Lógica Proposicional PDF

Capítulo I. Lógica proposicional Capítulo I Lógica proposicional Tema 1. Proposiciones y operadores Lógicos 1.1 Definiciones básicas Té...

Capítulo I. Lógica proposicional Capítulo I Lógica proposicional Tema 1. Proposiciones y operadores Lógicos 1.1 Definiciones básicas Término: Cada parte que constituye un enunciado o discurso. Sinónimo de palabra o colección de palabras. Término categoremático: término que tiene significado propio e independiente Término sincategoremático: término que no tiene significado propio y seutiliza para modificar o enlazar términos categoremáticos Proposición lógica: agrupación de términos de la que se puede afirmar si su contenido es falso o verdadero. Pueden ser atómicas o moleculares Proposición atómica: proposición que no puede descomponerse en partes que sean a su vez proposiciones. Proposición molecular: proposición formada por una o varias proposiciones atómicas enlazadas por términos sincategoremáticos Conectores proposicionales: términos sincategoremáticos que se usan para modificar o enlazar proposiciones Conectores monádicos: se aplican a una sola proposición ej: negación Conectores diádicos: se aplican a dos proposiciones ej: conjunción (y), disyunción (o) disyunción exclusiva ( o…o…) condicional (si…entonces) bicondicional (s y solo si) Simbolizaciones: proposiciones atómicas se simbolizan por letras minúsculas comenzando por la p : p. q, r, s Variable proposicional: símbolo que sustituye a una proposición atómica Conectivo u operador lógico: símbolo del conector proposicional Conector Símbolo negación ¬ conjunción ∧ disyunción ∨ disyunción exclusiva ∆ condicional → bicondicional ↔ Fórmula lógica: expresión simbólica que sustituye a una proposición molecular Valorar o hallar valor lógico de una proposición: averiguar la falsedad o veracidad de la misma. V ⇔ verdad ⇔ 1, F ⇔ falso ⇔ 0. Álgebra de proposiciones: Construcción de fórmulas lógicas y estudio de su veracidad o falsedad así como de sus propiedades Axiomas del álgebra de proposiciones: Axioma 1: toda proposición es verdadera o falsa, es decir, toma valores 0 o 1 1 Capítulo I. Lógica proposicional Axioma 2: Una fórmula lógica representa una proposición cuyo valor de verdad o falsedad depende de los conectores y los valores de verdad o falsedad de las variables proposicionales que la contienen Axioma 3: Los valores de verdad o falsedad de las fórmulas lógicas se establecen en tablas llamadas Tablas de verdad Operación lógica: cuando modificamos o enlazamos una o varias proposiciones mediante conectores obteniendo una nueva proposición 1.2 Tablas de verdad Representación de todas las combinaciones posibles de falsedad o veracidad de una proposición atómica o molecular. Contiene 2n filas, siendo n la cantidad de variables de la proposición molecular. Ejemplos de Tablas de verdad n=1 p 0 1 n=4 p q r s n=2 0 0 0 0 p q 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 n=3 0 1 1 1 p q r 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 2  Capítulo I. Lógica proposicional 1.3 Operadores lógicos Negación: Dada una proposición p su contraria no p es verdadera cuando aquella es falsa y se simboliza ¬p. p ¬p 0 1 1 0 Conjunción o producto lógico: Dadas dos proposiciones p, q , el producto lógico es la proposición molecular p y q que se simboliza (p ∧ q) p q p∧q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Disyunción o suma lógica: Dadas dos proposiciones p, q , la suma lógica es la proposición molecular p o q que se simboliza (p ∨ q) p q p∨q 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 Disyunción exclusiva: Dadas dos proposiciones p, q , la disyunción exclusiva es la proposición molecular que se simboliza (p ∆ q) p q p∆q 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Conjunción negativa: Dadas dos proposiciones p, q , la conjunción negativa significa lingüísticamente “ni” y se simboliza (p ↓ q) p q p↓q 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 Condicional: Dadas dos proposiciones p, q , el condicional es la proposición molecular si p entonces q que se simboliza (p → q) 3 Capítulo I. Lógica proposicional p q p→q 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 Bicondicional: Dadas dos proposiciones p, q , el bicondicional es la proposición molecular p si y solo si q que se simboliza (p ↔ q) p q p↔q 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1.4 Tautología contradicción y contingencia Tautología: proposición que es siempre verdadera independiente de los valores de veracidad de sus proposiciones componentes. Ejemplo p ∨ ¬p Contradicción: proposición que es siempre falsa independiente de los valores de veracidad de sus proposiciones componentes. Ejemplo p ∧ ¬p Contingencia: proposición que es verdadera o falsa Ejemplo p ∨ (p↓ q) 1.5 Equivalencia e implicación lógicas Proposiciones equivalentes: si sus tablas de verdad coinciden exactamente, se simboliza ⇔ Ejemplo p q p↔q p→q q→p (p→q)∧(q→p) 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 Implicación: Se dice que una proposición P implica lógicamente a Q y se escribe P ⇒ Q si y solo si la condicional P → Q es una tautología, es decir, en ningún caso P es verdadera y Q es falsa La implicación cumple las propiedades: 1. Reflexiva P ⇒ P 2. Antisimétrica [(P ⇒ Q)∧(Q ⇒ P)]→(P ⇔ Q) 3. Transitiva [(P ⇒ Q)∧(Q ⇒ R)]→(P ⇒ R) P ⇒ Q se denomina Teorema donde P es condición suficiente para Q o Q es condición necesaria para P Teorema directo: P ⇒ Q 4  Capítulo I. Lógica proposicional Teorema recíproco: Q ⇒ P Teorema contrario: ¬P ⇒ ¬Q Teorema contrarrecíproco: ¬Q ⇒ ¬P 1.6 Leyes Lógicas Leyes de absorción [ p ∨ ( p ∧ q)] ⇔ p [ p ∧ ( p ∨ q)] ⇔ p Leyes de idempotencia p∨ p ⇔ p p∧ p ⇔ p Leyes de asociatividad [ p ∨ (q ∨ r )] ⇔ [ ( p ∨ q) ∨ r ] [ p ∧ (q ∧ r )] ⇔ [ ( p ∧ q) ∧ r ] Leyes de conmutatividad ( p ∨ q) ⇔ (q ∨ p) ( p ∧ q) ⇔ (q ∧ p) ( p ↔ q ) ⇔ (q ↔ p) Leyes de complementación ( p ∨ ¬p ) ⇔ 1 ley del tercio exclusivo ( p ∧ ¬p ) ⇔ 0 ley de contradiccion Leyes de distributividad [ p ∨ (q ∧ r )] ⇔ [ ( p ∨ q) ∧ ( p ∨ r )] [ p ∧ (q ∨ r )] ⇔ [ ( p ∧ q) ∨ ( p ∧ r )] [ p → (q ∧ r ) ] ⇔ [ ( p → q ) ∧ ( p → r ) ] [ p → (q ∨ r ) ] ⇔ [ ( p → q ) ∨ ( p → r ) ] Leyes de identidad ( p ∨ 0) ⇔ p ( p ∧ 1) ⇔ p p⇒ p p⇔ p Ley de la doble negación o de involución ¬¬p ⇔ p Leyes de De Morgan ¬( p ∨ q) ⇔ ¬p ∧ ¬q ¬( p ∧ q) ⇔ ¬p ∨ ¬q Leyes de simplificación ( p ∧ q) ⇒ p ( p ∧ q) ⇒ q Leyes de adición 5 Capítulo I. Lógica proposicional p ⇒ ( p ∨ q) q ⇒ ( p ∨ q) Leyes de inferencia de la alternativa o de los silogismos disyuntivos [ ¬p ∧ ( p ∨ q ) ] ⇒ q [ p ∧ ( ¬p ∨ ¬ q ) ] ⇒ ¬ q Leyes de transitividad o del silogismo hipotético [ ( p → q) ∧ (q → r )] ⇒ ( p → r ) [ ( p ↔ q ) ∧ (q ↔ r ) ] ⇒ ( p ↔ r ) Ley del dilema constructivo [ ( p ∨ q) ∧ ( p → r ) ∧ (q → r )] ⇒ r Segunda ley del dilema constructivo [ ( p → q) ∧ (r → s) ∧ ( p ∨ r )] ⇒ (q ∨ s) Ley del dilema destructivo [ ( ¬p ∨ ¬q ) ∧ ( r → p ) ∧ ( s → q ) ] ⇒ (¬r ∨ ¬ s ) Ley del bicondicional ( p ↔ q) ⇔ [ ( p → q) ∧ (q → p)] Leyes del condicional ( p → q ) ⇔ (¬p ∨ q) condicional disyuntivo ( p → q ) ⇔ ¬( p ∧ ¬q) reduccion al absurdo Leyes de transposición ( p → q ) ⇔ (¬ q → ¬p ) ( p ↔ q ) ⇔ ( ¬q ↔ ¬p ) Ley de permutación [ p → (q → r )] ⇔ [ q → ( p → r ) ] Ley del silogismo ( p → q) ⇒ [ (q → r ) → ( p → r )] Ley de exportación e importación [ ( p ∧ q ) → r ] ⇔ [ p → (q → r ) ] Leyes de expansión ( p → q) ⇔ [ ( p ∨ q) ↔ q ] ( p → q) ⇔ [ ( p ∧ q) ↔ p ] Ley de separación o del modus ponendo ponens [( p → q) ∧ p ] ⇒ q Ley del modus tolendo tolens [ ( p → q ) ∧ ¬q ] ⇒ p Ley del modus tolendo ponens [( p ∨ q) ∧ p ] ⇒ q Ley de resolución [ ( ¬p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r ) ] ⇒ ( q ∨ r ) 6  Capítulo I. Lógica proposicional Tema 2. Cálculo de operadores lógicos 2.1 Procedimientos de decisión Tablas de verdad Árboles semánticos Refutación 2.2 Sistema inferencial del cálculo de proposiciones Reglas básicas de inferencia: Reglas de Eliminación Reglas de Introducción Reglas básicas del condicional 1.Modus ponendo ponens 2. Teorema de deducción p→q ⎡p p ⎢# ⎢ q ⎢⎣ q p→q Reglas básicas de la conjunción 3. Simplificación 4. Producto p∧q p p q p∧q Reglas básicas de la disyunción 5. Prueba por casos 6. Adición p∨q ⎡p p ⎢# p∨q ⎢ ⎢⎣ r ⎡q q ⎢# p∨q ⎢ ⎢⎣ r r Reglas básicas de la negación 7 Capítulo I. Lógica proposicional 7. Doble negación 8. Reducción al absurdo ¬¬p ⎡p p ⎢# ⎢ ⎢⎣ q ∧ ¬q ¬p Tema 3. Lógica de predicados 3.1 Cuantificadores Cuantificador universal: “para todo”, “cualquier” Sea P(x) un predicado sobre el conjunto A (∀x ∈ A) P( x) Si A = {a1 , a2 ,..., an −1 , an } (∀x ∈ A) P ( x) ⇔ P(a1 ) ∧ P(a2 ) ∧... ∧ P(an −1 ) ∧ P(a Cuantificador existencial: “existe al menos uno”, “alguno” Sea P(x) un predicado sobre A ≠ ∅ (∃x ∈ A) P( x) Si A = {a1 , a2 ,..., an −1 , an } (∀x ∈ A) P ( x) ⇔ P(a1 ) ∨ P(a2 ) ∨... ∨ P(an −1 ) ∨ P(an ) Relaciones entre los cuantificadores: Sea P(x) un predicado sobre A ¬(∀x) P( x) ⇔ (∃x)(¬P( x)) ¬(∃x) P( x) ⇔ (∀x)(¬P( x)) Casos particulares de los anteriores: ¬(∃x)(¬P( x)) ⇔ (∀x) P ( x) ¬(∀x)(¬P( x)) ⇔ (∃x)( P( x)) Cuantificador Universal ∀ y conectivos ∧ y ∨ (∀xP( x)) ∧ (∀xQ( x)) ↔ (∀x)( P( x) ∧ Q( x)) (∀xP( x)) ∨ (∀xQ( x)) → (∀x)( P( x) ∨ Q( x)) Cuantificador Existencial ∃ y conectivos ∧ , ∨ y → (∃xP( x)) ∨ (∃xQ ( x)) ↔ (∃x)( P( x) ∨ Q( x)) (∃xP( x)) ∧ (∃xQ( x)) ← (∃x)( P( x) ∧ Q( x)) (∃xP( x)) → (∃xQ( x)) ← (∃x)( P( x) → Q( x) 3.2 Proposiciones Categóricas. Proposición Universal Afirmativa: A Todo S es P (∀x)( S ( x) → P( x)) S⊂P Proposición Universal Negativa: E Ningún S es P (∀x)( S ( x) → ¬P( x)) S∩P=∅ 8  Capítulo I. Lógica proposicional Proposición Particular Afirmativa: I Algún S es P (∃x)( S ( x) ∧ P( x)) S∩P ≠∅ Proposición Particular Negativa: O Algún S no es P (∀x)( S ( x) ∧ ¬P( x)) S⊄P Ejemplos - Toda función continua en [a,b], es integrable en [a,b] - Toda circunferencia cumple que la razón Perímetro/diámetro = π - Ningún número de la forma n! + n es primo - Ninguna matriz singular (|A|=0) tiene inversa - Algunos sistemas de ecuaciones lineales tienen infinitas soluciones - Algunos triángulos rectángulos son isósceles - Algunas funciones continuas en [a,b] no son derivables en todo punto de [a,b] Algunas matrices no tienen inversa. 3.3 El Silogismo Categórico Se llama Silogismo Categórico a la deducción a partir de dos proposiciones categóricas donde la conclusión también es una proposición categórica. Términos del Silogismo Categórico - Término Menor = Sujeto de la conclusión = Premisa Menor - Término Mayor = Predicado de la conclusión = Premisa Mayor - Término Medio = Figura en ambas premisas y no en la conclusión Tipos de Silogismos Categóricos Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 M⎯ P P⎯M M⎯ P P⎯M S⎯M S⎯M M⎯ S M⎯ S ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯ S⎯P S⎯P S⎯P S⎯P Tabla de Silogismos Válidos: Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Barbara (AAA-1) Cesare (EAE-2) Disamis (IAI-3) Bramantip (AAI-4) Celarent (EAE-1) Camestres (AEE-2) Datisi (AII-3) Camenes (AEE-4) Darii (AII-1) Festino (EIO-2) Bocardo (OAO-3) Dimaris (IAI-4) Ferio (EIO-1) Baroco (AOO-2) Ferison (EIO-3) Fesapo (EAO-4) Barbari (AAI-1) Cesaro (EAO-2) Darapti (AAI-3) Fresison (EIO-4) Celaront (EAO-1) Camestrop (AEO-2) Felapton (EAO-3) Camenop (AEO-4) 9 Capítulo I. Lógica proposicional Ejemplos Analizar la validez de los siguientes modos silogísticos 1.- Ningún número negativo es natural Todo numero menor que 0 es negativo ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Ningún número menor que 0 es natural Término mayor = S (sujeto) = menor que 0, Término menor = P (predicado) = es natural, Término medio = M = negativo Ningún número negativo es natural E M⎯P Todo número menor que 0 es negativo A S⎯ M ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Ningún número menor que 0 es natural E S⎯P Corresponde a la figura 1, modo EAE-1, luego es válido 2.- Todo número entero es real A M⎯P Todo número natural es entero A S⎯ M ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Todo número natural es real A S⎯P Término mayor = S (sujeto) = es natural, Término menor = P (predicado) = es real, Término medio = M = es entero Corresponde a la figura 1, modo AAA-1, luego es válido 3.- Ningún número impar es divisible por 2 E P⎯M Algún número primo es divisible por 2 I S⎯ M ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Algún número primo no es impar O S⎯P Término mayor = S (sujeto) = Primos, Término menor = P (predicado) = Impares, Término medio = M = Divisible por 2 Corresponde a la figura 2, modo EIO-1, luego es válido 10  Capítulo I. Lógica proposicional Ejercicios Resueltos 1.- En cada una de las siguientes formas proposicionales encontrar equivalentes utilizando los conectivos ∧ y ¬ , simplificándolas en lo posible. a) p ∨ q ∨ ¬r (Los paréntesis suelen omitirse) Solución: ¬ ( ¬p ∧ ¬q ∧ r ) b) p ∨ ⎡⎣( ¬q ∧ r ) → p ⎤⎦ Solución: ¬ ⎡⎣¬p ∧ ( ¬q ∧ r ) ⎤⎦ c) p → ( q → r ) Solución: ¬ ( p ∧ q ∧ ¬r ) 2.- Simplificar las siguientes expresiones y escribirlas utilizando los conectivos ∨ y ¬. a) ( p ∧ ¬q ) ∧ ¬p Solución: ∅ b) p → ( q ∨ r ) ∧ ¬p ∧ q Solución: ¬p ∨ ¬ ⎡⎣¬ ( q ∨ r ) ∨ p ∨ ¬q ⎤⎦ c) ¬p ∧ ¬q ∧ ( r → p ) Solución: ¬ ⎡⎣ p ∨ q ∨ ¬ ( ¬r ∨ p ) ⎤⎦ 3.- Simplificar las formas proposicionales siguientes: a) ⎡⎣( p ∧ q ) ∧ r ⎤⎦ ∨ ⎡⎣( p ∧ q ) ∧ ¬r ⎤⎦ ∨ [ ¬p ∧ q ] Solución: τ ∧ q ≡ q ( τ = Tautología) b) ⎡⎣ p → ( q ∨ ¬r ) ⎤⎦ ∧ ¬p ∧ q Solución: ¬p ∧ q 4.- Averiguar mediante tablas de verdad si son o no tautologías las formas proposicionales siguientes: a) p ↔ ¬¬p p ¬p ¬¬p p ↔ ¬¬p 1 0 1 1 0 1 0 1 11  Capítulo I. Lógica proposicional b) ⎡⎣( p ∨ q ) ∨ r ⎤⎦ ↔ ⎡⎣ p ∨ ( q ∨ r ) ⎤⎦ p q r p∨q ⎡⎣( p ∨ q ) ∨ r ⎤⎦ (q ∨ r ) ⎡⎣ p ∨ ( q ∨ r ) ⎤⎦ ⎡⎣( p ∨ q ) ∨ r ⎤⎦ ↔ ⎡⎣ p ∨ ( q ∨ r ) ⎤⎦ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 c) ( p ∧ ¬p ) → q p q ¬p ( p ∧ ¬p ) ( p ∧ ¬p ) → q 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 d) ( p → q ) → ( p → ( p ∧ q )) p q p→q p∧q p → ( p ∧ q) ( p → q ) → ( p → ( p ∧ q )) 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 e) ⎡⎣( p ∧ q ) ∨ ¬r ⎤⎦ ↔ p p q r ¬r p∧q ( p ∧ q ) ∨ ¬r ⎡⎣( p ∧ q ) ∨ ¬r ⎤⎦ ↔ p 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 12  Capítulo I. Lógica proposicional f) ¬ ( p ∧ q ) ↔ ( ¬p ∨ ¬q ) p q ¬p ¬q p∧q ¬( p ∧ q) ( ¬p ∨ ¬ q ) ¬ ( p ∧ q ) ↔ ( ¬p ∨ ¬q ) 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 5.- Escribir las siguientes expresiones lógicas utilizando los conectivos ∧ , ∨ y ¬. Para resolverlo usaremos sus tablas de verdad. a) p∆q Solución: p q p∆q 0 0 0 0 1 1 ⇔ ( ¬p ∧ q ) 1 0 1 ⇔ ( p ∧ ¬q ) 1 1 0 Luego p∆q ⇔ ( ¬p ∧ q ) ∨ ( p ∧ ¬q ) b) p ↓ q p q p↓q 0 0 1 ⇔ ( ¬p ∧ ¬q ) 0 1 0 1 0 0 1 1 0 Luego p ↓ q ⇔ ( ¬p ∧ ¬q ) c) p→q p q p→q 0 0 1 ⇔ ( ¬p ∧ ¬q ) 0 1 1 ⇔ ( ¬p ∧ q ) 13 Capítulo I. Lógica proposicional 1 0 0 ⇔ ¬ ( p ∧ ¬q ) 1 1 1 ⇔ ( p ∧ q) Luego ( p → q ) ⇔ ( ¬p ∧ ¬q ) ∧ ( ¬p ∧ q ) ∧ ( p ∧ q ) ⇔ ¬ ( p ∧ ¬q ) Aplicando De Morgan ¬ ( p ∧ ¬q ) ⇔ ¬p ∨ ¬¬q ⇔ ¬p ∨ q Luego p → q ⇔ ¬p ∨ q también. c) p ↔ q p q p↔q 0 0 1 ⇔ ( ¬p ∧ ¬q ) 0 1 0 1 0 0 1 1 1 ⇔ ( p ∧ q) Luego ( p ↔ q ) ⇔ ( p → q ) ∧ ( q → p ) ⇔ ( ¬p ∧ ¬q ) ∨ ( p ∧ q ) Pero p → q ⇔ ¬p ∨ q y q → p ⇔ ¬q ∨ p (del apartado anterior) Luego p ↔ q ⇔ ( ¬p ∨ q ) ∧ ( ¬q ∨ p ) también. 6.- Resolver los siguientes argumentos: a) Conclusión: t ∨ u 1. ( p ∧ q) → (r ∨ s) 2. p → q 3. p ∧ ( r → ( t ∧ u ) ) 4. s → ( t ∧ w ) 5. p Simp 3 6. q MPP(2,5) 7. p ∧ q Prod(5,6) 8. r ∨ s MPP(1,7) 9. r → ( t ∧ u ) Simp 3 10. r 11. t ∧ u MPP(9,10) 12. t 13. s 14. t ∧ w MPP(4,13) 15. t Simp 14 14  Capítulo I. Lógica proposicional 16. t Cas 8,10-12,13-15 17. t ∨ u Ad 16 b) Conclusión: ¬p 1. p → ( ¬q ∧ r ) 2. r → q 3. p aux 4. ¬q ∧ r MPP(1,3) 5. r Simp 4 6. q MPP (2,5) 7. ¬q Simp 4 8. q ∧ ¬q Prod(6,7) 9. ¬p Abs 3-8 c) Conclusión: ¬t 1. ( p ∨ s) → ¬(q ∧ r ) 2. r → w ∨ m 3. w → p 4. m → s 5. ¬ ( q ∧ r ) → ¬t 6. r Aux 7. w ∨ m MPP(2,6) 8. w 9. p MPP(3,8) 10. p ∨ s Ad 9 11. ¬ ( q ∧ r ) MPP(1,10) 12. ¬t MPP(5,11) 13. m 14. s MPP(4,13) 15. p ∨ s Ad 14 16. ¬ ( q ∧ r ) MPP(1,14) 17. ¬t MPP(5,15) 18. ¬t CAS 7, 8-12, 13-16 d) Conclusión: r → ¬p 15 Capítulo I. Lógica proposicional 1. p ∧ q → ¬r 2. q ∧ t 3. r 4. q Simp 2 5. p Aux 6. p ∧ q Prod(4,5) 7. ¬r MPP(1,6) 8. r ∧ ¬r Prod(3,7) 9. ¬p Abs 5-8 10. r → ¬p 7.- Analizar la validez de los siguientes modos: Ningún número negativo es natural Todo número menor que 0 es negativo Ningún número menor que 0 es natural Término mayor = S (sujeto) = menor que 0 Término menor = P (predicado) = es natural Término medio = M = negativo Ningún número negativo es natural E M—P Todo número menor que 0 es negativo A S—M Ningún número menor que 0 es natural E S—P Corresponde a la figura 1, modo EAE-1, luego es válido Todo número entero es real A M—P Todo número natural es entero A S—M Todo número natural es entero A S—P Término mayor = S (sujeto) = es natural Término menor = P (predicado) = es real Término medio = M = es entero 16  Capítulo I. Lógica proposicional Corresponde a la figura 1, modo AAA-1, luego es válido Ningún número impar es divisible por 2 E P—M Algún número primo es divisible por 2 I S—M Algún número primo no es impar O S—P Término mayor = S (sujeto) = Primos Término menor = P (predicado) = Impares Término medio = M = Divisibles por 2 Corresponde a la figura 2, modo EIO-2, luego es válido Algunos triángulos son rectángulos I M—P Todo triángulo tiene tres ángulos que Suman 180º A M—S Algún triángulo cuyos tres ángulos suman 180º es un triángulo rectángulo I S—P Término mayor = S (sujeto) = Triángulo cuyos 3 ángulos suman 180º Término menor = P (predicado) = Triángulo rectángulo Término medio = M = Triángulo Corresponde a la figura 3, modo IAI-3, luego es válido Ninguna matriz singular es invertible E P—M Algunas matrices invertibles son triangulares I M—S Algunas matrices triangulares no son singulares O S—P Término mayor = S (sujeto) = Triangular Término menor = P (predicado) = Singular Término medio = M = Invertible Corresponde a la figura 4, modo EIO-4, luego es válido Algunos triángulos son rectángulos I M⎯P Todo triángulo tiene tres ángulos que suman 180º A M⎯S 17 Capítulo I. Lógica proposicional ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Algún triángulo cuyos tres ángulos suman 180º es un triángulo rectángulo I S⎯P Término mayor = S (sujeto) = Triángulo cuyos 3 ángulos suman 180º, Término menor = P (predicado) = Triángulo rectángulo, Término medio = M = Triángulo Corresponde a la figura 3, modo IAI-3, luego es válido 5.- Ninguna matriz singular es invertible E P⎯M Algunas matrices invertibles son triangulares I M ⎯ S ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Algunas matrices triangulares no son singulares O S⎯P Término mayor = S (sujeto) = Triangular, Término menor = P (predicado) = Singular, Término medio = M = Invertible Corresponde a la figura 4, modo EIO-4, luego es válido 18