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# Algèbre Linéaire ## Chapitre 5: Espaces Vectoriels ### 5.1 Définitions et Exemples Fondamentaux #### Définition d'un Espace Vectoriel Un espace vectoriel sur un corps $\mathbb{K}$ (souvent $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$) est un ensemble $E$ muni de deux opérations : 1. **Addition vectorielle**...

# Algèbre Linéaire ## Chapitre 5: Espaces Vectoriels ### 5.1 Définitions et Exemples Fondamentaux #### Définition d'un Espace Vectoriel Un espace vectoriel sur un corps $\mathbb{K}$ (souvent $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$) est un ensemble $E$ muni de deux opérations : 1. **Addition vectorielle** : $E \times E \to E$, notée $(u, v) \mapsto u + v$ 2. **Multiplication scalaire** : $\mathbb{K} \times E \to E$, notée $(\lambda, u) \mapsto \lambda u$ Ces opérations doivent satisfaire les axiomes suivants : 1. Associativité de l'addition : $\forall u, v, w \in E, (u + v) + w = u + (v + w)$ 2. Existence d'un élément neutre pour l'addition : $\exists 0_E \in E, \forall u \in E, u + 0_E = u$ 3. Existence d'un inverse additif : $\forall u \in E, \exists -u \in E, u + (-u) = 0_E$ 4. Commutativité de l'addition : $\forall u, v \in E, u + v = v + u$ 5. Compatibilité de la multiplication scalaire avec la multiplication dans $\mathbb{K}$ : $\forall \lambda, \mu \in \mathbb{K}, \forall u \in E, (\lambda \mu)u = \lambda(\mu u)$ 6. Élément neutre pour la multiplication scalaire : $\forall u \in E, 1_{\mathbb{K}}u = u$ 7. Distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle : $\forall \lambda \in \mathbb{K}, \forall u, v \in E, \lambda(u + v) = \lambda u + \lambda v$ 8. Distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition dans $\mathbb{K}$ : $\forall \lambda, \mu \in \mathbb{K}, \forall u \in E, (\lambda + \mu)u = \lambda u + \mu u$ #### Exemples Fondamentaux 1. $\mathbb{K}^n$ : L'ensemble des n-uplets d'éléments de $\mathbb{K}$, avec l'addition et la multiplication scalaire composante par composante. 2. $\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{K})$ : L'ensemble des matrices $m \times n$ à coefficients dans $\mathbb{K}$, avec l'addition matricielle et la multiplication par un scalaire. 3. $\mathbb{K}[X]$ : L'ensemble des polynômes à coefficients dans $\mathbb{K}$, avec l'addition polynomiale et la multiplication par un scalaire. 4. $\mathcal{F}(X, \mathbb{K})$ : L'ensemble des fonctions de $X$ vers $\mathbb{K}$, avec l'addition et la multiplication scalaire définies ponctuellement. ### 5.2 Sous-espaces Vectoriels #### Définition d'un Sous-espace Vectoriel Un sous-ensemble $F$ d'un espace vectoriel $E$ est un sous-espace vectoriel si : 1. $F$ est non vide. 2. $F$ est stable par addition : $\forall u, v \in F, u + v \in F$ 3. $F$ est stable par multiplication scalaire : $\forall \lambda \in \mathbb{K}, \forall u \in F, \lambda u \in F$ #### Exemples de Sous-espaces Vectoriels 1. Dans $\mathbb{R}^2$, les droites passant par l'origine sont des sous-espaces vectoriels. 2. Dans $\mathbb{R}^3$, les plans passant par l'origine sont des sous-espaces vectoriels. 3. L'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à $n$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{K}[X]$. 4. L'ensemble des fonctions continues de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$. ### 5.3 Combinaisons Linéaires, Enveloppe Linéaire #### Définition d'une Combinaison Linéaire Étant donnés des vecteurs $v_1, \dots, v_n$ dans un espace vectoriel $E$, une combinaison linéaire de ces vecteurs est une expression de la forme : $\lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_n v_n$, où $\lambda_1, \dots, \lambda_n \in \mathbb{K}$ #### Définition de l'Enveloppe Linéaire L'enveloppe linéaire (ou sous-espace vectoriel engendré) d'un ensemble de vecteurs $S \subseteq E$, notée $\text{Vect}(S)$, est l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires possibles des vecteurs de $S$. $\text{Vect}(S) = \{\lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_n v_n \mid n \in \mathbb{N}, v_i \in S, \lambda_i \in \mathbb{K}\}$ #### Propriétés de l'Enveloppe Linéaire 1. $\text{Vect}(S)$ est un sous-espace vectoriel de $E$. 2. $\text{Vect}(S)$ est le plus petit sous-espace vectoriel de $E$ contenant $S$. ### 5.4 Indépendance Linéaire, Bases, Dimension #### Définition de l'Indépendance Linéaire Des vecteurs $v_1, \dots, v_n$ sont linéairement indépendants si la seule combinaison linéaire de ces vecteurs qui donne le vecteur nul est celle où tous les coefficients sont nuls : $\lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_n v_n = 0_E \implies \lambda_1 = \dots = \lambda_n = 0$ #### Définition d'une Base Une base d'un espace vectoriel $E$ est un ensemble de vecteurs qui est à la fois linéairement indépendant et générateur de $E$ (c'est-à-dire, son enveloppe linéaire est $E$). #### Définition de la Dimension La dimension d'un espace vectoriel $E$ est le nombre de vecteurs dans une base de $E$. Si $E$ admet une base finie, on dit que $E$ est de dimension finie. Sinon, $E$ est de dimension infinie. #### Théorèmes Importants 1. **Théorème de la base incomplète** : Si $E$ est de dimension finie, alors tout ensemble linéairement indépendant peut être complété en une base de $E$. 2. **Théorème de la dimension** : Si $E$ est de dimension finie $n$, alors toute base de $E$ contient exactement $n$ vecteurs. ### 5.5 Applications Linéaires #### Définition d'une Application Linéaire Une application $f: E \to F$ entre deux espaces vectoriels $E$ et $F$ sur le même corps $\mathbb{K}$ est linéaire si : 1. $\forall u, v \in E, f(u + v) = f(u) + f(v)$ 2. $\forall \lambda \in \mathbb{K}, \forall u \in E, f(\lambda u) = \lambda f(u)$ #### Exemples d'Applications Linéaires 1. L'application nulle : $f(u) = 0_F$ pour tout $u \in E$. 2. L'application identité : $f(u) = u$ pour tout $u \in E$. 3. La dérivation des polynômes : $f(P(X)) = P'(X)$. 4. L'intégration sur un intervalle fixe. #### Noyau et Image d'une Application Linéaire 1. **Noyau** : $\text{Ker}(f) = \{u \in E \mid f(u) = 0_F\}$ 2. **Image** : $\text{Im}(f) = \{f(u) \mid u \in E\}$ #### Propriétés du Noyau et de l'Image 1. $\text{Ker}(f)$ est un sous-espace vectoriel de $E$. 2. $\text{Im}(f)$ est un sous-espace vectoriel de $F$. 3. $f$ est injective si et seulement si $\text{Ker}(f) = \{0_E\}$. 4. **Théorème du rang** : Si $E$ est de dimension finie, alors $\dim(E) = \dim(\text{Ker}(f)) + \dim(\text{Im}(f))$. Ce résumé couvre les principaux concepts du chapitre 5 sur les espaces vectoriels. Il inclut les définitions fondamentales, des exemples, et des théorèmes importants.