo la curva en la figura activa 2.15b es igual a v0t 5 12 at 2 que es igual al desplazamiento )x. De hecho, el área bajo la gráfica v en términos de t para cualquier objeto es igual al desplazamiento )x del objeto. 38 CAPÍTULO 2 | Movimiento en una dimensión Tabla 2.4 Ecuaciones para el movimiento en línea recta bajo aceleración constante Ecuación Información proporcionada por la ecuación v 5 v 0 1 at Velocidad como una función del tiempo Δx 5 v 0t 1 12 at 2 Desplazamiento como una función del tiempo v 2 5 v 02 1 2aΔx Velocidad como una función del desplazamiento Nota: El movimiento es a lo largo del eje x. En t 5 0, la velocidad de la partícula es v 0. Finalmente, podemos obtener una expresión que no contenga al tiempo para poder resolver la ecuación 2.6 para t y sustituirla en la ecuación 2.8, lo que resulta en v 2 v0 v2 2 v02 Dx 5 12 1 v 1 v0 2 a b5 a 2a v 2 5 v 02 1 2aDx (para a constante) [2.10] Las ecuaciones 2.6 y 2.9 juntas pueden resolver cualquier problema de movimiento en una dimensión con aceleración constante, pero las ecuaciones 2.7, 2.8 y especialmente 2.10 algunas veces son convenientes. Las tres ecuaciones más útiles —2.6, 2.9 y 2.10— se mencionan en la tabla 2.4. La mejor manera de ganar confianza en el uso de estas ecuaciones es trabajar una can- tidad de problemas. Por lo general, existe más de una manera para resolver un problema determinado, dependiendo de qué ecuaciones son elegidas y qué cantidades se proporcio- nan. La diferencia se encuentra principalmente en el álgebra. ESTRATEGI A PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS Movimiento en una dimensión a una aceleración constante Se recomienda el siguiente procedimiento para la solución de problemas que involucran movimiento acelerado. 1. Lea el problema. 2. Trace un diagrama, seleccione un sistema coordenado, etiquete puntos inicial y final e indique con flechas las direcciones de las velocidades y aceleraciones. 3. Etiquete todas las cantidades, circulando las incógnitas. Convierta las unidades como se necesite. 4. Ecuaciones, puede seleccionarlas de la tabla 2.4. Todos los problemas de cinemática en este capítulo pueden resolverse con las primeras dos ecuaciones, y con frecuencia la tercera es conveniente. Tip 2.7 Los cerdos no vuelan 5. Resuelva para las incógnitas. Hacerlo de esta manera con frecuencia involucra la Después de resolver un problema, solución de dos ecuaciones para dos incógnitas. Por lo general, es más conveniente piense con respecto a su respuesta sustituir todos los valores conocidos, antes de resolver. y decida si parece razonable. Si no 6. Verifique su respuesta, aplicando sentido común y cálculos estimativos. es así busque el error. La mayoría de estos problemas se reduce al escribir las ecuaciones cinemáticas de la tabla 2.4 y después sustituir los valores correctos en las constantes a, v0 y x0 a partir de la informa- ción que se conoce. Hacer esto genera dos ecuaciones, una lineal y otra cuadrática, para dos cantidades desconocidas.  2.6 | Objetos en caída libre 43 2.6 Objetos en caída libre Cuando se omite la resistencia del aire, todos los objetos caen bajo la influencia de la gra- vedad a la superficie de la Tierra cayendo hacia ella con la misma aceleración constante. Hoy esta idea puede parecer evidente, pero ésta no fue aceptada hasta cerca del año 1600. Antes de ese tiempo, las enseñanzas del gran filósofo Aristóteles (384-322 a.C.) sostenían que los objetos pesados caían más rápido que los ligeros. De acuerdo con la leyenda, Galileo descubrió la ley de caída libre de objetos al observar que dos pesas diferentes se dejaban caer de manera simultánea desde la Torre inclinada de Pisa golpeando la superficie de la Tierra aproximadamente en el mismo tiempo. Aunque es improbable que este experimento se haya llevado a cabo, se sabe que Galileo realizó mu- North Wind Archive chos experimentos sistemáticos con objetos móviles sobre planos inclinados. En sus experi- mentos rodó bolas cuesta abajo en un plano levemente inclinado y midió la distancia que cubrían en intervalos de tiempo consecutivos. El propósito del plano inclinado fue reducir la aceleración y permitirle a Galileo hacer medidas precisas de los intervalos. (Alguna gente se refiere a este experimento como “dilución de la gravedad”.) De manera gradual Galileo Galilei fue aumentando la pendiente del plano inclinado y finalmente fue capaz de formular con- Físico y astrónomo italiano clusiones matemáticas acerca de los objetos en caída libre, dado que un proyectil en caída (1564-1642) libre es equivalente a un proyectil en marcha cuesta abajo en un plano inclinado vertical. Galileo formuló las leyes que gobiernan Los logros de Galileo en la ciencia de la mecánica preparan el camino para Newton en el el movimiento de objetos en caída libre. desarrollo de las leyes de movimiento, que se estudiarán en el capítulo 4. Además, investigó el movimiento de un Intente el siguiente experimento. Deje caer simultáneamente un martillo y una pluma objeto sobre un plano inclinado, esta- desde la misma altura. El martillo golpea primero el piso porque la fricción con el aire tie- bleció el concepto de movimiento rela- ne un gran efecto sobre la pluma que es más ligera. El 2 de agosto de 1971, este mismo ex- tivo, inventó el termómetro y descubrió que el movimiento de un péndulo perimento fue conducido en la Luna por el astronauta David Scott, y el martillo y la pluma oscilante podría utilizarse para medir cayeron exactamente con la misma aceleración, como se esperaba, golpeando la superficie intervalos de tiempo. Después diseñó lunar al mismo tiempo. Al caso idealizado del movimiento donde se omite la resistencia del y construyó su propio telescopio, des- aire, se le conoce como caída libre. cubrió cuatro de las lunas de Júpiter, La expresión objeto en caída libre no necesariamente se refiere a un objeto que se deja encontró que la superficie de nuestra caer desde el reposo. Un objeto en caída libre es cualquier objeto moviéndose libremente Luna es rugosa, descubrió manchas bajo la influencia sólo de la gravedad, independientemente de su movimiento inicial. Los solares y las fases de Venus y demostró objetos que se lanzan hacia arriba o bien hacia abajo y aquellos liberados desde el reposo que la Vía Láctea está constituida por son considerados en caída libre. un gran número de estrellas. Galileo Se indica la magnitud de la aceleración en caída libre mediante el símbolo g. El valor defendió públicamente la afirmación de Nicolás Copérnico de que el Sol está de g disminuye con el aumento de la altitud y también varía ligeramente con la latitud. en el centro del Universo (el sistema En la superficie de la Tierra, el valor de g es aproximadamente 9.80 m/s2. A menos que heliocéntrico). Publicó Diálogo acerca se establezca otra situación, utilizaremos este valor para g en la realización de los cálculos. de los sistemas de dos mundos nuevos Para estimaciones rápidas, utilice g ~ 10 m/s2. para apoyar el modelo de Copérnico, Si se pasa por alto la resistencia del aire y se supone que la aceleración en caída libre una perspectiva que la Iglesia consi- no varía con la altitud en una distancia vertical corta, entonces el movimiento de un objeto deró herejía. Después de ser hecho pri- en caída libre es el mismo que el movimiento en una dimensión bajo aceleración constan- sionero en Roma en 1633 con cargo de te. Esto significa que pueden ser aplicadas las ecuaciones cinemáticas desarrolladas en la herejía, fue sentenciado a prisión sección 2.6. Esto es convencional para definir hacia “arriba” como la dirección y positiva, y y después confinado a su villa en Arce- utilizaremos a y como la variable posición. En este caso la aceleración es a 5 2g 5 29.80 m/s2. tri, cerca de Florencia, donde murió en 1642. En el capítulo 7, se estudia la variación en g con la altitud.