Mediciones PDF - Incertidumbre y Cifras Significativas

1.4 | Incertidumbre en la medición y cifras significativas 7 1.4 Incertidumbre en la medición y cifras significativas La física es una ciencia en la que las leyes matemáticas son probadas a través de experimen- tos. Ninguna cantidad física puede ser determinada con precisión íntegra porque...

1.4 | Incertidumbre en la medición y cifras significativas 7 1.4 Incertidumbre en la medición y cifras significativas La física es una ciencia en la que las leyes matemáticas son probadas a través de experimen- tos. Ninguna cantidad física puede ser determinada con precisión íntegra porque nuestros sentidos están físicamente limitados, incluso cuando los extendemos con microscopios, ciclotrones y otros mecanismos. En consecuencia, es importante desarrollar métodos para determinar la exactitud de las mediciones. Todas las mediciones tienen incertidumbres asociadas con ellas, aunque no sean es- tablecidas explícitamente. La exactitud de una medición depende de la sensibilidad del aparato, la habilidad de la persona que realiza la medición y el número de veces que se repita la medición. Una vez que se conocen las mediciones, junto con sus incertidumbres, sucede que los cálculos deben realizarse utilizando estas mediciones. Supongamos que dos mediciones se multiplican. Cuando se utiliza una calculadora para obtener este producto, este puede aparecer con ocho dígitos en la pantalla de la calculadora, pero a menudo sólo dos o tres de esos números tienen un significado. El resto no tienen ningún valor, ya que implica una mayor precisión de la que en realidad se había logrado en las medi- ciones originales. En el trabajo experimental, para determinar la cantidad de números a conservar se requiere de la aplicación de estadística matemática y la propagación de las incertidumbres. En un libro de texto no es práctico aplicar herramientas sofisticadas en los numerosos cálculos, así que se utiliza un método sencillo, llamado cifras significativas, para indicar el número aproximado de dígitos que debe mantenerse al final de un cálculo. A pesar de que el método no es matemáticamente riguroso, es fácil de aplicar y funciona bastante bien. Considere que en un laboratorio se mide con una regla el área de una placa rectan- gular. Considere que la precisión a la cual se puede medir una dimensión particular de la placa es 60.1 cm. Si la longitud de la placa se observa que es 16.3 cm, es posible afirmar que sólo se encuentra en algún lugar entre 16.2 y 16.4 cm. En este caso, se dice que el va- lor observado tiene tres cifras significativas. De la misma manera, si se mide el ancho de la placa que es 4.5 cm, el valor real se encuentra entre 4.4 y 4.6 cm. Este valor observado sólo tiene dos cifras significativas. Los valores observados se podrían escribir como 16.3 6 0.1 cm y 4.5 6 0.1 cm. En general, una cifra significativa es un dígito conocido con seguridad (dife- rente al cero que se aplica para localizar un punto decimal). Tenga en cuenta que en cada caso, el número final tiene cierto grado de incertidumbre asociado con él y, por lo tanto no es 100% fiable. A pesar de la incertidumbre, ese número es mantenido y se considera importante, ya que nos transmite alguna información. 8 CAPÍTULO 1 | Introducción Suponga que se quiere hallar el área de la placa multiplicando los dos valores observa- dos. El valor final puede estar entre (16.3 2 0.1 cm)(4.5 2 0.1 cm) 5 (16.2 cm)(4.4 cm) 5 71.28 cm2 y (16.3 1 0.1 cm)(4.5 1 0.1 cm) 5 (16.4 cm) (4.6 cm) 5 75.44 cm2. Afirmando saber algo de la centésima o incluso de la décima, no tiene sentido, porque es claro que incluso no se puede estar seguro de los lugares de los elementos, si es 1 en 71, el 5 en 75 o en alguna parte entre ellos. Sin duda las décimas y las centésimas no son significativas. Se tiene alguna información acerca del lugar de los elementos, de tal modo que la cifra es signi- ficativa. Multiplicando las cifras en medio del intervalo de incertidumbre resulta (16.3 cm) (4.5 cm) 5 73.35 cm2, que también está en medio del intervalo de incertidumbre. Ya que las centésimas y décimas no son significativas, se omiten y se toma la respuesta de 73 cm2, con una incertidumbre de 62 cm2. Observe que la respuesta tiene dos cifras significativas, el mismo número de cifras que la cantidad conocida menos precisa que se está multipli- cando, el ancho de 4.5 cm. Los cálculos realizados en el párrafo anterior pueden indicar el número correcto de cifras significativas, pero consumen mucho tiempo. En su lugar, se pueden aplicar dos reglas de oro. La primera, acerca de la multiplicación y la división, es como sigue. En la multiplicación (división) de dos o más cantidades, el número de cifras significativas en el producto final (cociente) es el mismo que el número de cifras significativas en el menos exacto de los factores que se están combinando, donde el menos exacto significa que tiene el menor número de cifras significativas. Al obtener el número final de cifras significativas, por lo general es necesario hacer al- gún redondeo. Si el último dígito que se omite es menor que 5, simplemente se excluye el dígito. Si el último dígito omitido es mayor que o igual que 5, se asciende este último dígito retenido en uno.1 Es posible que los ceros sean o no cifras significativas. Los ceros utilizados para la posi- ción del punto decimal en tales números como 0.03 y 0.007 5 no son significativos (pero Tip 1.2 Cómo utilizar son útiles en evitar errores). Por lo tanto, 0.03 tiene una cifra significativa y 0.007 5 tiene dos. calculadoras Cuando se colocan ceros después de otros dígitos en un número entero existe una Las calculadoras fueron diseña- das por ingenieros para producir tantos dígitos como el chip de www.elsolucionario.org posibilidad de interpretación falsa. Por ejemplo, considere que la masa de un objeto se da como 1 500 g. Este valor es confuso, porque no sabemos si los dos últimos ceros se están memoria de la calculadora lo aplicando para localizar el punto decimal o si representan cifras significativas en la medida. permita, de tal modo que es Aplicando la notación científica para indicar el número de cifras significativas se retira seguro redondear la respuesta esta confusión. En este caso, la masa se expresa como 1.5 3 103 g si existen dos cifras signi- final al número correcto de cifras ficativas en el valor observado, 1.50 3 103 g si existen tres cifras significativas y 1.500 3 103 g significativas. si existen cuatro. De la misma manera, 0.000 15 se expresa en notación científica como 1.5 3 1024 si tiene dos cifras significativas o como 1.50 3 1024 si tiene tres cifras significati- vas. Los tres ceros entre el punto decimal y el dígito 1 en el número 0.000 15 no se cuentan como cifras significativas porque únicamente localizan el punto decimal. En este libro, la mayoría de los ejemplos numéricos y problemas de fin de capítulo producirán respuestas que tienen dos o tres cifras significativas. Para la suma y la resta, es mejor concentrarse en el número de cifras decimales en las cantidades involucradas antes que en el número de cifras significativas. Cuando los números son sumados (restados), el número de cifras decimales en el resultado es igual al número más pequeño de cifras decimales de cualquier término en la suma (diferencia). Por ejemplo, si queremos calcular 123 (cero cifras decimales) 1 5.35 (dos cifras decima- les), la respuesta es 128 (cero cifras decimales) y no 128.35. Si calculamos la suma 1.000 1 (cuatro cifras decimales) 1 0.000 3 (cuatro cifras decimales) 5 1.000 4, el resultado tiene el número correcto de cifras decimales, específicamente, cuatro. Observe que las reglas para multiplicar cifras significativas no funciona en este caso porque la respuesta tiene cin- co cifras significativas, incluso aunque uno de los términos en la suma 0.000 3, tiene sólo una cifra significativa. De la misma manera, si realizamos la resta 1.002 2 0.998 5 0.004, el resultado tiene tres cifras decimales porque cada término en la resta tiene tres cifras decimales. 1 Algunos prefieren redondear al dígito par más cercano cuando el último dígito es 5, lo que tiene la ventaja de redondear 5 hacia arriba la mitad de las veces y hacia abajo la otra mitad. Por ejemplo, 1.55 se redondea a 1.6, pero 1.45 podría redondearse a 1.4. Debido a que la cifra final importante es sólo un representante de una serie de valores dados por la incertidumbre, este refinamiento es muy pequeño y no se utiliza en este texto.  www.elsolucionario.org 1.4 | Incertidumbre en la medición y cifras significativas 9 Para mostrar por qué se cumple con esta regla, regrese al primer ejemplo en el que se sumó 123 y 5.35 y rescriba estos números como 123.xxx y 5.35x. Los dígitos representados con una x son completamente desconocidos y puede ser cualquier dígito desde 0 hasta 9. Ahora coloque en línea 123.xxx y 5.35x con respecto al punto decimal y realice la suma, aplicando la regla de que la suma de un dígito desconocido a un dígito conocido o desco- nocido produce otro desconocido: 123.xxx 1 5.35x 128.xxx La respuesta de 128.xxx significa que se justifica sólo de conformidad al número 128 por- que todo después del punto decimal en la suma, en efecto, se desconoce. El ejemplo mues- tra que se introduce la incertidumbre controlada en una suma o en una resta mediante el término con el menor número de cifras decimales. (continúa)  10 CAPÍTULO 1 | Introducción Al realizar todo cálculo, especialmente uno que involucre un número de etapas, siem- pre existirán ligeras discrepancias que se introducen por el proceso de redondeo y el or- den algebraico en que se realizan las etapas. Por ejemplo, considere 2.35 3 5.89/1.57. Este cálculo se puede realizar en tres órdenes diferentes. Primero se tiene 2.35 3 5.89 5 13.842, que se redondea a 13.8, seguida por 13.8/1.57 5 8.789 8, redondeada a 8.79. Se- gundo, 5.89/1.57 5 3.751 6, que se redondea a 3.75, resultado de 2.35 3 3.75 5 8.812 5, redondeado a 8.81. Por último, 2.35/1.57 5 1.496 8 redondeada a 1.50 y 1.50 3 5.89 5 8.835 redondeado a 8.84. Así tres órdenes algebraicos diferentes, siguiendo las reglas de redondeo, conducen a respuestas de 8.79, 8.81 y 8.84, respectivamente. Se esperaba tal dis- crepancia menor, porque el último dígito significativo es sólo representativo de un intervalo de valores posibles, dependiendo de la incertidumbre experimental. Para evitar tal discre- pancia, se lleva uno o más dígitos extras durante el cálculo, aunque conceptualmente no es consistente hacerlo porque las cifras adicionales no son significativas. De cualquier modo, en los ejemplos de este libro, los resultados intermedios serán redondeados al número adecuado de cifras significativas y sólo esos dígitos serán llevados adelante. En los conjun- tos de problemas, sin embargo, los datos dados generalmente se suponen con una preci- sión de dos o tres dígitos, aun cuando no sean ceros. En la resolución de los problemas, el estudiante debe estar consciente de que diferencias ligeras en las prácticas de redondeo pueden dar lugar a respuestas que difieran de las del texto, en el último dígito significa- tivo, lo cual es normal y no es motivo de preocupación. El método de cifras significativas tiene sus limitaciones en la determinación de la exactitud, pero es fácil de aplicar. En el trabajo experimental, se aplican técnicas estadísticas y de propagación matemática de in- certidumbre de un resultado experimental. 1.5 Conversión de unidades JessieEldora/istockphoto.com Algunas veces es necesario convertir unidades de un sistema a otro. Los factores de conversión entre los sistemas SI y el acostumbrado en Estados Unidos para unidades de longitud son los siguientes: 1 mi 5 1 609 m 5 1.609 km 1 pie 5 0.304 8 m 5 30.48 cm 1 m 5 39.37 pulg 5 3.281 pies 1 pulg 5 0.025 4 m 5 2.54 cm En esta señal, el límite de velo- En el interior de la cubierta frontal de este texto hay un listado más extenso de los cidad está dado en kilómetros y factores de conversión. En todas las igualdades de conversión dadas, el “1” a la izquierda, millas por hora. ¿Qué tan exacta se supone con el mismo número de cifras significativas que la cantidad dada a la derecha es la conversión? de la igualdad.  1.5 | Conversión de unidades 11 Las unidades pueden ser tratadas como cantidades algebraicas que se pueden “can- celar” entre sí. Se puede hacer una fracción con la conversión que cancelará las unidades que no se quieren y se multiplica la fracción por la cantidad que merece la considera- ción. Por ejemplo, se quiere convertir 15.0 pulg a centímetros. Ya que 1 pulg 5 2.54 cm, hallamos que 15.0 pulg 5 15.0 pulg 3 a b 5 38.1 cm 2.54 cm 1.00 pulg Los dos ejemplos que siguen muestran cómo retratar con los problemas que incluyen más de una conversión y con potencias. EJEMPLO 1.4 Acércate más, amigo OB JET I VO Convertir unidades aplicando varios factores de conversión. PROBLEMA Si un automóvil está viajando con una rapidez de 28.0 m/s, ¿el conductor está excediendo el límite de veloci- dad de 55.0 mi/h? ESTR ATEGI A Los metros deben convertirse a millas y los segundos a horas, aplicando los factores de conversión que se mencionan en el interior de la cubierta frontal del libro. En este caso, se aplicarán tres factores. SOLUCIÓN 28.0 m/s 5 a28.0 ba b 5 1.74 3 10 22 mi/s m 1.00 mi Convierta metros a millas: s 1 609 m 1.74 3 1022 mi/s 5 a1.74 3 1022 b a60.0 b a60.0 b mi s min Convierta segundos a horas: s min h 5 62.6 mi/h COMENTAR IOS El conductor debe disminuir su velocidad porque está excediendo el límite de velocidad. PREGUNTA 1.4 Repita la conversión, aplicando la relación 1.00 m/s 5 2.24 mi/h. ¿Por qué la respuesta es ligeramente diferente? E JERCICIO 1.4 Convierta 152 mi/h a m/s. RESPUESTA 67.9 m/s EJEMPLO 1.5 Acelera a fondo OB JET I VO Convertir una cantidad con potencias de una unidad. PROBLEMA La luz del semáforo cambia a verde y el conductor de un automóvil de alto rendimiento pisa el acelerador hasta el fondo. El acelerómetro registra 22.0 m/s2. Convierta esta lectura a km/minuto2. ESTR ATEGI A En este caso se requiere un factor para convertir metros a kilómetros y otros dos factores para convertir segundos cuadrados a minutos cuadrados. SOLUCIÓN 60.0 s 2 2a ba b 5 22.0 m 1.00 km km Multiplique por los tres factores: 79.2 1.00 s 1.00 3 10 m 1.00 min 3 min2 COMENTAR IOS Observe que en cada factor de conversión el numerador es igual al denominador cuando se consideran las unidades. ¡Un error común en relación con la segunda potencia es que se aplica a las unidades dentro del paréntesis mientras se olvida hacerlo en los números! PREGUNTA 1. 5 ¿Qué factor de conversión adicional para el tiempo se aplicaría para convertir la respuesta a km/h2? E JERCICIO 1. 5 Convierta 4.50 3 103 kg/m3 a g/cm3. RESPUESTA 4.50 g/cm3  www.elsolucionario.org 12 CAPÍTULO 1 | Introducción 1.6 Cálculos aproximados y de orden de magnitud Obtener una respuesta exacta de un cálculo es con frecuencia difícil o imposible, ya sea por causas matemáticas o porque la información disponible es limitada. En esta situación, los cálcu- los estimativos pueden producir respuestas aproximadas eficaces que permiten establecer si es necesario un cálculo más preciso. Además, es útil como una verificación parcial de si en efecto, se realizan cálculos exactos. Si se espera una respuesta favorable, pero se obtiene una respuesta trivial exacta en alguna parte existe un error. Para diversos problemas, conociendo el valor aproximado de una cantidad —más o menos dentro de un factor de 10— es suficiente. A este valor aproximado se le conoce como una estimación de orden de magnitud y requiere de la búsqueda de la potencia de 10 que se acerca al valor real de la cantidad. Por ejemplo, 75 kg , 102 kg, donde el símbolo , significa “es del orden de” o bien “es aproximadamente”. Incrementar una cantidad en tres órdenes de magnitud significa que su valor aumenta en un factor de 103 5 1 000. A veces el proceso de preparación de tales estimaciones da por resultado respuestas bastante burdas, pero incluso respuestas 10 o más veces más grandes o más pequeñas siguen siendo útiles. Por ejemplo, considere que está interesado en cuánta gente ha contraído cierta enfermedad. Algún cálculo estimativo debajo de 10 000 es insignificante si se compa- ra con la población en el mundo, pero un millón o más sería preocupante. De este modo, aun información relativamente inexacta puede proporcionar una guía valiosa. En el desarrollo de estos cálculos estimativos, puede permitirse libertades con los nú- meros. Por ejemplo, p , 1, 27 , 10 y 65 , 100. Para obtener una estimación menos burda, es permisible utilizar números un poco más exactos (es decir, p ~ 3, 27 , 30, 65 , 70). Además, se puede obtener mejor precisión subestimando sistemáticamente más números que sobrestimando. Algunas cantidades son quizá por completo desconocidas, pero es normal hacer suposiciones sensatas, como lo muestran los ejemplos. www.elsolucionario.org 14 CAPÍTULO 1 | Introducción 1.7 Sistemas de coordenadas Muchos aspectos de la física se relacionan con la ubicación en el espacio, por lo que se necesita la definición de un sistema de coordenadas. Se puede localizar un punto en una recta con una coordenada, un punto en un plano, con dos coordenadas y un punto en el espacio con tres. Un sistema coordenado que se utiliza para especificar la ubicación en el espacio con- siste en lo siguiente: Un punto de referencia fijo O, conocido como origen y Un conjunto de ejes específicos o direcciones, con una escala apropiada y etiquetas 10 en los ejes (x, y) Instrucciones de señalamiento de un punto en el espacio con respecto al origen y a los ejes Q 5 P (–3, 4) (5, 3) Un sistema coordenado conveniente y usualmente aplicado es el sistema cartesiano de x coordenadas, algunas veces denominado sistema coordenado rectangular. En la figura 1.4 se O 5 10 ilustra tal sistema en dos dimensiones. Se etiqueta un punto arbitrario en este sistema con las coordenadas (x, y). Por ejemplo el punto P en la figura tiene coordenadas (5, 3). Si iniciamos Figura 1.4 Ubicación de puntos en el origen O, se alcanza P moviéndose 5 metros horizontalmente hacia la derecha y en segui- en un sistema cartesiano de coor- denadas en dos dimensiones. Todo da 3 metros en dirección vertical hacia arriba. De la misma manera, el punto Q tiene coorde- punto es etiquetado con coordena- nadas (–3, 4), que corresponde dirigirse 3 metros horizontalmente hacia la izquierda del das (x, y). origen y 4 metros en dirección vertical hacia arriba desde allí. Por lo general se elige x positiva como derecha del origen y hacia arriba desde el origen y positiva, pero en dos dimensiones esta selección es en gran extremo un tema de prue- ba. (De cualquier modo, en tres dimensiones existen coordenadas de “mano derecha” y “mano izquierda” que conducen a discrepancias en el signo menos de ciertas operaciones. (r, u) Esto será atendido cuando se requiera.) Algunas veces es más conveniente ubicar un punto en el espacio mediante sus coor- r denadas polares planas (r, u), como en la figura 1.5. En este sistema coordenado, son selec- cionados un origen O y una línea de referencia como se muestra. En tal caso se especifica un punto para la distancia r desde el origen hasta el punto y mediante el ángulo u entre u la línea de referencia y una línea trazada desde el origen hasta el punto. Por lo general la línea u 5 0 O estándar de referencia se considera el eje x positivo de un sistema cartesiano de coordenadas. Recta de referencia Se tiene en cuenta que el ángulo u es positivo cuando se mide en la dirección contraria a las manecillas del reloj desde la línea de referencia y negativo cuando se mide en la Figura 1.5 Las coordenadas dirección de las manecillas del reloj. Por ejemplo, si se especifica un punto mediante las polares de un punto en el plano coordenadas polares 3 m y 60°, este punto se ubica moviéndose 3 m desde el origen con están representadas por la distancia r y el ángulo u, donde u se mide un ángulo de 60° arriba de la línea de referencia (en dirección contraria a las manecillas en sentido contrario al de las mane- del reloj). Un punto especificado por las coordenadas polares 3 m y 260° se ubica 3 m cillas del reloj, a partir del eje x lejos del origen y 60° debajo de la línea de referencia (en la dirección de las manecillas positivo. del reloj).  www.elsolucionario.org 1.8 | Trigonometría 15 y 1.8 Trigonometría Considere el triángulo rectángulo de la figura activa 1.6, donde el lado y es opuesto al án- y gulo u, el lado x es adyacente al ángulo u y el lado r es la hipotenusa del triángulo. Las fun- sen u = r ciones trigonométricas básicas definidas en el triángulo mencionado son las razones de las cos u = xr r longitudes de los lados del triángulo. Estas relaciones son conocidas como las funciones y seno (sen), coseno (cos) y tangente (tan). En términos de u, las funciones trigonométri- y tan u = cas básicas son como sigue:2 x lado opuesto a u y u sen u 5 5 x hipotenusa r x lado adyacente a u x cos u 5 5 [1.1] Figura activa 1.6 hipotenusa r Algunas funciones trigonométricas lado opuesto a u y de un triángulo rectángulo. tan u 5 5 lado adyacente a u x Por ejemplo, si el ángulo u es igual a 30°, entonces la razón de y a r siempre es 0.50; es de- cir, sen 30° 5 0.50. Observe que las funciones seno, coseno y tangente son cantidades sin unidades porque cada una representa la razón de dos longitudes. Otra relación importante, denominada teorema de Pitágoras, existe entre las longitu- des de los lados de un triángulo rectángulo: r2 5 x2 1 y2 [1.2] Por último, con frecuencia será necesario hallar los valores de las relaciones inversas. Por ejemplo, se sabe que el seno de un ángulo es 0.866, pero necesita conocer el ángulo mismo. Es posible expresar la función seno inverso como sen21 (0.866), que es la manera corta de hacer la pregunta “¿Qué ángulo tiene un seno de 0.866?” Al oprimir dos teclas de su calculadora revela que este ángulo es 60.0°. Intente esto y demuestre que tan21 (0.400) 5 21.8°. Asegúrese que su calculadora está programada para grados, y no para radianes. Además, la función inversa de la tangente puede regresar sólo valores entre 290° y 190°, Tip 1.3 Grados contra de este modo cuando un ángulo está en el segundo o tercer cuadrante, es necesario sumar radianes 180° a la respuesta en la pantalla de la calculadora. Cuando calcule funciones trigo- Las definiciones de las funciones trigonométricas y las funciones trigonométricas in- nométricas, cerciórese de que versas, así como el teorema de Pitágoras, pueden ser aplicados a todo triángulo rectángulo, su calculadora está programada independientemente de si sus lados corresponden a las coordenadas x y y. en grados o radianes, consistente Estos resultados de la trigonometría son eficaces en la conversión de coordenadas rec- con la medida en grados que tangulares a coordenadas polares, o bien, a la inversa, como se muestran en los ejemplos está utilizando en un problema determinado. de más adelante.  1.9 | Estrategia de solución de problemas 17 1.9 Estrategia de solución de problemas La mayoría de los cursos en física general requieren que el estudiante aprenda a utilizar sus habilidades en la solución de problemas y por lo general los exámenes incluyen pro- blemas que prueban dichas habilidades. Esta breve sección presenta algunas sugerencias sensatas que ayudarán a incrementar su confianza en la solución de problemas. Además un planteamiento organizado para la solución de problemas intensifica su comprensión de los conceptos físicos y reduce la tensión del examen. En todas las partes del libro, exis- tirá un número de secciones etiquetadas “Estrategia de solución de problemas” muchas de ellas adaptaciones adecuadas de la lista que se proporciona a continuación (y que se explican en la figura 1.9). Estrategia general para la solución de problemas Problema 1. Lea el problema 1. Lea el problema cuidadosamente por lo menos dos veces. Asegúrese de que com- prende la naturaleza del problema antes de proceder más allá. 2. Trace un diagrama mientras vuelve a leer el problema. 2. Trace un diagrama 3. Etiquete todas las cantidades físicas en el diagrama, utilizando letras que le recuer- den esas cantidades (por ejemplo, m para la masa). Seleccione un sistema coorde- nado y etiquételo. 3. Etiquete las cantidades físicas Estrategia 4. Identifique los principios físicos, los que se conocen y los que se desconocen y 4. Identifique el (los) principio(s); ordénelos. Coloque círculos alrededor de los que se desconocen. liste los datos 5. Ecuaciones, la relación entre las cantidades físicas etiquetadas serán rescritas a continuación. Naturalmente, las ecuaciones elegidas son consistentes con los principios físicos identificados en la etapa anterior. 5. Seleccione la(s) ecuación(es) Solución 6. Resuelva el conjunto de ecuaciones para las cantidades desconocidas en términos 6. Resuelva la(s) ecuación(es) de las que se conocen. Realice esto algebraicamente, sin sustituir valores hasta la siguiente etapa, excepto donde los términos son cero. 7. Sustituya los valores conocidos, junto con sus unidades. Obtener un valor 7. Sustituya los valores conocidos numérico con unidades para cada incógnita. Verifique la respuesta 8. Verifique la respuesta 8. Verifique su respuesta. ¿Corresponden las unidades? ¿La respuesta es sensata? ¿Los signos más o menos tienen sentido? ¿Su respuesta es consistente con el Figura 1.9 Una guía para resolver orden de magnitud que evaluó? problemas. Este mismo procedimiento, con variaciones mínimas, será seguido en todo el cur- so. Las primeras tres etapas son extremadamente importantes, porque de ellas adquiere orientación intelectual. Identifique los conceptos y principios físicos adecuados que lo apoyan en la selección de las ecuaciones correctas. Las ecuaciones en sí son esenciales, porque cuando las interpreta comprende además la relación entre las cantidades físicas. Esta comprensión viene a través de mucha práctica diaria. Las ecuaciones son la herramienta de la física: al resolver problemas, tiene que tener- las a mano, algo parecido a un plomero y sus llaves de tuercas. Conocer las ecuaciones  www.elsolucionario.org 18 CAPÍTULO 1 | Introducción y comprender lo que ellas significan y cómo aplicarlas. Al igual que no puede tener una Tip 1.4 Utilice álgebra conversación sin conocer la lengua local, no puede resolver problemas en física sin conocer simbólica y comprender las ecuaciones. Esta comprensión crece conforme estudia y aplica los concep- Siempre que sea posible resuelva tos y las ecuaciones que se relacionan. simbolicamente los problemas y después sustituya los valores cono- Completar el álgebra siempre y cuando sea posible, sustituyendo números sólo al final, cidos. Este proceso ayuda a evitar también es importante, porque le ayuda a pensar en términos de las cantidades físicas errores y aclara las relaciones entre involucradas, no simplemente los números que ellos representan. Varios estudiantes que las cantidades físicas se inician en la física son impacientes al sustituir, pero una vez que se han sustituido los números es difícil entender la relación y facilita el cometer errores. El esquema físico y organización de su trabajo hará el producto final más comprensible y fácil de seguir. Aunque la física es una disciplina desafiante, su oportunidad de triunfo es excelente si se mantiene en una actitud positiva y continua intentándolo.  | Preguntas de opción múltiple 19 1.4 Incertidumbre en la medición la potencia de 10 más cercana, que algunas veces debe supo- nerse o estimar cuando se desconoce el valor, en tal caso se y cifras significativas realizan los cálculos. Para evaluaciones rápidas que incluyen Ninguna cantidad física puede determinarse con precisión valores conocidos, primero puede ser redondeado cada valor íntegra. El concepto de cifras significativas proporciona un a una cifra significativa. método básico de manejo de estas incertidumbres. Una ci- fra significativa es un dígito conocido confiable, diferente de cero, utilizado para ubicar el punto decimal. Las dos reglas 1.7 Sistemas de coordenadas El sistema cartesiano coorde- y de las cifras significativas son las siguientes: 10 nado consiste en dos ejes per- 1. Cuando se multiplica o se divide utilizando dos o más pendiculares, por lo general (x, y) cantidades, el resultado tiene el mismo número de ci- conocidos como eje x y eje 5 fras significativas que la cantidad con el menor número y, con cada eje etiquetado con r de cifras significativas. todos los números desde el in- 2. Cuando las cantidades se suman o se restan el número u finito negativo al infinito posi- x de cifras decimales en el resultado es el mismo que en tivo. Los puntos son ubicados O 5 la cantidad con el menor número de cifras decimales. para especificar los valores x y y. Un punto en el plano puede El uso de la notación científica puede evitar confusiones en Las coordenadas polares consis- ser descrito con coordena- las cifras significativas. En el redondeo, si el último dígito omi- ten en una coordenada radial r, das cartesianas (x,y) o en que es la distancia desde el ori- coordenadas polares (r, u). tido es menor que 5, simplemente se excluye; de otra manera el último dígito retenido se lleva al siguiente en uno. gen, y una coordenada angular u que es el desplazamiento angular desde el eje x positivo. 1.5 Conversión de unidades 1.8 Trigonometría Las unidades en las ecuaciones físicas siempre deben ser con- Las tres funciones trigonométricas básicas de un triángulo sistentes. En la solución de problemas de física, es mejor iniciar rectángulo son el seno, coseno y tangente, que se definen con unidades consistentes, utilizando la tabla de factores de con- como sigue: versión del interior de la cubierta, como sea necesario. La conversión de unidades es un asunto de multiplicar lado opuesto a u y sen u 5 5 la cantidad conocida por una fracción con una unidad en el hipotenusa r numerador y su equivalente en las otras unidades en el deno- lado adyacente a u x minador, ordenado de tal modo que las unidades no deseadas cos u 5 5 [1.1] hipotenusa r en la cantidad conocida se cancelen a favor de las unidades deseadas. lado opuesto a u y tan u 5 5 lado adyacente a u x 1.6 Cálculos aproximados y de orden El teorema de Pitágoras es una importan- de magnitud te relación entre las longitudes de los lados de Algunas veces es útil hallar una respuesta aproximada a una un triángulo rectángulo: pregunta, ya sea porque la matemática es difícil o porque la r r2 5 x2 1 y2 [1.2] y información es incompleta. También se puede aplicar una evaluación rápida para verificar un cálculo más detallado. En el donde r es la hipotenusa del triángulo, x y y u cálculo de orden de magnitud, cada valor es sustituido por son los otros dos lados. x PREGUNTAS DE OPCIÓN MÚLT IPLE Las preguntas de opción múltiple en este capítulo pueden ser asignadas en línea en Enhanced WebAssign. 1. Una pista de aterrizaje-despegue mide 32.30 m por 210 m, 3. La segunda ley del movimiento de Newton (capítulo 4) con el ancho medido con más precisión que el largo. dice que la masa de un objeto por su aceleración es igual a Halle el área, tomando en cuenta las cifras significativas. la fuerza neta sobre el objeto. ¿Cuál de los siguientes pro- a) 6.783 0 3 103 m2 b) 6.783 3 103 m2 c) 6.78 3 103 m2 porciona las unidades correctas para la fuerza? a) kg ? m/s2 d) 6.8 3 103 m2 e) 7 3 103 m2 b) kg ? m2/s2 c) kg/m ? s2 d) kg ? m2/s e) ninguna de éstas 2. Considere dos cantidades, A y B, que tienen diferentes di- 4. Aplique las reglas para las cifras significativas y halle la mensiones. Determine cuál de las operaciones aritméticas respuesta al problema de suma 21.4 1 15 1 17.17 1 que siguen podría ser físicamente significativa. a) A 1 B 4.003. a) 57.573 b) 57.57 c) 57.6 d) 58 e) 60 b) B 2 A c) A 2 B d) A/B e) AB 20 CAPÍTULO 1 | Introducción 5. El codo romano es una antigua unidad de medida equi- tancia, t es el tiempo y v es la velocidad con unidades de valente a casi 445 mm. Convertir la altura de un basquet- distancia divididas entre el tiempo. a) v/t 2 b) v/x 2 c) v 2/t bolista de 2 m de altura a codos. a) 2.52 codos b) 3.12 co- d) v 2/x e) ninguna de éstas dos c) 4.49 codos d) 5.33 codos e) ninguno de éstos 10. El precio de la gasolina en una estación en particular es 6. Se anuncia una casa que tiene 1 420 pies cuadrados bajo 1.5 euros por litro. Una estudiante estadounidense pue- techo. ¿Cuál es el área de la casa en m 2 ? a) 115 m 2 de utilizar 33 euros para comprar gasolina. Sabiendo que b) 132 m2 c) 176 m2 d) 222 m2 e) ninguno de éstos cuatro cuartos hacen un galón y que un litro se encuen- 7. Responda a cada pregunta sí o no. ¿Deben dos canti- tra cerca de un cuarto, ella razona rápidamente: ¿cuántos dades tener las mismas dimensiones a) si usted las está galones de gasolina puede comprar? a) menos de 1 galón sumando? b) ¿Si usted las está multiplicando? c) ¿Si las b) alrededor de 5 galones c) alrededor de 8 galones d) está restando? d) ¿Si las está dividiendo? e) ¿Si las está más de 10 galones comparando? 11. En una distancia horizontal de 45 m medida desde un 8. Halle la coordenada polar que corresponde a un pun- árbol, el ángulo de elevación a la parte superior del árbol to ubicado en (25.00, 12.00) en coordenadas cartesia- es 26°. ¿Qué tan alto es el árbol? a) 22 m b) 31 m c) 45 m nas. a) (13.0, 267.4°) b) (13.0, 113°) c) (14.2, 267.4°) d) 16 m e) 11 m d) (14.2, 113°) e) (19, 272.5°) 12. Una calculadora muestra un resultado como 1.365 248 0 9. ¿Cuál de las siguientes relaciones es dimensionalmente 3 107 kg. La incertidumbre estimada en el resultado es consistente con una expresión que produce un valor para de 62 3 105 kg. ¿Cuántos dígitos deben ser incluidos la aceleración? Ésta tiene unidades de distancia divididas como cifra significativa cuando el resultado está escrito entre tiempo al cuadrado. En estas ecuaciones, x es la dis- hacia abajo? a) cero b) una c) dos d) tres e) cuatro PREGUNTAS CONCEPTUALES Las preguntas conceptuales en este capítulo pueden ser asignadas en línea en Enhanced WebAssign. www.elsolucionario.org 1. Estime el orden de magnitud de la longitud, en me- tros, de cada uno de los siguientes: a) un ratón, b) un 7. En ocasiones se proporciona la altura de un caballo en unidades de “palmos”. ¿Por qué es un estándar deficiente taco de billar, c) una cancha de basquetbol, d) un ele- de longitud? fante, e) una calle. 8. ¿Cuántos intervalos de longitud y de tiempo conocidos 2. ¿Qué tipos de fenómenos naturales podrían servir como en las tablas 1.2 y 1.3 podría verificar, utilizando única- modelo de tiempo? mente el equipo hallado en un dormitorio típico? 3. Halle el orden de magnitud de su edad en segundos. 9. a) Si una ecuación es dimensionalmente correcta, ¿signi- 4. Un objeto con una masa de 1 kg pesa aproximadamente fica que esto debe ser verdadero? b) Si una ecuación no 2 lb. Utilice esta información para estimar la masa de los es dimensionalmente correcta, ¿significa que la ecuación objetos que siguen: a) una pelota de béisbol b) su libro no puede ser verdadera? Explique sus respuestas. de física c) una camioneta. 5. a) Estime el número de latidos de su corazón en 10. ¿Por qué se considera el sistema métrico de unidades su- un mes. b) Estime el número de latidos de un corazón perior a la mayoría de otros sistemas de unidades? humano en una vida promedio. 11. ¿Cómo puede estimar un valor incluso cuando está fuera 6. Estime el número de átomos en 1 cm3 de un sólido. (Ob- de un orden de magnitud? Explique y proporcione un serve que el diámetro de un átomo es casi 10210 m.) ejemplo.