Trigonometrie: Grundlagen und Anwendung

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Questions and Answers

Wie verändert sich die Masse der Bakterienkultur nach einem Tag?

Sie verdoppelt sich. (correct)

Sie bleibt konstant.

Sie halbiert sich.

Sie nimmt um 1 mg zu.

Welche Masse hat die Bakterienkultur nach 4 Tagen?

8 mg

1 mg

4 mg

16 mg (correct)

Wie lautet die Formel für die Masse der Bakterienkultur in Abhängigkeit von der Zeit?

m(t) = t^2

m(t) = 1 + 2t

m(t) = 1 * 2^t (correct)

m(t) = 2 * t

Welche Masse hatte die Bakterienkultur 2 Tage vor dem Beobachtungsbeginn?

0,25 mg Signup and view all the answers

Wie beeinflusst der Faktor Zeit die Masse der Bakterienkultur?

Die Masse erhöht sich exponentiell. Signup and view all the answers

Was wäre die Masse der Bakterienkultur nach 3 Tagen?

8 mg Signup and view all the answers

Wie war die Bakterienmasse an dem Punkt, als die Beobachtung begann?

1 mg Signup and view all the answers

Welche der folgenden Mengen könnte die Masse der Bakterienkultur einige Tage nach t = 4 sein?

32 mg Signup and view all the answers

Was beschreibt der Sinussatz für ein beliebiges Dreieck?

Der Quotient aus einer Seite und dem Sinus des gegenüberliegenden Winkels ist konstant. Signup and view all the answers

Was gilt für die Funktion $f(x) = \sin(x)$?

Die kleinste Periode der Funktion ist $2\pi$. Signup and view all the answers

Welche dieser Aussagen über die Cosinusfunktion ist korrekt?

Die kleinste Periode ist $2\pi$. Signup and view all the answers

Welcher Ausdruck beschreibt den Flächeninhalt $A$ eines Dreiecks mit Seitenlängen $a$, $b$ und dem eingeschlossenen Winkel $\gamma$?

$A = \frac{1}{2}ab \sin(\gamma)$ Signup and view all the answers

Was bewirkt der Parameter $c$ in der Funktion $f(x) = \sin(x - c)$?

Eine Verschiebung nach rechts um $c$ Einheiten. Signup and view all the answers

Wie lautet die Gleichung des Kosinussatzes?

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$ Signup and view all the answers

Welche der folgenden Werte sind nicht Teil des Definitionsbereichs der Sinusfunktion?

1800 Signup and view all the answers

Wie viele Nullstellen hat die Tangensfunktion?

Unendlich viele. Signup and view all the answers

Was passiert mit der Sinusfunktion, wenn der Parameter $b$ in der Funktion $y = \sin(bx)$ größer als 1 ist?

Die Funktion wird gestaucht. Signup and view all the answers

Wie lautet die allgemeine Form der Sinusfunktion?

$y = A \sin(Bx + C) + D$ Signup and view all the answers

Welcher Zusammenhang gilt zwischen den trigonometrischen Funktionen und ihren inversen Funktionen?

Die Inversen existieren nur für eine Teilmenge des Definitionsbereichs. Signup and view all the answers

Was beschreibt die Erwähnung von punktsymmetrischen Eigenschaften in der analyse von trigonometrischen Funktionen?

Die Werte der Funktion sind für $x$ und $-x$ gleich. Signup and view all the answers

Was passiert mit der Funktion $y = \sin(x)$ bei einer Spiegelung an der x-Achse?

Die Funktionswerte kehren sich um. Signup and view all the answers

Study Notes

Trigonometrie

Ziel: Berechnungen an Dreiecken
Bisher: Rechtwinklige Dreiecke, jetzt: beliebige Dreiecke

1.1 Wiederholung Grundlagenwissen

Es gilt z.B.: a² + b² = c²
sin α = a/c
cos α = b/c
tan α = a/b
Beispiel: e = 8 cm, f = 3 cm, g = 8,544 cm, A = 12 cm²
Weitere Beispiele mit Berechnungen anhand der gegebenen Dreiecke

Beispiel 2:

tan 60° = √3
x = 6,4 cm
11,08 cm

1.2 Sinus, Cosinus, Tangens am Einheitskreis

Ziel: Anwendung von sin, cos, tan bei Winkeln > 90°
Idee: Einheitskreis im kartesischen Koordinatensystem (Mittelpunkt M(0|0), Radius r = 1)
Definition: Sei P(u|v) der Punkt zum Winkel a am Einheitskreis:
- sin a = v
- cos a = u
- tan a = v/u
Beispiele:
- sin 180° = 0, cos 180° = -1, tan 180° = 0
- sin 110° ≈ 0,94, cos 110° ≈ -0,38, tan 110° ≈ -2,47
- sin 300° ≈ -0,87, cos 300° ≈ 0,5, tan 300° ≈ -1,73

1.3 Der Sinussatz

Ziel: Berechnungen an allgemeinen Dreiecken
Es gilt:
- sin α / a = sin β / b = sin γ / c
Beispiel: gegebenes Dreieck ABC mit c = 5 cm, α = 60°, β = 50°

1.4 Der Kosinussatz

Es gilt:
- a² = b² + c² - 2bc cos α
- b² = a² + c² - 2ac cos β
- c² = a² + b² - 2ab cos γ
Beispiele mit Berechnungen unterschiedlicher Dreiecksaufgaben

2.1 Die Sinusfunktion

Eigenschaften:
- Definitionsbereich: D = ℝ
- Wertebereich: W = {-1 ≤ y ≤ 1}
- Nullstellen: unendlich viele x = kπ (k ∈ ℤ)
- Periode: 2π
- Symmetrie: Punktsymmetrie um (0|0)

2.2 Die Kosinusfunktion

Eigenschaften:
- Definitionsbereich: D = ℝ
- Wertebereich: W = {-1 ≤ y ≤ 1}
- Nullstellen: unendlich viele x = ±(2n + 1) π/2 (n ∈ ℤ)
- Periode: 2π
- Symmetrie: Achsensymmetrie um y-Achse

2.3 Die Tangensfunktion

Eigenschaften:
- Definitionsbereich: D = ℝ \ {kπ/2 | k ∈ ℤ
- Wertebereich: W = ℝ
- Nullstellen: unendlich viele x = kπ (k ∈ ℤ)
- Periode: π
Asymptoten bei π/2, 3π/2, 5π/2 usw.

3. Exponentialfunktionen

Funktionen mit der Form y = a^x (a ∈ ℝ, a ≠ 0, a ≠ 1)
Eigenschaften:
- Definitionsbereich: D = ℝ
- Wertebereich: W = {y ∈ ℝ | y > 0}
- waagerechte Asymptote: y = 0
- Monoton steigend (a > 1), Monoton fallend (0 < a < 1)

Beispiel:

f(x) = 2^x
Weitere Beispiele (Berechnungen und Skizzen)

Spezielle Basis e

e ≈ 2,71828
y = e^x (exponentielle Funktion)
Beispiel:
Berechnung von Funktionswerten
Graphische Darstellung

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Description

In diesem Quiz geht es um die Berechnung von Dreiecken, einschließlich rechtwinkliger und allgemeiner Dreiecke. Es werden grundlegende trigonometrische Funktionen wie Sinus, Cosinus und Tangens behandelt sowie deren Anwendung im Einheitskreis. Testen Sie Ihr Wissen über die Konzepte des Sinussatzes und mehr.