Cinemática del Movimiento Diferencial
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Questions and Answers

¿Cuál es la relación entre las velocidades articulares y espaciales en el modelo cinemático diferencial directo?

  • $vx = J1 θ̇1 + J2 θ̇2$ (correct)
  • $vy = J2 θ̇1 - J1 θ̇2$
  • $vy = J1 θ̇1 + J2 θ̇2$
  • $vx = J1 θ̇1 - J2 θ̇2$

¿Cómo se forma la matriz jacobiana J en el modelo cinemático diferencial directo?

  • Con las derivadas de las posiciones respecto al tiempo.
  • Con la suma de los senos y cosenos de los ángulos articulares.
  • Con la multiplicación de las longitudes de los brazos del robot.
  • Con la relación entre las velocidades articulares y espaciales. (correct)

¿Qué determina la singularidad en el análisis del modelo diferencial de un robot planario?

  • La longitud de los brazos del robot.
  • La posición inicial del robot.
  • El valor del determinante de la matriz jacobiana. (correct)
  • Las velocidades articulares del robot.

En el determinante de la matriz jacobiana, ¿qué función cumple la notación $cij$ y $sij$?

<p>Representar los senos y cosenos de la suma de los ángulos articulares. (B)</p> Signup and view all the answers

¿Qué representa el determinante $det(J)$ en el contexto de la cinemática del movimiento diferencial?

<p>Los puntos donde el robot puede lograr movimientos eficientes. (D)</p> Signup and view all the answers

¿Qué representa la matriz jacobiana en el contexto de un robot planario de 2 g.d.l.?

<p>La relación entre las velocidades lineales y las velocidades articulares. (C)</p> Signup and view all the answers

En el modelo cinemático directo de un robot planario, ¿cuál es la expresión correcta para la coordenada y?

<p>y(θ1, θ2) = l1 sin θ1 + l2 sin(θ1 + θ2) (C)</p> Signup and view all the answers

¿Cuál es la consecuencia de alcanzar un punto singular en un robot planario?

<p>Las velocidades articulares no pueden ser determinadas de manera única. (D)</p> Signup and view all the answers

¿Qué información proporciona el modelo cinemático diferencial directo?

<p>Las trayectorias de los puntos finales del robot. (A)</p> Signup and view all the answers

En la matriz jacobiana, ¿qué representa el término ∂x/∂θ1?

<p>El cambio en la coordenada x con respecto al cambio en θ1. (A)</p> Signup and view all the answers

¿Qué representan los términos dpx, dpy y dpz en el contexto del movimiento diferencial?

<p>Diferenciales de posición espacial (D)</p> Signup and view all the answers

¿Qué indica la expresión dα = ∂fα/∂qi dqi en el contexto de la cinemática?

<p>La diferenciación de la orientación en función de los ángulos articulares (B)</p> Signup and view all the answers

¿Cuál es la función principal de las ecuaciones diferenciales en la cinemática del movimiento diferencial?

<p>Expresar la relación entre cambios en posición y orientación (D)</p> Signup and view all the answers

En el contexto de las relaciones diferenciadas, qué representa dqi?

<p>Un diferencial de posición articular (B)</p> Signup and view all the answers

¿Qué se logra al aplicar la regla de la diferenciación en cadena en el modelo cinemático directo?

<p>Se expresan las relaciones de posición y orientación en términos de variables articulares (B)</p> Signup and view all the answers

¿Cuál es el resultado esperado para las velocidades articulares θ̇1 y θ̇2 cerca de los puntos singulares?

<p>θ̇1 y θ̇2 tienden a infinito. (D)</p> Signup and view all the answers

En el cálculo de las trayectorias de velocidad articulares, ¿cuál es el primer paso al aplicar el modelo cinemático inverso?

<p>Discretizar la trayectoria de posición espacial. (A)</p> Signup and view all the answers

En la expresión de las velocidades articulares, ¿qué representa el modelo q̇ = J−1 v?

<p>La inversión de la matriz jacobiana para obtener velocidades. (B)</p> Signup and view all the answers

¿Qué se debe hacer después de obtener el jacobiano J(θ(i)) en el cálculo iterativo de las trayectorias articulares?

<p>Obtener la inversa J−1(θi). (B)</p> Signup and view all the answers

¿Cuál es una ventaja del análisis de variaciones infinitesimales respecto al modelo de variaciones finitas?

<p>Simplifica las matrices de transformación y la representación de la orientación. (A)</p> Signup and view all the answers

En el análisis del modelo diferencial de un robot planario, ¿qué se deduce del cálculo de las trayectorias de velocidad articulares?

<p>Se requiere un cálculo iterativo para cada posición. (B)</p> Signup and view all the answers

En el contexto de las relaciones diferenciales, ¿qué variables representa px, py y pz?

<p>Coordenadas de la posición cartesiana. (D)</p> Signup and view all the answers

¿Cuál es el propósito de expresar traslaciones y orientaciones infinitesimales en las relaciones diferenciales?

<p>Capturar la variación en variables espaciales ante cambios articulares. (D)</p> Signup and view all the answers

En el modelo cinemático directo, ¿qué función cumplen los ángulos de Euler α, β y γ?

<p>Representación de las variables de orientación espaciales. (C)</p> Signup and view all the answers

¿Qué aborda el análisis de variaciones infinitesimales en el contexto del movimiento diferencial?

<p>Las relaciones entre fuerzas estáticas articulares y cartas en el espacio. (D)</p> Signup and view all the answers

¿Qué significa que θ̇2 → −∞ en el contexto del movimiento del robot en el punto A?

<p>El robot enfrenta una singularidad que limita su movimiento. (A)</p> Signup and view all the answers

Qué se puede inferir de las trayectorias de velocidades articulares cerca del punto D?

<p>Las velocidades articulares experimentan cambios bruscos. (C)</p> Signup and view all the answers

Flashcards

Modelo cinemático diferencial directo

Describe la relación entre las velocidades de las articulaciones de un robot y las velocidades en el espacio. Proporciona ecuaciones que calculan la velocidad lineal (vx, vy) en función de las velocidades angulares (θ̇1, θ̇2) de las articulaciones.

Matriz Jacobiana (J)

Una matriz que relaciona las velocidades de las articulaciones de un robot con las velocidades espaciales. Define la transformación de la velocidad de las articulaciones a velocidades espaciales, permitiendo el cálculo del movimiento del robot en el espacio.

Puntos singulares de un robot

Configuraciones del robot donde el determinante de la matriz jacobiana es cero. En estas configuraciones, la velocidad del robot en el espacio es incompleta; el robot no puede moverse en todas las direcciones.

Determinante de la matriz Jacobiana (det J)

Una medida de la capacidad del robot para moverse en el espacio. Su valor determina la existencia de puntos singulares. Un valor cero indica una configuración singular, donde el robot no puede moverse en todas las direcciones.

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Robot planario de 2 g.d.l.

Un robot con dos grados de libertad (dos articulaciones) que se mueve en un plano bidimensional. Es un ejemplo común para el análisis de modelos cinemáticos diferenciales.

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Puntos singulares

Configuraciones del robot donde el determinante de la matriz Jacobiana es cero. En estas configuraciones, la velocidad del robot en el espacio es incompleta; el robot no puede moverse en todas las direcciones.

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Ecuaciones diferenciales de posición y orientación

Se obtienen diferenciando las ecuaciones del modelo cinemático directo. Se usan para describir la relación entre los cambios infinitesimales en las articulaciones de un robot y los cambios infinitesimales en la posición y orientación del extremo del efector.

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Relaciones infinitesimales

Se refieren a la relación entre las velocidades articulares (cambios infinitesimales en las posiciones de las articulaciones) y las velocidades del extremo del efector (cambios infinitesimales en la posición y orientación).

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¿Se pueden expresar las relaciones infinitesimales en forma matricial?

Sí, las relaciones infinitesimales se pueden expresar en forma matricial utilizando la matriz Jacobiana. Esta matriz relaciona las velocidades articulares con las velocidades del extremo del efector.

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Elementos de la matriz Jacobiana

Los elementos de la matriz Jacobiana representan las derivadas parciales de las coordenadas del extremo del efector con respecto a las coordenadas de las articulaciones. Cada columna de la matriz representa la velocidad del extremo del efector debido a un cambio incremental en una articulación específica.

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Matriz Jacobiana

Una matriz que relaciona las velocidades de las articulaciones de un robot con las velocidades espaciales. Permite el cálculo del movimiento del robot en el espacio.

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Modelo cinemático diferencial

Describe la relación entre las velocidades de las articulaciones de un robot y las velocidades en el espacio. Proporciona ecuaciones que calculan la velocidad lineal del extremo del efector en función de las velocidades angulares de las articulaciones.

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¿Qué sucede en las vecindades de los puntos singulares?

En las vecindades de los puntos singulares las velocidades de las articulaciones tienden a infinito. Esto se debe a que el robot intenta compensar la falta de movimiento en el espacio variando rápidamente las velocidades de las articulaciones.

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Cinemática diferencial inversa

Es un método para calcular las velocidades de las articulaciones (θ̇1, θ̇2) de un robot a partir de la velocidad del extremo del efector (vx, vy) . Se utiliza para controlar el movimiento del robot en el espacio.

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Jacobiano (J)

Es una matriz que relaciona las velocidades de las articulaciones (θ̇1, θ̇2) de un robot con la velocidad del efector final (vx, vy). Su inversa (J−1) se utiliza para calcular las velocidades articulares a partir de la velocidad del efector final.

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¿ Cómo obtener las trayectorias de velocidad articulares?

Se discretiza la trayectoria de posición espacial del robot en varios puntos, luego, para cada punto, se aplica el modelo cinemático directo para obtener las variables articulares y se calcula la matriz Jacobiana. Usando el modelo cinemático inverso se obtienen las velocidades articulares (θ̇1, θ̇2) para cada punto., y finalmente, se obtienen las trayectorias de velocidad articulares.

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¿Qué sucede con las velocidades articulares cerca de los puntos singulares?

Cerca de los puntos singulares, las velocidades de las articulaciones (θ̇1, θ̇2) tienden a infinito. Esto significa que se requieren grandes velocidades de las articulaciones para lograr un movimiento pequeño del efector final.

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Relaciones diferenciales

Expresan el cambio infinitesimal en la posición y orientación del robot en relación a variaciones infinitesimales en las articulaciones.

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Study Notes

Robótica Industrial

  • Curso de 7º semestre de Ingeniería en Tecnologías Industriales, mención electrónica industrial.
  • Materia: Cinemática del movimiento diferencial.
  • Profesor: Iñaki Arocena Elorza.
  • Departamento de Ingeniería, Universidad Pública de Navarra.

Movimientos Diferenciales

  • Análisis de variaciones infinitesimales: analiza las ecuaciones cinemáticas para variaciones articulares infinitesimales respecto a una configuración fija.
  • Ventajas sobre el modelo de variaciones finitas:
    • Relación lineal entre las variables articulares y las variables cartesianas.
    • Relación lineal entre fuerzas o pares estáticos articulares y cartesianos.
    • Permite obtener los puntos y configuraciones singulares de una cadena cinemática.
    • Simplifica las matrices de transformación, las secuencias de transformaciones y la representación de la orientación.
    • Facilita un método sencillo para la obtención de las trayectorias de velocidad.

Relaciones diferenciales de posición y orientación

  • Traslaciones y orientaciones infinitesimales: expresan la variación infinitesimal producida en las variables espaciales ante variaciones articulares infinitesimales.
  • Ecuaciones del modelo cinemático directo: -Px= fx(q1,..., qn) -α= fa(q1,..., qn) -Py=fy(q1,..., qn) -β= fβ(q1,..., qn) -Pz=fz(q1,..., qn) -γ=fy(q1,..., qn)
  • Px, Py y Pz: coordenadas de la posición cartesiana.
  • α, β y γ: variables de orientación espaciales (ej: ángulos de Euler).
  • qi: variables articulares (giro o prismáticas).
  • Relaciones diferenciales: se obtienen diferenciando las ecuaciones del modelo cinemático directo. Aplicando la regla de la diferenciación en cadena a las ecuaciones del modelo cinemático directo.

Relaciones infinitesimales

  • Expresión matricial de las ecuaciones.
  • Matriz jacobiana (J): matriz de 6x n, formada por las derivadas parciales de las coordenadas espaciales (Px, Py, Pz, α, β, γ) respecto a las variables articulares (q1, q2,..., qn).
  • Relación entre velocidades articulares y velocidades espaciales mediante la matriz jacobiana.

Matrices de rotación infinitesimales

  • Rotación infinitesimal: un punto p1 y p2, sus coordenadas respecto a los sistemas coordenados infinitesimalmente rotados.
  • Expresadas matricialmente: P2= (1+€)P1 , donde € es una matriz de cantidades infinitesimales.
  • Propiedad de las matrices de rotación infinitesimales.
  • Independencia de la secuencia de rotaciones infinitesimales.

Propiedades de la matriz jacobiana

  • Aporta información sobre el estado del robot en cada punto de trayectoria.
  • Singularidad de la matriz jacobiana en ciertos puntos del espacio de trabajo.
  • Puntos singulares: puntos en los que el robot no tiene solucíon inversa.
  • Dependencia lineal entre las columnas de la matriz jacobiana: reduce la dimensión espacial alcanzable en ciertos puntos singulares.

Análisis del modelo diferencial de un robot planario

  • Ejemplo de un robot planario (2 g.d.l.) con eslabones de longitud.
  • Obtención de las configuraciones singulares; se calculan las velocidades articulares (qi) dadas las trayectorias de velocidad cartesianas.

Relaciones diferenciales entre fuerzas y pares

  • El equilibrio de fuerzas requiere que el trabajo virtual sea cero para cualquier desplazamiento virtual.

  • Enlace entre pares articulares y fuerzas cartesianas mediante la matriz jacobiana.

  • Principio del trabajo virtual: para obtener las relaciones entre fuerzas y pares, se estudia el trabajo realizado por las fuerzas y momentos en los componentes del robot.

  • Ejemplos de aplicación de las formulas para diferentes configuraciones y casos prácticos.

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Description

Esta evaluación abarca los conceptos de la cinemática del movimiento diferencial aplicados a la robótica industrial, específicamente en un curso de 7º semestre de Ingeniería en Tecnologías Industriales. Se enfoca en el análisis de las variaciones infinitesimales y las ventajas sobre el modelo de variaciones finitas, facilitando el estudio de trayectorias y matrices de transformación.

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