Leccion 6 Relaciones Infinitesimales PDF

Cinemática del movimiento diferencial Robótica Industrial Grado en Ingª. en Tecnologías Industriales, mención electrónica industrial 7º semestre Iñaki Aroce...

Cinemática del movimiento diferencial Robótica Industrial Grado en Ingª. en Tecnologías Industriales, mención electrónica industrial 7º semestre Iñaki Arocena Elorza Dept. de Ingeniería Universidad Pública de Navarra 1 / 56 Cinemática del movimiento diferencial Movimientos diferenciales Análisis de variaciones infinitesimales Análiza las ecuaciones cinemáticas para variaciones articulares in- finitesimales respecto a una configuración fija. Ventajas respecto al modelo de variaciones finitas: Relación lineal entre las variables articulares y las variables cartesianas. Relación lineal entre fuerzas o pares estáticos articulares y cartesianos. Permite obtener los puntos y configuraciones singulares de una cadena cinemática. 2 / 56 Cinemática del movimiento diferencial Movimientos diferenciales Análisis de variaciones infinitesimales... ventajas respecto al modelo de variaciones finitas: Simplifica las matrices de transformación, las secuencias de transformaciones y la representación de la orientación. Facilita un método sencillo para la obtención de las trayectorias de velocidad. 3 / 56 Cinemática del movimiento diferencial Relaciones diferenciales Relaciones diferenciales de posición y orientación Traslaciones y orientaciones infinitesimales Expresan la variación infinitesimal producida en las variables espa- ciales ante variaciones articulares infinitesimales. Dadas las ecuaciones (no lineales) del modelo cinemático directo px = fx (q1 ,... , qn ) α= fα (q1 ,... , qn ) py = fy (q1 ,... , qn ) β= fβ (q1 ,... , qn ) pz = fz (q1 ,... , qn ) γ= fγ (q1 ,... , qn ) px , py y pz coordenadas de la posición cartesiana. α, β y γ, variables de orientación espaciales, ángulos de Euler, por ejemplo. qi , i = 1,... , n, variables articulares (giro o prismáticas). 5 / 56 Cinemática del movimiento diferencial Relaciones diferenciales Relaciones diferenciales Relaciones diferenciales de la posición y orientación Se obtienen diferenciando las ecuaciones del modelo cinemático di- recto. Aplicando la regla de la diferenciación en cadena a las ecuaciones del modelo cinemático directo: n n n X ∂fx X ∂fy X ∂fz dpx = dqi dpy = dqi dpz = dqi 1 ∂qi 1 ∂qi 1 ∂qi n n n X ∂fα X ∂fβ X ∂fγ dα= dqi dβ = dqi dγ= dqi 1 ∂qi 1 ∂qi 1 ∂qi dpx , dpy y dpz diferenciales de posición y dα , dβ y dγ de orientación espacial. dqi , i = 1,... n diferenciales de posición articulares. 6 / 56 Cinemática del movimiento diferencial Relaciones diferenciales Relaciones diferenciales Relaciones infinitesimales ¿podemos expresar dichas ecuaciones matricialmente?     dpx ∂fx /∂q1 ∂fx /∂q2 ··· ∂fx /∂qn   dpy   ∂fy /∂q1 ∂fy /∂q2 ··· ∂fy /∂qn  dq1     dq2  dpz   ∂fz /∂q1 ∂fz /∂q2 ··· ∂fz /∂qn   dα  = ∂fα /∂q1 ..           ∂fα /∂q2 ··· ∂fα /∂qn   .   dβ  ∂fβ /∂q1 ∂fβ /∂q2 ··· ∂fβ /∂qn  dqn dγ ∂fγ /∂qi ∂fγ /∂q2 ··· ∂fγ /∂qn Esto es dx = Jdq con dx = [dpx dpy dpz dα dβ dγ]T y dq = [dq1... dqn ]T. J, 6 × n, matriz jacobiana 7 / 56 Cinemática del movimiento diferencial Relaciones diferenciales Relaciones diferenciales Relaciones infinitesimales Se expresa también separando los movimientos lineales y el angulares " # " # dp J = L dq dΩ JA dp = [dpx dpy dpz ]T , dΩ = [dα dβ dγ]T. JL y JA , submatrices jacobianas de 3 × n asociadas al movimiento lineal y angular, respectivamente. 8 / 56 Cinemática del movimiento diferencial Relaciones diferenciales Relaciones diferenciales Relaciones infinitesimales Asimismo, la representación " # " # dp J JL2... JLn = L1 dq dΩ JA1 JA2... JAn con JLi , JAi , i = 1,... , n, vectores de 3 × 1. Expresa la variación infinitesimal espacial aportada por cada variación (infinitesimal) articular dp = JL dq = JL1 dq1 + JL2 dq2 +... + JLn dqn Expresa la relación lineal entre desplazamientos infinitesimales articulares y espaciales. 9 / 56 Cinemática del movimiento diferencial Relaciones diferenciales Relaciones diferenciales Relaciones infinitesimales Debemos probar, sin embargo, si las variaciones infinitesimales de orientación, dα, dβ y dγ pueden expresarse vectorialmente. Para ello deberemos comprobar las propiedades de las matrices de rotación infinitesimales. 10 / 56 Cinemática del movimiento diferencial Relaciones diferenciales Matrices de rotación infinitesimales Rotaciones infinitesimales Dado un punto p único y p1 = [p1x , p1y , p1z ]T y p2 = [p2x , p2y , p2z ]T sus coordenadas respecto de los sistemas coordenados {1} y {2} infinitesimalmente rotados. La relación entre p1 y p2 infinitesimalmente separados puede expresarse en la forma: p2x = p1x + ϵ11 p1x + ϵ12 p1y + ϵ13 p1z p2y = p1y + ϵ21 p1x + ϵ22 p1y + ϵ23 p1z p2z = p1z + ϵ31 p1x + ϵ32 p1y + ϵ33 p1z donde ϵij , i, j = 1,... , 3, son cantidades infinitesimales 11 / 56 Cinemática del movimiento diferencial Relaciones diferenciales Matrices de rotación infinitesimales Rotaciones infinitesimales Expresadas matricialmente p2 = (I + ϵ)p1 I + ϵ expresa la matriz de rotación infinitesimal. ϵ es una matriz de cantidades infinitesimales.   ϵ11 ϵ12 ϵ13 ϵ = ϵ21 ϵ22 ϵ23    ϵ31 ϵ32 ϵ33 De donde obtenemos la diferencial de posición p2 = (I + ϵ)p1 −→ p2 − p1 = ϵp1 −→ dp = ϵp1 12 / 56 Cinemática del movimiento diferencial Relaciones diferenciales Matrices de rotación infinitesimales Propiedades Las matrices de rotación infinitesimales, I+ϵ, poseen las propiedades de las matrices de rotación finitas añadiendo además: 1 Su independencia de la secuencia de transformaciones. 2 La simplicidad de su inversa: la traspuesta pero más sencilla de obtener. 3 Pueden representarse vectorialmente. Mostraremos a continuación dichas propiedades. 13 / 56 Cinemática del movimiento diferencial Relaciones diferenciales Matrices de rotación infinitesimales Secuencia de rotaciones infinitesimales El orden de la secuencia no afecta a la orientación final La matriz de rotación resultante de una secuencia (I + ϵ1 ) seguida de (I + ϵ2 ) es (I + ϵ1 )(I + ϵ2 ) = I2 + ϵ1 I + ϵ2 I + ϵ1 ϵ2 Despreciando los diferenciales de orden superior, obtenemos (I + ϵ1 )(I + ϵ2 ) = I + ϵ1 + ϵ2 La matriz resultante es independiente del orden de las matrices. El producto de matrices de transformación infinitesimales es por tanto conmutativo. 14 / 56 Cinemática del movimiento diferencial Relaciones diferenciales Matrices de rotación infinitesimales Matrices de rotación básicas infinitesimales Recordando las matrices de rotación básicas: Rx ,α , Ry ,β y Rz,γ 1 0 0 0 0       cβ sβ cγ −sγ Rx ,α = 0 cα −sα  Ry ,β =  0 1 0  Rz,γ =  sγ cγ 0 0 sα cα −sβ 0 cβ 0 0 1 Obtenemos, para variaciones infinitesimales dα, dβ y dγ, las matrices de rotación infinitesimales equivalentes: 1 0 0 1 0 dβ 1 0       −dγ Rx ,dα = 0 1 −dα Ry ,dβ =  0 1 0  Rz,dγ = dγ 1 0 0 dα 1 −dβ 0 1 0 0 1 15 / 56 Cinemática del movimiento diferencial Relaciones diferenciales Matrices de rotación infinitesimales Matrices de rotación básicas infinitesimales Puede obtenerse así la matriz de rotación compuesta infinitesimal R(dα, dβ, dγ) = Rx ,dα Ry ,dβ Rz,dγ Esto es 1   −dγ dβ R(dα, dβ, dγ) =  dγ 1 −dα = I + ϵ −dβ dα 1 Con ϵ la matriz infinitesimal 0   −dγ dβ ϵ =  dγ 0 −dα −dβ dα 0 16 / 56 Cinemática del movimiento diferencial Relaciones diferenciales Matrices de rotación infinitesimales Independencia del orden de la secuencia Ejemplo de composición de una secuencia de rotaciones infinitesi- males Supongamos ahora la secuencia de rotaciones R(dα1 , dβ1 , dγ1 )R(dα2 , dβ2 , dγ2 ) = 1 1    −dγ1 dβ1 −dγ2 dβ2  dγ1 1 −dα1   dγ2 1 −dα2  (1) −dβ1 dα1 1 −dβ2 dα2 1 esto es, 1 −(dγ1 + dγ2 ) dβ1 + dβ2    dγ1 + dγ2 1 −(dα1 + dα2 ) = I + ϵ −(dβ1 + dβ2 ) dα1 + dα2 1 Así, Rdα1 ,dβ1 ,dγ1 Rdα2 ,dβ2 ,dγ2 = Rdα1 +dα2 ,dβ1 +dβ2 ,dγ1 +dγ2 siendo la matriz resultante independiente de la secuencia. 17 / 56 Cinemática del movimiento diferencial Relaciones diferenciales Matrices de rotación infinitesimales Inversa de matrices infinitesimales La inversa de la matriz infinitesimal A = I + ϵ1 es I − ϵ1 Para comprobarlo, basta ver que AA−1 = (I + ϵ)(I − ϵ) = I La ortogonalidad implica también AT = A−1 , esto es I − ϵ = (I + ϵ)T → −ϵ = ϵT Ello implica ϵ antisimétrica. ϵ tiene por tanto únicamente tres elementros independientes con su diagonal principal cero. 18 / 56 Cinemática del movimiento diferencial Relaciones diferenciales Matrices de rotación infinitesimales Expresión vectorial de orientaciones infinitesimales Comprobemos ahora si los tres elementos independientes de ϵ pueden formar un vector. Dada la matriz R(dα, dβ, dγ) con matriz infinitesimal 0   −dγ dβ ϵ =  dγ 0 −dα −dβ dα 0 Aplicando la rotación infinitesimal entre dos puntos p1 y p2 p2 = (I + ϵ)p1 −→ dp = ϵp1 19 / 56 Cinemática del movimiento diferencial Relaciones diferenciales Matrices de rotación infinitesimales Expresión vectorial de orientaciones infinitesimales obtenemos, 0      dpx −dγ dβ p1x dpy  =  dγ 0 −dα p1y  dpz −dβ dα 0 p1z esto es, dpx = p1z dβ − p1y dγ dpy = p1x dγ − p1z dα dpz = p1y dα − p1x dβ Resultado que también obtendríamos del producto vectorial dp = dΩ × p1 asumiendo dΩ = [dα dβ dγ]T vector. 20 / 56 Cinemática del movimiento diferencial Relaciones diferenciales Matrices de rotación infinitesimales Expresión vectorial de orientaciones infinitesimales Nótese que: dΩ expresa un vector diferencial: un vector de magnitud diferencial. Pertenece por tanto al espacio vectorial IR3 y por tanto posee la propiedad conmutativa. No debe confundirse dΩ con el diferencial de un vector Ω. No existe tal vector Ω con diferencial dΩ. 21 / 56 Cinemática del movimiento diferencial Relaciones diferenciales Matrices de rotación infinitesimales Representación geométrica de un vector de rotación infinitesimal dΩ = [dα, dβ, dγ]T dα, dβ y dγ, componentes z0 de giro respecto a x , y y z dg Su dirección expresa la dirección del eje de rotación dW instantáneo. Su módulo la magnitud de y0 la rotación infinitesimal. db da x0 22 / 56 Cinemática del movimiento diferencial Relaciones diferenciales Matriz Jacobiana Relaciones infinitesimales compuestas de posición y orientación En resumen, Para variaciones infinitesimales, la posición y la orientación pueden expresarse vectorialmente: " # dp dx = dΩ Se establece una relación lineal entre diferenciales de variables articulares y de posición y orientación espaciales dx = Jdq J∈ Rm×n es la matriz jacobiana, constante para cada configuración. dqi , i = 1,... , n, expresan desplazamientos articulares diferenciales respecto de una configuración. 23 / 56 Cinemática del movimiento diferencial Relaciones diferenciales de posición y velocidad Matriz Jacobiana Relaciones entre velocidades La transformación de las relaciones infinitesimales de posición a ve- locidad es inmediata Dada la relación infinitesimal " # " # dp J dx = Jdq −→ = L dq dΩ JA dividiendo ambos lados por el diferencial dt y puesto que J es cte., obtenemos " # v ẋ = e = Jq̇ ωe donde ve y ωe son las velocidades lineal y del giro espacial. 25 / 56 Cinemática del movimiento diferencial Relaciones diferenciales de posición y velocidad Matriz Jacobiana Relaciones entre velocidades La relación entre velocidades espaciales y articulares puede obtenerse utilizando la representación Jacobiana " # J JL2... JLn J = L1 JA1 JA2... JAn Obteniendo así las relaciones lineales de velocidad y orientación del efector final: ve = JL1 q̇1 + · · · + JLn q̇n ωe = JA2 q̇1 + · · · + JAn q̇n los vectores JLi y JAi expresan la dirección de actuación de las velocidades articulares q̇i sobre ve y ωe. 26 / 56 Cinemática del movimiento diferencial Relaciones diferenciales de posición y velocidad Modelo cinemático inverso infinitesimal Inversa de la matriz jacobiana Permite obtener las velocidades articulares necesarias dada una ve- lociadad espacial deseada. Para n = m y J no singular podemos obtener la relación inversa q̇ = J−1 ẋ Dada una trayectoria de velocidad espacial deseada esta relación permite obtener las velocidades articulares necesarias. Es utilizado en el método del Control del Movimiento Resuelto (Whitney, 1969) para obtener las trayectorias de velocidad articulares. 27 / 56 Cinemática del movimiento diferencial Puntos singulares Singularidades Propiedades de la matriz Jacobiana Aporta información importante acerca del “estado” del robot para cada punto de una trayectoria dada. Depende de la configuración (q) y puede hacerse singular en ciertos puntos del espacio de trabajo. En dichas puntos se dice que el robot está en una configuración singular, no existiendo solución inversa. Los puntos espaciales en los que esto ocurre se denominan puntos de singulares. Algebraicamente expresan una dependencia lineal entre columnas J que reducen la dimensión espacial alcanzable. Habrá direcciones espaciales de v que ningún valor de q̇i podrá alcanzar. 29 / 56 Cinemática del movimiento diferencial Puntos singulares Análisis del modelo diferencial de un robot planario Ejemplo de un robot planario Dado un robot planario de 2 g.d.l. con eslabones de longitud l1 = l2 = 1m ejecutando la trayectoria espacial A → O0 → D a v = cte. Se desea obtener: y0 D 1 Las configuraciones singulares. singular 2 Las velocidades articulares q̇i , i = 1, 2 3 Las trayectorias de velocidad articulares requeridas para la q2 trayectoria cartesiana: C q1 0 x0     −1 00 B v=cte. A vAO0 = m/s vO0 D = m/s 0 1 singular 30 / 56 Cinemática del movimiento diferencial Puntos singulares Análisis del modelo diferencial de un robot planario Ejemplo de un robot planario de 2 g.d.l. 1- Modelo cinemático diferencial directo (x,y) o 2 Las ecuaciones del modelo cinemático directo se obtienen directamente: l2 x (θ1 , θ2 ) = l1 cos θ1 + l2 cos(θ1 + θ2 ) q2 y (θ1 , θ2 ) = l1 sin θ1 + l2 sin(θ1 + θ2 ) y0 l1 o1 q1 x0 31 / 56 Cinemática del movimiento diferencial Puntos singulares Análisis del modelo diferencial de un robot planario Ejemplo: robot planario de 2 g.d.l. 1- Modelo cinemático diferencial directo La matriz jacobiana del robot está definida por   ∂x /∂θ1 ∂x /∂θ2 J= ∂y /∂θ1 ∂y /∂θ2 Diferenciando las ecuaciones del modelo cinemático directo, obtenemos −l1 sin θ1 − l2 sin(θ1 + θ2 ) −l2 sin(θ1 + θ2 )   J= l1 cos θ1 + l2 cos(θ1 + θ2 ) l2 cos(θ1 + θ2 ) 32 / 56 Cinemática del movimiento diferencial Puntos singulares Análisis del modelo diferencial de un robot planario Ejemplo: robot planario de 2 g.d.l. 1- Modelo cinemático diferencial directo Obtenemos así las ecuaciones del modelo cinemático diferencial directo: −l1 sin θ1 − l2 sin(θ1 + θ2 ) −l2 sin(θ1 + θ2 ) dθ1      dx = dy l1 cos θ1 + l2 cos(θ1 + θ2 ) l2 cos(θ1 + θ2 ) dθ2 y la relación directa entre velocidades articulares y espaciales −l1 sin θ1 − l2 sin(θ1 + θ2 ) −l2 sin(θ1 + θ2 ) θ̇1      vx = vy l1 cos θ1 + l2 cos(θ1 + θ2 ) l2 cos(θ1 + θ2 ) θ̇2 33 / 56 Cinemática del movimiento diferencial Puntos singulares Análisis del modelo diferencial de un robot planario Ejemplo: robot planario de 2 g.d.l. 1- Modelo cinemático diferencial directo Que también puede expresarse en la forma −l1 sin θ1 − l2 sin(θ1 + θ2 ) −l2 sin(θ1 + θ2 )       vx = θ̇1 + θ̇ vy l1 cos θ1 + l2 cos(θ1 + θ2 ) l2 cos(θ1 + θ2 ) 2 Esto es, v = J1 θ̇1 + J2 θ̇2 34 / 56 Cinemática del movimiento diferencial Puntos singulares Análisis del modelo diferencial de un robot planario Ejemplo: robot planario de 2 g.d.l. 2- Análisis de los puntos singulares Debemos calcular el determinante de la matriz jacobiana −l1 sin θ1 − l2 sin(θ1 + θ2 ) −l2 sin(θ1 + θ2 )   J= l1 cos θ1 + l2 cos(θ1 + θ2 ) l2 cos(θ1 + θ2 ) Obteniendo el determinante det J = −(l1 s1 + l2 s12 )l2 c12 + (l1 c1 + l2 c12 )l2 s12 donde ci = cos θi , si = sin θi , i = 1, 2, cij = cos(θi + θj ) y sij = sin(θi + θj ), i = 1 y j = 2. Sustituyendo sin a cos b + cos b sin a = sin(a + b), se reduce a: det J = l1 l2 sin θ2 35 / 56 Cinemática del movimiento diferencial Puntos singulares Análisis del modelo diferencial de un robot planario Ejemplo: robot planario de 2 g.d.l. 2-Análisis de los puntos singulares Los puntos singulares son aquellos valores de θi para los que det(J) = 0, en nuestro caso θ2 = 0 o π. En este robot corresponde al brazo totalmente recogido (pto. O0 de la trayectoria) o extendido (pto. A). Para θ2 = 0, obtenemos que −(l1 + l2 )s1         vx −l2 s1 −s1 = θ̇1 + θ̇2 = (l1 + l2 )θ̇1 + l2 θ̇2
vy (l1 + l2 )c1 l2 c1 c1 Se puede ver que θ̇1 y θ̇2 son linealmente dependientes: ambas contribuyen en la misma dirección en v. 36 / 56 Cinemática del movimiento diferencial Puntos singulares Análisis del modelo diferencial de un robot planario Ejemplo: robot planario de 2 g.d.l. 2- Análisis de los puntos singulares En dicha configuración, el efector final solo se puede mover en la dirección tangencial al círculo límite. Para θ2 = 0 no se puede obtener una velocidad lineal arbitraria. 37 / 56 Cinemática del movimiento diferencial Puntos singulares Análisis del modelo diferencial de un robot planario Ejemplo: robot planario de 2 g.d.l. 3- Obtención de las velocidades articulares Aplicamos el modelo cinemático diferencial inverso q̇ = J−1 v 1 l2 cos(θ1 + θ2 ) l2 sin(θ1 + θ2 )   J −1 = l1 l2 sin θ2 −l1 cos θ1 − l2 cos(θ1 + θ2 ) −l1 sin θ1 − l2 sin(θ1 + θ2 ) esto es, cos(θ1 + θ2 ) sin(θ1 + θ2 ) θ̇1 = vx + vy l1 sin θ2 l1 sin θ2 l1 cos θ1 + l2 cos(θ1 + θ2 ) l1 sin θ1 + l2 sin(θ1 + θ2 ) θ̇2 = − vx − vy l1 l2 sin θ2 l1 l2 sin θ2 En las cercanías de los puntos singulares, θ̇1 y θ̇2 → ∞. 38 / 56 Cinemática del movimiento diferencial Puntos singulares Análisis del modelo diferencial de un robot planario Ejemplo: robot planario de 2 g.d.l. 4- Obtención de las trayectorias de velocidad articulares Discretización de la trayectoria de posición espacial A → B → C → D: obtenemos vectores de puntos equiespaciados [pxi pyi ]T , i = 1,... , r (r >> 1). Cálculo iterativo. Para i = 1 a r , realizamos los siguientes cálculos: 1 Para cada punto [pxi pyi ]T , aplicamos el modelo cinemático inverso para obtener las variables articulares θ1 (i) y θ2 (i). 2 Obtenemos el jacobiano J(θ(i) para θ1 (i) y θ2 (i) y obtenemos su inversa J−1 (θi ). 3 Obtenemos las velocidades articulares q̇ = J−1 (θ)v. 39 / 56 Cinemática del movimiento diferencial Puntos singulares Análisis del modelo diferencial de un robot planario Ejemplo: robot planario de 2 g.d.l. 4- Trayectorias de velocidad articulares Trayectorias de velocidad articulares resultantes: Trayectoria a v= cte. v = 1m/s pasando a 0.12m de O0 y0 500 D 400 θ̇1 singular 300 velocidad (rad/s) 200 100 θ̇2 C q2 0 q1 −100 00 B v=cte. A x0 singular −200 A 0,5 1 B C 2,5 3 tiempo (s) 3,5 D 4 40 / 56 Cinemática del movimiento diferencial Puntos singulares Análisis del modelo diferencial de un robot planario Ejemplo: robot planario de 2 g.d.l. 4- Trayectorias de velocidad articulares En las cercanías del punto A(θ1 , θ2 → 0): para [−1 0]T m/s, θ̇1 → ∞ mientras que θ̇2 → −∞, ya que para “codo arriba” θ2 < 0. Mientras que en las cercanías del punto D (θ1 → π/2 y θ2 → 0): para [0 1]T m/s, θ̇1 → −∞ mientras que θ̇2 → ∞. Sin embargo, en las cercanías del punto O0 , θ2 → 0 mientras que θ1 debe girar de −π/2 a π instantaneamente en el cambio a [0 1]T m/s, θ̇1 → ∞ mientras que θ̇2 cambia únicamente de signo y está acotado. 41 / 56 Cinemática del movimiento diferencial Puntos singulares Análisis del modelo diferencial de un robot planario Ejemplo: robot planario de 2 g.d.l. 5- Trayectorias de velocidad cartesianas vx y vy del efector final 1 0.8 0.6 0.4 velocidad (m/s) 0.2 vy vx 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 tiempo (s) 42 / 56 Cinemática del movimiento diferencial Puntos singulares Análisis del modelo diferencial de un robot planario Ejemplo: robot planario de 2 g.d.l. 6- Trayectorias de posición articulares θ1 y θ2 200 150 100 θ1 posición angular (grados) 50 0 −50 −100 θ2 −150 −200 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 tiempo (s) 43 / 56 Cinemática del movimiento diferencial Puntos singulares Análisis del modelo diferencial de un robot planario Ejemplo: robot planario de 2 g.d.l. 7- Comparativa de velocidades articulares θ̇1 y θ̇2 para distintas aproximaciones al origen 500 400 d = 0.12m d = 0.2m velocidades articulares (rad/s) 300 200 d = 0.3m 100 θ̇1 0 θ̇2 −100 −200 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 tiempo (s) 44 / 56 Cinemática del movimiento diferencial Relaciones diferenciales entre fuerzas y pares Relaciones diferenciales entre fuerzas y pares Relaciones diferenciales de fuerzas y pares Relación estática o cuasi estática entre fuerzas y pares articulares del efector final. La condición “estática” implica ausencia de aceleración lo cual exige que el robot mantenga una configuración fija. Es el caso del robot soportando una carga constante o en contacto con el entorno contra el que ejerce una fuerza constante. Para su obtención nos basaremos en el principio del trabajo virtual 46 / 56 Cinemática del movimiento diferencial Relaciones diferenciales entre fuerzas y pares Relaciones diferenciales entre fuerzas y pares Principio del trabajo virtual Se basa en el estudio de pequeños desplazamientos virtuales, δqi y δx , en las articulaciones y en el efector final. Un movimiento virtual es un desplazamiento infinitesimal del sistema mecánico conforme a las restricciones y ligaduras mecánicas del sistema. A diferencia de los desplazamientos reales o actuales únicamente están limitados por las restricciones geométricas (cinemática) de las restricciones (ligaduras). Para distinguirlos de los desplazamientos infinitesimales reales se utiliza la letra δ en lugar de d (diferencial), 47 / 56 Cinemática del movimiento diferencial Relaciones diferenciales entre fuerzas y pares Relaciones diferenciales entre fuerzas y pares Principio del trabajo virtual Supongamos que el robot está en contacto con el entorno y real- izando una fuerza y momento fe y Ne sobre éste. τi , i = 1... n, pares articulares −fe y −Ne , fuerzas y momentos de reacción sobre dqi el efector final generados por ti dxe la acción de las articulaciones. -Nn,n+1 dfe Puede ser también en -fn,n+1 sentido inverso. 48 / 56 Cinemática del movimiento diferencial Relaciones diferenciales entre fuerzas y pares Relaciones diferenciales entre fuerzas y pares Principio del trabajo virtual El trabajo virtual realizado por dichas fuerzas y momentos en el conjunto del brazo es: δw = τ1 δq1 + τ2 δq2 +... + τn δqn − f T δpe − NT δϕe expresado matricialmente δw = τ T δq − FT δxe donde " # " # f δpe F= e δxe = Ne δϕe 49 / 56 Cinemática del movimiento diferencial Relaciones diferenciales entre fuerzas y pares Relaciones diferenciales entre fuerzas y pares Principio del trabajo virtual El equilibrio de fuerzas requiere que el trabajo virtual δw sea cero para cualquier desplazamiento virtual. Sustituyendo dx = Jdq para desplazamientos virtuales virtuales en lugar de diferenciales (d → δ), obtenemos δw = τ T δq − FT Jδq = (τ T − FT J)δq El equilibrio de fuerzas requiere δw = 0 para cualquier δq ̸= 0, por tanto τ T − FT J = 0 De donde obtenemos la relación entre los pares articulares aplicados y fuerzas cartesianas aplicadas por el robot sobre el entorno τ = JT F 50 / 56 Cinemática del movimiento diferencial Relaciones diferenciales entre fuerzas y pares Relaciones diferenciales entre fuerzas y pares Ejemplo 1 Dado el robot de 2 gdl mostrado en la figura se desea obtener los pares articulares que generen una fuerza fx sobre el entorno. Se desea aplicar una l2 Fuerza F = [1, 0]T. t2 q2 F Configuración: θ1 = 90º y θ2 = −90º y0 l1 Asumiremos entorno l1 = l2 = 0, 5m. t1 q1 Se pide: τ1 y τ2 x0 51 / 56 Cinemática del movimiento diferencial Relaciones diferenciales entre fuerzas y pares Relaciones diferenciales entre fuerzas y pares Ejemplo 1 Tenemos que aplicar la ecuación: τ = JT F, siendo " # −l1 sin θ1 − l2 sin(θ1 + θ2 ) −l2 sin(θ1 + θ2 ) J= l1 cos θ1 + l2 cos(θ1 + θ2 ) l2 cos(θ1 + θ2 ) sustituyendo θ1 = 90º y θ2 = −90º y l1 = l2 = 0, 5m " # −0, 5 0 J= 0, 5 0, 5 Claramente no singular. Aplicamos ahora τ = JT F " # " #" # " # τ1 −0, 5 0, 5 1 −0, 5 = = τ2 0 0, 5 0 0 Nm. 52 / 56 Cinemática del movimiento diferencial Relaciones diferenciales entre fuerzas y pares Relaciones diferenciales entre fuerzas y pares Ejemplo 1 Resultado que se puede demostrar directamente calculando el par estático mediante el producto vectorial. 0, 5 1 0       τ1 = r1 × F = 0, 5 × 0 =  0  Nm.       0 0 −0, 5 0, 5 1 0       τ2 = r2 × F =  0  × 0 = 0 Nm.       0 0 0 Nótese que los pares se ejercen sobre el eje-z (perpendicular al plano xy ). 53 / 56 Cinemática del movimiento diferencial Relaciones diferenciales entre fuerzas y pares Relaciones diferenciales entre fuerzas y pares Ejemplo 2 Se desea aplicar una entorno Fuerza F = [0, −1]T. l2 Configuración: θ1 = 90º t2 q2 y θ2 = −90º y0 Asumiremos l1 l1 = l2 = 0, 5m. F Se pide: τ1 y τ2 t1 q1 x0 54 / 56 Cinemática del movimiento diferencial Relaciones diferenciales entre fuerzas y pares Relaciones diferenciales entre fuerzas y pares Ejemplo 3 Repitan los ejercicios 1 y 2 para la configuración entorno “codo abajo”, θ1 = 0º y θ2 = 90º, y obtengan τ1 y τ2. y0 Comparen los resultados l2 obtenidos. t1 q1 l1 t2 q2 x0 55 / 56 Cinemática del movimiento diferencial Relaciones diferenciales entre fuerzas y pares Relaciones diferenciales entre fuerzas y pares Ejemplo 4 El robot soporta una l2 masa M = 1kg. t2 q2 é 0 ù Configuración: θ1 = 90º F =ê ú ë-Mg û y θ2 = −90º y0 M l1 Asumiremos l1 = l2 = 0, 5m. t1 q1 Se pide: τ1 y τ2 x0 nótese que −Mg es la fuerza aplicada en la componente y por el entorno sobre el robot y por tanto la fuerza que el robot deberá ejercer en el efector final es +Mg 56 / 56