Oulun Yliopisto: Virtaustekniikka 477052A Luentomoniste PDF

477052A Virtaustekniikka Luentomoniste Kaisu Ainassaari, Virpi Väisänen, Tiina Pääkkönen, Esa Muurinen Ympäristö- ja kemiantekniikka Oulun yliopisto 2025 ...

477052A Virtaustekniikka Luentomoniste Kaisu Ainassaari, Virpi Väisänen, Tiina Pääkkönen, Esa Muurinen Ympäristö- ja kemiantekniikka Oulun yliopisto 2025  1 Sisällys 1 JOHDANTO..................................................................................................................................................... 3 1.1 Fluidin määritelmä................................................................................................................................... 3 1.2 Viskositeetti............................................................................................................................................. 4 1.3 Fluidin kokoonpuristuvuus...................................................................................................................... 7 1.4 Höyrynpaine............................................................................................................................................ 8 1.5 Pintajännitys............................................................................................................................................ 8 2 HYDROSTATIIKKA............................................................................................................................................ 9 2.1 Fluidien yleinen liikeyhtälö ja siinä vaikuttava paine.............................................................................. 9 2.2 Hydrostaattinen paine tasopinnalla...................................................................................................... 13 2.3 Paineprisma........................................................................................................................................... 15 2.4 Hydrostaattinen voima kaarevalla pinnalla........................................................................................... 16 2.5 Noste, kelluminen ja stabiliteetti.......................................................................................................... 17 3 VIRTAUSDYNAMIIKAN PERUSTA – BERNOULLIN YHTÄLÖ............................................................................ 19 3.1 Newtonin toinen laki............................................................................................................................. 19 3.2 F = m a: Virtaviivan suuntaisesti............................................................................................................ 20 3.3 F = m a: Virtauksen normaalivoima....................................................................................................... 22 3.4 Esimerkkejä Bernoullin yhtälön käytöstä.............................................................................................. 24 3.4.1 Vapaa virtaus aukosta.................................................................................................................... 24 3.4.2 Rajoitettu virtaus............................................................................................................................ 26 3.4.3 Virtausnopeuden mittaaminen...................................................................................................... 27 4 FLUIDIKINEMATIIKKA.................................................................................................................................... 28 4.1 Nopeuskenttä........................................................................................................................................ 28 4.1.1 Eulerin ja Lagrangen virtauksen tarkastelutavat............................................................................ 29 4.1.2 Yksi-, kaksi- ja kolmidimensioinen virtaus...................................................................................... 30 4.1.3 Vakiovirtaus ja epästationaarinen virtaus...................................................................................... 31 4.1.4 Virtaviivat, juovaviivat ja rataviivat................................................................................................ 31 4.2 Kiihtyvyyskenttä.................................................................................................................................... 32 4.2.1 Kokonaisderivaatta......................................................................................................................... 32 4.2.2 Ajan suhteen tapahtuvien muutosten vaikutus virtaukseen......................................................... 33 4.2.3 Virtauksen vaikutus........................................................................................................................ 34 4.3 Kontrollitilavuus ja systeemiajattelu..................................................................................................... 34 5 KONTROLLITILAVUUSANALYYSI.................................................................................................................... 36 5.1 Aineen häviämättömyys – Jatkuvuusyhtälö.......................................................................................... 36  2 5.2 Newton’in toinen laki – Liikemääräyhtälö............................................................................................. 39 5.3 Termodynamiikan ensimmäinen pääsääntö – Energiayhtälö............................................................... 41  3 1 JOHDANTO Virtausmekaniikka on tieteenala, jossa tutkitaan nesteiden ja kaasujen käyttäytymistä lepo- tai liiketilassa. Se kattaa valtavan kokoelman ilmiöitä, jotka tapahtuvat luonnon omissa prosesseissa tai ihmisen kehittämissä rakennelmissa. Virtaus on voimakkaasti riippuvainen lukuisista muuttujista, mm. virtauksen fyysisestä koosta (putken halkaisija), nopeudesta ja paineesta. Virtausmekaniikassa sovelletaan useita fysiikan peruslakeja, kuten Newtonin lakeja, termodynamiikan lakeja ja aineen häviämättömyyden lakia. Virtausmekaniikka voidaan jakaa virtausstatiikkaan, jossa fluidi on levossa ja virtausdynamiikkaan, jossa tarkastellaan liikkeessä olevaa fluidia. 1.1 Fluidin määritelmä Vaikka kiinteän aineen ja fluidin välinen eroavaisuus voidaankin osoittaa molekyylirakenteen avulla, tarkempi määritys niiden välillä voidaan tehdä sen perusteella, kuinka ne muuttavat muotoaan ulkopuolisen voiman vaikutuksesta. Fluidi on aine, joka muuttaa jatkuvasti muotoaan, kun siihen vaikuttaa minkä tahansa suuruinen leikkausjännitys. Leikkausjännitys syntyy, kun pintaan vaikuttaa tangentiaalinen voima (Kuva 1.1). Kuva 1.1. Pintaan vaikuttava tangentiaalinen voima. Kun leikkausjännitys vaikuttaa teräkseen tai johonkin muuhun yleisesti tunnettuun kiinteään aineeseen, tapahtuu muodonmuutos, mutta tämä muodonmuutos ei ole kuitenkaan jatkuvaa. Toisaalta yleisesti tunnetut fluidit, kuten vesi ja öljy, ovat jatkuvassa muodonmuutoksessa eli ne virtaavat, kun niihin vaikuttaa leikkausjännitys. Jotkut aineet, kuten hammastahna ja liete ovat vaikeasti luokiteltavissa, sillä ne käyttäytyvät kuin kiinteät aineet, jos leikkausjännitys on pieni, mutta jos jännitys ylittää tietyn rajan, ne virtaavat ja käyttäytyvät kuin fluidit. Sekä nesteet että kaasut ovat fluideja. Reologia on oppi fluidin muodonmuutoksista ja virtauksista sisältäen kaasujen, nesteiden, muovien, bitumin ja kiteisten aineiden mekaanisten ominaisuuksien tutkimisen. Reologisilla mittauksilla saadaan tietoa fluidien juoksevuusominaisuuksista, jotka vaikuttavat aineiden käyttäytymiseen prosesseissa silloin, kun niitä siirretään tai sekoitetaan. Virtausominaisuuksia kuvataan reogrammeilla, joissa leikkausjännitys esitetään nopeusgradientin funktiona. Kuvaajat on yleensä määritetty kokeellisesti. Seuraavassa tarkastellaan muutamia tärkeitä fluidien käyttäytymisen analysoinnissa tarvittavia fluidin ominaisuuksia.  4 1.2 Viskositeetti Tiheys  ja ominaispaino  ( =  g) ovat soveltuvia mittareita kuvaamaan fluidin painoa, mutta niiden avulla ei voida ennustaa fluidin käyttäytymistä liikkeessä. Esimerkiksi vedellä ja öljyllä on melkein sama tiheysarvo, mutta ne käyttäytyvät toisistaan poikkeavasti, kun ne saatetaan virtaukseen. Viskositeetti on ominaisuus, joka kuvaa fluidin kykyä vastustaa virtausta. Viskositeetin määrittämiseksi tarkastellaan kuvan 1.2 mukaista tilannetta, jossa kahden levyn väliin asetetaan fluidia (esimerkiksi vettä). Koetilanteessa alempi levy on kiinteästi asennettu, kun taas ylempi levy on vapaa liikkumaan. Kun systeemiin kohdistetaan voima P kuvan mukaisesti, ylempi levy liikkuu nopeudella U ja siirtyy matkan δɑ. Kun tarkastellaan fluidin liikettä levyjen välissä, havaitaan että ylemmän levyn kanssa kontaktissa olevat fluidipartikkelit liikkuvat levyn nopeudella U, kun taas paikallaan pysyvän, alemman levyn kanssa kontaktissa olevilla fluidipartikkeleilla nopeus on nolla. Ylimmällä fluidikerroksella on suurin liikemäärä ja se luovuttaa sitä viereiselle fluidikerrokselle, mutta kerrosten välisen sisäisen kitkan vuoksi vain osa liikemäärästä siirtyy ja alemman fluidikerroksen nopeus on pienempi kuin ylemmän. Liikemäärä siirtyy siis kohtisuoraan nopeuteen nähden. Kuva 1.2. Fluidin käyttäytyminen koetilanteessa, jossa se on asetettu kahden levyn väliin. Kahden levyn väliin asetettu fluidi liikkuu nopeudella 𝑢 = 𝑢(𝑦) ja sen on todettu muuttuvan lineaarisesti 𝑢 = 𝑈 𝑦⁄𝑏. Levyjen välissä olevaan fluidiin muodostuu siten nopeusgradientti 𝑑𝑢⁄𝑑𝑦. Esimerkin tapauksessa nopeusgradientti on vakio, sillä 𝑑𝑢⁄𝑑𝑦 = 𝑈⁄𝑏, mutta monimutkaisemmissa virtaustilanteissa näin ei ole. Havaintojen mukaan fluidi tarttuu paikallaan pysyviin, kiinteisiin pintoihin kiinni, minkä vuoksi fluidin nopeusvektorilla on kosketuspisteessä sama arvo kuin kosketuksessa olevalla kiinteällä pinnalla, ja tämä arvo on nolla, kun pinta on liikkumaton. Kaikki fluidit, niin kaasut kuin nesteetkin täyttävät tämän ehdon. Kun tarkastellaan tilanteen kehittymistä pienellä ajanlisäyksellä 𝛿𝑡, kuvitteellinen pystysuoralinja AB kääntyy pienen kulman, δβ, verran uuteen asentoon AB’, jolloin: 𝛿𝑎 𝑡𝑎𝑛𝛿𝛽 ≈ 𝛿𝛽 = 𝑏 Koska 𝛿𝑎 = 𝑈𝛿𝑡 saadaan: 𝑈𝛿𝑡 𝛿𝛽 = 𝑏 Tässä tapauksessa 𝛿𝛽 ei ole ainoastaan voiman P funktio, vaan myös ajan t funktio. Määritetään leikkausnopeus 𝛾̇ :  5 𝛿𝛽 𝛾̇ = lim 𝛿𝑡→0 𝛿𝑡 𝑈 𝑑𝑢 𝛾̇ = = 𝑏 𝑑𝑦 Voiman P yhteys leikkausjännitykseen on τ = P/A, jossa A on nopeutta vastaan kohtisuora pinta-ala. Kun leikkausjännitystä 𝜏 lisätään kasvattamalla voimaa P, leikkausnopeus kasvaa suorassa suhteessa: 𝜏 ∝ 𝛾̇ 𝑑𝑢 𝜏∝ 𝑑𝑦 Tämä osoittaa, että yleisille fluideille kuten vedelle, öljylle ja ilmalle pätee: 𝑑𝑢 𝜏 = 𝜇 𝑑𝑦 (1-1) Edellä esitetyssä yhtälössä 𝜇 on fluidin viskositeetti. Tätä yhtälöä kutsutaan Newtonin viskositeettilaiksi. Jos 𝑑𝑢 piirretään 𝜏 − 𝑑𝑦 -kuvaaja, tulee sen olla lineaarinen suora, jonka kulmakerroin tarkasteltavan fluidin viskositeetti on (Kuva 1.3). Kuva 1.3. Leikkausjännitys suhteessa leikkausnopeuteen yleisille fluideille. Viskositeetti on riippuvainen tarkasteltavasta fluidista, ja tietyillä fluideilla viskositeetti on erittäin riippuvainen lämpötilasta, kuten kuvassa 1.3 on esitetty vedelle. Fluideja, joilla leikkausjännitys on lineaarisesti riippuvainen leikkausnopeudesta, kutsutaan newtonmaisiksi fluideiksi. Yleisimmät kaasut ja nesteet kuuluvat tähän ryhmään. Niitä fluideja, joilla leikkausjännitys ei muutu lineaarisesti suhteessa leikkausnopeuteen, kutsutaan ei-newtonmaisiksi fluideiksi. Kuvassa 1.4 on esitetty esimerkkejä ei- newtonmaisien fluidien leikkausjännitys-leikkausnopeus-kuvaajista.  6 Kuva 1.4. Erilaisten fluidien leikkausjännitys-leikkausnopeus-kuvaajia. Leikkausjännityksen vaikutuksesta ohentuvilla fluideilla viskositeetti pienenee leikkausnopeuden kasvaessa: mitä kovempaa fluidia leikataan, sitä vähemmän viskoosiseksi se muuttuu. Useat kolloidiset suspensiot kuuluvat tähän ryhmään. Esimerkiksi lateksimaali ei tipu pensselistä, sillä sen leikkausnopeus on pieni ja viskositeetti suuri. Toisaalta maali levittyy tasaisesti seinälle, sillä ohut maalikerros seinän ja pensselin välillä aiheuttaa suuren leikkausnopeuden ja pienen viskositeetin. Leikkauksesta paksuuntuvilla fluideilla viskositeetti kasvaa leikkausnopeuden kasvaessa. Esimerkki tällaisesta aineesta on veden ja hiekan sekoitus, juoksuhiekka. Viskositeetin yksikkö SI-yksiköissä on [N·s/m2]. Toinen yleisesti käytetty yksikkö on poisi P (tai sen sadasosa cP), 1 cP = 10-3 N·s/m2. Kuvassa 1.5 on esitetty, kuinka viskositeetti vaihtelee eri fluideille ja kuinka lämpötila vaikuttaa sen arvoon. Kuva 1.5. Eräiden yleisten fluidien viskositeetti ja sen riippuvuus lämpötilasta.  7 Kaasuilla viskositeetti yleensä kasvaa lämpötilan noustessa ja lämpötilan vaikutusta voidaan arvioida Sutherlandin yhtälöllä 𝐶𝑇 3/2 (1-2) 𝜇= 𝑇+𝑆 Nesteillä puolestaan viskositeetti tyypillisesti pienenee lämpötilan noustessa ja sitä voidaan kuvata yhtälöllä 𝜇 = 𝐷𝑒 𝐵/𝑇 (1-3) Yhtälöissä 1-2 ja 1-3 parametrit C, S, D ja B ovat empiirisesti määritettäviä vakioita. Usein viskositeetti esitetään tiheyden avulla muodossa: 𝜇 𝜈= 𝜌 Tätä kutsutaan kinemaattiseksi viskositeetiksi 𝜈 ja yksikkönä on [m2/s]. 1.3 Fluidin kokoonpuristuvuus Fluidin kokoonpuristuvuutta paineen vaikutuksesta kuvataan kimmomoduulin Ev [N/m2] avulla: 𝑑𝑝 𝐸𝑣 = − 𝑑𝑉/𝑉 missä dp on paineen differentiaalinen muutos, joka tarvitaan aikaansaamaan differentiaalinen muutos tilavuudessa dV. Negatiivinen etumerkki yhtälössä johtuu siitä, että paineen lisäys aiheuttaa tilavuuden pienenemisen. Koska tietyn massan tilavuuden pieneneminen saa aikaan tiheyden kasvun, voidaan kimmomoduuli esittää myös muodossa: 𝑑𝑝 𝐸𝑣 = 𝑑𝜌/𝜌 Suuri kimmomoduulin arvo kertoo, että fluidi on melko kokoonpuristumaton, sillä tarvitaan suuri paine pienen tilavuusmuutoksen aikaansaamiseksi. Tavallisimmille nesteille kimmomoduulin arvot ovat suuria, minkä vuoksi käytännön insinöörisovelluksissa oletetaan nesteiden olevan kokoonpuristumattomia. Jos kaasua puristetaan kokoon vakio lämpötilassa (isoterminen prosessi), paineen p ja tiheyden 𝜌 suhde on vakio. Jos kokoonpuristuminen on kitkatonta ja lämmönvaihtumista ei tapahdu ympäristön kanssa (isentrooppinen prosessi), pätee: 𝑝 = 𝑣𝑎𝑘𝑖𝑜 𝜌𝑘 missä k on vakiopaineessa olevan ominaislämmön cp suhde vakiotilavuudessa olevaan ominaislämpöön cv. Nämä ominaislämmöt ovat yhteydessä kaasuvakioon: R = cp - cv. Kaasujen kimmomoduulin yhtälö voidaan johtaa edellä esitetyistä kaavoista ja saadaan: 𝐸𝑣 = 𝑝 isoterminen prosessi 𝐸𝑣 = 𝑘𝑝 isentrooppinen prosessi  8 1.4 Höyrynpaine Yleinen ilmiö on, että nesteet kuten vesi ja bensiini haihtuvat, jos ne sijoitetaan avoimeen säiliöön. Haihtuminen johtuu siitä, että joillakin pinnassa olevilla nestemolekyyleillä on riittävästi energiaa ylittämään molekyylien välillä vallitsevat koheesiovoimat ja siten ne pystyvät karkaamaan ilmakehään. Jos säiliö on suljettu siten, että nestepinnan päälle on jäänyt pieni ilmatila ja säiliö on ilmatiivis, säiliöön kehittyy paine johtuen nesteestä karkaavista molekyyleistä. Kun saavutetaan tasapainotila, eli nestepinnasta karkaavien molekyylien määrä on yhtä suuri kuin siihen palaavien molekyylien määrä, höyryn sanotaan olevan kyllästetty ja painetta, jonka höyry kohdistaa nesteen pintaan kutsutaan höyrynpaineeksi pv. Koska höyrynpaineen kehittyminen liittyy molekyylien liikkeeseen, höyrynpaineen suuruus on riippuvainen lämpötilasta. Kiehuminen eli höyrykuplien muodostuminen fluidin sisällä saa alkunsa, kun fluidin sisällä oleva absoluuttinen paine saavuttaa höyrynpaineen. Kiehuminen on riippuvainen ympäristön paineesta: huomattavasti merenpinnan yläpuolella vesi kiehuu alhaisemmassa lämpötilassa. Virtausmekaniikan kannalta höyrynpaine on huomioon otettava tekijä sen vuoksi, että virtaavaan fluidiin voi kehittyä hyvin alhainen paine, jonka seurauksena fluidiin muodostuu höyrykuplia, jotka voivat purkautua aiheuttaen rakenteiden rikkoutumisen. Tätä ilmiötä kutsutaan kavitaatioksi ja sitä voi esiintyä esimerkiksi pumppujen ja venttiilien kapeissa putkijohdoissa. 1.5 Pintajännitys Nesteen ja kaasun tai kahden sekoittumattoman fluidin tapauksessa nesteen pinnalle kehittyy voimia, jotka aiheuttavat sen, että pinta käyttäytyy kuin siihen olisi levitetty kalvomainen kerros. Tämän ilmiön ansiosta esimerkiksi partakoneen terä kelluu veden pinnalla, jos se asetetaan varovaisesti paikoilleen. Nämä erilaiset pintailmiöt johtuvat epätasapainoisista koheesiovoimista, jotka vaikuttavat nesteen pinnalla oleviin molekyyleihin. Fluidimassan sisällä olevat molekyylit vetävät toisia puoleensa saman suuruisella voimalla, kun taas nesteen pinnalla oleviin molekyyleihin kohdistuu fluidimassan ytimeen suuntautuva nettovoima, minkä vuoksi nesteen pinnalla on hypoteettinen kalvo. Pinnalla vallitsevan molekyylien välisen vetovoiman suuruutta kuvataan suureella pintajännitys 𝜎 [N/m]. Pintajännityksellä on merkitystä ratkaistaessa joitakin virtausteknisiä ongelmia, mm. nesteiden liikkuessa maan tai muun huokoisen materiaalin läpi, ohuiden nestekalvojen virtauksissa, pisaroiden ja kuplien muodostumisessa ja nestesuihkujen hajoamisessa. Esimerkiksi vuotavan vesihanan suulle kehittyvän pisaran muodostumisessa pintajännityksellä on keskeinen rooli. Neste-kaasu, neste-neste ja neste-kaasu-kiinteä rajapinnoilla tapahtuvat pintailmiöt ovat hyvin monimutkaisia. Onneksi ne eivät ole aina tärkeitä, koska inertia-, gravitaatio- ja viskoosit voimat ovat merkittävämpiä.  9 2 HYDROSTATIIKKA Fluidi on joko levossa tai liikkuu niin, että siinä ei esiinny suhteellista liikettä vierekkäisten fluidipartikkeleiden välillä → fluidissa ei leikkausjännityksiä ja pintoihin vaikuttavat voimat koostuvat pelkästään paineesta. Tutkitaan siis painetta ja sen muutoksia fluidissa sekä paineen vaikutuksia upotettuihin pintoihin. Leikkausjännitysten puuttuminen yksinkertaistaa analyysiä ja helpottaa useiden käytännön ongelmien ratkaisemista. 2.1 Fluidien yleinen liikeyhtälö ja siinä vaikuttava paine Paine pisteessä Tarkastellaan kuvan 2.1 mukaista vapaakappalekuvaa, joka esittää pientä kiilanmuotoista fluidisiivua, johon ei kohdistu leikkausjännitystä. Tällöin ainoat kappaleeseen vaikuttavat ulkoiset voimat johtuvat paineesta ja kappaleen painosta. Esityksen yksinkertaistamiseksi kuvassa 2.1 ei ole esitetty voimia, jotka vaikuttavat x- akselin suunnassa ja z-akseli kuvaa pystyakselia. Kuva 2.1. Kiilanmuotoiseen fluidielementtiin vaikuttavat voimat. Jos kappaleen annetaan liikkua osana kiinteää fluidikappaletta, voidaan leikkausjännitys edelleen olettaa nollaksi, sillä vierekkäisten kappaleiden välillä ei ole eroa suhteellisessa liikkeessä. Newtonin toisen lain (𝐹 = 𝑚𝑎) mukaan saadaan yhtälöt: 𝛿𝑥 𝛿𝑦 𝛿𝑧 ∑ 𝐹𝑦 = 𝑝𝑦 𝛿𝑥 𝛿𝑧 − 𝑝𝑠 𝛿𝑥 𝛿𝑠 𝑠𝑖𝑛 𝜃 = 𝜌 𝑎𝑦 2 𝛿𝑥 𝛿𝑦 𝛿𝑧 𝛿𝑥 𝛿𝑦 𝛿𝑧 ∑ 𝐹𝑧 = 𝑝𝑧 𝛿𝑥 𝛿𝑦 − 𝑝𝑠 𝛿𝑥 𝛿𝑠 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 𝛾 = 𝜌 𝑎𝑧 2 2 missä 𝑝𝑠 , 𝑝𝑦 ja 𝑝𝑧 ovat keskimääräiset paineet pinnoilla, 𝛾 ja 𝜌 ovat fluidin ominaispaino ja ominaistiheys sekä 𝑎𝑦 ja 𝑎𝑧 kiihtyvyydet. Paine täytyy kertoa pinta-alalla, jotta saadaan paineen aiheuttama voima. Geometrian perusteella todetaan, että 𝛿𝑦 = 𝛿𝑠 cos 𝜃 𝛿𝑧 = 𝛿𝑠 sin 𝜃 Eli liikeyhtälöt voidaan kirjoittaa uudelleen muodossa: 𝛿𝑦 𝑝𝑦 − 𝑝𝑠 = 𝜌𝑎𝑦 2 𝛿𝑧 𝑝𝑧 − 𝑝𝑠 = (𝜌𝑎𝑧 + 𝛾) 2  10 Tarkastellaan tilannetta, jossa 𝛿𝑥, 𝛿𝑦 ja 𝛿𝑧 lähestyvät nollaa, jolloin saadaan: 𝑝𝑦 = 𝑝𝑠 𝑝𝑧 = 𝑝𝑠 𝑝𝑠 = 𝑝𝑦 = 𝑝𝑧 Eli, levossa tai liikkeessä olevaan fluidipartikkeliin kohdistuva paine on riippumaton suunnasta, jos leikkausjännitystä ei esiinny. Tämä tunnetaan Pascalin lakina. Painekentän perusyhtälö Seuraavaksi tutkitaan, kuinka fluidissa vallitseva paine vaihtelee siirryttäessä pisteestä toiseen, jos edelleen oletetaan, ettei esiinny leikkausvoimia. Tarkastellaan kuvan 2.2 mukaista fluidielementtiä, johon kohdistuu paineen aiheuttamia pintavoimia sekä elementin painosta johtuva tilavuusvoima. Jos elementin keskipisteessä paine on 𝑝, voidaan elementin pinnoille kohdistuva paine ilmoittaa paineen 𝑝 ja sen derivaattojen avulla (kuva 2.2). Taylorin sarjakehitelmän avulla voidaan määrittää pienen etäisyyden päässä elementin keskipisteestä vaikuttava paine. Saadaan y-akselin suunnassa vaikuttava pintavoima: 𝜕𝑝 𝛿𝑦 𝜕𝑝 𝛿𝑦 𝛿𝐹𝑦 = (𝑝 − ) 𝛿𝑥 𝛿𝑧 − (𝑝 + ) 𝛿𝑥 𝛿𝑧 𝜕𝑦 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑝 tai 𝛿𝐹𝑦 = − 𝛿𝑥 𝛿𝑦 𝛿𝑧 𝜕𝑦 Kuva 2.2 Fluidielementtiin vaikuttavat pinta- ja tilavuusvoimat. Vastaavasti x- ja z-akselien suunnassa pintavoimat ovat: 𝜕𝑝 𝜕𝑝 𝛿𝐹𝑥 = − 𝛿𝑥 𝛿𝑦 𝛿𝑧 𝛿𝐹𝑧 = − 𝛿𝑥 𝛿𝑦 𝛿𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑧 Elementtiin vaikuttava resultanttipintavoima voidaan esittää vektorimuodossa: ̂ 𝛿𝐅𝐬 = 𝛿𝐹𝑥 𝐢̂ + 𝛿𝐹𝑦 𝐣̂ + 𝛿𝐹𝑧 𝐤 𝜕𝑝 𝜕𝑝 𝜕𝑝 tai 𝛿𝐅𝐬 = − ( 𝐢̂ + 𝐣̂ + ̂ ) 𝛿𝑥 𝐤 𝛿𝑦 𝛿𝑧 (2-1) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧  11 ̂ ovat akselien yksikkövektoreita. Edellisessä yhtälössä sulkujen sisällä oleva yhtälö on missä 𝐢̂, 𝐣̂ ja 𝐤 painegradientti, joka voidaan esittää seuraavasti: 𝜕𝑝 𝜕𝑝 𝜕𝑝 𝐢̂ + 𝐣̂ + ̂ = ∇𝑝 𝐤 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 Siten resultanttipintavoima tilavuusyksikköä kohden voidaan esittää: 𝛿𝐅𝐬 = −∇𝑝 𝛿𝑥 𝛿𝑦 𝛿𝑧 Koska z-akseli on pystyakselina, elementin paino on: ̂ = −𝛾 𝛿𝑥 𝛿𝑦 𝛿𝑧 ̂𝐤 −𝛿𝑊𝐤 Newtonin toinen laki fluidielementtiin sovellettuna antaa: ∑ 𝛿 𝐅 = 𝛿𝑚 𝐚 missä ∑ 𝛿𝐅 kuvaa elementtiin vaikuttavaa resultanttivoimaa, a on elementin kiihtyvyys ja 𝛿𝑚 on elementin massa, joka voidaan kirjoittaa 𝜌 𝛿𝑥 𝛿𝑦 𝛿𝑧. Tästä saadaan: ̂ = 𝛿𝑚 𝐚 ∑ 𝛿𝐅 = δ𝐅𝑠 − 𝛿𝑊𝐤 tai −∇𝑝 𝛿𝑥 𝛿𝑦 𝛿𝑧 − 𝛾 𝛿𝑥 𝛿𝑦 𝛿𝑧 ̂𝐤 = 𝜌 𝛿𝑥 𝛿𝑦 𝛿𝑧 𝐚 Edelleen saadaan: ̂ = 𝜌𝐚 −∇𝑝 − 𝛾𝐤 (2-2) Paineen vaihtelu levossa olevassa fluidissa Levossa olevalle fluidille 𝐚 = 0 ja tällöin edellä oleva yhtälö 2-2 saa muodon: ∇𝑝 + 𝛾 ̂𝐤 = 0 𝜕𝑝 𝜕𝑝 𝜕𝑝 tai komponenttimuodossa: 𝜕𝑥 =0 𝜕𝑦 =0 𝜕𝑧 = −𝛾 (2-3) Näiden yhtälöiden perusteella voidaan todeta, että paine ei muutu, mikäli liikutaan x-y-tasolla pisteestä toiseen. Paine p on riippuvainen vain termistä z, joten edellä oleva yhtälö voidaan kirjoittaa differentiaalimuodossa: 𝑑𝑝 = −𝛾 (2-4) 𝑑𝑧 Em. yhtälö on perusyhtälö levossa olevalle fluidille, ja sen avulla voidaan määrittää, kuinka paine vaihtelee tarkastelukorkeuden muuttuessa. Yhtälön perusteella voidaan todeta, että painegradientti pystysuunnassa on negatiivinen: paine pienenee, kun siirrytään levossa olevassa fluidissa ylöspäin.  12 Kokoonpuristumattomat fluidit Fluidin ominaispaino on 𝛾 = 𝜌𝑔. Useimmissa insinöörisovelluksissa kiihtyvyyden g muutos siirryttäessä tarkastelupisteestä toiseen on merkityksetön. Tämän vuoksi on selvitettävä fluidin tiheyden vaikutus. Fluidia, jonka tiheys on vakio, kutsutaan yleisesti kokoonpuristumattomaksi fluidiksi. Nesteille tiheyden muutokset ovat yleensä merkityksettömiä, joten nesteille voidaan olettaa niiden ominaispainon pysyvän vakiona. Edellä esitetty lauseke voidaan integroida suoraan: 𝑝2 𝑧2 ∫ 𝑑𝑝 = −𝛾 ∫ 𝑑𝑧 𝑝1 𝑧1 𝑝2 − 𝑝1 = −𝛾(𝑧2 − 𝑧1 ) 𝑝1 − 𝑝2 = 𝛾(𝑧2 − 𝑧1 ) missä 𝑝1 ja 𝑝2 ovat paineet korkeuksilla 𝑧1 ja 𝑧2 , kuten kuvassa 2.3 on esitetty. Edellä esitetty yhtälö voidaan kirjoittaa tiiviimpään muotoon: 𝑝1 − 𝑝2 = 𝛾ℎ missä ℎ on etäisyys 𝑧2 − 𝑧1 , joka paineen 𝑝2 tasosta mitattu syvyys alaspäin. Yhtälö osoittaa, että levossa olevan, kokoonpuristumattoman fluidin paine muuttuu lineaarisesti suhteessa syvyyteen. Kuva 2.3 Paineen muutos levossa olevalla fluidilla. Kuvassa 2.3 esitettyä vapaata pintaa (free surface) on käytännöllistä pitää tarkasteluissa vertailutasona. Tällöin vapaaseen pintaan vaikuttava paine vastaa normaalia ilmanpainetta. Jos 𝑝2 = 𝑝0 saadaan edelliseen yhtälöön sijoitettuna: 𝑝 = 𝛾ℎ + 𝑝0 Homogeenisen, kokoon puristumattoman, levossa olevan fluidin tapauksessa fluidissa vallitsevaan paineeseen ei vaikuta fluidisäiliön koko eikä muoto. Kokoonpuristuvat fluidit Tavallisesti ajatellaan kaasujen, kuten ilman, hapen ja typen olevan kokoonpuristuvia fluideja, sillä kaasun tiheys voi merkittävästi vaihdella paineen ja lämpötilan muuttuessa. Yleisimpien kaasujen ominaispainot ovat kuitenkin pieniä nesteisiin verrattuna. Esimerkiksi ilman ominaispaino meren pinnan tasossa (15 °C) on 12 N/m3, kun taas veden ominaispaino vastaavissa olosuhteissa on 9800 N/m3. Koska kaasujen ominaispainot ovat verrattain pieniä, painegradientti pystysuunnassa on pieni. Paine pysyy vakiona jopa satojen metrien  13 etäisyyksillä. Tämän vuoksi siirryttäessä tarkastelupisteestä toiseen voidaan paineen muutos säiliössä tai putkessa olevalle kaasulle jättää huomioimatta. Toisaalta niissä tilanteissa, joissa tarkastelupisteiden korkeusero on merkittävä, on kaasun ominaispainon muutos otettava huomioon. Ideaalikaasulle pätee yhtälö: 𝑝𝑀 𝜌= 𝑅𝑇 missä 𝑝 on absoluuttinen paine, 𝑅 on kaasuvakio ja 𝑇 on absoluuttinen lämpötila. Kun tähän yhdistetään 𝑑𝑝 aikaisemmin esitetty yhtälö (2-4) 𝑑𝑧 = −𝛾 saadaan: 𝑑𝑝 𝑔𝑝𝑀 =− 𝑑𝑧 𝑅𝑇 𝑝2 𝑧2 𝑑𝑝 𝑝2 𝑔𝑀 𝑑𝑧 ∫ = ln = − ∫ 𝑝 𝑝1 𝑅 𝑇 𝑝1 𝑧1 missä g ja R oletetaan pysyvän vakioina. Jos oletetaan, että lämpötilalla on vakio arvo T0 siirryttäessä tarkastelukorkeudelta z1 korkeudelle z2, saadaan: 𝑔𝑀(𝑧2 − 𝑧1 ) 𝑝2 = 𝑝1 exp [− ] 𝑅𝑇0 2.2 Hydrostaattinen paine tasopinnalla Kun taso upotetaan fluidiin, tason pinnalle kohdistuu voimia fluidista johtuen. Näiden voimien määrittäminen on tärkeää suunniteltaessa varastosäiliöitä, laivoja, patoja ja muita hydraulisia rakenteita. Levossa olevien fluidien osalta tiedämme, että vaikuttava voima on kohtisuorassa pintaa vasten, sillä tilanteessa ei esiinny leikkausjännitystä. Jos fluidi on kokoonpuristumatonta, paine muuttuu lineaarisesti syvyyden kanssa. Nesteellä täytetyn säiliön pohjaan vaikuttava resultanttivoima on 𝐹𝑅 = 𝑝𝐴, missä p on paine pohjan syvyydessä ja A on pohjan pinta-ala. Avoimelle säiliölle pätee: 𝑝 = 𝛾ℎ. Jos ilmanpaine vaikuttaa molemmin puolin säiliön pohjaa, pohjaan vaikuttava resultanttivoima johtuu säiliössä olevasta nesteestä. Koska paine on vakio ja tasaisesti jakautunut pohjan pinta-alalle, resultanttivoima vaikuttaa pinta-alan painopisteessä (Kuva 2.4). Säiliön reunoihin vaikuttava paine ei ole tasaisesti jakautunut. Kuva 2.4. (a) Painejakauma ja resultantti hydrostaattinen voima avoinna olevan säiliön pohjassa. (b) Painejakauma avoinna olevan säiliön reunoissa.  14 Kun tarkastellaan tapausta, jossa upotettu taso on kallistettu (Kuva 2.5), pintaan vaikuttavan resultanttivoiman määritys on työläämpää. Oletetaan, että taso, jolla tarkasteltava pinta sijaitsee, leikkaa vapaan pinnan kohdassa 0 ja muodostaa kulman θ. X-Y-koordinaatisto on määrätty siten, että 0 on origo ja y = 0. Kuva 2.5. Kallistettuun pintaan vaikuttava hydrostaattinen voima. Tarkasteltava alue voi olla minkä muotoinen tahansa. Määritetään tähän pintaan vaikuttava voima. Millä tahansa syvyydellä h voima, joka vaikuttaa pintaan dA on 𝑑𝐹 = 𝛾ℎ 𝑑𝐴 ja se vaikuttaa kohtisuorassa pintaan vasten. Resultanttivoiman suuruus voidaan määrittää laskemalla yhteen koko pintaan vaikuttavat differentiaalivoimat ja saadaan 𝐹𝑅 = 𝛾ℎ𝑐 𝐴 missä hc on vertikaalinen etäisyys fluidin pinnasta tarkasteltavan alueen painopisteeseen. Voiman suuruus on riippumaton kulmasta 𝜃, ja edellä esitetyn yhtälön perusteella voidaan todeta, että resultanttivoima on yhtä suuri kuin paine tarkasteltavana alueen painopisteessä kerrottuna alueen kokonaispinta-alalla.  15 2.3 Paineprisma Tarkastellaan paineen jakautumista pystysuoran säiliön seinässä. Seinän leveys on vakio ja säiliön sisällä olevalla nesteellä on ominaispaino 𝛾. Koska paineen täytyy muuttua lineaarisesti syvyyden suhteessa (Kuva 2.6), täytyy keskimääräisen paineen vaikuttaa syvyydellä h/2 ja resultanttivoima vaikuttamassa suorakulmion muotoisella alalla A = bh on: ℎ 𝐹𝑅 = 𝑝𝑎𝑣 𝐴 = 𝛾 ( ) 𝐴 2 Kuva 2.6. Paineprisman tarkastelua. Kuvassa 2.6 b esitetylle kolmiulotteiselle painealan tilavuudelle (paineprisma) voidaan helposti määrittää resultanttivoima: 1 ℎ 𝐹𝑅 = 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 = (𝛾ℎ)(𝑏ℎ) = 𝛾 ( ) 𝐴 2 2 Resultanttivoiman täytyy mennä paineprisman painopisteen kautta, joka sijaitsee etäisyydellä h/3 pohjasta lukien. Samaa lähestymistapaa voidaan käyttää suorakulmaisille pinnoille, jotka eivät ylety fluidin pintaan asti, kuten Kuvassa 2.7 on esitetty. Kuva 2.7. Hydrostaattinen voima suorakulmaisilla pinnoilla. Resultanttivoima on myös tässä tapauksessa yhtä suuri kuin paineprisman tilavuus ja se vaikuttaa tilavuuden painopisteessä. Numeeriset arvot voidaan laskea hajottamalla paineprisma osiin ja laskemalla niiden vaikutukset erikseen.  16 2.4 Hydrostaattinen voima kaarevalla pinnalla Edellä esitetyt kaavat koskien kiinteään pintaan vaikuttavaa resultanttivoimaa ovat voimassa ainoastaan tasaiselle pinnalle. Kuitenkin useat mielenkiinnon kohteena olevat pinnat, kuten padot, putket ja säiliöt ovat ei-tasomaisia. Tällaisessa tilanteessa resultanttivoima voidaan määrittää integroimalla, mutta se on kuitenkin aikaa vievä prosessi. Vaihtoehtoisesti voidaan tarkastella kaarevan pinnan rajaaman fluiditilavuuden tasapainotilaa ja tämän pinnan horisontaalia ja vertikaalia projisointia. Esimerkkinä tarkastellaan kuvassa 2.8 esitettyä kaarevaa uima-allasta ja määritetään altaan seinämään BC vaikuttava resultanttivoima. Kuva 2.8. Hydrostaattinen voima kaarevalla pinnalla. Kuvassa 2.8c on esitetty vapaakappalekuva tarkasteltavasta kohteesta. Voimien F1 ja F2 suuruudet voidaan määrittää tasomaisten pintojen yhtälöistä. Paino W on fluidin ominaispaino kerrottuna tarkasteltavalla tilavuudella ja se vaikuttaa fluidimassan painopisteen kautta. Voimat FH ja FV edustavat säiliön nesteeseen kohdistaman voiman komponentteja. Jotta systeemissä vallitsisi tasapainotila, horisontaalisen voiman FH täytyy olla suuruudeltaan ja lineaarisuudeltaan yhtä suuri kuin F2. Samoin statiikan lainalaisuuksien mukaan vertikaalisen komponentin FV tulee olla yhtenevä voiman F1 ja painon W kanssa, jotta kappale on tasapainotilassa. Tästä saadaan: 𝐹𝐻 = 𝐹2 𝐹𝑉 = 𝐹1 + 𝑊 Resultanttivoiman suuruus saadaan yhtälöstä: 𝐹𝑅 = √(𝐹𝐻 )2 + (𝐹𝑉 )2 Tätä samaa lähestymistapaa voidaan käyttää, kun määritetään suljetun, paineistetun säiliön seinämään vaikuttavaa voimaa. Jos säiliössä on kaasua, kaasun paino on yleensä olematon verrattuna paineen aiheuttamiin voimiin. Tämän vuoksi kaarevan pinnan horisontaalien ja vertikaalien projisointien voimat (kuten kuvassa 2.8 esitetyt F1 ja F2) voidaan yksinkertaisesti esittää kertomalla sisäinen paine projisoidulla pinta-alalla.  17 2.5 Noste, kelluminen ja stabiliteetti Kun liikkumaton kappale on täysin upotettu fluidiin tai jos se kelluu niin, että se on vain osittain upoksissa, kappaleeseen vaikuttava resultanttivoima on noste. Ylöspäin suuntautuva nettovoima johtuu siitä, että paine kasvaa syvyyden kasvaessa ja alapuolelta vaikuttavat painevoimat ovat suurempia kuin yläpuolelta vaikuttavat voimat. Tämä voima voidaan määrittää samalla periaatteella kuin edellä esitetyn kaarevan pinnan tapauksessa. Tarkastellaan kuvan 2.9 mukaista, fluidiin upotettua, vapaamuotoista kappaletta, jolla on tilavuus V. Kuva 2.9. Vapaamuotoiseen, fluidiin upotettuun kappaleeseen vaikuttava noste. Vapaakappalekuvaan 2.9b on piirretty kappaleeseen vaikuttavat voimat. Koska F3 ja F4 ovat yhtä suuria saadaan: 𝐹𝐵 = 𝐹2− 𝐹1 − 𝑊 Jos fluidin ominaispaino on vakio: 𝐹2 − 𝐹1 = 𝛾(ℎ2 − ℎ1 )𝐴 𝐹𝐵 = 𝛾(ℎ2 − ℎ1 )𝐴 − 𝛾[(ℎ2 − ℎ1 )𝐴 − 𝑉] Edelleen saadaan nosteelle yhtälö: 𝐹𝐵 = 𝛾𝑉 jossa 𝛾 on fluidin ominaispaino ja V on kappaleen tilavuus. Nostevoiman suunta on päinvastainen kuin vapaakappalekuvassa 2.9 (b) esitetyllä Voimalla FB. Tämän perusteella nostevoima on yhtä suuri kuin kappaleen syrjäyttämän fluiditilavuuden paino ja se suuntautuu ylöspäin. Tätä yhtälöä kutsutaan Arkimedeen laiksi.  18 Toinen upotettuihin tai kelluviin kappaleisiin vaikuttava ongelma liittyy niiden stabiliteettiin. Upotettujen tai kelluvien kappaleiden nosteen ja massan mukaiset painopisteet eivät välttämättä ole yhteneväisiä, minkä vuoksi stabiliteettiin liittyvät ongelmat on erityisesti otettava huomioon tietyissä suunnittelukohteissa. Esimerkiksi kuvassa 2.10 esitetyllä upoksissa olevalla kappaleella on massan mukainen painopiste nosteen mukaisen painopisteen alapuolella. Tällöin kappale palautuu alkuperäiseen asentoon sen jälkeen, kun sitä on hieman heilautettu. Jos tilanne on päin vastainen eli kappaleen massan painopiste on nosteen painopistettä ylempänä, kappale ei enää palaudu alkuperäiseen asentoon sen jälkeen, kun sen tasapainotilaan on vaikutettu. Kuva 2.10. Upotetun kappaleen stabiliteetti. Kelluvien kappaleiden stabiliteettiongelmat ovat monimutkaisempia, sillä nosteen painopiste voi muuttua, jos kappaletta heilautetaan.  19 3 VIRTAUSDYNAMIIKAN PERUSTA – BERNOULLIN YHTÄLÖ Tässä kappaleessa tarkastellaan fluidin virtausta (fluididynamiikkaa) fysiikan perusteiden avulla. Newtonin toista lakia (F = m a) voidaan soveltaa ideaalisen fluidipartikkelin liikkeelle ja tästä saadaan tunnettu Bernoullin yhtälö. Bernoullin yhtälö on yksi vanhimpia virtausmekaniikan yhtälöitä ja sillä voidaan ennustaa ja analysoida monenlaisia virtaustilanteita. Yhtälön johtamisessa on käytetty lukuisia yksinkertaistuksia, mikä asettaa sen käytölle rajoituksia. Sanotaankin, että Bernoullin yhtälö on sekä eniten käytetty että eniten väärinkäytetty yhtälö virtaustekniikan laskennassa. 3.1 Newtonin toinen laki Kun fluidipartikkeli liikkuu paikasta toiseen, sen liike joko kiihtyy tai hidastuu. Newtonin toisen lain mukaan kaikkien kappaleeseen vaikuttavien voimien yhteisvaikutus F antaa sen massalle m kiihtyvyyden a F=ma Tässä kappaleessa oletetaan, että fluidin viskositeetti on nolla. Tällöin myös fluidin lämmönjohtavuus on nolla eikä fluidissa tapahdu lämmönsiirtoa (säteilylämmönsiirtoa lukuun ottamatta). Todellisuudessa ei ole olemassa fluideja, joilla ei ole viskositeettia, sillä kaikkiin fluideihin muodostuu leikkausjännityksiä, kun niiden muotoa muutetaan. Useissa virtaustilanteissa kuitenkin viskoosien voimien vaikutukset ovat huomattavasti pienempiä kuin muiden voimien vaikutukset. Esimerkiksi virtaavassa vedessä kehittyvät viskoosit voimat ovat useita kertaluokkia pienempiä kuin muut voimat, esimerkiksi gravitaatiosta tai paine-eroista aiheutuvat voimat. Jossain toisessa veden virtaustilanteessa puolestaan viskoosit voimat voivat dominoida. Vastaavasti viskoosit voimat ovat usein kaasujen virtauksissa olemattoman pieniä, mutta joissakin olosuhteissa ne voivat olla hyvinkin merkittäviä. Oletetaan, että fluidin liikkeen aiheuttavat vain paine- ja gravitaatiovoimat ja Newtonin toista lakia voidaan soveltaa fluidipartikkeliin muodossa 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑘𝑘𝑒𝑙𝑖𝑖𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑘𝑘𝑒𝑙𝑖𝑖𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑘𝑘𝑒𝑙𝑖𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑘𝑘𝑒𝑙𝑖𝑛 ( 𝑣𝑎𝑖𝑘𝑢𝑡𝑡𝑎𝑣𝑎 )+( 𝑣𝑎𝑖𝑘𝑢𝑡𝑡𝑎𝑣𝑎 )=( )∙( ) 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑘𝑖𝑖ℎ𝑡𝑦𝑣𝑦𝑦𝑠 𝑛𝑒𝑡𝑡𝑜 𝑝𝑎𝑖𝑛𝑒𝑣𝑜𝑖𝑚𝑎 𝑛𝑒𝑡𝑡𝑜 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑡𝑎𝑎𝑡𝑖𝑜𝑣𝑜𝑖𝑚𝑎 Paineen, gravitaation ja kiihtyvyyden vuorovaikutuksista saadaan virtaustekniikan kuvaamiseen useita käyttökelpoisia sovelluksia. Sovellettaessa Newtonin toista lakia fluidin virtaukseen täytyy ensin valita sopiva koordinaatisto, joka kuvaa liikettä. Yleisesti liike on 3-dimensionaalista ja se muuttuu ajan funktiona, jolloin tarvitaan kolme avaruuskoordinaattia ja aika kuvaamaan sitä. Yleisimmin käytössä olevat koordinaatistot ovat suorakulmainen koordinaatisto (x, y, z) ja sylinterikoordinaatisto (r, , z). Tässä kappaleessa tarkastellaan liikettä 2-dimensionaalisessa koordinaatistossa x-z –tasossa kuvan 3.1 a) mukaisesti.  20 Kuva 3.1 a) Virtaus x-z -tasossa, b) Virtaus kuvattuna virtaviiva- ja normaalikoordinaateilla. Vakiotilassa jokainen esim. pisteen 1 kautta kulkeva fluidipartikkeli kulkee samaa polkua läpi systeemin. Vierekkäiset partikkelit kulkevat omaa polkuaan, joka voi olla erimuotoinen kuin se polku, joka kulkee pisteen 1 kautta. Koko x-z -taso täyttyy näistä poluista. Vakiotilan virtauksilla fluidipartikkelin nopeusvektori on joka kohdassa polun tangentti. Nopeusvektoreiden tangenteista muodostuvaa viivaa kutsutaan virtaviivaksi (streamline). Virtaviivan paikallinen säde on R = R(s), jossa s = s(t) etäisyys sopivasta alkupisteestä. Partikkelin nopeus määritellään V = ds/dt. Käyrän säde riippuu virtaviivan muodosta. Virtaviivan mukaisen koordinaatiston vaihtoehtona voidaan käyttää virtaviivan normaalin koordinaatistoa (kuva 3.1 b). Käytettäessä Newtonin lakia virtaviivaa pitkin virtaavalle fluidipartikkelille, tulee partikkelin kiihtyvyys kirjoittaa virtaviivan koordinaatiston mukaisesti. 2-dimensionaalisella virtauksella x-z – koordinaatistossa on kaksi komponenttia, virtaviivan suuntainen as ja virtaviivaa kohtisuoraan an. Nämä voidaan lausua yhtälöillä 𝜕𝑉 𝑉2 𝑎𝑠 = 𝑉 𝑎𝑛 = (3-1) 𝜕𝑠 ℛ 3.2 F = m a: Virtaviivan suuntaisesti Tarkastellaan kuvan 3.2 mukaista pientä fluidipartikkelia, jonka mitat ovat s × n kuvan tasossa ja y tasoa vasten kohtisuoraan. Virtaviivan suuntainen yksikkövektori on 𝑠̂ ja sitä vastaan kohtisuora 𝑛̂. Vakiotilassa Newtonin toinen laki virtaviivan suuntaan voidaan kirjoittaa 𝜕𝑉 𝜕𝑉 ∑ 𝛿𝐹𝑠 = 𝛿𝑚 𝑎𝑠 = 𝛿𝑚 𝑉 = 𝜌 𝛿𝑉 𝑉 (3-2) 𝜕𝑠 𝜕𝑠 Yhtälössä  Fs edustaa kaikkien fluidipartikkeliin vaikuttavien voimien s-suuntaisten komponenttien summaa. Fluidipartikkelin massa on m = V, tilavuus on dV = s n y ja V ∂V/∂s on sen kiihtyvyys suunnassa s. Yhtälö on voimassa sekä kokoonpuristuville että kokoonpuristumattomille fluideille. Partikkeliin vaikuttava gravitaatiovoima voidaan kirjoittaa W = V, missä  = g on fluidin ominaispaino (N/m3). Massasta aiheutuva voima virtaviivan suuntaan on siis 𝛿𝑊𝑠 = −𝛿𝑊 𝑠𝑖𝑛𝜃 = −𝛾 𝛿𝑉 𝑠𝑖𝑛𝜃 Jos virtaviiva tarkasteltavassa pisteessä on vaakasuorassa, on  = 0, eikä fluidipartikkelin massa aiheuta virtaviivan suuntaista kiihtyvyyttä.  21 Kuva 3.2 Fluidipartikkeli, johon vaikuttavat tärkeimmät voimat ovat paine ja gravitaatio. Kuten kappaleessa 2 todettiin, paine ei ole vakio paikallaan pysyvässä fluidissa (∇ 𝑝 ≠ 0) johtuen fluidin massasta. Samalla tavalla myöskään virtaavan fluidin paine ei ole yleensä vakio, vaan vakiotilan virtaukselle p = p(s, n). Jos paine partikkelin keskellä on p, on sen keskimääräinen suuruus virtaviivaa vasten kohtisuoraa olevilla reunoilla p + ps ja p - ps. Koska fluidipartikkeli on hyvin pieni, voidaan paineen muutosta kuvata yhtälöllä 𝜕𝑝 𝛿𝑠 𝛿𝑝𝑠 ≈ 𝜕𝑠 2 Fluidipartikkeliin virtaviivan suunnassa vaikuttava paineesta aiheutuva nettovoima on siis 𝜕𝑝 𝜕𝑝 𝛿𝐹𝑝𝑠 = (𝑝 − 𝛿𝑝𝑠 )𝛿𝑛 𝛿𝑦 − (𝑝 + 𝛿𝑝𝑠 )𝛿𝑛 𝛿𝑦 = −2𝛿𝑝𝑠 𝛿𝑛 𝛿𝑦 = − 𝛿𝑠 𝛿𝑛 𝛿𝑦 = − 𝛿𝑉 𝜕𝑠 𝜕𝑠 Absoluuttinen paine ei siis ole tärkeä vaan paineen muutos. Yhdistämällä gravitaation ja paine-eron aiheuttamat voimat saadaan nettovoimaksi virtaviivan suuntaan 𝜕𝑝 ∑ 𝛿𝐹𝑠 = 𝛿𝑊𝑠 + 𝛿𝐹𝑝𝑠 = (−𝛾 𝑠𝑖𝑛𝜃 − ) 𝛿𝑉 (3-3) 𝜕𝑠 Yhdistämällä yhtälöt 3-2 ja 3-3 saadaan 𝜕𝑝 𝜕𝑉 (−𝛾 𝑠𝑖𝑛𝜃 − ) = 𝜌𝑉 = 𝜌𝑎𝑠 (3-4) 𝜕𝑠 𝜕𝑠 Yhtälön 3-4 fysikaalinen selitys on se, että muutos fluidipartikkelin nopeudessa aiheutuu painegradientista ja partikkelin massasta pitkin virtaviivaa. Paikallaan pysyvissä fluideissa paineen ja gravitaation välinen tasapaino aiheuttaa sen, että partikkeli nopeus pysyy nollassa ja yhtälön 3-4 oikean puolen arvo on nolla. Virtaavassa fluidissa painevoimat ja gravitaatiovoimat eivät välttämättä ole tasapainossa ja tämä epätasapaino saa aikaan kiihtyvyyden ja fluidipartikkelin liikkumisen. Yhtälö 3-4 voidaan järjestellä ja integroida seuraavasti. Kuvasta 3.2 nähdään, että virtaviivalla sin = dz/ds. Voidaan myös kirjoittaa  22 𝑑𝑉 1 𝑑(𝑉 2 ) 𝑉 = 𝑑𝑠 2 𝑑𝑠 Lisäksi virtaviivalla n:n arvo on vakio (dn = 0), jolloin 𝜕𝑝 𝜕𝑝 𝜕𝑝 𝑑𝑝 = ( ) 𝑑𝑠 + ( ) 𝑑𝑛 = ( ) 𝑑𝑠 𝜕𝑠 𝜕𝑛 𝜕𝑠 Kuten oheisesta kuvasta nähdään, virtaviivalla 𝜕𝑝 𝑑𝑝 p(s, n) = p(s) ja 𝜕𝑠 = 𝑑𝑠. Yhtälöstä 3-4 saadaan siis 𝑑𝑧 𝑑𝑝 1 𝑑(𝑉)2 (−𝛾 − )= 𝜌 𝑑𝑠 𝑑𝑠 2 𝑑𝑠 Tämä sievenee muotoon 1 𝑑𝑝 + 2 𝜌𝑑(𝑉 2 ) + 𝛾 𝑑𝑧 = 0 (3-5) Kun maan vetovoiman kiihtyvyys on vakio, voidaan tämä integroida ja saadaan 𝑑𝑝 1 ∫ 𝜌 + 2 𝑉 2 + 𝑔𝑧 = 𝐶 (3-6) C on integroimisvakio. Painetermin integroimiseksi tulee tietää, kuinka tiheys muuttuu paineen funktiona. Ideaalikaasuille voidaan käyttää yhtälöä  = p/RT. Oletetaan nyt, että kyseessä on kokoonpuristumaton virtaus (tiheys ja ominaispaino vakioita), jolloin saadaan 1 𝑝 + 2 𝜌𝑉 2 + 𝛾𝑧 = 𝑣𝑎𝑘𝑖𝑜 𝑣𝑖𝑟𝑡𝑎𝑣𝑖𝑖𝑣𝑎𝑙𝑙𝑎 (3-7) Tämä yhtälö on Bernoullin yhtälö, jonka perusperiaatteet on julkaistu vuonna 1738. Jotta yhtälöä voidaan käyttää, tulee muistaa sen johtamisessa käytetyt oletukset 1) viskoosit vaikutukset ovat olemattomat 2) virtaus on vakiotilassa 3) kokoonpuristumaton virtaus 4) yhtälöä voidaan soveltaa virtaviivalla. 3.3 F = m a: Virtauksen normaalivoima Tarkastellaan nyt Newtonin toista lakia virtaviivan normaalin suunnassa. Useissa virtaustilanteissa virtaviivat ovat melko suoria, jolloin virtausta voidaan pitää yksidimensionaalisena ja muutokset normaalin suuntaan ovat häviävän pieniä verrattuna muutoksiin virtaviivan suunnassa. On myös paljon tilanteita, joissa saadaan tärkeää tietoa tarkastelemalla Newtonin toista laki F = m a virtaviivan normaalin suuntaan. Esimerkiksi tornadon keskellä oleva alhaisen paineen alue voidaan selittää soveltamalla Newtonin toista lakia tornadon lähes pyöreille virtaviivoille.  23 Tarkastellaan kuvan 3.2 voimatasetta, nyt kuitenkin normaalin suuntaan ja kirjoitetaan Newtonin toinen laki tähän suuntaan 𝛿𝑚 𝑉 2 𝜌𝛿𝑉 𝑉 2 ∑ 𝛿𝐹𝑛 = = (3-8) ℛ ℛ Missä Fn on kaikkien fluidipartikkeliin vaikuttavien voimien n-suuntaisten komponenttien summa ja m on fluidipartikkelin massa. Oletetaan normaalin suuntainen kiihtyvyys vakioksi an = V2/ R., missä R on virtaviivan paikallinen säde. Tämä kiihtyvyys aiheutuu fluidipartikkelin suunnan muutoksesta sen liikkuessa pitkin kaarevaa polkua. Oletetaan edelleen, että vain painevoimat ja gravitaatio ovat merkittäviä voimia. Gravitaation normaalin suuntainen komponentti on 𝛿𝑊𝑛 = −𝛿𝑊 𝑐𝑜𝑠𝜃 = −𝛾 𝛿𝑉 𝑐𝑜𝑠𝜃 Jos paine fluidipartikkelin keskellä on p ovat sen suuruudet ylä- ja alapuolella p + pn ja p - pn, missä 𝜕𝑝 𝛿𝑛 𝛿𝑝𝑛 ≈ 𝜕𝑛 2 Jos Fpn on fluidipartikkeliin vaikuttava nettopainevoima normaalin suunnassa, saadaan 𝜕𝑝 𝜕𝑝 𝛿𝐹𝑝𝑛 = (𝑝 − 𝛿𝑝𝑛 )𝛿𝑠 𝛿𝑦 − (𝑝 + 𝛿𝑝𝑛 )𝛿𝑠 𝛿𝑦 = −2𝛿𝑝𝑛 𝛿𝑠 𝛿𝑦 = − 𝛿𝑠 𝛿𝑛 𝛿𝑦 = − 𝛿𝑉 𝜕𝑛 𝜕𝑛 Fluidipartikkeliin vaikuttava normaalin suuntainen nettovoima on siis 𝜕𝑝 ∑ 𝛿𝐹𝑛 = 𝛿𝑊𝑛 + 𝛿𝐹𝑝𝑛 = (−𝛾 𝑐𝑜𝑠𝜃 − ) 𝛿𝑉 (3-9) 𝜕𝑛 Yhdistämällä yhtälöt 3-8 ja 3-9 huomioimalla cos = dz/dn saadaan normaalin suuntaiselle liikkeelle yhtälö 𝑑𝑧 𝜕𝑝 𝜌𝑉 2 −𝛾 − = (3-10a) 𝑑𝑛 𝜕𝑛 ℛ Yhtälön 3-10a fysikaalinen tulkinta on se, että fluidipartikkelin virtauksen suunnan muutos aiheutuu sopivasta virtaviivan normaalin suuntaisesta painegradientin ja partikkelin massan yhdistelmästä. Suurempi nopeus tai tiheys, tai pienempi liikkeen kaarteen säde vaatii suuremman voimaepätasapainon aiheuttamaan liikkeen. Jos esim. gravitaation vaikutus voidaan jättää huomioimatta (vaakasuora virtaus tai fluidina kaasu), yhtälöstä 3-10a saadaan 𝜕𝑝 𝜌𝑉 2 =− (3-10b) 𝜕𝑛 ℛ Tästä nähdään, että paine kasvaa kun ollaan kaukana mutkan keskipisteestä (𝜕𝑝/𝜕𝑛 on negatiivinen, koska V2/R on positiivinen). Niinpä esim. tornadossa paine on suurempi sen ulkopuolella kuin sen keskellä (jossa voi esiintyä vaarallinen vakuumi). Tämä paine-ero tarvitaan tasapainottamaan kaareviin virtaviivoihin liittyvä keskipakoinen kiihtyvyys. Jos yhtälö 3-10 kerrotaan dn:llä, ja 𝜕𝑝/𝜕𝑛 = 𝑑𝑝⁄𝑑𝑛 kun s on vakio ja integroidaan virtaviivan normaalin suuntaan, saadaan 𝑑𝑝 𝑉2 ∫ 𝜌 +∫ ℛ 𝑑𝑛 + 𝑔𝑧 = 𝑣𝑎𝑘𝑖𝑜 𝑣𝑖𝑟𝑡𝑎𝑣𝑖𝑖𝑣𝑎𝑛 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑎𝑙𝑖𝑛 𝑠𝑢ℎ𝑡𝑒𝑒𝑛 (3-11)  24 Yhtälön integroimiseksi täytyy tietää miten tiheys riippuu paineesta ja miten fluidin nopeus ja kaarevuussäde muuttuvat n-suunnassa. Kokoonpuristumattomalle virtaukselle tiheys on vakio ja painetermiksi tulee yksinkertaisesti p/. Yhtälön 3-11 toisen termin integroimiseksi pitäisi tuntea yhtälöt V = V(s, n) ja R = R(s, n). Yleisessä muodossa Newtonin toinen laki kohtisuoraan virtaviivaan nähden vakioiselle, ei-viskoosille ja kokoonpuristumattomalle virtaukselle on 𝑉2 𝑝+𝜌∫ ℛ 𝑑𝑛 + 𝛾𝑧 = 𝑣𝑎𝑘𝑖𝑜 𝑣𝑖𝑟𝑡𝑎𝑣𝑖𝑖𝑣𝑎𝑛 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑎𝑙𝑖𝑛 𝑠𝑢ℎ𝑡𝑒𝑒𝑛 (3-12) 3.4 Esimerkkejä Bernoullin yhtälön käytöstä Tässä kappaleessa havainnollistetaan Bernoullin yhtälön käyttöä muutamissa esimerkkitapauksissa. Vakioiselle, ei-viskoosille, kokoonpuristumattomalle fluidille voidaan soveltaa Bernoullin yhtälöä minkä tahansa kahden pisteen (1) ja (2) välillä 1 1 𝑝1 + 2 𝜌𝑉12 + 𝛾𝑧1 = 𝑝2 + 2 𝜌𝑉22 + 𝛾𝑧2 (3-13) 3.4.1 Vapaa virtaus aukosta Yksi vanhimmista virtaustekniikan yhtälöistä koskee nesteen virtausta suuresta säiliöstä. Pääperiaatteet on esitetty kuvassa 3.3, missä nestesuihku, jonka halkaisija on d virtaa suuttimesta nopeudella V. Kuvan 3.3. mukaisille virtaviivan pisteiden (1) ja (2) välillä saadaan yhtälöstä 3-13 1 𝛾ℎ = 𝜌𝑉 2 2 Kuva 3.3 Pystysuora virtaus säiliöstä. Kuvan tilanteessa z1 = h, z2 = 0, säiliön yläpinta-ala on suuri (V1 ≈ 0) ja avoin ilmakehään (ei ylipainetta, p1 = 0) ja fluidi poistuu vapaana virtauksena (p2 = 0). Saadaan siis 𝛾ℎ 𝑉 = √2 𝜌 = √2𝑔ℎ (3-14) Päästyään suuttimen ulkopuolelle virtaus jatkaa putoamistaan vapaasti paineessa 0 (p5 = 0) ja pisteiden (1) ja (5) välille voidaan kirjoittaa  25 𝑉 = √2𝑔(ℎ + 𝐻) Missä H on se etäisyys, jonka fluidi on pudonnut suuttimesta. Yhtälö 3-14 saadaan myös Bernoullin yhtälöstä pisteiden (3) ja (4) väliltä, kun z4 = 0 ja z3 = l. Myös V3 = 0, koska se on kaukana suuttimesta ja hydrostatiikan mukaan p3 = (h-l). Fysiikan lakien mukaan levosta pudotettu kappale saavuttaa pudottuaan vakuumissa matkan h nopeuden 𝑉 = √2𝑔ℎ. Tällöin partikkelin koko potentiaalienergia muuttuu kineettiseksi energiaksi olettaen, että viskoosit (kitka) vaikutukset ovat olemattoman pieniä. Kuvan 3.4a mukaisessa vaakasuorassa suuttimessa fluidin nopeus keskiviivalla V2 on hieman suurempi kuin sen yläpuolella V1 ja hieman pienempi kun alhaalla V3 johtuen korkeuseroista. Yleensä kuitenkin d