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# Fonction logarithme népérien ## I. Définition La fonction logarithme népérien, notée ln, est définie sur $]0; +\infty[$ et est la primitive de la fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ qui s'annule en 1. **Conséquence :** La fonction ln est dérivable sur $]0; +\infty[$ et sa dérivée est la fonction i...

# Fonction logarithme népérien ## I. Définition La fonction logarithme népérien, notée ln, est définie sur $]0; +\infty[$ et est la primitive de la fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ qui s'annule en 1. **Conséquence :** La fonction ln est dérivable sur $]0; +\infty[$ et sa dérivée est la fonction inverse : $$(\ln x)' = \frac{1}{x}$$ ## II. Propriétés algébriques Pour tous réels strictement positifs $a$ et $b$ et pour tout entier relatif $n$ : - $\ln(1) = 0$ - $\ln(e) = 1$ - $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ - $\ln(\frac{1}{a}) = -\ln(a)$ - $\ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b)$ - $\ln(a^n) = n\ln(a)$ - $\ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2}\ln(a)$ ## III. Étude de la fonction ln ### A. Sens de variation La fonction ln est dérivable sur $]0; +\infty[$ et $(\ln x)' = \frac{1}{x} > 0$. **Conséquence :** La fonction ln est strictement croissante sur $]0; +\infty[$. ### B. Représentation graphique La fonction ln est continue et strictement croissante sur $]0; +\infty[$. | $x$ | 0 | 1 | $e$ | $+\infty$ | | -------- | ----- | --- | ---- | -------- | | $\ln(x)$ | $\|$ | 0 | 1 | $+\infty$ | *C$_{ln}$* [Image of a graph of the natural logarithm function ln(x). The x-axis ranges from 0 to 10, and the y-axis ranges from -3 to 3. The curve passes through the point (1, 0) and is increasing and concave down.] ### C. Limites - $\lim\limits_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$ - $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$ **Croissances comparées :** - $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$ - $\lim\limits_{x \to 0} x\ln(x) = 0$ ## IV. Dérivées Soit $u$ une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. La fonction $x \mapsto \ln(u(x))$ est dérivable sur I et : $$(\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$$