Espectros de Rotación (PDF)

# Espectros de Rotación ## Información Experimental ### Espectros de Rotación en la Región de Microondas - Estados Excitados de Vibración - Energías de Vibración: - Intensidades Relativas - Acoplamientos (Coriolis, Fermi) - Efecto Túnel - Parámetros de Interacción Rotación- Vibración...

# Espectros de Rotación ## Información Experimental ### Espectros de Rotación en la Región de Microondas - Estados Excitados de Vibración - Energías de Vibración: - Intensidades Relativas - Acoplamientos (Coriolis, Fermi) - Efecto Túnel - Parámetros de Interacción Rotación- Vibración - Función de Energía Potencial - Dinámica Intramolecular ### Espectros de Microondas FTMW - Anchura de línea muy pequeña: - MW: Δv ~ 200 kHz - IR: Δv ~ 0.003 cm-1 = 90 MHz - Podrían resolverse mas de 30.000 líneas en la región centimétrica - Fuentes de Radiación Coherentes - Técnicas de excitación pulsada: FTMW - Chorros supersónicos - Elevada precisión en la medida de frecuencias - Alto poder de resolución ### Información Experimental - Espectros de Rotación en la Región de Microondas - Población Total Repartida - Bajas Presiones: P < 25 mTorr - Pequeña Diferencia de Población entre Niveles: (Nm-Nn)/Nm ~ 5x10-3 - Isótopos - Confórmeros - Estados de Vibración - Constantes de Rotación - Distorsión Centrífuga - Estados de Rotación - Intesidades de Transición muy Bajas: - v ~ 30 GHz, α = 3x10-8 cm-1, celda 3 m. - Fracción de Potencia Absorbida: 10 ppm - Técnicas de Modulación y Detección muy Sensibles - Alta Rotencia - Saturación - Efecto Stark - Cuadrupolo Nuclear - Conformación, Simetría y Estructura - Campo de Fuerzas Molecular - Momento Dipolar Eléctrico - Distribución Electrónica + Ángulos ## Aplicaciones / Sistemas Moleculares ### Aplicabilidad | Moléculas | Sistemas :-----------------------:|:-------------------:|:----------: Estables | | | Gas, Vapor (P<25 mTorr) | | Equilibrio Térmico | | Absorción | Inestables | | | Tobera de Mezcla Rápida | | Sistema de Descargas | | Ablación Láser | | Calentamiento | | Dominio de Frecuencia. | | Expansión supersónica | | Sin colisiones – T_ef | | Absorción en Jets | | Excitación Pulsada | | Dominio del Tiempo. | | → Excitación Pulsada | ## Aplicaciones / Sistemas Moleculares ### Aplicabilidad | Moléculas | Sistemas :-----------------------:|:-------------------:|:----------: Estables | | | | | | Inestables | Moléculas no Volátiles | | Cl | | H | | | ## APROXIMACIÓN DE BORN-OPPENHEIMER^1,2 (Separación de movimientos electrónicos y nucleares) $\hat{H}=\hat{H}(q_{e}, q_{n})+\hat{H}(q_{n})$ $\hat{H}(q_{e}, q_{n})=-\frac{1}{2m_{e}^{2}} \sum_{i} \nabla_{i}^{2}+V_{ee}+V_{ne}+V_{nn}$ $\hat{H}(q_{n})=-\frac{1}{2m_{n}^{2}} \sum_{i} \nabla_{i}^{2}+V_{nn}$ $\Psi(q_{e},q_{n}) = \Psi_{e}(q_{e},q_{n})\Psi_{n}(q_{n})$ $\hat{H}_{e}(q_{e}, q_{n})\Psi{e}(q_{e},q_{n}) = E_{e}(q_{n}) \Psi_{e}(q_{e},q_{n})$ $[\hat{H}(q_{n})+E_{e}(q_{n})]\Psi_{n}(q_{n}) = E_{ne}(q_{n})\Psi_{n}(q_{n})$ ¹M. Born, R. Oppenheimer, Ann. Physik, 84, 457 (1927) ²M. Born and K. Huang, "Dynamical Theory of Crystal Lattices", Oxford University Press, 1954. ## ENERGIA CINETICA NUCLEAR ### 1.- SISTEMAS DE COORDENADAS <start_of_image> схемы $Z’$ $r_{a}$ $P_{a}$ $Z$ $r_{a}$ $u_{a}$ $cdm$ $R$ $Z$ $y$ $Y’$ $Φ_{XX}$ $xY$ $S =$ $yY$ $Φ_{YY}$ $Φ_{ZZ}$ $Φ_{XY}$ $Φ_{XZ}$ $Φ_{YZ}$ $0$ $X$ $X’$ $Y$ $X, Y, Z$ Sistema de coordenadas cartesianas fijo en el espacio (sistema del "observador") $R$: vector de posición del centro de masas molecular $u$: vector de posición del núcleo a $x, y, z$ → Sistema de coordenadas cartesianas fijo en la molécula y rotando con ella. $r_{a}$$: vector de posición instantánea del núcleo a $r_{e}$: vector de posición del núcleo a para la configuracion de equilibrio $S = S^{-1}$ ### 2.- ÁNGULOS DE EULER $Z’$ $r_{e}$ $Z$ 1. Los planos $xy$ y $XY$ se interceptan en la linea de los nodos $N$ 2. Rotación $\theta$ alrededor de $Z$ $X→N, Y → Y$ 3. Rotación $\phi$ alrededor de $N$ $Zz, Y' \rightarrow Y"$ 4. Rotación $\chi$ alrededor de $z$ $N → x, Y" → y$ $Y$ $Y$ $y$ $X$ $$ $\alpha$ $X$ $y$ $X$ $N$ $X$ $Z$ $u_{a}$ $R $ $P_{a}$ $r_{a}$ $cdm$ $X’$ $Y$ $\alpha$ $Z$ $Y’$ $Y$ $\alpha$ $u_{a}$ $m_{a} \dot{u}_{a}$ $\alpha \Rightarrow \alpha$ $\dot{u}_{a} = R + r_{a} = \dot{R} + \omega \times r_{a} +v_{a}$ $\dot{u}_{a} = R + r_{a} = \dot{R} + \omega \times r_{a}+v_{a}$ $\omega$ → velocidad angular de rotación del sistema $x,y,z$ $\omega = \dot{\theta} + \dot{\phi }x + \dot{x} z = i\omega _{x} + j\omega _{y} +k\omega _{z} = i'\omega '_{x} + j'\omega '_{y} +k'\omega '_{z}$ $v$ → vector definido por las componentes: $X_{a},Y_{a},Ż_{a}$ ### 3.- COSENOS DIRECTORES $$ $\begin{pmatrix} sen\theta \cos\chi & sen\theta \sin\chi & cos\theta \\ cos\theta \cos\chi - cos\phi \sin\theta sen\chi & cos\theta \sin\chi + cos\phi \sin\theta cos\chi & \sin\theta \sin\phi \\ coso\sin\chi + cos\phi \sin\theta cos\chi & coso\cos\chi - cos\phi \sin\theta sin\chi & sen\theta cos\phi \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 0_{1} & 0_{2} & 0_{3} \\ 0_{4} & 0_{5} & 0_{6} \\ 0_{7} & 0_{8} & 0_{9} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} sen\theta & 0 & cos\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -sen\theta & 0 & cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos\phi & sin\phi \\ 0 & -sin\phi & cos\phi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} cos\chi & sin\chi & 0 \\ -sin\chi & cos\chi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\phi\cos\chi -\cos\theta\sin\phi\sin\chi \end{matrix} \begin{matrix} -cos\phi\sin\chi - cos\theta\sin\phi\cos\chi \\ sen\phi\sin\theta \end{matrix} \begin{matrix} sen\phi\cos x + cos\theta\cos\phi\sin\chi \\ sen\phi\sin\chi+ cos\theta\cos\phi\cos\chi \\ -sen\theta\cos\phi \end{matrix}$$ ### 4.- PARTICION DE LA ENERGIA CINETICA $Z’$ $r_{e}$ $Z$ $Y$ $Y’$ $Y$ $y$ $X$ $$ $\alpha$ $X$ $X$ $z$ $$ $\alpha$ $$ $u_{a}$ $R $ $P_{a}$ $r_{a}$ $cdm$ $X’$ $Y$ $\alpha$ $Z$ $Y’$ $Y$ $\alpha$ $u_{a}$ $\dot{u}_{a} = R + r_{a} = \dot{R} + \omega \times r_{a} +v_{a}$ $\dot{u}_{a} = R + r_{a} = \dot{R} + \omega \times r_{a}+v_{a}$ $P_{a}= r_{a}-r_{e}$ $\omega$ → velocidad angular de rotación del sistema $x,y,z$ $\omega = \dot{\theta} + \dot{\phi }x + \dot{x} z = i\omega _{x} + j\omega _{y} +k\omega _{z} = i'\omega '_{x} + j'\omega '_{y} +k'\omega '_{z}$ $v$ → vector definido por las componentes: $X_{a},Y_{a},Ż_{a}$ ## ENERGIA CINETICA NUCLEAR ### 3.- COSENOS DIRECTORES $$ $\begin{pmatrix} sen\theta \cos\chi & sen\theta \sin\chi & cos\theta \\ cos\theta \cos\chi - cos\phi \sin\theta sen\chi & cos\theta \sin\chi + cos\phi \sin\theta cos\chi & \sin\theta \sin\phi \\ coso\sin\chi + cos\phi \sin\theta cos\chi & coso\cos\chi - cos\phi \sin\theta sin\chi & sen\theta cos\phi \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 0_{1} & 0_{2} & 0_{3} \\ 0_{4} & 0_{5} & 0_{6} \\ 0_{7} & 0_{8} & 0_{9} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} sen\theta & 0 & cos\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -sen\theta & 0 & cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos\phi & sin\phi \\ 0 & -sin\phi & cos\phi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} cos\chi & sin\chi & 0 \\ -sin\chi & cos\chi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\phi\cos\chi -\cos\theta\sin\phi\sin\chi \end{matrix} \begin{matrix} -cos\phi\sin\chi - cos\theta\sin\phi\cos\chi \\ sen\phi\sin\theta \end{matrix} \begin{matrix} sen\phi\cos x + cos\theta\cos\phi\sin\chi \\ sen\phi\sin\chi+ cos\theta\cos\phi\cos\chi \\ -sen\theta\cos\phi \end{matrix}$$ ### 4.- PARTICION DE LA ENERGIA CINETICA $Z’$ $r_{e}$ $Z$ $Y$ $Y’$ $Y$ $y$ $X$ $$ $\alpha$ $X$ $X$ $z$ $$ $\alpha$ $$ $u_{a}$ $R $ $P_{a}$ $r_{a}$ $cdm$ $X’$ $Y$ $\alpha$ $Z$ $Y’$ $Y$ $\alpha$ $u_{a}$ $\dot{u}_{a} = R + r_{a} = \dot{R} + \omega \times r_{a} +v_{a}$ $\dot{u}_{a} = R + r_{a} = \dot{R} + \omega \times r_{a}+v_{a}$ $P_{a}= r_{a}-r_{e}$ $\omega$ → velocidad angular de rotación del sistema $x,y,z$ $\omega = \dot{\theta} + \dot{\phi }x + \dot{x} z = i\omega _{x} + j\omega _{y} +k\omega _{z} = i'\omega '_{x} + j'\omega '_{y} +k'\omega '_{z}$ $v$ → vector definido por las componentes: $X_{a},Y_{a},Ż_{a}$ ## ENERGIA CINETICA NUCLEAR ### 3.- COSENOS DIRECTORES $$ $\begin{pmatrix} sen\theta \cos\chi & sen\theta \sin\chi & cos\theta \\ cos\theta \cos\chi - cos\phi \sin\theta sen\chi & cos\theta \sin\chi + cos\phi \sin\theta cos\chi & \sin\theta \sin\phi \\ coso\sin\chi + cos\phi \sin\theta cos\chi & coso\cos\chi - cos\phi \sin\theta sin\chi & sen\theta cos\phi \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 0_{1} & 0_{2} & 0_{3} \\ 0_{4} & 0_{5} & 0_{6} \\ 0_{7} & 0_{8} & 0_{9} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} sen\theta & 0 & cos\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -sen\theta & 0 & cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos\phi & sin\phi \\ 0 & -sin\phi & cos\phi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} cos\chi & sin\chi & 0 \\ -sin\chi & cos\chi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\phi\cos\chi -\cos\theta\sin\phi\sin\chi \end{matrix} \begin{matrix} -cos\phi\sin\chi - cos\theta\sin\phi\cos\chi \\ sen\phi\sin\theta \end{matrix} \begin{matrix} sen\phi\cos x + cos\theta\cos\phi\sin\chi \\ sen\phi\sin\chi+ cos\theta\cos\phi\cos\chi \\ -sen\theta\cos\phi \end{matrix}$$ ### 4.- PARTICION DE LA ENERGIA CINETICA $Z’$ $r_{e}$ $Z$ $Y$ $Y’$ $Y$ $y$ $X$ $$ $\alpha$ $X$ $X$ $z$ $$ $\alpha$ $$ $u_{a}$ $R $ $P_{a}$ $r_{a}$ $cdm$ $X’$ $Y$ $\alpha$ $Z$ $Y’$ $Y$ $\alpha$ $u_{a}$ $\dot{u}_{a} = R + r_{a} = \dot{R} + \omega \times r_{a} +v_{a}$ $\dot{u}_{a} = R + r_{a} = \dot{R} + \omega \times r_{a}+v_{a}$ $P_{a}= r_{a}-r_{e}$ $\omega$ → velocidad angular de rotación del sistema $x,y,z$ $\omega = \dot{\theta} + \dot{\phi }x + \dot{x} z = i\omega _{x} + j\omega _{y} +k\omega _{z} = i'\omega '_{x} + j'\omega '_{y} +k'\omega '_{z}$ $v$ → vector definido por las componentes: $X_{a},Y_{a},Ż_{a}$ ## ENERGIA CINETICA NUCLEAR ### 3.- COSENOS DIRECTORES $$ $\begin{pmatrix} sen\theta \cos\chi & sen\theta \sin\chi & cos\theta \\ cos\theta \cos\chi - cos\phi \sin\theta sen\chi & cos\theta \sin\chi + cos\phi \sin\theta cos\chi & \sin\theta \sin\phi \\ coso\sin\chi + cos\phi \sin\theta cos\chi & coso\cos\chi - cos\phi \sin\theta sin\chi & sen\theta cos\phi \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 0_{1} & 0_{2} & 0_{3} \\ 0_{4} & 0_{5} & 0_{6} \\ 0_{7} & 0_{8} & 0_{9} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} sen\theta & 0 & cos\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -sen\theta & 0 & cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos\phi & sin\phi \\ 0 & -sin\phi & cos\phi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} cos\chi & sin\chi & 0 \\ -sin\chi & cos\chi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\phi\cos\chi -\cos\theta\sin\phi\sin\chi \end{matrix} \begin{matrix} -cos\phi\sin\chi - cos\theta\sin\phi\cos\chi \\ sen\phi\sin\theta \end{matrix} \begin{matrix} sen\phi\cos x + cos\theta\cos\phi\sin\chi \\ sen\phi\sin\chi+ cos\theta\cos\phi\cos\chi \\ -sen\theta\cos\phi \end{matrix}$$ ### 4.- PARTICION DE LA ENERGIA CINETICA $Z’$ $r_{e}$ $Z$ $Y$ $Y’$ $Y$ $y$ $X$ $$ $\alpha$ $X$ $X$ $z$ $$ $\alpha$ $$ $u_{a}$ $R $ $P_{a}$ $r_{a}$ $cdm$ $X’$ $Y$ $\alpha$ $Z$ $Y’$ $Y$ $\alpha$ $u_{a}$ $\dot{u}_{a} = R + r_{a} = \dot{R} + \omega \times r_{a} +v_{a}$ $\dot{u}_{a} = R + r_{a} = \dot{R} + \omega \times r_{a}+v_{a}$ $P_{a}= r_{a}-r_{e}$ $\omega$ → velocidad angular de rotación del sistema $x,y,z$ $\omega = \dot{\theta} + \dot{\phi }x + \dot{x} z = i\omega _{x} + j\omega _{y} +k\omega _{z} = i'\omega '_{x} + j'\omega '_{y} +k'\omega '_{z}$ $v$ → vector definido por las componentes: $X_{a},Y_{a},Ż_{a}$ ## ENERGIA CINETICA NUCLEAR ### 3.- COSENOS DIRECTORES $$ $\begin{pmatrix} sen\theta \cos\chi & sen\theta \sin\chi & cos\theta \\ cos\theta \cos\chi - cos\phi \sin\theta sen\chi & cos\theta \sin\chi + cos\phi \sin\theta cos\chi & \sin\theta \sin\phi \\ coso\sin\chi + cos\phi \sin\theta cos\chi & coso\cos\chi - cos\phi \sin\theta sin\chi & sen\theta cos\phi \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 0_{1} & 0_{2} & 0_{3} \\ 0_{4} & 0_{5} & 0_{6} \\ 0_{7} & 0_{8} & 0_{9} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} sen\theta & 0 & cos\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -sen\theta & 0 & cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos\phi & sin\phi \\ 0 & -sin\phi & cos\phi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} cos\chi & sin\chi & 0 \\ -sin\chi & cos\chi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\phi\cos\chi -\cos\theta\sin\phi\sin\chi \end{matrix} \begin{matrix} -cos\phi\sin\chi - cos\theta\sin\phi\cos\chi \\ sen\phi\sin\theta \end{matrix} \begin{matrix} sen\phi\cos x + cos\theta\cos\phi\sin\chi \\ sen\phi\sin\chi+ cos\theta\cos\phi\cos\chi \\ -sen\theta\cos\phi \end{matrix}$$ ### 4.- PARTICION DE LA ENERGIA CINETICA $Z’$ $r_{e}$ $Z$ $Y$ $Y’$ $Y$ $y$ $X$ $$ $\alpha$ $X$ $X$ $z$ $$ $\alpha$ $$ $u_{a}$ $R $ $P_{a}$ $r_{a}$ $cdm$ $X’$ $Y$ $\alpha$ $Z$ $Y’$ $Y$ $\alpha$ $u_{a}$ $\dot{u}_{a} = R + r_{a} = \dot{R} + \omega \times r_{a} +v_{a}$ $\dot{u}_{a} = R + r_{a} = \dot{R} + \omega \times r_{a}+v_{a}$ $P_{a}= r_{a}-r_{e}$ $\omega$ → velocidad angular de rotación del sistema $x,y,z$ $\omega = \dot{\theta} + \dot{\phi }x + \dot{x} z = i\omega _{x} + j\omega _{y} +k\omega _{z} = i'\omega '_{x} + j'\omega '_{y} +k'\omega '_{z}$ $v$ → vector definido por las componentes: $X_{a},Y_{a},Ż_{a}$ ## ENERGIA CINETICA NUCLEAR ### 3.- COSENOS DIRECTORES $$ $\begin{pmatrix} sen\theta \cos\chi & sen\theta \sin\chi & cos\theta \\ cos\theta \cos\chi - cos\phi \sin\theta sen\chi & cos\theta \sin\chi + cos\phi \sin\theta cos\chi & \sin\theta \sin\phi \\ coso\sin\chi + cos\phi \sin\theta cos\chi & coso\cos\chi - cos\phi \sin\theta sin\chi & sen\theta cos\phi \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 0_{1} & 0_{2} & 0_{3} \\ 0_{4} & 0_{5} & 0_{6} \\ 0_{7} & 0_{8} & 0_{9} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} sen\theta & 0 & cos\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -sen\theta & 0 & cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos\phi & sin\phi \\ 0 & -sin\phi & cos\phi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} cos\chi & sin\chi & 0 \\ -sin\chi & cos\chi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\phi\cos\chi -\cos\theta\sin\phi\sin\chi \end{matrix} \begin{matrix} -cos\phi\sin\chi - cos\theta\sin\phi\cos\chi \\ sen\phi\sin\theta \end{matrix} \begin{matrix} sen\phi\cos x + cos\theta\cos\phi\sin\chi \\ sen\phi\sin\chi+ cos\theta\cos\phi\cos\chi \\ -sen\theta\cos\phi \end{matrix}$$ ### 4.- PARTICION DE LA ENERGIA CINETICA $Z’$ $r_{e}$ $Z$ $Y$ $Y’$ $Y$ $y$ $X$ $$ $\alpha$ $X$ $X$ $z$ $$ $\alpha$ $$ $u_{a}$ $R $ $P_{a}$ $r_{a}$ $cdm$ $X’$ $Y$ $\alpha$ $Z$ $Y’$ $Y$ $\alpha$ $u_{a}$ $\dot{u}_{a} = R + r_{a} = \dot{R} + \omega \times r_{a} +v_{a}$ $\dot{u}_{a} = R + r_{a} = \dot{R} + \omega \times r_{a}+v_{a}$ $P_{a}= r_{a}-r_{e}$ $\omega$ → velocidad angular de rotación del sistema $x,y,z$ $\omega = \dot{\theta} + \dot{\phi }x + \dot{x} z = i\omega _{x} + j\omega _{y} +k\omega _{z} = i'\omega '_{x} + j'\omega '_{y} +k'\omega '_{z}$ $v$ → vector definido por las componentes: $X_{a},Y_{a},Ż_{a}$ ## ENERGIA CINETICA NUCLEAR ### 3.- COSENOS DIRECTORES $$ $\begin{pmatrix} sen\theta \cos\chi & sen\theta \sin\chi & cos\theta \\ cos\theta \cos\chi - cos\phi \sin\theta sen\chi & cos\theta \sin\chi + cos\phi \sin\theta cos\chi & \sin\theta \sin\phi \\ coso\sin\chi + cos\phi \sin\theta cos\chi & coso\cos\chi - cos\phi \sin\theta sin\chi & sen\theta cos\phi \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 0_{1} & 0_{2} & 0_{3} \\ 0_{4} & 0_{5} & 0_{6} \\ 0_{7} & 0_{8} & 0_{9} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} sen\theta & 0 & cos\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -sen\theta & 0 & cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos\phi & sin\phi \\ 0 & -sin\phi & cos\phi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} cos\chi & sin\chi & 0 \\ -sin\chi & cos\chi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\phi\cos\chi -\cos\theta\sin\phi\sin\chi \end{matrix} \begin{matrix} -cos\phi\sin\chi - cos\theta\sin\phi\cos\chi \\ sen\phi\sin\theta \end{matrix} \begin{matrix} sen\phi\cos x + cos\theta\cos\phi\sin\chi \\ sen\phi\sin\chi+ cos\theta\cos\phi\cos\chi \\ -sen\theta\cos\phi \end{matrix}$$ ### 4.- PARTICION DE LA ENERGIA CINETICA $Z’$ $r_{e}$ $Z$ $Y$ $Y’$ $Y$ $y$ $X$ $$ $\alpha$ $X$ $X$ $z$ $$ $\alpha$ $$ $u_{a}$ $R $ $P_{a}$ $r_{a}$ $cdm$ $X’$ $Y$ $\alpha$ $Z$ $Y’$ $Y$ $\alpha$ $u_{a}$ $\dot{u}_{a} = R + r_{a} = \dot{R} + \omega \times r_{a} +v_{a}$ $\dot{u}_{a} = R + r_{a} = \dot{R} + \omega \times r_{a}+v_{a}$ $P_{a}= r_{a}-r_{e}$ $\omega$ → velocidad angular de rotación del sistema $x,y,z$ $\omega = \dot{\theta} + \dot{\phi }x + \dot{x} z = i\omega _{x} + j\omega _{y} +k\omega _{z} = i'\omega '_{x} + j'\omega '_{y} +k'\omega '_{z}$ $v$ → vector definido por las componentes: $X_{a},Y_{a},Ż_{a}$ ## ENERGIA CINETICA NUCLEAR ### 3.- COSENOS DIRECTORES $$ $\begin{