Problemas de Optimización Matemática PDF

Se dispone de una cuerda de largo 3L, con L \> 0. Con ella se desea formar un trapecio isósceles que tenga tres lados de largo L. Con otra cuerda (suficientemente larga) se desea armar la base, de modo que el área del trapecio sea máxima. Plantee el problema de optimización al que se enfrenta y dete...

Se dispone de una cuerda de largo 3L, con L \> 0. Con ella se desea formar un trapecio isósceles que tenga tres lados de largo L. Con otra cuerda (suficientemente larga) se desea armar la base, de modo que el área del trapecio sea máxima. Plantee el problema de optimización al que se enfrenta y determine el largo de la base y el valor óptimo de área. \[P\] Consideremos la función f : R → R definida por f(x) = e −x al cuadrado a) Verifique que la función es par en su dominio y que es decreciente en el intervalo \[0, +∞). Haga un bosquejo de la función. b\) Considere la región R = {(x, y) ∈ R al cuadrado \| x ∈ R, −f(x) ≤ y ≤ f(x)}. Determine las dimensiones del rectángulo con lados paralelos a los ejes e inscrito en la región R que sea de área máxima, justificando por qué es máximo. Encuentre los puntos críticos de la siguiente función y clasifíquelos. f(x, y) = ln(x al cuadrado + y al cuadrado + 1) \[P\] Dada la función f(x, y) = y −4x al cuadrado + 3xy −y al cuadrado , determine todos sus puntos críticos e indique si son máximos o mínimos. Optimice el valor de la función f(x, y) = x sobre el conjunto de puntos en que x al cuadrado + 2y al cuadrado = 3. Un agricultor dispone de un terreno colindante a un tramo recto de un río y material suficiente para construir 730 metros lineales de cerca para ganado. Si desea construir una reja rectangular de modo que uno de sus lados sea el propio río, ¿de qué dimensiones debe ser la reja para utilizar todo el material y conseguir la mayor cantidad de área encerrada posible? Una tienda ha estado vendiendo 200 reproductores de discos Blu-ray por semana a \$350 cada uno. Un estudio de mercado indica que existe una relación lineal que por cada \$10 de descuento ofrecido a los compradores, el número de unidades vendidas se incrementará en 20 a la semana. Encuentre la función demanda y la función ingreso. ¿Qué tan grande debe ser el descuento que ofrezca la tienda para maximizar sus ingresos? Considere el problema de optimización con restricciones. (P) = mín: x al cuadrado + 2y + 6z s.a: x al cuadrado + y al cuadrado + z al cuadrado - 1 a\) Argumente por qué este problema posee solución. b\) Escriba el Lagrangeano asociado al problema. c\) Encuentre la solución del problema Lagrangeano. ¿Cuál es el valor óptimo? Se desea construir un recipiente de agua para regadío de forma cilíndrica que debe tener un volumen de 1000 metros cúbicos, para ser instalado en una fábrica agronómica en Colchagua. Si las tapas del cilindro se construyen con un material que cuesta \$2.000 por metro cuadrado y la pared lateral con uno que cuesta \$2.500 por metro cuadrado, ¿qué dimensiones debe tener el cilindro para gastar lo menos posible? A un empresa pequeña se la han asignado \$60.000.000 para gastar en el desarrollo y la promoción de un nuevo videojuego. Se calcula que si se gastan P millones de pesos en publicidad y D millones de pesos en desarrollo, se venderán U(P, D) = 20 P elevado a 3/2 D copias en Steam. ¿Cuánto dinero se debe asignar a cada ítem para maximizar las ventas en la plataforma? Problema de cotizaciones La tendencia que sigue una cotización de una determinada sociedad, suponiendo que la bolsa permanece en servicio los días d de un mes de 30 días, está modelada por la función: C(d) = 0,01d al cubo − 0,45d al cuadrado+ 2,43d + 300 ¿En qué períodos de tiempo las acciones subieron y en cuáles bajaron? El Emprendimiento Una emprendedora vende 0.7 toneladas de jugo y 0.3 toneladas de sobrante por cada tonelada de materia prima que adquiere. El coste de la materia prima es de 0.8 UTM/kg, los precios de venta del jugo y del sobrante son 2.5 UTM/kg y 0.05 UTM/kg, respectivamente, y el coste de producción viene dado por la función: c(t) = 0,05t al cubo donde t representa las toneladas de jugo producido. ¿Cuál es la producción óptima para la emprendedora? La Corporación de Cremas Dentífricas Orgánicas produce pasta de dientes en dos tamaños, de 100 y 150 mililitros. El costo de producción de cada tubo de cada tamaño es de \$60 y \$90, respectivamente. Las demandas semanales D1 y D2 (en miles de unidades) para los dos tamaños son: D1 = 3(P2(pequeño) − P1(pequeño) D2 = 320 + 3p1(pequeño − 5p2(pequeño) donde p1 y p2 son los precios, en pesos, de cada uno de los tubos. Suponiendo que se satisfacen exactamente las demandas, ¿cuáles son los mejores precios que hacen maximizar la ganancia de la Corporación? Decisiones sobre inversiones en mano de obra y capital Empleando L unidades de mano de obra y K unidades de capital, una empresa puede elaborar P unidades de su producto, con P(L, K) = 50L 2/3K1/3 Le cuesta a la empresa \$100 cada unidad de mano de obra y \$300 cada unidad de capital empleado y dispone de una suma de \$45000 para propósitos de producción. Determine las unidades de mano de obra y de capital que la empresa debería utilizar con el objetivo de maximizar su producción. Decisiones sobre inversiones en mano de obra y capital Empleando L unidades de mano de obra y K unidades de capital, una empresa puede elaborar P unidades de su producto, con P(L, K) = 50L⅔ K ⅓ Le cuesta a la empresa \$100 cada unidad de mano de obra y \$300 cada unidad de capital empleado y dispone de una suma de \$45000 para propósitos de producción. Determine las unidades de mano de obra y de capital que la empresa debería utilizar con el objetivo de maximizar su producción.