Tema 2: Prestaciones y Seguros de Incapacidad PDF

TEMA 2: Prestaciones y seguros de incapacidad C. VIDAL-MELIA PRESTACIONES Y SEGUROS DE SALUD Y DEPENDENCIA CURSO ACADÉMICO 2024-2025 5 de noviembre de 2024 TEMA 2: PRESTACIONES Y SEGUROS DE INCAPACIDA...

TEMA 2: Prestaciones y seguros de incapacidad C. VIDAL-MELIA PRESTACIONES Y SEGUROS DE SALUD Y DEPENDENCIA CURSO ACADÉMICO 2024-2025 5 de noviembre de 2024 TEMA 2: PRESTACIONES Y SEGUROS DE INCAPACIDAD Profesor: Carlos Vidal-Meliá https://cvidal.blogs.uv.es/ 1 TEMA 2: Prestaciones y seguros de incapacidad C. VIDAL-MELIA TEMA 2. Prestaciones y seguros de incapacidad. SUMARIO 1.- DEFINICIÓN Y ANÁLISIS DESDE EL PUNTO DE VISTA PÚBLICO. 2.- EL CASO PARTICULAR DE LA SEGURIDAD SOCIAL EN ESPAÑA. 3.- DETERMINACIÓN DE LAS PRINCIPALES PROBABILIDADES DE INVALIDEZ. 4.- OTRAS PROBABILIDADES RELACIONADAS CON LA INVALIDEZ. 5.- RENTAS DE INVALIDEZ. 6.- SEGUROS DE INVALIDEZ. 7.- RETORNO A LA ACTIVIDAD. 8.- LA INCAPACIDAD Y SU VINCULACIÓN CON LOS PLANES DE PREVISIÓN PRIVADOS. 9.- BIBLIOGRAFÍA. 10.- PRÁCTICAS. 2 TEMA 2: Prestaciones y seguros de incapacidad C. VIDAL-MELIA 1.- DEFINICIÓN Y ANÁLISIS DESDE EL PUNTO DE VISTA PÚBLICO 1 En general, se puede entender por invalidez aquella contingencia por la que un trabajador resulta imposibilitado para desarrollar su actividad profesional habitual o aquélla para la que, por su formación, se encuentra capacitado, a causa bien de una lesión corporal producida o no por un accidente laboral, o bien de una enfermedad común o profesional. Ambas circunstancias deben proceder de un dictamen médico o de una resolución judicial que reconozca la incapacitación laboral del asegurado. En general, un seguro de invalidez cubre al asegurado de posibles disminuciones de ingresos provenientes de una inhabilitación laboral del asegurado, motivada por un accidente o enfermedad. Es un riesgo con gran carga subjetiva, dado que su evaluación está sujeta a apreciaciones personales de los agentes e instituciones que intervienen en su cualificación. El derecho a percibir una pensión de invalidez está sujeto a la existencia de un estado de invalidez. Este estado se clasificará en dos grandes categorías: invalidez profesional e invalidez general. Adicionalmente, se suele exigir un periodo de cotización mínimo. La invalidez profesional está causada por un accidente laboral, o por una enfermedad que es permanente o de larga duración, que persiste después de cierto período. Normalmente las pensiones por incapacidad laboral transitoria y por invalidez suelen estar coordinadas. La invalidez profesional se relaciona con la ocupación acostumbrada del cotizante, mientras que la invalidez general es una incapacidad de generar ingresos en cualquier actividad. La mayoría de los regímenes de pensiones hacen uso de los dos conceptos de invalidez, siendo las prestaciones por invalidez profesional más bajas que las de invalidez general. La invalidez presenta una dificultad especial para la técnica actuarial, Thullen (1995), ya que existe una diversidad de definiciones de invalidez y debido también a la manera como se aplican en la práctica, al comparar valores básicos obtenidos a partir de campos de experiencia diferentes (por ejemplo, las probabilidades de entrada a la invalidez, la mortalidad de los inválidos, o más generalmente, las probabilidades de salida como beneficio de una pensión 2, incluyendo sus probabilidades de vuelta a la actividad) o al aplicar probabilidades que resulten de un sistema determinado para efectuar los cálculos correspondientes en otro sistema diferente. 2.- EL CASO PARTICULAR DE LA SEGURIDAD SOCIAL EN ESPAÑA. TEMA AUXILIAR 1 Para la elaboración de este epígrafe se ha seguido, en su mayor parte, Nieto y Vegas (1993). 2 Esta práctica llevada a cabo por numerosas administraciones de Seguridad Social (ASS), que consiste en reclasificar las pensiones de invalidez permanente a la categoría de jubilación cuando los inválidos alcanzan lo que se denomina la edad ordinaria de jubilación. Ventura-Marco y Vidal-Meliá, (2014) demuestran que, desde la perspectiva actuarial, esta práctica es perniciosa y puede enmascarar la verdadera situación financiera del sistema de pensiones, y dificulta la obtención de resultados actuariales por contingencias a no ser que se desglose la información. También puede dificultar la realización de proyecciones al mezclar dos tipos de colectivos que tienen sensibles diferencias en el comportamiento demográfico. 3 TEMA 2: Prestaciones y seguros de incapacidad C. VIDAL-MELIA 3.- DETERMINACIÓN DE LAS PRINCIPALES PROBABILIDADES. Esta operación se podría modelizar de la siguiente forma: Pxaa E0 qxaa E1 εx E2 x x+1 Esquema 1: Estudio dinámico de la contingencia de invalidez. Donde: 𝐸𝐸0 : Estado asociado a que una cabeza viva válida. 𝐸𝐸1 : Estado asociado a que una cabeza fallezca válida. 𝐸𝐸2 : Estado asociado a que una cabeza se invalide. Las probabilidades correspondientes, a partir de 𝐸𝐸0 , para una cabeza de edad “𝑥𝑥” son: 𝜀𝜀𝑥𝑥 = Probabilidad de que una cabeza de edad “𝑥𝑥” se invalide antes de alcanzar la edad “𝑥𝑥 + 1”. 𝑃𝑃𝑥𝑥𝑎𝑎𝑎𝑎 = Probabilidad de que una cabeza de edad “𝑥𝑥” alcance la edad “𝑥𝑥 + 1” en estado de actividad o validez. 𝑞𝑞𝑥𝑥𝑎𝑎𝑎𝑎 = Probabilidad de que una cabeza de edad “𝑥𝑥” fallezca, en estado de actividad o validez, antes de alcanzar la edad “𝑥𝑥 + 1”. Verificándose la siguiente relación: Pxaa + qaa x + εx = 1 (1.) Además, se consideran las siguientes probabilidades: Pxai = Probabilidad de que una cabeza activa de edad “𝑥𝑥” se invalide, alcanzando con vida la edad “𝑥𝑥 + 1” qai x = Probabilidad de que una cabeza activa de edad “𝑥𝑥” se invalide y muera antes de cumplir la edad “𝑥𝑥 + 1”. Esto supondría que se podrían producir dos cambios de estado en un mismo año. Pxa = Probabilidad de que una cabeza activa de edad “𝑥𝑥” alcance la edad “𝑥𝑥 + 1”, bien en estado de actividad o bien de invalidez. 4 TEMA 2: Prestaciones y seguros de incapacidad C. VIDAL-MELIA qax = Probabilidad de que una cabeza activa de edad “𝑥𝑥” fallezca antes de cumplir la edad “𝑥𝑥 + 1”, bien en estado de actividad o bien de invalidez. Verificándose las siguientes relaciones: Pxa = Pxaa + Pxai (2.) qax = qaa ai x + qx (3.) εx = Pxai + qai x (4.) Pxa + qax = 1 (5.) Es evidente que: Pxa + qax = Pxaa + Pxai + qaa ai aa aa x + q x = Px + q x + εx = 1 (6.) Se definen en primer lugar las probabilidades de muerte y supervivencia que se van a utilizar y su notación, y posteriormente se indica su cálculo. El tanto anual de invalidez, 𝜀𝜀𝑥𝑥 , se puede obtener de forma parecida a los tantos de mortalidad de las tablas generales: es decir, como el cociente: nx (7.) εx = laa x donde, laa x : número de cabezas activas o válidas a la edad “𝑥𝑥”. nx : número de individuos, de entre el grupo laa x , que se invalidan a la edad “𝑥𝑥”. De forma similar se puede obtener el tanto anual de mortalidad entre válidos: daa x qaa x = aa (8.) lx donde, daa 𝑎𝑎𝑎𝑎 x : número de individuos, de entre el grupo 𝑙𝑙𝑥𝑥 , que fallecen antes de alcanzar la edad “𝑥𝑥 + 1” sin haberse invalidado previamente. Por otro lado, la diferencia: laa aa aa x − lx+1 = ∆x (9.) no tiene el mismo significado que su equivalente de la supervivencia general (𝑙𝑙𝑥𝑥 ), ya que ∆𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑥𝑥 mide el número de los válidos de edad “𝑥𝑥” que no han llegado a la edad “𝑥𝑥 + 1”, bien por haber fallecido en estado de validez o bien por haberse invalidado: ∆aa aa aa aa x = lx − lx+1 = dx + nx (10.) Lo ideal sería elaborar unas tablas propias de invalidez para el colectivo, pero es, en líneas generales, más difícil que las de mortalidad, ya que una variable que influye mucho es el periodo que ha de transcurrir para suponer que una persona va a permanecer inválida en 5 TEMA 2: Prestaciones y seguros de incapacidad C. VIDAL-MELIA lo sucesivo, es decir, lo que se llama el periodo de carencia en estado de invalidez. Además, también hay grandes diferencias según el país, y dentro de cada país, según el sector. Por todo ello, se suelen utilizar tablas de invalidez generales que existen en el mercado. Podemos comprobar en la tabla siguiente los diferentes valores que alcanza el tanto de invalidez, para el caso de la invalidez total 3, absoluta 4 y la agregada 5 del Régimen General de la Seguridad Social Española (1990) y el de las tablas EVK suizas (1980) para varones, que corresponden a la experiencia de una Caja de Pensiones suiza. Tantos de invalidez Régimen Régimen Régimen Edad General General General EVK- EVK- Seguridad Seguridad Seguridad VARON MUJER Social 1990 Social 1990 Social 1990 Invalidez total Invalidez Tasa de (a) absoluta Invalidez (b) (a+b) 20 0,0001382 0,0001669 0,0003051 0,0001 0,00025 30 0,0004745 0,0004330 0,0009075 0,0001 0,00025 40 0,0017271 0,0012728 0,0029999 0,0003 0,00075 50 0,0067590 0,0047590 0,0115180 0,0028 0,00550 60 0,0106370 0,0143220 0,0249590 0,0328 0,02200 64 0,0036780 0,0143670 0,0180450 0,0616 - Fuente: Elaboración propia. Se ha contrastado, Instituto de Actuarios Españoles (1991), que los trabajadores que están en la primera etapa de su carrera laboral, entre 18 y 44 años, acceden a la invalidez por causas de incapacitación física. Entre 45 y 59 años, junto con las causas puramente biológicas están las sociales, como el desempleo o la imposibilidad de prepararse para una nueva profesión cuando el trabajador queda incapacitado para la suya habitual. A partir de los 60 años y hasta los 64, la tasa de invalidez disminuye como consecuencia de dos fenómenos contrapuestos: por una parte y en razón de la edad, la probabilidad de invalidarse es mayor, y por otra el trabajador puede optar por una jubilación anticipada o esperar a los 65 años porque le sea más beneficioso económicamente. Por estas razones, a partir de los 60 años disminuye la solicitud de invalidez, sobre todo cuando se presume que el grado alcanzable va a ser el de “total”. Para la elaboración de las tasas de invalidez no se ha distinguido por sexo y se ha ajustado mediante funciones del tipo: 2 cx t + dx t i t = (a x t + b x )2 t e (11.) siendo “it“ la tasa de invalidez para un individuo de edad “xt”. Se ha realizado el estudio separadamente por tramos de edad: 1. Primer grupo de edad. Entre 18 y 44 años. La ecuación obtenida ha sido: 2 −10 i t = (75882 x t − 14 x 2t ) 10 -10 e (127.599.111 x t + 11.174.598 x t ) 10 (12.) con un coeficiente de correlación de 0,997. 3 Corresponde a la invalidez total para la profesión habitual. 4 Se refiere a la incapacidad absoluta para todo trabajo. 5 Es la suma de las tasa de invalidez total y absoluta, que se denomina tasa observada de invalidez. 6 TEMA 2: Prestaciones y seguros de incapacidad C. VIDAL-MELIA 2. Segundo grupo de edad. Entre 41 y 59 años. Dado que la curva resultante enlazaba con la obtenida en el tramo anterior, esta estimación sirve para determinar la tasa de invalidez para las edades entre 45 y 59 años. La ecuación resultante ha sido: 2 −10 i t = 8 x t 10 -10 e (4.090.656.039 x t + 27.619.595 x t ) 10 (13.) con un coeficiente de correlación de 0,984 3. Tercer grupo de edad. Entre 60 y 64 años. La ecuación obtenida ha sido: 2 −10 (9.854.078 x t − 73.755.964 x t ) 10 it = e (14.) con un coeficiente de correlación de 0,983. Las tablas EVK suizas también están ajustadas por tramos de edades, pero con funciones lineales. En el caso de los varones, estos ajustes se corresponden con un valor constante de la tasa igual a 0,1 por mil, entre 20 y 30 años. Entre 30 y 40 años, el valor es el de una recta con origen en 0,1 por mil y creciente un 0,02 por mil anual. De 40 a 45 años, se sigue ajustando por una recta, cuyo crecimiento anual pasa a ser de 0,1 por mil. De 45 a 50 años el crecimiento es del 0,4 por mil anual. Entre 50 y 60 años crece al 3 por mil anual y de 60 hasta 64 años de edad, el crecimiento anual de la tasa es del 7,2 por mil. Tasas de invalidez Comparación EVK-RGSS 0,07 Tasa de invalidez 0,06 0,05 0,04 EVK 0,03 RGSS 0,02 0,01 0 20 30 40 50 60 Edad En 2008 han aparecido unas tablas de invalidez de la Población Española Asegurada (PEAIM/F-2007) realizadas por Münchener Rück y encargadas por ICEA, con datos de las siguientes compañías: BBVA, Caser, Mapfre Vida, Santander Central Hispano, Sudamérica, VidaCaixa y Winterthur. Las tablas distinguen el negocio individual del colectivo y hombres de mujeres. La comparación la realizan co n las de la Orden Ministerial de 1977. Los resultados se pueden ver en la tabla siguiente. 7 TEMA 2: Prestaciones y seguros de incapacidad C. VIDAL-MELIA Tasas de Invalidez PEAIM – PEAIF – PEAIM – PEAIF – OM 1977 Edad Individual Individual Colectivo Colectivo 20 0,000080 0,000065 0,0001292 0,00010 0,0005 30 0,000233 0,000178 0,0003806 0,00029 0,0005 40 0,000682 0,000483 0,0011119 0,00077 0,0005 50 0,001997 0,001314 0,0032518 0,00211 0,001 60 0,005842 0,003573 0,009514 0,00573 0,0025 64 0,008977 0,005332 0,0146161 0,00856 0,0025 En el gráfico siguiente, se puede observar la diferencia entre los valores de las tablas de 1977 y las actuales. Tasas de invalidez OM 1977 y 2007 Comparación Tablas Invalidez 1977 y 2007 0,01 0,009 0,008 Tasa de invalidez 0,007 0,006 0,005 0,004 0,003 0,002 0,001 0 20 30 40 50 60 Edad PEAIM-2007 I Ind. Mas. PEAIF-2007 I Ind. Fem. OM 77 Además, las nuevas tablas de invalidez ofrecen la información por separado para negocio individual y colectivo. Como se ve en el gráfico siguiente, las tasas de invalidez para el negocio colectivo son superiores a las del individual; esto se explica, según el propio informe, “por la naturaleza de los grupos asegurados y porque juega un papel importante en el negocio individual el efecto de la selección”. 8 TEMA 2: Prestaciones y seguros de incapacidad C. VIDAL-MELIA Tablas de Invalidez PEAIM/F-2007 Individual y Colectivo Comparación Tablas Invalidez PEAIM/F-2007 I G 0,016 0,014 0,012 Tasa de invalidez 0,01 0,008 0,006 0,004 0,002 0 20 30 40 50 60 PEAIM-2007 I Ind. Mas. Edad PEAIF-2007 I Ind. Fem. PEAIM-2007 G Col. Mas. PEAIF-2007 G Col. Fem. También puede ser útil contar con información sobre la supervivencia y mortalidad de las personas en estado de invalidez, ya que dichas probabilidades son sustancialmente diferentes a las de la población normal. En la tabla siguiente se puede comparar las probabilidades de mortalidad de la población general española masculina 70, con las probabilidades de mortalidad de inválidos (procedentes del grupo de activos, pero que en algún momento adquirieron el estado de invalidez). Como se puede comprobar para las edades más jóvenes, la probabilidad de fallecimiento de inválidos llega a ser hasta ocho veces mayor que la de la población general. Tantos de mortalidad para activos e inválidos. Edad 1000. qx (PEM-70) 1000. qxi 20 1,140 8,919 30 1,502 10,691 40 2,823 14,143 50 6,857 20,872 60 17,209 33,986 65 27,363 44,653 70 43,470 59,545 80 108,150 109,356 90 255,799 206,434 100 533,872 757,969 En resumen: 1.-Las probabilidades de invalidarse dependen de la edad, del género y son diferentes por sector de actividad (Plamondon, et al., 2002; Pitacco, 2014, 2019). 2.-La definición de inválido desempeña un papel muy importante, la invalidez al igual que la dependencia es un riesgo multigrado. 3.-La mortalidad de los inválidos es en términos generales muy superior a la de los válidos, y la diferencia disminuye con la edad. 9 TEMA 2: Prestaciones y seguros de incapacidad C. VIDAL-MELIA Ejemplos: Canadá, las tasas de mortalidad de los beneficiarios (inválidos) de 50 a 64 años en 2011 son en promedio seis veces más altas que las de la población general. Para un pensionista por invalidez de 50 años, el nivel de mortalidad es casi igual al de un individuo de 75 años en la población general (OSFIC, 2015). Estados Unidos, la tasa de mortalidad para un beneficiario inválido femenino (masculino) es 4.3 (5.02) veces mayor que la de un pensionista sano. Para un beneficiario inválido femenino (masculino) de 50 años, el nivel de mortalidad es casi igual al de un pensionista de 69 años (72) (SOA, 2014). Si denominamos: 𝑙𝑙𝑥𝑥𝑖𝑖 : número de inválidos vivos de edad “𝑥𝑥”. 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑖𝑖 : número de inválidos fallecidos a la edad “𝑥𝑥”. 𝑃𝑃𝑥𝑥𝑖𝑖 : probabilidad de que un inválido de edad “𝑥𝑥” alcance la edad “𝑥𝑥 + 1”. 𝑞𝑞𝑥𝑥𝑖𝑖 : probabilidad de que un inválido de edad “𝑥𝑥” fallezca antes de cumplir “𝑥𝑥 + 1” años. De forma análoga al caso general de supervivencia, se cumple: lix+1 Pxi = (15.) lix dix qix = i (16.) lx i i Px + qx = 1 (17.) Los datos o parámetros a estimar son εx , qix , qax , denominados funciones fundamentales de Zimmermann. Conocidos estos valores podemos calcular las demás probabilidades que nos interesan. Si, además, se admite la hipótesis de distribución uniforme de las invalideces, tendremos que la probabilidad de que una cabeza activa de edad “𝑥𝑥” se invalide y muera antes de cumplir la edad “𝑥𝑥 + 1”: 1 qai x = P S1 ∩ S2 = P S1 ∙ P S2 /S1 = ∙ ε ∙ qix (18.) 2 x donde: S1 : Suceso de que se invalide a lo largo del año. S2 : Suceso de que fallezca esa persona a lo largo del año. 1 : porque los sucesos sólo se pueden producir en ese orden: invalidarse y fallecer. 2 Obteniendo, fácilmente, el resto de probabilidades: La probabilidad de que una cabeza activa de edad “𝑥𝑥” se invalide, alcanzando con vida la edad “𝑥𝑥 + 1” es: 10 TEMA 2: Prestaciones y seguros de incapacidad C. VIDAL-MELIA qix 1 + Pxi Pxai = εx − qai x = εx ∙ 1 − = εx ∙ (19.) 2 2 Es la diferencia entre la probabilidad de que una cabeza de edad “𝑥𝑥” se invalide antes de alcanzar la edad “𝑥𝑥 + 1” y la probabilidad de que una cabeza activa de edad “𝑥𝑥” se invalide y muera antes de cumplir la edad “𝑥𝑥 + 1”. Ya que de acuerdo con la ecuación 4, εx = Pxai + qai x La probabilidad de que una cabeza de edad “𝑥𝑥” activa, alcance la edad “𝑥𝑥 + 1” en el mismo estado de actividad o validez es: qix Pxaa = Pxa − Pxai = Pxa − εx ∙ 1 − (20.) 2 Es la diferencia entre la probabilidad de que una cabeza activa de edad “𝑥𝑥” alcance la edad “𝑥𝑥 + 1”, bien en estado de actividad o bien de invalidez y la probabilidad de que una cabeza activa de edad “𝑥𝑥” se invalide, alcanzando con vida la edad “𝑥𝑥 + 1” Por último, la probabilidad de que una cabeza de edad “𝑥𝑥” fallezca, en estado de actividad o validez, antes de alcanzar la edad “𝑥𝑥 + 1” es; qix qaa a ai a x = q x − q x = q x − εx ∙ (21.) 2 Es la diferencia entre la probabilidad de que una cabeza activa de edad “𝑥𝑥” fallezca antes de cumplir la edad “𝑥𝑥 + 1”, bien en estado de actividad o bien de invalidez y la probabilidad de que una cabeza activa de edad “𝑥𝑥” se invalide y muera antes de cumplir la edad “𝑥𝑥 + 1”. 4.- OTRAS PROBABILIDADES RELACIONADAS CON LA INVALIDEZ. 1) Probabilidad de que la cabeza de edad “𝑥𝑥”, inicialmente válida, alcance la edad “𝑥𝑥 + 𝑛𝑛” en estado de actividad: laa x+n aa nPx = (22.) laa x 2) Probabilidad de que la cabeza de edad “𝑥𝑥”, inicialmente válida, muera en estado de actividad durante el “𝑡𝑡 − é𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠” año: daa x+t−1 laa aa x+t−1 dx+t−1 aa t−1/q x = aa = aa ∙ aa = aa t−1Px ∙ qaa x+t−1 (23.) lx lx lx+t−1 Es el producto de la probabilidad de alcanzar la edad “𝑥𝑥 + 𝑡𝑡 − 1” en estado de actividad y fallecer en estado de actividad durante el “𝑡𝑡 − é𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠” año (antes de alcanzar la edad de “𝑥𝑥 + 𝑡𝑡” años). 3) Probabilidad de que la cabeza de edad “𝑥𝑥”, inicialmente válida, muera en estado de actividad en los próximos “𝑛𝑛” años: 11 TEMA 2: Prestaciones y seguros de incapacidad C. VIDAL-MELIA n n aa aa (24.) nq x = t−1/qaa aa x = t−1Px ∙ q x+t−1 t=1 t=1 Es la suma de las probabilidades de alcanzar cada uno de los años asociados al período de valoración en estado de actividad y fallecer (a cada edad alcanzada) sin cambio de estado. 4) Probabilidad de que la cabeza de edad “𝑥𝑥”, inicialmente válida, se invalide durante el “𝑛𝑛 − é𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠” año: nx+n−1 laa x+n−1 nx+n−1 n−1/εx = = ∙ aa = aa n−1Px ∙ εx+n−1 (25.) laa x laa x lx+n−1 Es el producto de la probabilidad de alcanzar la edad “𝑥𝑥 + 𝑛𝑛 − 1” en estado de actividad e invalidarse durante el “𝑛𝑛 − é𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠” año (antes de alcanzar la edad de “𝑥𝑥 + 𝑛𝑛” años. 5) Probabilidad de que la cabeza de edad “𝑥𝑥”, inicialmente válida, se invalide en los próximos “𝑛𝑛” años: n n nεx = t−1/εx = t−1Pxaa ∙ εx+t−1 (26.) t=1 t=1 Es la suma de las probabilidades de alcanzar cada uno de los años asociados al período de valoración en estado de actividad e invalidarse (a cada edad alcanzada). 6) Probabilidad contraria de que la cabeza de edad “𝑥𝑥”, inicialmente válida, alcance la edad “𝑥𝑥 + 𝑛𝑛” en estado de actividad, 𝑛𝑛𝑃𝑃𝑥𝑥𝑎𝑎𝑎𝑎 , es: aa nq x n n aa aa 1− nPx = t−1/qx + t−1/εx t=1 t=1 nε x = aa nq x n n (27.) t−1Pxaa ∙ qaa aa x+t−1 + t−1Px ∙ εx+t−1 t=1 t=1 nε x = n t−1Pxaa ∙ (qaa x+t−1 + εx+t−1 ) t=1 es decir, la probabilidad de que la cabeza de edad “𝑥𝑥”, inicialmente activa, no alcance la edad “𝑥𝑥 + 𝑛𝑛” en estado de actividad, puede ser por haber fallecido en estado de actividad o por haberse invalidado antes de alcanzar dicha edad. 7) Probabilidad contraria de que la cabeza de edad “𝑥𝑥”, inicialmente válida, muera en estado de actividad durante el “n−é𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠” año, 𝑛𝑛−1/𝑞𝑞𝑥𝑥𝑎𝑎𝑎𝑎 , es: 1 − n−1/qaa x = aa n−1q x + nPxaa + nεx 12 TEMA 2: Prestaciones y seguros de incapacidad C. VIDAL-MELIA = aa n−1qx n−1 n (28.) t−1Pxaa ∙ qaa x+t−1 + t−1Pxaa ∙ εx+t−1 + nPxaa t=1 t=1 nε x que coincide con la suma de las probabilidades de que la cabeza de edad “𝑥𝑥” muera activa en los próximos “𝑛𝑛 − 1” años, más la de que alcance activa (viva) la edad “𝑥𝑥 + 𝑛𝑛”, más la de que se invalide en los próximos “𝑛𝑛” años. 8) Probabilidad contraria de que la cabeza de edad “𝑥𝑥”, inicialmente válida, muera en estado de actividad en los próximos “𝑛𝑛” años, 𝑛𝑛𝑞𝑞𝑥𝑥𝑎𝑎𝑎𝑎 , es: 1 − nqaa aa x = nPx + nεx = aa nq x n n (29.) aa 1 − t−1Px ∙ qx+t−1 = nPx + t−1Pxaa ∙ εx+t−1 aa aa t=1 t=1 nε x que coincide con la suma de las probabilidades de que la cabeza de edad “𝑥𝑥” siga activa (viva) a la edad “𝑥𝑥 + 𝑛𝑛”, más la de que se invalide en los próximos “𝑛𝑛” años. 9) Probabilidad contraria de que la cabeza de edad “𝑥𝑥”, inicialmente válida, se invalide durante el “𝑛𝑛 − é𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠” año, 𝑛𝑛−1/𝜀𝜀𝑥𝑥 , es: 1 − n−1/εx = n−1εx + nPxaa + nqaa x = aa nq x n−1/εx n−1 n (30.) 1 − n−1Pxaa ∙ εx+n−1 = t−1Px ∙ εx+t−1 + nPx + t−1Pxaa ∙ qaa aa aa x+t−1 t=1 t=1 n−1εx que coincide con la suma de las probabilidades de que la cabeza de edad “𝑥𝑥” se invalide en los próximos “𝑛𝑛 − 1” años, más la de que siga activa (viva) a la edad “𝑥𝑥 + 𝑛𝑛”, más la de que muera activa en los próximos “𝑛𝑛” años. 10) Probabilidad contraria de que la cabeza de edad “𝑥𝑥”, inicialmente válida, se invalide en los próximos “𝑛𝑛” años, 𝑛𝑛𝜀𝜀𝑥𝑥 , es: 1 − nεx = nPxaa + nqaa x = aa nq x n n (31.) 1− t−1Pxaa ∙ εx+t−1 = aa nPx + t−1Pxaa ∙ qaa x+t−1 t=1 t=1 nε x 13 TEMA 2: Prestaciones y seguros de incapacidad C. VIDAL-MELIA que coincide con la suma de las probabilidades de que la cabeza de edad “𝑥𝑥” siga activa (viva) a la edad “𝑥𝑥 + 𝑛𝑛”, más la de que muera activa en los próximos “𝑛𝑛” años. 11) Probabilidad de que la cabeza de edad “𝑥𝑥”, inicialmente activa, alcance la edad “𝑥𝑥 + 𝑛𝑛” en estado de invalidez puede ocurrir porque se mantenga en estado de actividad durante los próximos “𝑡𝑡 − 1” años, se invalide a la edad “𝑥𝑥 + 𝑡𝑡 − 1” y viva luego inválido el número de años que falten para completar los del intervalo. Como, además, todo esto puede ocurrir en cualquier año “𝑡𝑡” del intervalo, habrá que sumar para “𝑡𝑡” desde 1 hasta “𝑛𝑛”: ai n tPx /n Pxai = aa ai i t−1Px ∙ Px+t−1 ∙ n−tPx+t (32.) t=1 No hay que confundir /𝑛𝑛 𝑃𝑃𝑥𝑥𝑎𝑎𝑎𝑎 con 𝑛𝑛𝑃𝑃𝑥𝑥𝑎𝑎𝑎𝑎 , que es la probabilidad de que un individuo inicialmente activo a la edad x pase a ser inválido en el transcurso del n-ésimo año: ai nPx = aa n−1Px ai ∙ Px+n−1 (33.) La probabilidad contenida en la fórmula 32 expresa todos los caminos posibles para llegar a la edad x+n en el estado “i”, el desarrollo de la fórmula sería: 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑡𝑡 = 1; 0𝑃𝑃𝑥𝑥 ∙ 𝑃𝑃𝑥𝑥𝑎𝑎𝑎𝑎 ∙ 𝑛𝑛−1𝑃𝑃𝑥𝑥+1 = 𝑃𝑃𝑥𝑥𝑎𝑎𝑎𝑎 ∙ 𝑃𝑃𝑥𝑥+1 … … … ….∙ 𝑃𝑃𝑥𝑥+𝑛𝑛−1 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑖𝑖 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑡𝑡 = 2; 1𝑃𝑃𝑥𝑥 ∙ 𝑃𝑃𝑥𝑥+1 ∙ 𝑛𝑛−2𝑃𝑃𝑥𝑥+2 = 𝑃𝑃𝑥𝑥𝑎𝑎𝑎𝑎 ∙ 𝑃𝑃𝑥𝑥+1 ∙ 𝑃𝑃𝑥𝑥+2 … … … ….∙ 𝑃𝑃𝑥𝑥+𝑛𝑛−1 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑖𝑖 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑡𝑡 = 3; 2𝑃𝑃𝑥𝑥 ∙ 𝑃𝑃𝑥𝑥+2 ∙ 𝑛𝑛−3𝑃𝑃𝑥𝑥+3 = 𝑃𝑃𝑥𝑥𝑎𝑎𝑎𝑎 ∙ 𝑃𝑃𝑥𝑥+1 ∙ 𝑃𝑃𝑥𝑥+2 ∙ 𝑃𝑃𝑥𝑥+3 … … … ….∙ 𝑃𝑃𝑥𝑥+𝑛𝑛−1 … … … …. 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑖𝑖 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑖𝑖 𝑡𝑡 = 𝑛𝑛 − 1; 𝑛𝑛−2𝑃𝑃𝑥𝑥 ∙ 𝑃𝑃𝑥𝑥+𝑛𝑛−2 ∙ 𝑃𝑃𝑥𝑥+𝑛𝑛−1 = 𝑃𝑃𝑥𝑥𝑎𝑎𝑎𝑎 ∙ 𝑃𝑃𝑥𝑥+1 ∙ … ….∙ 𝑃𝑃𝑥𝑥+𝑛𝑛−3 ∙ 𝑃𝑃𝑥𝑥+𝑛𝑛−2 ∙ 𝑃𝑃𝑥𝑥+𝑛𝑛−1 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑡𝑡 = 𝑛𝑛; 𝑛𝑛−1𝑃𝑃𝑥𝑥 ∙ 𝑃𝑃𝑥𝑥+𝑛𝑛−1 ∙= 𝑃𝑃𝑥𝑥𝑎𝑎𝑎𝑎 ∙ 𝑃𝑃𝑥𝑥+1 ∙ … ….∙ 𝑃𝑃𝑥𝑥+𝑛𝑛−2 ∙ 𝑃𝑃𝑥𝑥+𝑛𝑛−1 12) Probabilidad de que la cabeza de edad “𝑥𝑥”, inicialmente activa, muera inválida en los próximos “𝑛𝑛” años /n qai x. Puede ocurrir porque se invalide en el “𝑡𝑡 − é𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠” año (𝑡𝑡 < 𝑛𝑛) y muera como inválida antes de alcanzar la edad “𝑥𝑥 + 𝑡𝑡”, o bien invalidándose en el “𝑡𝑡 − é𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠” año, alcanzando inválida la edad “𝑥𝑥 + 𝑡𝑡” y luego muriendo “𝑘𝑘” años después del “𝑡𝑡” (en alguno de los siguientes “𝑛𝑛 − 𝑡𝑡” años). Así, para el “𝑡𝑡 − é𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠” año se tiene: aa t−1Px ∙ qai ai i i i x+t−1 + Px+t−1 ∙ q x+t + 1/q x + ⋯ … + n−t−1/q x = n−t (34.) aa t−1Px ∙ qai x+t−1 + ai Px+t−1 ∙ k−1/qix+t k=1 y, ahora, sumando todos los términos que resultan de hacer en la anterior expresión 𝑡𝑡 = 1,2,... , 𝑛𝑛, se tiene: n n−t /n qai x = t−1Pxaa ∙ qai x+t−1 + ai Px+t−1 ∙ k−1/qix+t (35.) t=1 k=1 14 TEMA 2: Prestaciones y seguros de incapacidad C. VIDAL-MELIA Otra manera más sencilla de expresar la misma probabilidad (/n qai x ), dado que la probabilidad de que la cabeza de edad “𝑥𝑥”, inicialmente válida, se invalide en los próximos “𝑛𝑛” años ( nεx ) es la suma de las probabilidades de que la cabeza de edad “𝑥𝑥”, inicialmente activa, muera inválida en los próximos “𝑛𝑛” años (/n qaix ) más la suma de las probabilidades de que la cabeza de edad “𝑥𝑥”, inicialmente activa, alcance la edad “𝑥𝑥 + 𝑛𝑛” en estado de invalidez: /n Pxai +/n qai x = nεx (36.) Es inmediato obtener que la probabilidad de que la cabeza de edad “𝑥𝑥”, inicialmente activa, muera inválida en los próximos “𝑛𝑛” años: /n qai ai x = nεx − /n Px = ai n t−1/εx n tPx (37.) ai i /n qai aa aa x = t−1Px ∙ εx+t−1 − t−1Px ∙ Px+t−1 ∙ n−tPx+t t=1 t=1 nε x /n Pai x Es decir, la probabilidad de que la cabeza de edad “𝑥𝑥”, inicialmente activa, muera inválida en los próximos “𝑛𝑛” años (/𝑛𝑛 𝑞𝑞𝑥𝑥𝑎𝑎𝑎𝑎 ) es la diferencia entre las probabilidades de que la cabeza de “x” se invalide en los próximos “𝑛𝑛” años, y la probabilidad de que la cabeza de edad “𝑥𝑥”, inicialmente activa, alcance la edad “𝑥𝑥 + 𝑛𝑛” en estado de invalidez. 13) Probabilidad de que la cabeza de edad “𝑥𝑥”, inicialmente activa, muera inválida en el “𝑛𝑛 − é𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠” año ( n−1/qai x ):. Puede ocurrir bien porque permanezca en estado de actividad los “𝑛𝑛 − 1” primeros años y en el “𝑛𝑛 − é𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠” año se invalide y fallezca; o bien porque viva en estado de actividad hasta un determinado momento “𝑥𝑥 + 𝑘𝑘”, se invalide a la edad “𝑥𝑥 + 𝑘𝑘”, alcance vivo (e inválido) la edad “𝑥𝑥 + 𝑛𝑛 − 1”, y fallezca a la edad “𝑥𝑥 + 𝑛𝑛 − 1”; como, además, esto puede ocurrir para cualquier edad “𝑥𝑥 + 𝑘𝑘”, con k= 0,1,2,... , (𝑛𝑛 − 2), se tiene: n−2 ai n−1/q x = aa n−1Px ∙ qai aa ai i i x+n−1 + kPx ∙ Px+k ∙ n−k−2Px+k+1 ∙ q x+n−1 (38.) k=0 5.- RENTAS DE INVALIDEZ. Para la determinación de las rentas de invalidez podemos remitirnos a lo expuesto en el Cuadro General Resumen de Rentas del Tema 0, sin más que sustituir las probabilidades sobre una cabeza de la población general, por las específicas para las distintas posibilidades que se pueden presentar respecto a la invalidez. Así, por ejemplo: 1) Valor actual de una renta prepagable pagadera a la cabeza “𝑥𝑥”, inicialmente válida o activa, en tanto viva en ese estado: w−x−1 ä aa x = V t ∙ tPxaa = 1 + V1 ∙ Pxaa + V 2 ∙ 2Pxaa + ⋯.. (39.) t=0 2) Valor actual de una renta prepagable, temporal “𝑛𝑛” años, pagadera a la cabeza “𝑥𝑥” inicialmente inválida, mientras viva: 15 TEMA 2: Prestaciones y seguros de incapacidad C. VIDAL-MELIA n−1 ä ix:n = V t ∙ tPxi = 1 + V1 ∙ Pxi + V 2 ∙ 2Pxi + ⋯ + V n−1 ∙ n−1Pxi (40.) t=0 3) Valor actual de una renta pospagable, temporal “𝑛𝑛” años, pagadera a la cabeza “𝑥𝑥” inicialmente válida, mientras viva en estado de invalidez: ai n n tpx t ai i aai t ai aa x:n = V ∙/n px = V ∙ t−1px ∙ px+t−1 ∙ ä x+t:n+1−t t=1 t=1 = V1 ∙ pai i 2 aa ai i (41.) x ∙ ä x+1:n + V ∙ 1px ∙ px+1 ∙ ä x+2:n−1 + +⋯…………+ ai i ai i V n−1 ∙ n−2paa n aa x ∙ px+n−2 ∙ ä x+n−1:2 + V ∙ n−1px ∙ px+n−1 ∙ ä x+n:1 6.- SEGUROS DE INVALIDEZ. Para la determinación de los seguros de invalidez podemos remitirnos a lo expuesto en el Cuadro General Resumen de Seguros del Tema 0, sin más que sustituir las probabilidades sobre una cabeza de la población general, por las específicas para las distintas posibilidades que se pueden presentar respecto a la invalidez. Así, por ejemplo: 1) Valor actual de un capital unitario pagadero al invalidarse una cabeza válida de edad “x”: aa lx+t−1 nx+t−1 ∙ aa w−x w−x w−x laa x lx+t−1 nx+t−1 (42.) Aai t t x = V ∙ t−1/εx = V ∙ aa = V t ∙ aa t−1Px ∙ εx+t−1 lx t=1 t=1 t=1 2) Valor actual de un capital unitario pagadero si fallece una cabeza inválida de edad “x” en los próximos “n” años: n n Aix:n = V t ∙ t−1/qix = V t ∙ ( t−1Pxi − tPxi ) (43.) t=1 t=1 Dado que: n n i i /n qix = t−1/qix = ( t−1Px − tPx ) (44.) t=1 t=1 7.- RETORNO A LA ACTIVIDAD O VALIDEZ. Una ampliación del análisis de la invalidez consiste en la posibilidad de que ésta sea reversible. Para ello habrá que introducir las siguientes probabilidades: rxia : Probabilidad de que una cabeza inválida de edad “𝑥𝑥” retorne a la validez antes de cumplir la edad “𝑥𝑥 + 1”. 16 TEMA 2: Prestaciones y seguros de incapacidad C. VIDAL-MELIA qia x : Probabilidad de que una cabeza inválida de edad “𝑥𝑥” retorne a la validez y fallezca antes de cumplir la edad “𝑥𝑥 + 1”. Pxia : Probabilidad de que una cabeza inválida de edad “𝑥𝑥” retorne a la validez y permanezca viva hasta cumplir la edad “𝑥𝑥 + 1”. En este caso se cumple: rxia = Pxia + qia x (45.) Sin embargo, habrá que modificar, respecto del estudio general, las siguientes relaciones: Pia ia x +qx (46.) Pxi + qix + r ia x =1 pudiendo llegar, de forma análoga al caso general, a las siguientes relaciones expresadas a continuación. Si se admite la hipótesis de distribución uniforme de las invalideces, se tendrá que la probabilidad de que una cabeza activa de edad “𝑥𝑥” retorne a la actividad y muera (en actividad) antes de cumplir la edad “𝑥𝑥 + 1” 1 ia a qia x = P S1 ∩ S2 = P S1 ∙ P S2 /S1 = ∙ r ∙ qx (47.) 2 x donde: 𝑆𝑆1 : Suceso de que retorne a la actividad a lo largo del año. 𝑆𝑆2 : Suceso de que fallezca esa persona a lo largo del año (en estado de actividad). 1 : porque los sucesos sólo se pueden producir en ese orden: retornar a la actividad y fallecer. 2 Finalmente, dado que: Pxa + qax = 1 y Pxia = rxia − qia x , entonces: qax 1 + Pxa Pxia = rxia ∙ 1 − = rxia ∙ (48.) 2 2 8.- LA INCAPACIDAD Y SU VNCULACIÓN CON LOS PLANES DE PREVISIÓN PRIVADOS. En la mayoría de los planes de previsión privados es usual que se incorpore la contingencia de incapacidad, tanto en los de aportación definida como en los de prestación definida. En los de aportación definida, la cuantía se corresponderá con los derechos consolidados acumulados en la fecha de acaecimiento de la contingencia de invalidez. Al contrario de lo que ocurre en el caso de la jubilación, no es del todo extraño que se asegure un capital (prestación definida) en caso de incapacidad del partícipe. Esto se debe a que su riesgo está suficientemente contrastado. Esta contingencia, a su vez, puede dar lugar a que se pueda cobrar como una renta de supervivencia o como renta financiera, con revalorización o no, con reversión o no, etc. 17 TEMA 2: Prestaciones y seguros de incapacidad C. VIDAL-MELIA 18 TEMA 2: Prestaciones y seguros de incapacidad C. VIDAL-MELIA 9.- BIBLIOGRAFÍA. Devesa, J. E. y Vidal, C. (1999): "Apuntes del curso de Doctorado: Planes de previsión públicos y privados" Mímeo. Universidad de Valencia. Garvey, A. M.; M. Ventura-Marco and C. Vidal-Meliá (2021): Does the Pension System’s Income Statement Really Matter? A Proposal for An NDC Scheme with Disability and Minimum Pension Benefits. Economic Research-Ekonomska Istraživanj 34:1, 292- 310. https:/doi:10.1080/1331677X.2020.1782246 Gil, J.; A. Heras y J. Vilar (1999): Matemática de los Seguros de Vida. Mapfre, Madrid. http://www.clasespasivas.sgpg.pap.meh.es/ http://www.mitramiss.gob.es/ Instituto de Actuarios Españoles (1991): “Análisis biométrico de la pensión de invalidez”. Actuarios, Nº 5, III Trimestre. Marco, F. J. (1991): “Apuntes de Introducción a la Matemática Actuarial”. Mímeo, Universidad Complutense. Nieto De Alba, U. y A. Vegas (1993): Matemática Actuarial. Mapfre. Madrid. Office of the Superintendent of Financial Institutions – Office of the Chief Actuary (OSFIC, 2015): "Canada Pension Plan Retirement, Survivor and Disability Beneficiaries Mortality Study." Actuarial study, No. 16. Ottawa. Pérez-Salamero, J.M., M. Ventura-Marco and C. Vidal-Meliá (2017): “A “Swedish” actuarial balance for a notional defined contribution pension scheme with disability and minimum pension benefits”, International Social Security Review Vol 70 (3), 79-104. Pitacco, E. (2014): Health Insurance. Basic Actuarial Models. EAA Series. Heidelberg. Pitacco, E. (2019): "Heterogeneity in mortality: a survey with an actuarial focus." European Actuarial Journal. https://doi.org/10.1007/s13385-019-00207-z. Plamondon, P., A. Drounin, G. Binet, M. Cichon, W. McGillivray, M. Bédard, and H. Pérez-Montas. (2002): Actuarial Practice in Social Security. Quantitative Methods in Social Protection Series. Geneva: International Social Security Association and International Labour Office. Pociello, E.; F. Sarrasí y J. Varea (1997): "Cobertura del riesgo de invalidez permanente" en Matemática de las Operaciones Financieras 97. Editores: Alegre, A.; A. Biayna y A. Rodriguez, Universidad de Barcelona. Society of Actuaries (SOA, 2014): "RP-2014 Mortality Table Report" Released in October 2014. Thullen, P. (1995): Técnicas Actuariales de la Seguridad Social. Regímenes de las pensiones de invalidez, de vejez y de sobrevivientes. Informes O.I.T. Ministerio de Trabajo y Seguridad Social, Madrid. Ventura-Marco, M. and C. Vidal-Meliá, (2014): “An Actuarial Balance Sheet Model for Defined Benefit Pay-As-You-Go Pension Systems with Disability and Retirement Contingencies”, Astin Bulletin, 44 (2), 367-415. Ventura-Marco, M. and C. Vidal-Meliá, (2016): “Integrating retirement and permanent disability in NDC pension schemes”, Applied Economics, 48:12, 1081-1102. Venturi y Ministerio de Trabajo y Seguridad Social (1994): Los Fundamentos Científicos de la Seguridad Social. Colección Seguridad Social, Núm. 12. Madrid. 19 TEMA 2: Prestaciones y seguros de incapacidad C. VIDAL-MELIA 10.- PRÁCTICAS. 1.-Obténgase la probabilidad de que un individuo activo de edad 30 años se invalide en los próximos 35 años. Se parte de: n nx+t−1 laa x+t−1 nx+t−1 aa /n εx = t−1/εx ; t−1/εx = aa = aa ∙ aa = t−1Px ∙ εx+t−1 lx lx lx+t−1 t=1 Es inmediato entonces obtener: 35 35 n30+t−1 /35 ε30 = t−1/ε30 = = 0,284446 laa 30 t=1 t=1 20 TEMA 2: Prestaciones y seguros de incapacidad C. VIDAL-MELIA 2.-Obténgase la probabilidad de que un individuo activo de edad 30 años alcance vivo la edad 65 en estado de invalidez. Se nos está pidiendo la probabilidad de que la cabeza de edad “𝑥𝑥”, inicialmente activa, alcance la edad “𝑥𝑥 + 𝑛𝑛” en estado de invalidez. Puede ocurrir porque se mantenga en estado de actividad durante los próximos “𝑡𝑡 − 1” años, se invalide a la edad “𝑥𝑥 + 𝑡𝑡 − 1” y viva luego inválido el número de años que falten para completar los del intervalo. Como, además, todo esto puede ocurrir en cualquier año “𝑡𝑡” del intervalo, habrá que sumar para “𝑡𝑡” desde 1 hasta “𝑛𝑛”: ai n tPx /n Pxai = aa ai i t−1Px ∙ Px+t−1 ∙ n−tPx+t t=1 No hay que confundir /𝑛𝑛 𝑃𝑃𝑥𝑥𝑎𝑎𝑎𝑎 con 𝑡𝑡𝑃𝑃𝑥𝑥𝑎𝑎𝑎𝑎 , que es la probabilidad de que un individuo inicialmente activo a la edad x pase a ser dependiente en el transcurso del n-ésimo año): ai aa ai tPx = t−1Px ∙ Px+t−1 Entonces no es muy complicado obtener: 35 ai aa ai i /35 P30 = t−1P30 ∙ P30+t−1 ∙ 35−tP30+t t=1 = 35 laa 30+t−1 ai li65 aa ∙ P30+t−1 ∙ = 0,218633789 l30 li30+t t=1 21 TEMA 2: Prestaciones y seguros de incapacidad C. VIDAL-MELIA 3.-Obténgase la probabilidad de que un individuo activo de edad 30 años, muera inválido en el año 35. Se nos está pidiendo la probabilidad de que la cabeza de edad “𝑥𝑥”, inicialmente activa, muera inválida en el “𝑛𝑛 − é𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠” año ( n−1/qai x ). Puede ocurrir bien porque permanezca en estado de actividad los “𝑛𝑛 − 1” primeros años y en el “𝑛𝑛 − é𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠” año se invalide y fallezca; o bien porque viva en estado de actividad hasta un determinado momento “𝑥𝑥 + 𝑘𝑘”, se invalide a la edad “𝑥𝑥 + 𝑘𝑘”, alcance vivo (e inválido) la edad “𝑥𝑥 + 𝑛𝑛 − 1”, y fallezca a la edad “𝑥𝑥 + 𝑛𝑛 − 1”; como, además, esto puede ocurrir para cualquier edad “𝑥𝑥 + 𝑘𝑘”, con 𝑘𝑘 = 0,1,2,... , (𝑛𝑛 − 2), tendremos: n−2 ai i ai n−1/q x = aa n−1Px ∙ qai x+n−1 + kPxaa ∙ Px+k ∙ n−k−2Px+k+1 ∙ qix+n−1 k=0 Entonces: 33 ai aa ai i 34/q 30 = 34P30 ∙ qai aa i 64 + kP30 ∙ P30+k ∙ 33−kP30+k+1 ∙ q 64 k=0 = 33 aa laa 64 lk+30 ai li64 ∙ qai 64 + aa ∙ P30+k ∙ ∙ qi64 = 0,00644118 laa 30 l li31+k k=0 30 22 TEMA 2: Prestaciones y seguros de incapacidad C. VIDAL-MELIA 4.-Hállese la prima única que tendría que pagar un individuo activo de edad 30 años para cobrar una renta de 100.000 euros, constante, pospagable, anual, a percibir hasta que cumpla como máximo los 65 años, y mientras viva en estado de invalidez. Se parte de la probabilidad de que la cabeza de edad “𝑥𝑥”, inicialmente activa, alcance la edad “𝑥𝑥 + 𝑛𝑛” en estado de invalidez. Puede ocurrir porque se mantenga en estado de actividad durante los próximos “𝑛𝑛 − 1” años, se invalide a la edad “𝑥𝑥 + 𝑛𝑛 − 1” y viva luego inválido el número de años que falten para completar los del intervalo. Como, además, todo esto puede ocurrir en cualquier año “𝑡𝑡” del intervalo, habrá que sumar para “𝑡𝑡” desde 1 hasta “𝑛𝑛”: ai n tPx /n Pxai = aa ai i t−1Px ∙ Px+t−1 ∙ n−tPx+t t=1 Y de ahí se puede obtener el valor actual de una renta pospagable, temporal “𝑛𝑛” años, pagadera a la cabeza “𝑥𝑥” inicialmente válida, mientras viva en estado de invalidez. 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑡𝑡𝑃𝑃𝑥𝑥 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑥𝑥:𝑛𝑛 = 𝑉𝑉 𝑡𝑡 ∙/𝑛𝑛 𝑃𝑃𝑥𝑥𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑉𝑉 𝑡𝑡 ∙ 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑖𝑖 𝑡𝑡−1𝑃𝑃𝑥𝑥 ∙ 𝑃𝑃𝑥𝑥+𝑡𝑡−1 ∙ 𝑎𝑎̈ 𝑥𝑥+𝑡𝑡:𝑛𝑛+1−𝑡𝑡 𝑡𝑡=1 𝑡𝑡=1 = 𝑖𝑖 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑖𝑖 𝑉𝑉 1 ∙ 𝑃𝑃𝑥𝑥𝑎𝑎𝑎𝑎 ∙ 𝑎𝑎̈ 𝑥𝑥+1:𝑛𝑛 + 𝑉𝑉 2 ∙ 1𝑃𝑃𝑥𝑥𝑎𝑎𝑎𝑎 ∙ 𝑃𝑃𝑥𝑥+1 ∙ 𝑎𝑎̈ 𝑥𝑥+2:𝑛𝑛−1 + +⋯…………+ 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑖𝑖 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑖𝑖 𝑉𝑉 𝑛𝑛−1 ∙ 𝑛𝑛−2𝑃𝑃𝑥𝑥𝑎𝑎𝑎𝑎 ∙ 𝑃𝑃𝑥𝑥+𝑛𝑛−2 ∙ 𝑎𝑎̈ 𝑥𝑥+𝑛𝑛−1:2 + 𝑉𝑉 𝑛𝑛 ∙ 𝑛𝑛−1𝑃𝑃𝑥𝑥𝑎𝑎𝑎𝑎 ∙ 𝑃𝑃𝑥𝑥+𝑛𝑛−1 ∙ 𝑎𝑎̈ 𝑥𝑥+𝑛𝑛:1 Entonces: ai 35 tP30 −t ai i π0 = 100.000 ∙ aai aa 30:35 = 1,04 ∙ t−1P30 ∙ P30+t−1 ∙ ä 30+t:36−t t=1 = 35 i −t laa 30+t−1 ai i N30+t − N65 1,04 ∙ ∙ P30+t−1 ∙ laa 30 Di30+t t=1 = 100.000 ∙ 0,96024773 = 96.024,8 € 23 TEMA 2: Prestaciones y seguros de incapacidad C. VIDAL-MELIA a) Provisión a constituir por el asegurador si transcurridos 5 años el asegurado sigue activo o está ya invalido. Habría que calcular el importe de la prima única que se cobraría en cada supuesto: ai 30 tP35 −t ai i πa5 = Ra5 = 100.000 ∙ aai aa 35:30 = 1,04 ∙ t−1P35 ∙ P35+t−1 ∙ ä 35+t:31−t t=1 = 30 laa 35+t−1 ai i N35+t i − N65 1,04−t ∙ ∙ P35+t−1 ∙ laa 35 Di35+t t=1 = 100.000 ∙ 1,091074271 = 109.107,43 € 13,41115027 πi5 = Ri5 = 100.000 ∙ ai35:30 = 1.341.115,03 € b) Provisión a constituir por el asegurador si transcurridos 25 años el asegurado sigue activo o está ya invalido. Habría que calcular el importe de la prima única que se cobraría en cada supuesto: 𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝜋𝜋25 = 𝑅𝑅25 = 100.000 ∙ 𝑎𝑎55:10 = 100.000 ∙ 0.774524174 = 77.452,42 € 7,11501 𝑖𝑖 𝜋𝜋25 𝑖𝑖 = 𝑅𝑅25 = 100.000 ∙ 𝑎𝑎 𝑖𝑖 55:10 = 711.500,94€ c) Provisión a constituir por el asegurador si transcurridos 30 años el asegurado sigue activo o está ya invalido. Habría que calcular el importe de la prima única que se cobraría en cada supuesto: πa30 = Ra30 = 100.000 ∙ aai 60:5 = 100.000 ∙ 0,276782051 = 27.678,21 € 4,10674 πi30 = Ri30 = 100.000 ∙ a i 60:5 = 410.673,98 € Sería conveniente realizar dos gráficos con la evolución de la provisión a constituir por edad para los dos supuestos: actividad e invalidez, desde el inicio hasta el final de la operación. 24 TEMA 2: Prestaciones y seguros de incapacidad C. VIDAL-MELIA Provisión Activo 140.000 120.000 100.000 80.000 60.000 40.000 20.000 0 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60 63 EDAD Provisión Inválido 1.600.000 1.400.000 1.200.000 1.000.000 800.000 600.000 400.000 200.000 0 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60 63 EDAD 25 TEMA 2: Prestaciones y seguros de incapacidad C. VIDAL-MELIA 5.-Igual que el ejercicio 4), pero suponiendo que la prima es temporal, que se paga mientras no se invalide, y como máximo durante los próximos 35 años. π0:35 ∙ ä aa 30:35 = π0 = 96.024,8 € π0 96.024,8 96.024,8 π0:35 = aa = aa aa = = 5.426,32 € ä 30:35 N30 − N65 17,6961 Daa 30 a) Provisión a constituir por el asegurador si transcurridos 5 años el asegurado sigue activo o está ya invalido. Habría que calcular el importe de la prima única que se cobraría en cada supuesto: obligaciones futuras del asegurador 100.000 ∙ a ai 35:30 − aa aa N35 − N65 π0:35 ∙ ä aa 35:30 = π0:35 ∙ Daa 35 obligaciones futuras del asegurado = 109.107,43 − 87.412,47 = 21.694,96 € = Ra5 13,41115027 πi5 = Ri5 = 100.000 ∙ ai35:30 = 1.341.115,03 € b) Provisión a constituir por el asegurador si transcurridos 25 años el asegurado sigue activo o está ya invalido. Habría que calcular el importe de la prima única que se cobraría en este supuesto: 100.000 ∙ aai 55:10 − π0:35 ∙ ä aa 55:10 = 77.452,42 − 39.984,89 = 37.517,53€ = Ra25 7,11501 πi25 = Ri25 = 100.000 ∙ ai55:10 = 711.500,94€ 26 TEMA 2: Prestaciones y seguros de incapacidad C. VIDAL-MELIA c) Provisión a constituir por el asegurador si transcurridos 30 años el asegurado sigue activo o está ya invalido. Habría que calcular el importe de la prima única que se cobraría en este supuesto: 100.000 ∙ aai 60:5 − π0:35 ∙ ä aa 60:5 = 27.678,21 − 23.306,55 = 4.375,65€ = Ra30 4,10674 πi30 = Ri30 = 100.000 ∙ a i 60:5 = 410.673,98€ 6-Obténgase la prima única que tendría que pagar un individuo activo de edad 30 años para recibir un capital único de 250.000 de euros si se invalida en los próximos 35 años. Se parte de: n nx+t−1 laa x+t−1 nx+t−1 aa /n εx = t−1/εx ; t−1/εx = aa = aa ∙ aa = t−1Px ∙ εx+t−1 lx lx lx+t−1 t=1 Entonces: Aai 30:35 35 35 n30+t−1 π0 = 250.000 ∙ V t ∙ t−1/ε30 = 250.000 ∙ 1,04−t ∙ laa 30 t=1 t=1 = 250.000 ∙ 0,112971352 = 28.242,84 € a) Provisión a constituir por el asegurador si transcurridos 30 años el asegurado sigue activo o está ya invalido. Aai 60:5 5 5 n60+t−1 Ra30 = π30 = 250.000 ∙ Vt ∙ t−1/ε60 = 250.000 ∙ 1,04−t ∙ laa 60 t=1 t=1 250.000,00 ∙ 0,093238852 = 23.309,71 € Ri30 = 0 27 TEMA 2: Prestaciones y seguros de incapacidad C. VIDAL-MELIA 7.-Obténgase la prima única que tendría que pagar un individuo inválido de edad 30 años para que sus beneficiarios reciban un capital único de 40.000 euros si fallece en los próximos 35 años. Se parte de: n n lix+t−1 − lix+t /n qix = t−1/qix = lix t=1 t=1 Entonces: Ai30:35 35 35 li30+t−1 − li30+t π0 = 40.000 ∙ V t ∙ t−1/qi30 = 40.000 ∙ 1,04 −t ∙ li30 t=1 t=1 = 40.000 ∙ 0,3070408902 = 12.296,36 € a) Provisión a constituir por el asegurador si transcurridos 7 años el asegurado sigue inválido o ya ha fallecido. Ai37:28 28 28 li37+t−1 − li37+t Ri7 i = π7 = 40.000 ∙ V ∙ t−1/q37 = 40.000 ∙ 1,04−t ∙ t li37 t=1 t=1 = 40.000 ∙ 0,294036272 = 11.761,45 € Si ha fallecido el seguro se ha extinguido. 28 TEMA 2: Prestaciones y seguros de incapacidad C. VIDAL-MELIA 8.-Igual que el ejercicio 7), pero suponiendo que la prima es temporal, que se paga mientras no fallezca, y como máximo durante los próximos 10 años. Ni30 −Ni40 Di30 πi0:10 ∙ ä i30:10 = π0 = 40.000 ∙ Ai30:35 = 12.296,36 € 12.296,36 πi0:10 = = 1.583,44 € 7,76559 a) Provisión a constituir por el asegurador si transcurridos 7 años el asegurado sigue inválido (se considera que la prima que vence en ese momento no está liquidada) o ya ha fallecido. π7 28 li37+t−1 − li37+t Ri7 = 40.000 ∙ 1,04−t ∙ i − πi0:10 ∙ ä i37:3 l37 t=1 = 40.000 ∙ 0,294036272 − 2,830251479 ∙ 1.583,44 € = 11.761,45 − 4.481,54 = 7.279,91 € Si ha fallecido el seguro se ha extinguido. 29 TEMA 2: Prestaciones y seguros de incapacidad C. VIDAL-MELIA Tabla de mortalidad e invalidez (PEM 82, SS 90, EVK 80) 0.04 = i a a aa aa aa i i x qx Px lx qx Px Εx dx aa nx i Px i qx l i x q ai x P ai x x Di x Ni x ä x:65-x a x:65-x 18 0.000843 0.999157 1,000,000 0.000841 0.998913 0.0002460 841 246 0.98000 0.02000 ######## 0.00000246 0.000244 18 493,628 8,030,949 16.26923 15.26923 19 0.000946 0.999054 998,913 0.000944 0.998782 0.0002741 943 274 0.98000 0.02000 980,000 0.00000274 0.000271 19 465,150 7,537,321 16.20408 15.20408 20 0.001034 0.998966 997,697 0.001031 0.998664 0.0003051 1,029 304 0.98000 0.02000 960,400 0.00000305 0.000302 20 438,314 7,072,172 16.13494 15.13494 21 0.001098 0.998902 996,363 0.001094 0.998566 0.0003397 1,090 338 0.98000 0.02000 941,192 0.00000340 0.000336 21 413,027 6,633,858 16.06157 15.06157 22 0.001131 0.998869 994,934 0.001127 0.998495 0.0003781 1,121 376 0.98000 0.02000 922,368 0.00000378 0.000374 22 389,198 6,220,831 15.98371 14.98371 23 0.001127 0.998873 993,437 0.001123 0.998456 0.0004209 1,115 418 0.98000 0.02000 903,921 0.00000421 0.000417 23 366,744 5,831,633 15.90108 14.90108 24 0.001089 0.998911 991,903 0.001084 0.998447 0.0004688 1,076 465 0.98000 0.02000 885,842 0.00000469 0.000464 24 345,586 5,464,888 15.81339 14.81339 25 0.001063 0.998937 990,363 0.001057 0.998420 0.0005223 1,047 517 0.98000 0.02000 868,126 0.00000522 0.000517 25 325,648 5,119,302 15.72033 14.72033 26 0.001045 0.998955 988,798 0.001039 0.998378 0.0005823 1,028 576 0.98000 0.02000 850,763 0.00000582 0.000576 26 306,861 4,793,654 15.62158 14.62158 27 0.001039 0.998961 987,195 0.001033 0.998318 0.0006497 1,019 641 0.98000 0.02000 833,748 0.00000650 0.000643 27 289,158 4,486,793 15.51678 14.51678 28 0.001044 0.998956 985,534 0.001037 0.998237 0.0007256 1,022 715 0.98000 0.02000 817,073 0.00000726 0.000718 28 272,475 4,197,635 15.40556 14.40556 29 0.001063 0.998937 983,797 0.001055 0.998134 0.0008110 1,038 798 0.98000 0.02000 800,731 0.00000811 0.000803 29 256,756 3,925,160 15.28753 14.28753 30 0.001093 0.998907 981,961 0.001084 0.998009 0.0009075 1,064 891 0.98000 0.02000 784,717 0.00000908 0.000898 30 241,943 3,668,404 15.16228 14.16228 31 0.001138 0.998862 980,006 0.001128 0.997856 0.0010166 1,105 996 0.98000 0.02000 769,022 0.00001017 0.001006 31 227,985 3,426,461 15.02936 14.02936 32 0.001194 0.998806 977,905 0.001182 0.997677 0.0011402 1,156 1,115 0.98000 0.02000 753,642 0.00001140 0.001129 32 214,832 3,198,477 14.88830 13.88830 33 0.001265 0.998735 975,633 0.001252 0.997468 0.0012804 1,222 1,249 0.98000 0.02000 738,569 0.00001280 0.001268 33 202,437 2,983,645 14.73860 13.73860 34 0.001351 0.998649 973,163 0.001336 0.997224 0.0014398 1,300 1,401 0.98000 0.02000 723,798 0.00001440 0.001425 34 190,758 2,781,207 14.57974 13.57974 35 0.001452 0.998548 970,461 0.001436 0.996943 0.0016212 1,394 1,573 0.98000 0.02000 709,322 0.00001621 0.001605 35 179,753 2,590,449 14.41115 13.41115 36 0.001570 0.998430 967,494 0.001552 0.996620 0.0018280 1,501 1,769 0.98000 0.02000 695,135 0.00001828 0.001810 36 169,383 2,410,696 14.23224 13.23224 37 0.001705 0.998295 964,224 0.001684 0.996251 0.0020643 1,624 1,990 0.98000 0.02000 681,233 0.00002064 0.002044 37 159,611 2,241,313 14.04238 13.04238 38 0.001858 0.998142 960,610 0.001835 0.995830 0.0023346 1,763 2,243 0.98000 0.02000 667,608 0.00002335 0.002311 38 150,402 2,081,703 13.84089 12.84089 39 0.002032 0.997968 956,604 0.002005 0.995351 0.0026443 1,918 2,530 0.98000 0.02000 654,256 0.00002644 0.002618 39 141,725 1,931,300 13.62707 12.62707 40 0.002224 0.997776 952,156 0.002194 0.994807 0.0029999 2,089 2,856 0.98000 0.02000 641,171 0.00003000 0.002970 40 133,549 1,789,575 13.40015 12.40015 41 0.002440 0.997560 947,211 0.002406 0.994186 0.0034088 2,279 3,229 0.97990 0.02010 628,347 0.00003426 0.003375 41 125,844 1,656,026 13.15935 12.15935 42 0.002677 0.997323 941,704 0.002638 0.993483 0.0038798 2,484 3,654 0.97980 0.02020 615,718 0.00003919 0.003841 42 118,572 1,530,182 12.90511 11.90511 43 0.002940 0.997060 935,566 0.002895 0.992682 0.0044233 2,708 4,138 0.97970 0.02030 603,280 0.00004490 0.004378 43 111,708 1,411,610 12.63658 11.63658 44 0.003229 0.996771 928,720 0.003178 0.991771 0.0050514 2,951 4,691 0.97960 0.02040 591,033 0.00005152 0.005000 44 105,231 1,299,902 12.35280 11.35280 45 0.003546 0.996454 921,077 0.003487 0.990699 0.0058140 3,211 5,355 0.97950 0.02050 578,976 0.00005959 0.005754 45 99,120 1,194,671 12.05279 11.05279 46 0.003896 0.996104 912,511 0.003803 0.989439 0.0067580 3,471 6,167 0.97260 0.02740 567,107 0.00009258 0.006665 46 93,354 1,095,551 11.73548 10.73548 47 0.004278 0.995722 902,873 0.004196 0.988001 0.0078030 3,788 7,045 0.97900 0.02100 551,569 0.00008193 0.007721 47 87,304 1,002,197 11.47944 10.47944 48 0.004694 0.995306 892,040 0.004599 0.986455 0.0089460 4,103 7,980 0.97871 0.02129 539,986 0.00009523 0.008851 48 82,183 914,893 11.13239 10.13239 49 0.005151 0.994849 879,957 0.005041 0.984772 0.0101870 4,436 8,964 0.97840 0.02160 528,489 0.00011002 0.010077 49 77,340 832,710 10.76692 9.76692 50 0.005651 0.994349 866,557 0.005524 0.982958 0.0115180 4,787 9,981 0.97806 0.02194 517,074 0.00012635 0.011392 50 72,759 755,371 10.38184 9.38184 51 0.006193 0.993807 851,789 0.006049 0.981019 0.0129320 5,152 11,015 0.97770 0.02230 505,729 0.00014419 0.012788 51 68,425 682,612 9.97599 8.97599 52 0.006788 0.993212 835,621 0.006625 0.978958 0.0144170 5,536 12,047 0.97731 0.02269 494,452 0.00016356 0.014253 52 64,327 614,186 9.54795 8.54795 53 0.007437 0.992563 818,038 0.007253 0.976790 0.0159570 5,933 13,053 0.97690 0.02310 483,233 0.00018430 0.015773 53 60,449 549,860 9.09626 8.09626 54 0.008144 0.991856 799,052 0.007938 0.974529 0.0175330 6,343 14,010 0.97646 0.02354 472,070 0.00020636 0.017327 54 56,781 489,411 8.61921 7.61921 55 0.008920 0.991080 778,699 0.008690 0.972186 0.0191240 6,767 14,892 0.97600 0.02400 460,957 0.00022949 0.018895 55 53,312 432,629 8.11501 7.11501 56 0.009763 0.990237 757,040 0.009509 0.969787 0.0207040 7,199 15,674 0.97551 0.02449 449,894 0.00025352 0.020450 56 50,032 379,317 7.58157 6.58157 57 0.010687 0.989313 734,167 0.010409 0.967347 0.0222440 7,642 16,331 0.97500 0.02500 438,876 0.00027805 0.021966 57 46,929 329,286 7.01667 6.01667 58 0.011696 0.988304 710,195 0.011394 0.964892 0.0237140 8,092 16,842 0.97446 0.02554 427,905 0.00030283 0.023411 58 43,996 282,357 6.41778 5.41778 59 0.012802 0.987198 685,261 0.012475 0.962443 0.0250820 8,548 17,188 0.97390 0.02610 416,976 0.00032732 0.024755 59 41,223 238,361 5.78217 4.78217 60 0.014013 0.985987 659,525 0.013680 0.961361 0.0249590 9,022 16,461 0.97331 0.02669 406,093 0.00033308 0.024626 60 38,603 197,137 5.10674 4.10674 61 0.015338 0.984662 634,042 0.015005 0.960555 0.0244400 9,514 15,496 0.97270 0.02730 395,254 0.00033361 0.024106 61 36,128 158,534 4.38813 3.38813 62 0.016794 0.983206 609,032 0.016471 0.960413 0.0231160 10,031 14,078 0.97206 0.02794 384,464 0.00032293 0.022793 62 33,790 122,406 3.62255 2.62255 63 0.018392 0.981608 584,922 0.018092 0.960935 0.0209730 10,582 12,268 0.97140 0.02860 373,722 0.00029991 0.020673 63 31,583 88,616 2.80585 1.80585 64 0.020147 0.979853 562,072 0.019883 0.962072 0.0180450 11,176 10,143 0.97071 0.02929 363,033 0.00026427 0.017781 64 29,499 57,033 1.93338 0.93338 65 0.022078 0.977922 540,754 0.022078 0.977922 0 11,939 0 0 0 352,400 0 0 65 27,534 27,534 1.00000 0.00000 qax → qx (PEM82) pax → px (PEM82) εx → S.S. 90 qix → EVK 80 pix → EVK 80 qaix = 0,5 εx qix (17.) paix = 0,5 εx (1 + pix) (18.) qaax = qax - qaix (20.) paax = 1 - qaax - εx (1.) daax = qaax laax (7.) nx = εx laax (6.) laax+1 = laax - daax – nx (9.) lix+1 = pix lix pax + qax = paa ai aa ai aa aa x + px + q x + q x = px + q x + εx 30 TEMA 1: Prestaciones y seguros de supervivencia C. VIDAL-MELIA PRESTACIONES Y SEGUROS DE SALUD Y DEPENDENCIA CURSO ACADÉMICO 2024-2025 3 de noviembre de 2024 TEMA 1: PRESTACIONES Y SEGUROS DE MUERTE Y SUPERVIVENCIA (VIUDEDAD, ORFANDAD Y FAVOR FAMILIAR) Profesor: Carlos Vidal-Meliá https://cvidal.blogs.uv.es/ 1 TEMA 1: Prestaciones y seguros de supervivencia C. VIDAL-MELIA TEMA 1. Prestaciones y seguros de supervivencia (viudedad, orfandad y favor familiar) SUMARIO 1.- DEFINICIÓN Y ANÁLISIS DESDE EL PUNTO DE VISTA PÚBLICO. 2.- EL CASO PARTICULAR DE LA SEGURIDAD SOCIAL EN ESPAÑA. 2.1.- VIUDEDAD. 2.2.- ORFANDAD. 2.3.- FAVOR FAMILIAR. 3.- RENTAS DE SUPERVIVENCIA. 3.1.- EL CASO GENERAL. 3.2.- RENTAS DE SUPERVIVENCIA APLICADAS A GRUPOS. 4.- PRESTACIONES POR MUERTE Y SUPERVIVENCIA. 4.1.- VIUDEDAD. 4.2.- ORFANDAD. 4.3.- FAVOR FAMILIAR. 5.- SEGUROS DE SUPERVIVENCIA. 6.- LAS PRESTACIONES DE SUPERVIVENCIA Y SU VINCULACIÓN CON LOS PLANES DE PREVISIÓN PRIVADOS. 7.- BIBLIOGRAFÍA. 8.- PRÁCTICAS. 2 TEMA 1: Prestaciones y seguros de supervivencia C. VIDAL-MELIA 1.- DEFINICIÓN Y ANÁLISIS DESDE EL PUNTO DE VISTA PÚBLICO. TEMA AUXILIAR 3.- RENTAS DE SUPERVIVENCIA. Reciben este nombre aquéllas cuyo pago, a una o varias personas, está ligado al fallecimiento de otra u otras, mientras aquélla o aquéllas sobrevivan. 3.1.- CASO GENERAL. El caso general está asociado a tantos de mortalidad temporales. Veamos, en primer lugar, el valor actual de la renta vitalicia unitaria, pospagable, pagade