Kinematika_pr_2 (1) PDF

viac ako 70 rokov úspešnej cesty Kinematika prof. Ing. Peter Frankovský, PhD. Prednáška č.2 Súradnicové sústavy. Druhy pohybu bodu. strojnickafakulta | www.strojarina.eu  TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA Viac ako 70 rokov ú...

viac ako 70 rokov úspešnej cesty Kinematika prof. Ing. Peter Frankovský, PhD. Prednáška č.2 Súradnicové sústavy. Druhy pohybu bodu. strojnickafakulta | www.strojarina.eu  TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA Viac ako 70 rokov úspešnej cesty Pohyb bodu v kartézskej súradnicovej sústave Kartézsku súradnicovú sústavu tvorí pravouhlá, pravotočivá súradnicová sústava so začiatkom v bode 0, osami x, y, z a s jednotkovými vektormi 𝐢, 𝐣, 𝐤. Pohyb bodu je určený polohovým vektorom 𝐫=𝐫 𝑡 (1) 𝐫 = 𝑥 𝑡 𝐢 + 𝑦 𝑡 𝐣 + 𝑧 𝑡 𝐤, (2) kde 𝑥=𝑥 𝑡 , 𝑦=𝑦 𝑡 , (3) 𝑧=𝑧 𝑡 , 1 strojnickafakulta | www.strojarina.eu  TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA Viac ako 70 rokov úspešnej cesty Pohyb bodu v kartézskej súradnicovej sústave 𝑥 = 𝑥 𝑡 , 𝑦 = 𝑦 𝑡 , 𝑧 = 𝑧 𝑡 sú parametrické rovnice dráhy bodu, pričom čas t je parameter. Vektor rýchlosti bodu môžeme zapísať v tvare 𝐯 = 𝐯𝑥 + 𝐯𝑦 + 𝐯𝑧 (4) 𝐯 = 𝑣𝑥 (𝑡) 𝐢 + 𝑣𝑦 (𝑡) 𝐣 + 𝑣𝑧 (𝑡) 𝐤 (5) 2 strojnickafakulta | www.strojarina.eu  TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA Viac ako 70 rokov úspešnej cesty Pohyb bodu v kartézskej súradnicovej sústave Zložky vektora rýchlosti sú vyjadrené vzťahmi d𝑥 𝑣𝑥 = = 𝑥,ሶ d𝑡 d𝑦 𝑣𝑦 = = 𝑦,ሶ (6) d𝑡 d𝑧 𝑣𝑧 = = 𝑧.ሶ d𝑡 Veľkosť vektora rýchlosti je 𝑣= 𝐯 = 𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦2 + 𝑣𝑧2 ms −1. (7) 3 strojnickafakulta | www.strojarina.eu  TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA Viac ako 70 rokov úspešnej cesty Pohyb bodu v kartézskej súradnicovej sústave Vektor zrýchlenia bodu môžeme zapísať v tvare 𝒂 = 𝒂𝑥 + 𝒂𝑦 + 𝒂𝑧 , (8) 𝒂 = 𝑎𝑥 𝑡 𝐢 + 𝑎𝑦 𝑡 𝐣 + 𝑎𝑧 𝑡 𝐤, (9) kde zložky vektora zrýchlenia sú vyjadrené vzťahmi d𝑣𝑥 d2 𝑥 𝑎𝑥 (𝑡) = = 𝑣ሶ𝑥 = 2 = 𝑥,ሷ d𝑡 d𝑡 d𝑣𝑦 d2 𝑦 𝑎𝑦 (𝑡) = = 𝑣ሶ𝑦 = 2 = 𝑦,ሷ (10) d𝑡 d𝑡 d𝑣𝑧 d2 𝑧 𝑎𝑧 𝑡 = = 𝑣ሶ𝑧 = 2 = 𝑧.ሷ d𝑡 d𝑡 4 strojnickafakulta | www.strojarina.eu  TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA Viac ako 70 rokov úspešnej cesty Pohyb bodu v kartézskej súradnicovej sústave Veľkosť vektora zrýchlenia je 𝑎= 𝒂 = 𝑎𝑥2 + 𝑎𝑦2 + 𝑎𝑧2 ms −2. (11) 5 strojnickafakulta | www.strojarina.eu  TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA Viac ako 70 rokov úspešnej cesty Pohyb bodu vo valcovej súradnicovej sústave Bod L nech sa pohybuje v priestore 0, x, y, z. Zaveďme súradnicovú sústavu 𝜌, 𝜑, z so začiatkom v bode 0. Pohyb hmotného bodu je určený parametrickými rovnicami 𝜌=𝜌 𝑡 , 𝜑=𝜑 𝑡 , (12) 𝑧=𝑧 𝑡 , 𝜌, 𝜑, 𝑧 sú valcové (cylindrické) súradnice bodu. 6 strojnickafakulta | www.strojarina.eu  TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA Viac ako 70 rokov úspešnej cesty Pohyb bodu vo valcovej súradnicovej sústave Polohový vektor bodu vo valcových súradniciach je daný vzťahom 𝐫 = 𝜌𝐢𝜌 + 𝑧 𝑡 𝐤, (13) kde 𝐢𝜌 , 𝐤 sú jednotkové vektory osí ρ a z. Vektor rýchlosti bodu vo valcovej súradnicovej sústave má tvar 𝐯 = 𝐯𝜌 + 𝐯𝜑 + 𝐯𝑧 , (14) 𝐯 = 𝑣𝜌 𝐢𝜌 + 𝑣𝜑 𝐣𝜑 + 𝑣𝑧 𝐤. (15) 7 strojnickafakulta | www.strojarina.eu  TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA Viac ako 70 rokov úspešnej cesty Pohyb bodu vo valcovej súradnicovej sústave Zložky vektora rýchlosti 𝒗 sú 𝑣𝜌 = 𝜌,ሶ 𝑣𝜑 = 𝜌𝜑,ሶ (16) 𝑣𝑧 = 𝑧.ሶ Veľkosť rýchlosti je 𝑣= 𝐯 = 𝑣𝜌2 + 𝑣𝜑2 + 𝑣𝑧2. (ms-1) (17) 8 strojnickafakulta | www.strojarina.eu  TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA Viac ako 70 rokov úspešnej cesty Pohyb bodu vo valcovej súradnicovej sústave Vektor zrýchlenia bodu má vo valcovej súradnicovej sústave tvar 𝒂 = 𝒂𝜌 + 𝒂𝜑 + 𝒂𝑧 , (18) 𝒂 = 𝑎𝜌 𝐢𝜌 + 𝑎𝜑 𝐣𝜑 + 𝑎𝑧 𝐤. (19) Zložky vektora zrýchlenia sú vyjadrené vzťahmi 𝑎𝜌 = 𝜌ሷ − 𝜌𝜑ሶ 2 , 𝑎𝜑 = 2𝜌ሶ 𝜑ሶ + 𝜌𝜑,ሷ (20) 𝑎𝑧 = 𝑧.ሷ Veľkosť zrýchlenia je 𝑎= 𝒂 = 𝑎𝜌2 + 𝑎𝜑 2 + 𝑎𝑧2. (21) 9 strojnickafakulta | www.strojarina.eu  TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA Viac ako 70 rokov úspešnej cesty Pohyb bodu v polárnej súradnicovej sústave Polárna súradnicová sústava je rovinný prípad valcovej súradnicovej sústavy. Polárnu súradnicovú sústavu tvorí súradnica 𝜌 a uhol pootočenia 𝜑. Keďže krivka 𝑘L leží v rovine 0, 𝑥, 𝑦 − ide o rovinný prípad pohybu. Platí 𝜌= 𝐫. (22) 𝜌 = 𝐫 = 𝑟 = 0L. Osou otáčania nech je os 𝑧, ktorá je kolmá na rovinu x, y a ktorej jednotkový vektor je 𝐤. Na osi otáčania leží vektor uhlovej rýchlosti 𝝎, pričom platí 𝝎 = 𝜔𝐤 = 𝜑𝐤. ሶ (23) 10 strojnickafakulta | www.strojarina.eu  TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA Viac ako 70 rokov úspešnej cesty Pohyb bodu v polárnej súradnicovej sústave Keďže smer jednotkových vektorov 𝐢𝜌 , 𝐣𝜑 sa mení v závislosti na pohybe bodu, ich derivácie podľa času sú rovné d𝐢 = 𝝎 × 𝐢𝜌 = 𝜑𝐤 ሶ × 𝐢𝜌 = 𝜑ሶ 𝐣𝜑 , d𝑡 d𝐣 = 𝝎 × 𝐣𝜑 = 𝜑𝐤 ሶ × 𝐣𝜑 = −𝜑𝐢ሶ 𝜌 , (24) d𝑡 d𝐤 = 𝝎 × 𝐤 = 𝜑𝐤 ሶ × 𝐤 = 𝟎, d𝑡 pričom 𝐤 × 𝐤 = 𝟎. 11 strojnickafakulta | www.strojarina.eu  TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA Viac ako 70 rokov úspešnej cesty Pohyb bodu v polárnej súradnicovej sústave Rýchlosť bodu L je d 𝜌𝐢𝜌 d𝜌 d𝐢𝜌 𝐯 = 𝐫ሶ = = 𝐢𝜌 + 𝜌 = 𝜌ሶ 𝐢𝜌 + 𝜌𝜑ሶ 𝐣𝜑. (25) d𝑡 d𝑡 d𝑡 𝐯 = 𝐯𝜌 + 𝐯𝜑 , (26) 𝐯𝜌 je radiálna zložka rýchlosti, 𝐯𝜑 je transverzálna zložka rýchlosti. Veľkosť radiálnej a transverzálnej rýchlosti 𝑣𝜌 = 𝜌,ሶ 𝑣𝜑 = 𝜌𝜑.ሶ (27) 12 strojnickafakulta | www.strojarina.eu  TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA Viac ako 70 rokov úspešnej cesty Pohyb bodu v polárnej súradnicovej sústave Zrýchlenie bodu L je d𝐢𝜌 d𝐣𝜑 𝒂 = 𝐯ሶ = 𝜌𝐢ሷ 𝜌 + 𝜌ሶ + 𝜌ሶ 𝜑𝐣ሶ 𝜑 + 𝜌𝜑𝐣ሷ 𝜑 + 𝜌𝜑ሶ = 𝜌𝐢ሷ 𝜌 + 𝜌ሶ 𝜑𝐣ሶ 𝜑 + 𝜌ሶ 𝜑𝐣ሶ 𝜑 + 𝜌𝜑𝐣ሷ 𝜑 − 𝜌𝜑ሶ 2 𝐢𝜌. (28) d𝑡 d𝑡 Úpravou výrazu (28) dostaneme zložky zrýchlenia 𝒂 = 𝜌ሷ − 𝜌𝜑ሶ 2 𝐢𝜌 + 2𝜌ሶ 𝜑ሶ + 𝜌𝜑ሷ 𝐣𝜑 , (29a) 𝒂 = 𝑎𝜌 𝐢𝜌 + 𝑎𝜑 𝐣𝜑. (29b) 13 strojnickafakulta | www.strojarina.eu  TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA Viac ako 70 rokov úspešnej cesty Pohyb bodu v polárnej súradnicovej sústave Veľkosť radiálnej zložky zrýchlenia je 𝑎𝜌 = 𝜌ሷ − 𝜌𝜑ሶ 2 (30) Veľkosť transverzálnej zložky zrýchlenia je 𝑎𝜑 = 2𝜌ሶ 𝜑ሶ + 𝜌𝜑.ሷ (31) Násobok (2𝜌ሶ 𝜑)ሶ alebo (2𝜌ሶ 𝜑𝐣) ሶ vo vzťahu (31) alebo (29a) nazývame Coriolisovo zrýchlenie. Polárnu súradnicovú sústavu je výhodné použiť pri pohybe bodu po kružnici. 14 strojnickafakulta | www.strojarina.eu  TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA Viac ako 70 rokov úspešnej cesty Pohyb bodu v prirodzenej súradnicovej sústave Prirodzenú súradnicovú sústavu tvorí sprievodný trojhran krivky, ktorého začiatok je v pohybujúcom sa bode L. Osi sprievodného trojhranu tvorí dotyčnica t, hlavná normála n a binormála b krivky. Dotyčnicu orientujeme v smere narastania oblúkovej súradnice s, hlavnú normálu do stredu krivosti dráhy bodu a binormálu tak, aby sústava osí t, n, b bola pravotočivá. Stred krivosti dráhy bodu L, resp. stred oskulačnej kružnice krivky v bode L, leží na hlavnej normále. Polomer krivosti oskulačnej kružnice: (32) 15 strojnickafakulta | www.strojarina.eu  TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA Viac ako 70 rokov úspešnej cesty Pohyb bodu v prirodzenej súradnicovej sústave Rovina tvorená normálou 𝐧 a tangentou 𝐭 sa nazýva oskulačná rovina. Rovina, ktorú tvoria dotyčnica 𝐭 a binormála 𝐛 sa nazýva rektifikačná rovina a rovina tvorená binormálou 𝐛 a normálou 𝐧 sa nazýva normálová rovina. Poloha bodu na priestorovej krivke je daná oblúkovou súradnicou, ktorá sa mení v závislosti na čase 𝑡 𝑠=𝑠 𝑡. (33) 𝐫=𝐫 𝑠 16 strojnickafakulta | www.strojarina.eu  TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA Viac ako 70 rokov úspešnej cesty Pohyb bodu v prirodzenej súradnicovej sústave Rýchlosť bodu: vektor rýchlosti leží na dotyčnici (tangente) 𝐭. ∆𝐫 𝐯 = lim (34) ∆𝑡→0 ∆𝑡 ∆𝐫 ∆𝑠 𝐯 = lim , ∆𝑡→0 ∆𝑠 ∆𝑡 ∆𝑠 d𝑠 Kde lim = = 𝑠ሶ = 𝐯. ∆𝑡→0 ∆𝑡 d𝑡 ∆𝐫 d𝐫 lim = = 𝐭, ∆𝑡→0 ∆𝑠 d𝑠 𝐭 - jednotkový tangenciálny vektor, ktorý definujeme ako zmenu polohového vektora vzhľadom k dráhe. 17 strojnickafakulta | www.strojarina.eu  TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA Viac ako 70 rokov úspešnej cesty Pohyb bodu v prirodzenej súradnicovej sústave Vektor rýchlosti potom je 𝐯 = 𝑣 ∙ 𝐭 = 𝑠ሶ ∙ 𝐭 (35) Veľkosť rýchlosti je 𝑣 = 𝑠ሶ (36) Zrýchlenie bodu: pre vyjadrenie zrýchlenia potrebujeme poznať derivácie jednotkových vektorov sprievodného trojhrana. Tieto derivácie opisujú Frenetove vzťahy. Pre vyjadrenie Frenetových vzťahov potrebujeme definovať flexnú a torznú krivosť krivky. 18 strojnickafakulta | www.strojarina.eu  TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA Viac ako 70 rokov úspešnej cesty Pohyb bodu v prirodzenej súradnicovej sústave Flexná krivosť krivky 𝐾 je derivácia jednotkového tangenciálneho vektora podľa dĺžky oblúkovej krivky. Je teda mierou zmeny smeru tangenciálneho vektora pri jeho pohybe pozdĺž čiary oblúka ∆𝐭 d𝐭 𝑲 = lim = (37) ∆𝑠→0 ∆𝑠 d𝑠 Flexná krivosť krivky je tak rovná (nositeľkou flexnej krivosti je normála) 1 𝐾= 𝜌 - polomer oskulačnej kružnice (38) 𝜌 - polomer krivosti Pri všeobecnej krivke je polomer krivosti v každom bode iný. Torzná krivosť krivky 𝐾෨ je 1 ෩= 𝐾 , kde 𝜏 je polomer torznej krivosti. (39) 𝜏 19 strojnickafakulta | www.strojarina.eu  TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA Viac ako 70 rokov úspešnej cesty Pohyb bodu v prirodzenej súradnicovej sústave Frenetove vzťahy vyjadrujú derivácie jednotkových vektorov sprievodného trojhrana podľa dĺžky oblúkovej súradnice d𝐭 = 𝐭′ = 𝐾𝐧, d𝑠 d𝐧 ෩ = 𝐧′ = −𝐾𝐭 + 𝐾𝐛, (40) d𝑠 d𝐛 = 𝐛′ = ෩ −𝐾𝐧. d𝑠 20 strojnickafakulta | www.strojarina.eu  TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA Viac ako 70 rokov úspešnej cesty Pohyb bodu v prirodzenej súradnicovej sústave Zrýchlenie bodu: 𝒂 = 𝒗,ሶ (41) d𝐭 d𝐭 d𝑠 d𝐭 d𝑠 d𝐭 𝒂 = 𝐯ሶ = 𝑠𝐭ሷ + 𝑠ሶ = 𝑠𝐭ሷ + 𝑠ሶ = 𝑠𝒕ሷ + 𝑠ሶ = 𝑠𝐭ሷ + 𝑠ሶ 2 , d𝑡 d𝑡 d𝑠 d𝑠 d𝑡 d𝑠 d𝐭 (42) kde = 𝐾, 𝐭 ⊥ 𝑲 - K je vektor torznej krivosti d𝑠 𝑠ሶ 2 𝒂 = 𝑠𝐭ሷ + 𝑠ሶ 2 𝐾𝐧 = 𝑠𝐭ሷ + 𝐧. 𝜌 𝒂 = 𝒂𝑡 + 𝒂𝑛 = 𝑎𝑡 𝐭 + 𝑎𝑛 𝐧. 21 strojnickafakulta | www.strojarina.eu  TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA Viac ako 70 rokov úspešnej cesty Pohyb bodu v prirodzenej súradnicovej sústave Veľkosť tangenciálneho zrýchlenia je 𝑎𝑡 = 𝑠ሷ (43) 𝑠ሶ 2 Veľkosť normálového zrýchlenia je 𝑎𝑛 = (44) 𝜌 Veľkosť zrýchlenia je 𝑎= 𝒂 = 𝑎𝑡2 + 𝑎𝑛2 (45) 22 strojnickafakulta | www.strojarina.eu  TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA Viac ako 70 rokov úspešnej cesty Druhy pohybu bodu Tangenciálne Normálové Pohyb Celkové zrýchlenie zrýchlenie zrýchlenie Rovnomerný priamočiary 𝒂𝑡 = 0 𝒂𝑛 = 0 𝒂=0 Rovnomerný krivočiary 𝒂𝑡 = 0 𝒂𝑛 ≠ 0 𝒂≠0 Nerovnomerný priamočiary 𝒂𝑡 ≠ 0 𝒂𝑛 = 0 𝒂≠0 Nerovnomerný krivočiary 𝒂𝑡 ≠ 0 𝒂𝑛 ≠ 0 𝒂≠0 23 strojnickafakulta | www.strojarina.eu  TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA Viac ako 70 rokov úspešnej cesty Rovnomerný priamočiary pohyb Rovnomerný priamočiary pohyb je pohyb po priamke, pri ktorom sa na celej trajektórii bodu nemení veľkosť, smer ani orientácia vektora rýchlosti. Dráha narastá priamo úmerne v závislosti na čase t. Rýchlosť: 𝐯 = 𝑘𝑜𝑛š𝑡. d𝑠 𝑣= , (46) Zrýchlenie: 𝒂 = 0 d𝑡 Ak sa bod pohybuje po dráhe danej osou x od základnej polohy 0, potom 𝑥 𝑡 d𝑥 𝑣= න d𝑥 = න 𝑣 d𝑡 𝑥 = 𝑥0 + 𝑣𝑡 d𝑡 𝑥0 𝑡0 - 𝑥0 je vzdialenosť bodu od začiatočného miesta ak 𝑥0 = 0 potom 𝑥 = 𝑣𝑡, v čase 𝑡0. 24 strojnickafakulta | www.strojarina.eu  TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA Viac ako 70 rokov úspešnej cesty Rovnomerný priamočiary pohyb pre dráhu 𝑠 platí: 𝑠 𝑡 d𝑠 𝑣= න d𝑠 = න 𝑣 d𝑡 𝑠 = 𝑠0 + 𝑣𝑡, ak s0 = 0, potom 𝑠 = 𝑣𝑡. d𝑡 𝑠0 𝑡0 25 strojnickafakulta | www.strojarina.eu  TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA Viac ako 70 rokov úspešnej cesty Nerovnomerný priamočiary pohyb Nerovnomerný priamočiary pohyb je pohyb, pri ktorom sa rýchlosť v závislosti na čase mení. Podľa toho, či rýchlosť rastie alebo klesá, rozlišujeme pohyb zrýchlený a spomalený. Rýchlosť 𝑣 je v ľubovoľnom časovom d𝑥 𝑣= (47) okamihu vyjadrená vzťahom: d𝑡 Mierou nerovnomernosti pohybu je zrýchlenie 𝑎. Zrýchlenie je definované ako prírastok rýchlosti v čase d𝑣 𝑎= , (48) d𝑡 dosadením rýchlosti dostaneme d2 𝑥 𝑎= 2. (49) d𝑡 26 strojnickafakulta | www.strojarina.eu  TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA Viac ako 70 rokov úspešnej cesty Rovnomerne zrýchlený, resp. spomalený pohyb Zvláštnym prípadom nerovnomerného pohybu je pohyb rovnomerne zrýchlený, resp. rovnomerne spomalený. Je to pohyb, pri ktorom je zrýchlenie konštantné a rýchlosť rastie alebo klesá priamo úmerne s časom. Pohyb po priamke, pri ktorom sa veľkosť okamžitej rýchlosti zväčšuje za rovnaký časový interval o rovnakú hodnotu sa nazýva rovnomerne zrýchlený priamočiary pohyb. Tento pohyb charakterizuje nenulové zrýchlenie, ktoré má smer rovnobežný so smerom pohybu, t.j. mení sa len veľkosť rýchlosti, smer a orientácia ostávajú zachované. d𝑣 𝑣 𝑎= , 𝑎=. d𝑡 𝑡 27 strojnickafakulta | www.strojarina.eu  TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA Viac ako 70 rokov úspešnej cesty Rovnomerne zrýchlený, resp. spomalený pohyb Pri rovnomernom spomalenom pohybe je vektor zrýchlenia orientovaný v proti smere pohybu. Veľkosť zrýchlenia pri rovnomernom spomalenom pohybe má vzhľadom k smeru pohybu zápornú hodnotu. Rýchlosť narastá, resp. klesá priamo úmerne s časom, konštantou úmernosti je zrýchlenie. Pre prípad, keď 𝑡0 = 0 je 𝑥0 = 0, resp. 𝑠0 = 0, 𝒗0 = 𝟎 a 𝒂 = 𝒌𝒐𝒏š𝒕. Rýchlosť 𝑣 dostaneme integráciou 𝑣 𝑡 d𝑣 𝑎= න d𝑣 = න 𝑎 d𝑡 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡 d𝑡 𝑣0 𝑡0 ak 𝑣0 = 0, potom 𝑣 = 𝑎𝑡. 28 strojnickafakulta | www.strojarina.eu  TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA Viac ako 70 rokov úspešnej cesty Rovnomerne zrýchlený, resp. spomalený pohyb Dráhu dostaneme integrovaním rýchlosti 𝑥 𝑡 d𝑥 𝑡2 𝑡2 𝑣= න d𝑥 = න 𝑣 d𝑡 𝑥 − 𝑥0 = 𝑣0 𝑡 + 𝑎 𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0 𝑡 + 𝑎 d𝑡 2 2 𝑥0 𝑡0 kde 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡 Plocha pod krivkou rýchlosti ak x = s, x0 = s0 pre dráhu platí (vyšrafovaná oblasť) určuje dráhu 𝑠, ktorú bod prešiel za 𝑡2 čas 𝑡. 𝑠 = 𝑠0 + 𝑣0 𝑡 + 𝑎 2 29 strojnickafakulta | www.strojarina.eu  TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA Viac ako 70 rokov úspešnej cesty Rovnomerne zrýchlený, resp. spomalený pohyb Dráha rovnomerne zrýchleného (spomaleného) pohybu so zrýchlením (spomalením) o veľkosti 𝑎 so začiatočnou rýchlosťou, závisí na čase 𝑡. 30 strojnickafakulta | www.strojarina.eu  TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH STROJNÍCKA FAKULTA Viac ako 70 rokov úspešnej cesty Rovnomerne zrýchlený, resp. spomalený pohyb Pre rovnomerný spomalený pohyb platia rovnaké vzťahy ako pri rovnomernom zrýchlenom pohybe, ak do nich zavedieme záporné zrýchlenie 𝑡2 −𝑎 = 𝑘𝑜𝑛š𝑡. 𝑥 = 𝑣0 𝑡 − 𝑎 , 𝑣 = 𝑣0 − 𝑎𝑡. 2 Závislosť rýchlosti na čase pri rovnomernom spomalenom pohybe. 31 strojnickafakulta | www.strojarina.eu 70 rokov úspešnej cesty ĎAKUJEM ZA POZORNOSŤ