Mathematik - Merkteil PDF

1 Trigonometrie Ziel Berechnungen an Dreiecken bisher rechtwinkelige Dreiecke jetzt beliebigeDreiecke 1.1 Wiederholung Grundlagenwissen B Esgilt z.B...

1 Trigonometrie Ziel Berechnungen an Dreiecken bisher rechtwinkelige Dreiecke jetzt beliebigeDreiecke 1.1 Wiederholung Grundlagenwissen B Esgilt z.B 92 8 2 c a sind COSA AN b r.cn Bsp.l.im e 8cm IE f Ich g g FIA Alef 9 8,544cm A 12cm 8 Bsp 2 Gnaden fan 60 B 11,08cm F Ein 60 11,08cm 6140cm ds tooNF sesesoeeü FTTaogo Bsp.tn a ohneTR für schöne Winkel sin270 1 sin 360 sin0 0 cos 270 0 cos 360 Cos0 1 for270 und fam 360 fand 0 b TR sin150 a cos 72 0,31 fan 20 0,58 Aspirin 1 3 DerSinussatz Ziel Berechnungen an allgemeinen Dreiecken c Idee Esgilt b sind hab in α a hi sin β 4 a sinß a b sind a sin β a A A B sind sik if  Es gilt allgemein Sat1 Sinussatz Für jedes Dreieck mit denSeiten a b c und den b a entsprechenden Winkeln α β P gilt DerQuotientauseinem β sind singß sing Winkelunddergegenibeugnen Seiteistkonstant Bsplin gegen SABC mit c 5cm α 60 β 50 p 180 160450 p 70 D b 4,08cm sing0 sin60 si a 2 a 4,61 Suk 2 Der Flächeninhalt A einesDrieds mitdenSeiten a b C undden Winkeln α Pip istgegeben durch b c sind A ab sing f a c sinβ Bsp.lin.mg Δ isteindeutig bestimmtnach SW sind sind g SEI 1.4cm sin 8 5652 44 0,725 8 46,5 TR 14 Der Kosinussatz 8 b a d C β Es gilt ä i Lbc Cost b alte Zac cosβ c at b Zab cosy Bsp.tn a 4cm b 8cm c 6am a 62 02 2bc.CO 4mf 5cuP 6cmP 2.5anGour cos 41,40mitTR 2 b a tc Zac cosß Jump Kontur 24cm Gan cosß β 55,8 8 1800 4 82,8 y Bsp a 5cm at b tc 2k cosa mm b 6am α 56,4 32 p 180 1320 56,40 02 92 5 Zab cosy β 91,6 C 3,18cm  Trigonometrische Funktionen Winkelfunktionen 2 sin cos tun funktionaleBerechnungen 2 1 Vorbetrachtungen bisher 2 B sing PHYÄTIgeschönten Definitionsbereich 0 α 360 1 go.jo1270 560 α 121 Argumente α in eigentlich bei 84in Funktionen Langen 1 ErweiterungdesWinkelbegritts Winkel 360 3 3900 3600 300 360 Winkel COO bzw 40 40  Damit ergibt sich 1 30 2 18 go go Ipo220 360 Iso 12 Erschaffung einer Dimensionslosen Größe keineEinheiten mehr Einheitskreis In jedenCorientierten Winkel gehört a eine Orientierte Bogenlänge X Es gilt F Fü 225 35 Man streitands Ifo arc α Bogenmaß 144p 0 90 wo 270 360 720 IBFgau.pl 0 I IF 2T 4T  2 2 DieSinusfunktion DieFunktion f mitder Gleichung g Hx sinx Sinusfunktion heißt Graph s Gendintervall 1 in 2k 4 X 1 Eigenschaften 1 D EHER 4 W glyeR 1441 3 Nullstellen unendlich viele 3T 2 08,15251 Xp k T k 2 4 lokaleExtrempunkte unendlich viele H EIN T FEI 11  5 Punktsymmetrie zu 00 ungut Periodität wider holen DieFunktionswerte sich regelmäßig inAktien von 27 es gilt sinx sind 2k Kek DieKleinstePeriode ist 251 y ff Bspitim sind ER Berechne den Funktionsvert an derStelle 4,1 a sin 4,1 yet4,1 0,818 Ermittle im Intervall 5 Ex 5 diejenigen Stehen anddie Funktion weit 0 48 annimmt  3 3 DerEinfluss von Parametern aufdie Sinusfunktion panching HEEEEEEETHS 4H Spiegelung an xAchse 1 1 2 3 bltkl sinxtc.HR m z.B Fly Sixx tat sinx 1 f x sint 2 1 1 2 3  DerParameter c bericht eine Verschiebung desGopher Richtung 4 in g 3 2 Bsplima f sinx 1 gA sins b HH 2sint.si ä t I IF it 3sind g 2 3 a D HER y yea 69 Wo 2 H P OH 4 di 1.61 b 18 4 71 2  c flxt s.in xtcKERmm Wissen schon c bewirkt Verschiebung in Richtung alsonach links bzw rechts K1 E 1 Ist da I I I s G Hank 844 sik 2 dlflxfsinlbxllbeR.b tdm die bgi.pt der Anzahl Perioden in 2T an Klonte Perioden 2 b bewirkt also Standing in Richtung wenn b 1 Streckung in Richtung wenn 0 641 b O berichtenzusätzlich Spiegelung an Achse xAchse y  2 B Gls sinxfalxtsinlzxlfg.lt sin Ex 1 In Ist In ist 6 Bsptin Ist 4k ist 6kt 1  34 Weitere Trigonometrische Funktionen Bsp.tn cosx Kosinusfunktion Wissen schon 0 In offenbar flxfcosx s.in y E y I I I I I I I I I I 25 51 5 251 IT 2 Eigenschafterin Dg Ex ER Wo glyeR 14 1 Kleinste Periode 215 Achsensmmetrie zur Achse y Nullstellen Ej IET ET Es 115 Extrempunkte H 011 T 51 1 Bsp int 2 f tanx Tangensfunktion Esgilt 6H tax E y F LET ET ä ä E senkrechte Amphoden Bakterien können sich schnell vermehren. In einem Labor wurde eine Bakterienkultur unter gleichbleibenden Wachstumsbedingungen über längere Zeit beobachtet, dabei wurde festgestellt, dass sich ihre Masse täglich verdoppelt. Es sind t die vergangene Zeit in Tagen ab Beobachtungsbeginn und m die Masse der Bakterien- kultur in mg zur Zeit t. Zu Beobachtungsbeginn (t = 0) beträgt die Masse der Bakterienkultur 1,0 mg. a) Vervollständige folgende Tabelle. t 0 1 2 3 4 m 1mg 2mg 4mg 8mg Meng b) Die Züchtung der Bakterien begann bereits einige Tage vor dem Beobachtungsbeginn, was die folgende Tabelle verdeutlichen soll. Trage die entsprechenden Massen ein. t 0 –1 –2 –3 –4 m 1mg 0,5mg 0,25mg 0,125mg 0,05125mg c) 16b) in ein Koordinatensystem ein und zeichne den Trage die Wertepaare aus den Tabellen in a) und Graphen der Funktion m = m( t ). 15 14 73 12 11 10 g 8 X 7 6 5 4 2 1 iii d) Gib eine Gleichung an, die den funktionalen Zusammenhang zwischen m und t beschreibt. 4 2  3 Exponentialfunktionen Funktionen mit einer Gleichung der Form at mit aeh 0 a 1 y a heißenExponentialfunktionen 3 1 Exponentialfunktionen miteiner Gleichung derForm g at Beginn an A 2 9H 10 3 2 10 1 23 flx 0,1250,25 015 1 2 4 8 94 0,001 0104 0,1 1 10 100 1000 Eigenschaften D HER keine Symmetrie Wf HER 4 0 waagerechte Asymptode 0 x Achse y Nullstellen keine lokale Extrempunkte keine Monotonie monoton stogend Sy 011 SP EEjlnu.ee EULERsie Zahl y et soy e Funktion man schreibt anh et exp x 1 B et 2 fix a Berechne den Funktionswert an der Stelle 3,8 613,8 e 44,7 b 8,6 ex 1,7