Espaces Vectoriels - Chapitre 5

• Le chapitre 5 porte sur les espaces vectoriels.

Définitions et Exemples Fondamentaux

• Un espace vectoriel sur un corps $\mathbb{K}$ (souvent $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$) est un ensemble $E$ muni d'une addition vectorielle et d'une multiplication scalaire.
• L'addition vectorielle est définie par $E \times E \to E$, notée $(u, v) \mapsto u + v$.
• La multiplication scalaire est définie par $\mathbb{K} \times E \to E$, notée $(\lambda, u) \mapsto \lambda u$.
• Les axiomes d'un espace vectoriel incluent l'associativité et la commutativité de l'addition, l'existence d'un élément neutre et d'un inverse additif.
• La multiplication scalaire doit être compatible avec la multiplication dans $\mathbb{K}$ et distributive par rapport à l'addition vectorielle et dans $\mathbb{K}$.
• Des exemples d'espaces vectoriels incluent $\mathbb{K}^n$, $\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{K})$, $\mathbb{K}[X]$, et $\mathcal{F}(X, \mathbb{K})$.

Sous-espaces Vectoriels

• Un sous-ensemble $F$ d'un espace vectoriel $E$ est un sous-espace vectoriel s'il est non vide et stable par addition et multiplication scalaire.
• Des exemples de sous-espaces vectoriels incluent les droites et les plans passant par l'origine dans $\mathbb{R}^2$ et $\mathbb{R}^3$, respectivement.
• L'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à $n$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{K}[X]$.
• L'ensemble des fonctions continues de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$.

Combinaisons Linéaires, Enveloppe Linéaire

• Une combinaison linéaire de vecteurs $v_1, \dots, v_n$ est une expression de la forme $\lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_n v_n$, où $\lambda_i \in \mathbb{K}$.
• L'enveloppe linéaire $\text{Vect}(S)$ d'un ensemble $S$ est l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires possibles des vecteurs de $S$.
• $\text{Vect}(S)$ est un sous-espace vectoriel de $E$ et le plus petit sous-espace vectoriel de $E$ contenant $S$.

Indépendance Linéaire, Bases, Dimension

• Les vecteurs $v_1, \dots, v_n$ sont linéairement indépendants si $\lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_n v_n = 0_E \implies \lambda_1 = \dots = \lambda_n = 0$.
• Une base d'un espace vectoriel $E$ est un ensemble de vecteurs linéairement indépendants et générateurs de $E$.
• La dimension d'un espace vectoriel $E$ est le nombre de vecteurs dans une base de $E$.
• Si $E$ admet une base finie, il est de dimension finie ; sinon, il est de dimension infinie.
• Le théorème de la base incomplète stipule que tout ensemble linéairement indépendant peut être complété en une base.
• Le théorème de la dimension stipule que toute base de $E$ contient exactement $n$ vecteurs si $E$ est de dimension finie $n$.

Applications Linéaires

• Une application $f: E \to F$ est linéaire si $f(u + v) = f(u) + f(v)$ et $f(\lambda u) = \lambda f(u)$.
• Des exemples d'applications linéaires incluent l'application nulle, l'application identité, la dérivation des polynômes et l'intégration sur un intervalle fixe.
• Le noyau de $f$ est $\text{Ker}(f) = {u \in E \mid f(u) = 0_F}$, et l'image de $f$ est $\text{Im}(f) = {f(u) \mid u \in E}$.
• $\text{Ker}(f)$ est un sous-espace vectoriel de $E$, et $\text{Im}(f)$ est un sous-espace vectoriel de $F$.
• $f$ est injective si et seulement si $\text{Ker}(f) = {0_E}$.
• Le théorème du rang stipule que $\dim(E) = \dim(\text{Ker}(f)) + \dim(\text{Im}(f))$ si $E$ est de dimension finie.