Habilidades Matemáticas I Álgebra - Colegio Bosco - PDF

Colegio Bosco Cultura Digital II “Juan Navarrete y Guerrero” Segundo semestre ANTOLOGÍA DE HABILIDADES MATEMATICAS I ALGEBRA ACADEMIA DE MATEM...

Colegio Bosco Cultura Digital II “Juan Navarrete y Guerrero” Segundo semestre ANTOLOGÍA DE HABILIDADES MATEMATICAS I ALGEBRA ACADEMIA DE MATEMÁTICAS Razón, Amor y Religión 1  Colegio Bosco Cultura Digital II “Juan Navarrete y Guerrero” Segundo semestre Nombre del Alumno: Grupo: Docente: Horario de Atención al Padre de Familia Día: Hora: De: A: MATERIALES REQUERIDOS Antología anotar datos completos del alumno desde inicio de semestre y evidenciar su uso siempre con fecha del día. Cuaderno, el cual debe tener pegada una etiqueta con datos de identificación. Carpeta personalizada (portafolio) con portada oficial, trabajos de cada parcial y exámenes. Marca texto o plumón resaltador. LINEAMIENTOS PARA EL LINEAMIENTOS DEL AULA USO DE MATERIALES Entrada puntual Debe trabajarse siempre con limpieza y orden (no El ausentismo se informará al padre de familia se revisarán cuadernos rotos, rayados o que no Tener respeto entre todos los integrantes de clases. cumplan con los requisitos de presentación Evite introducir alimentos al aula (solo agua). indicados). Cuidar el mobiliario del aula. Cada asignación o ejercicio de clase debe tener en Evite el uso de palabras ofensivas la parte de arriba: tema, fecha, instrucciones y Evite maquillarse o peinarse durante la clase. revisado. Hacer uso de aparatos electrónicos solo para asuntos de la asignatura instaladas en aula. Trabajar con los materiales indicados. Prohibido la agresividad física, apodos y desorden que interrumpan el plan de la clase. Atender las indicaciones del docente. LINEAMIENTOS DEL LABORATORIO DE COMPUTACIÓN Llegar puntualmente a clase. Checar su lugar de trabajo e informar al maestro Nunca entrar al aula si no está el profesor. de cualquier daño que encuentren. Entrar en orden, en silencio, sin empujarse y ubicarse Entrar a internet solo cuando el maestro lo indique. en el lugar asignado. No instalar ni usar juegos en línea. Mantenerse en su lugar ordenadamente. Cuidar el equipo de trabajo y el inmueble del salón. Levantar la mano si necesitas ayuda o quieres hablar. Guardar silencio mientras el maestro explica la Pedir permiso para salir del salón. clase y hacer caso a sus instrucciones. Hablar sin gritar y sin decir groserías. Al terminar la clase apagar la computadora, Prohibido entrar con alimentos y/o bebidas. acomodar la silla y dejar ratón y teclado No correr en el salon ni en los pasillos. acomodado. Saldrán del salón cuando el maestro Tirar la basura en el lugar que corresponde. lo indique. Encender y apagar correctamente las computadoras. CRITERIOS DE EVALUACIÓN Examen 30% Trabajo/clase 30% Tareas 20% Portafolio 10% Disciplina 10% Razón, Amor y Religión 2  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra VISIÓN Ser la mejor Institución Educativa, brindando una formación integral, basada en valores éticos- morales, cristianamente orientados, acorde a los requerimientos de una sociedad cambiante para un desempeño social responsable. MISION Somos una Institución Educativa, que con amor, responsabilidad y una visión cristiana del mundo contribuimos en la formación de generaciones de jóvenes comprometidos y colaboradores con el medio al cual pertenecen. FILOSOFÍA El Colegio Bosco educa basándose en el Evangelio, como Hijos de Dios, útiles y Triunfadores en el tiempo, forjadores de una patria mejor. “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 1  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra ÍNDICE UNIDAD DE COMPETENCIA 1. CONJUNTOS Y NÚMEROS REALES......... 16 1.1. Nociones básicas de conjuntos..................................................................... 17 1.1.1. Definición, representación y descripción de conjuntos numéricos...... 17 1.1.2. Tipos de operaciones con conjuntos................................................... 19 1.1.3. Diagrama de Venn....................................................................... 19 1.1.4. Ejercicios de aplicación....................................................................... 19 1.2. Números naturales........................................................................................ 23 1.2.1. Números naturales y números naturales aumentados....................... 23 1.2.2. Operaciones básicas de los números naturales................................. 23 1.3. Números enteros........................................................................................... 23 1.3.1. Definición de los números enteros...................................................... 23 1.3.2. Relación entre números naturales y enteros...................................... 24 1.3.3. Potencia y representación de un número entero................................ 24 1.3.4. Leyes de los exponentes con números enteros.................................. 25 1.3.5. Definición de un número primo y número compuesto......................... 25 1.3.6. Descomposición de un número entero en sus factores primos.......... 25 1.3.7. Definir múltiplos y divisores de un número entero.............................. 25 1.3.8. Común múltiplo de dos o más números enteros................................. 26 1.3.9. Operaciones básicas con números enteros........................................ 26 “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 2  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra 1.4. Números racionales...................................................................................... 32 1.4.1. Definición y representación de números racionales........................... 32 1.4.2. Conversión de un número racional (fracción decimal)...................... 32 1.4.3. Operaciones básicas con números racionales................................... 33 1.4.4. Relación entre números racionales, enteros y naturales.................... 35 1.5. Números irracionales.................................................................................... 35 1.5.1. Definición de números irracionales..................................................... 35 1.5.2. Operaciones con números Irracionales…………………………..……. 35 1.6. Números reales............................................................................................. 37 1.6.1. Definición del conjunto de los números reales.................................... 37 1.6.2. Relación biunívoca entre números reales y los puntos de una recta.. 37 1.6.3. Ley de tricotomía e interpretación gráfica........................................... 37 1.6.4. Números reales sobre la recta real..................................................... 37 1.6.5. Propiedades de los números reales.................................................... 38 UNIDAD DE COMPETENCIA 2. OPERACIONES FUNDAMENTALES CON 39 EXPRESIONES ALGEBRAICAS................................................................................... 2.1. Definición de una expresión algebraica………………………...................................... 40 2.2. Definición de los componentes de una expresión algebraica.................................. 40 2.3. Clasificación y evaluación de expresiones algebraicas según su número de 41 términos…………………………………………………………………………………………. “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 3  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra 2.4. Elementos de una resta, suma, división y multiplicación……………………… 41 2.5. Suma, resta y multiplicación de dos expresiones algebraicas……………….. 41 2.6. Multiplicación de expresiones algebraicas……………………………………… 51 2.6.1. Monomio por monomio............................................................................ 51 2.6.2. Monomio por polinomio......................................................................... 52 2.6.3. Polinomio por polinomio........................................................................ 54 2.7. Formas para indicar el cociente de dos expresiones algebraicas................... 57 2.8. Condiciones para efectuar una división en forma sintética............................. 58 UNIDAD DE COMPETENCIA 3. PRODUCTOS NOTABLES............................... 63 3.1. Definición y análisis del concepto de producto Notable ……………………… 64 3.2. Reglas Aplicables a los productos notables………………………………….. 64 3.2.1. Binomio al cuadrado (a+b)2 y (a-b)2 …………………………………….. 64 3.2.2. Producto de dos binomios conjugados (a+x) (a-x)……….…………… 66 3.2.3. Binomio al cubo (a+b)3…………………………………………………….. 67 3.2.4. Producto de dos binomios con un término común (a+x) (a+y)………. 69 3.2.5. Producto de un binomio por un trinomio(a+b)(a2-ab+b2)……………… 71 3.2.6. Producto de la forma (mx+a)(nx+b)……………………………………….. 72 UNIDAD DE COMPETENCIA 4. PRODUCTOS NOTABLES......................................... 73 4.1. Definición de factorización de una expresión algebraica…………………............. 74 4.2. Formas de Factorización………………………………………………………………….. 74 “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 4  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra 4.2.1. Factor Común………………………………………………………………………. 74 4.2.2. Diferencia de Cuadrados………………………………………………………….. 77 4.2.3. Trinomio Cuadrado Perfecto………………………………………………………. 79 4.2.4. Trinomio de la forma x2+ bx + c………………………………………….... 81 4.2.5. Trinomio de la forma ax2 + bx + c…………………………………………. 83 4.2.6. Suma o diferencia de cubos……………………………………………….. 85 4.2.7. Factorización por agrupación……………………………………………… 87 4.2.8. Factorización por evaluación………………………………………………. 89 UNIDAD DE COMPETENCIA 5. FRACCIONES ALGEBRAICAS....................... 92 5.1 Simplificación……………………………………………………………………… 93 5.1.1 Condición fundamental para simplificación de fracciones………………. 93 5.1.2 Principio básico de las fracciones……………………………………………. 93 5.1.3. Simplificación de fracciones con numerador y denominador con uno o más términos factorizables 94 5.2. Multiplicación y división …………………………………………………………… 97 5.2.1. Regla básica para multiplicar fracciones algebraicas………………...... 97 5.2.2. Regla básica para dividir fracciones algebraicas………………………... 97 5.2.3. Multiplicación y división de fracciones algebraicas……………………. 98 5.3. Suma y Resta………………………………………………………………………. 101 5.3.1. Definición y mínimo común múltiplo de un conjunto de multinomios….. 101 5.3.2. Mínimo común múltiplo de dos o más multinomios……………………… 101 5.3.3. Sumas de fracciones algebraicas con diferentes denominador………. 102 5.4. Fracciones complejas…………………………………………………………….. 105 5.4.1. Definición de fracciones complejas……………………………………….. 105 “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 5  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra 5.4.2 Fracciones complejas con expresiones algebraicas……………………. 105 UNIDAD DE COMPETENCIA 6. EXPONENTES Y RADICALES....................... 109 6.1. Expresiones algebraicas con exponentes enteros........................................ 110 6.2. Expresiones algebraicas con exponentes racionales................................... 111 6.3 Expresiones algebraicas con exponentes radicales...................................... 111 REFRENCIAS..................................................................................................... 120 CLAVE DE MATERIA: 101 HORAS POR SEMANA: 2 CRÉDITOS: 10 SEMESTRE: HORAS POR SEMESTRE: 32 REQUISITO: Ninguno FECHA DE REVISIÓN: CAMPO DISCIPLINAR: Matematica COMPONENTE DE Tronco común FORMACIÓN: ACTITUDES QUE FAVORECEN Disposición para trabajar de manera individual o en equipo, iniciativa, EL CURSO: perseverancia, responsabilidad, puntualidad, honestidad, orden y limpieza, autoaceptación, confianza en sí mismo. COMPETENCIA GENERAL COMPETENCIAS GENÉRICAS COMPETENCIAS DISCIPLINARES DEL CURSO QUE IMPACTA QUE IMPACTA Aplica expresiones algebraicas 4.1 Expresa ideas y conceptos 1. Construye e interpreta con base en las mediante representaciones modelos matemáticos reglas algebraicas, para lingüísticas, matemáticas o mediante la aplicación de identificar de manera reflexiva, gráficas. procedimientos algebraicos, su validez como alternativa de solución en problemas prácticos 5.1 Sigue instrucciones y para la comprensión y de su realidad inmediata, lo cual procedimientos de manera solución de situaciones sirva de apoyo en sus procesos reflexiva, comprendiendo reales de construcción del cómo cada 2. Interpreta tablas, gráficas, conocimiento. uno de sus pasos contribuye al mapas, diagramas y textos alcance de un derivados de situaciones objetivo. cotidianas a través de un 7.1 Define metas y da lenguaje algebraico. seguimiento a sus 3. Explica e interpreta los procesos de construcción de conocimiento. resultados obtenidos 8.1 Propone maneras de mediante procedimientos solucionar un matemáticos y los contrasta problema o desarrollar un con modelos establecidos. proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 6  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra UNIDAD DE COMPETENCIA 1 Aplica los procedimientos básicos de UNIDAD DE la teoría de conjuntos numéricos en TIEMPO ASIGNADO: 10 HORAS COMPETENCIA 1: la resolución de casos prácticos dados en clase. EJE DISCIPLINAR COMPONENTE DISCIPLINAR CONTENIDOS CENTRALES Y ESPECÍFICOS 1. Conjuntos y números reales 1.1 Nociones básicas de conjuntos. Del pensamiento aritmético al Patrones, simbolización y 1.1.1 Definición generalización: representación elementos del álgebra básica. lenguaje algebraico. y descripción de conjuntos numéricos. 1.1.2 Tipos de operaciones con conjuntos. 1.1.3 Diagramas de Venn 1.1.4 Ejercicios de aplicación. 1.2 Números naturales. 1.2.1 Números naturales y números naturales aumentados. 1.2.2 Operaciones básicas de los números naturales. 1.3 Números enteros. 1.3.1 Definición de los números enteros. 1.3.2 Relación entre números naturales y enteros. 1.3.3 Potencia y representación de un número entero. 1.3.4 Leyes de exponentes con números enteros. 1.3.5 Definición de número primo y número compuesto. 1.3.6 Descomposición de un número entero 1.3.7 Definir múltiplos y divisores de un número entero. 1.3.8 Común múltiplo de dos o más número 1.3.9 Operaciones básicas con números “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 7  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra APRENDIZAJES ESPERADOS PRODUCTOS ESPERADOS INSTRUMENTO DE EVALUACIÓN 1. Resuelve situaciones 1. Ejercicios resueltos donde 1. Ejercicios resueltos en clase. problemáticas reales usando aplique las operaciones básicas entre 2. Portafolio de evidencias; operaciones con conjuntos y conjuntos. Ejercicios de tarea. diagramas de Venn. 2. Problemas resueltos con cada 2. Realizar operaciones básicas uno de los tipos de número. 3. Ejercicio de autoevaluación con cada uno de los tipos de 3. Mapa conceptual sobre los 4. Exámenes cortos por tema o números vistos en clase en diferentes tipos de números semanales la solución de problemas vistos en clase. relacionados con su entorno. 5. Examen parcial. 4. Elaboración de un glosario de términos 3. Identifica las características utilizados en esta relevantes de los números unidad. naturales, enteros, racionales, irracionales y 5. Elaborar formulario reales. que incluya leyes de los exponents y de los signos 6. Elaborar piramide de jerarquía de las operaciones. “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 8  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra UNIDAD DE COMPETENCIA 2 Realizar operaciones de suma, resta, división y multiplicación para dar respuesta a problemas UNIDAD DE planteados utilizando expresiones algebraicas, TIEMPO 10 HORAS COMPETENCIA 2: tomando en cuenta la identificación de sus ASIGNADO: componentes, así como su clasificación según el número de términos. CONTENIDOS CENTRALES Y EJE DISCIPLINAR COMPONENTE DISCIPLINAR ESPECÍFICOS 2.1 Definición de expresión algebraica. Del pensamiento aritmético al Patrones, simbolización y lenguaje algebraico. generalización: elementos del 2.2 Definición de los álgebra básica componentes de una expresión algebraica. 2.3 Clasificación y evaluación de expresio 2.4 Elementos de una resta, suma, división y multiplicación. Suma, resta y multiplicación de dos expresiones algebraicas. 2.6 Multiplicación de expresiones algebraicas. 2.6.1 Monomio x monomio. 2.6.2 Monomio x polinomio. 2.6.3 Polinomio x polinomio. 2.7 Formas para indicar el cociente de dos expresiones algebraicas. 2.8 Condiciones para efectuar una división en forma sintética “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 9  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra APRENDIZAJES ESPERADOS PRODUCTOS ESPERADOS INSTRUMENTO DE EVALUACION 1. Identificar los componentes de una 1. Rúbrica expresión algebraica. 1. Elaboración de un gráfico donde identifique 2. Diferenciar las expresiones sus componentes y las diferentes 2. Ejercicios resueltos en clase. algebraicas según su número de expresiones algebraicas según su términos. número de términos. 3. Portafolio de evidencias; Ejercicios de tarea. 3. Realizar operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y 2. Ejercicios donde aplique las reglas algebraicas en las operaciones 4. Ejercicio de autoevaluación división de expresiones algebraicas básicas entre monomios y de monomios y polinomios. polinomios. 5. Exámenes cortos por tema o semanales 4. Resolver problemas prácticos 3. Ejercicios donde aplique las reglas relacionados con su entorno a través algebraicas en la solución de 6. Examen parcial de operaciones básicas con problemas prácticos utilizando expresiones algebraicas de monomios operaciones básicas de monomios y polinomios. y polinomios. 4. Elaboración de un glosario de términos utilizados en esta unidad. “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 10  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra UNIDAD DE COMPETENCIA 3 Resolver casos prácticos dados en clase donde se involucren UNIDAD DE multiplicación de polinomios TIEMPO ASIGNADO: 20 HORAS COMPETENCIA 3: aplicando las reglas correspondientes a los productos notables. CONTENIDOS CENTRALES Y EJE DISCIPLINAR COMPONENTE DISCIPLINAR ESPECÍFICOS 3. Productos notables Del pensamiento aritmético al Patrones, simbolización y generalización: elementos del álgebra básica. 3.1 Definición y análisis del lenguaje algebraico. concepto de producto notable. 3.2 Reglas aplicables a los productos notables: 3.2.1 (a + b)2 3.2.2 (a - b)2 3.2.3 (a + x)(a - y) 3.2.4 (a + x)(a + y) 3.2.5 (a + b)3 3.2.6 (a - b)3 3.2.7 (a + b +...+ n)2 3.2.8 (a + b)(a2 - a b + b2) 3.2.9 (a - b)(a2 - a b + b2) 3.2.10 (ax + b)(cx + d) APRENDIZAJES ESPERADOS PRODUCTOS ESPERADOS INSTRUMENTO DE EVALUACIÓN 1. Identifica las 1. Cuadro comparative de los 1. Rúbrica características diferentes productos notables importantes de los diversos 2. Portafolio de evidencias casos de productos 2. Ejercicios donde notables. aplique los reglas de los 3. Ejercicios de tarea. productos notables en 2. Resuelve ejercicios y la solución de 4. Ejercicio de autoevaluación problemas con productos problemas. notables. 5. Exámenes cortos por temas o 3. Resuelve casos prácticos 3. Solución de casos prácticos semanales contextualizados en su asignados en clase entorno donde se 6. Examen parcial involucren multiplicaciones 4. Formulario de aplicando las reglas productos notables correspondientes a los productos notables. “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 11  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra UNIDAD DE COMPETENCIA 4 Reducir una expresión algebraica formada UNIDAD DE por dos o más términos, a una sola expresión, aplicando reglas de TIEMPO ASIGNADO: 15 HORAS COMPETENCIA 4: factorización. COMPONENTE CONTENIDOS CENTRALES Y EJE DISCIPLINAR DISCIPLINAR ESPECÍFICOS 4. Factorización 4.1 Definición de factorización de Del pensamiento aritmético al Patrones, simbolización y una expresión algebraica. lenguaje algebraico. generalización: elementos del 4.2 Formas de factorización: álgebra básica. 4.2.1 Factor común. 4.2.2 Diferencias de cuadrados 4.2.3 Trinomios cuadrados perfectos. 4.2.4 Trinomios de la forma x2 + bx + c 4.2.5 Trinomios de la forma ax2 + bx + c 4.2.6 Suma o diferencia de cubos. 4.2.7 Factorización por agrupación. 4.2.8 Factorización por evaluación. APRENDIZAJES ESPERADOS PRODUCTOS ESPERADOS INSTRUMENTO DE EVALUACIÓN 1. Aplica reglas de factorización 1. Un formulario donde identifique 1. Ejercicios resueltos en clase. en la solución de las distintas problemas con polinomios formas de la factorización. 2. Portafolio de evidencias; de diferente cantidad de Ejercicios de tarea. términos. 2. Ejercicios donde aplique los reglas de la 3. Ejercicio de autoevaluación 2. Aplica reglas de factorización en la factorización en la solución de problemas. 4. Exámenes cortos por temas o solución de casos prácticos semanales donde se involucren 3. Ejercicios donde aplique las polinomios de diferente reglas de la factorización en la 5. Examen parcial cantidad de términos. solución de casos prácticos. 4. Elaboración de un glosario de términos utilizados en esta unidad. “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 12  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra UNIDAD DE COMPETENCIA 5 UNIDAD DE COMPETENCIA 5: Aplicar reglas sobre exponentes, TIEMPO factorización, multiplicación y división en la simplificación de ASIGNADO: fracciones formadas por expresiones algebraicas. EJE COMPONENTE CONTENIDOS CENTRALES Y DISCIPLINAR DISCIPLINAR ESPECÍFICOS 5. Fracciones algebraicas 5.1 Simplificación. Del pensamiento aritmético Patrones, simbolización 5.1.1. Condición fundamental al lenguaje algebraico. para simplificar una y generalización: fracción algebraica. elementos del álgebra básica. 5.1.2 Principio básico de las fracciones. 5.1.3 Simplificación de fracciones algebraicas con numerador y denominador con uno o más términos factorizables. 5.2 Multiplicación y División. 5.2.1 Regla básica para multiplicar fracciones algebraicas. 5.2.2 Regla básica para dividir fracciones algebraicas. 5.2.3 Multiplicación y división de fracciones algebraicas. 5.3 Suma y Resta. 5.3.1 Definición de Mínimo común múltiplo de un conjunto de multinomios. 5.3.2 Mínimo común múltiplo de dos o más multinomios. 5.3.3 Suma y resta de fracciones algebraicas con diferente denominador. 5.4 Fracciones complejas. APRENDIZAJES ESPERADOS PRODUCTOS ESPERADOS INSTRUMENTO DE EVALUACIÓN 1. Determina a través de 1. Ejercicios resueltos 1. Ejercicios resueltos en clase. la simplificación de entregados en clase 2. Portafolio de evidencias; Ejercicios de fracciones algebraicas donde se haya aplicado tarea. expresiones operaciones básicas 3. Ejercicio de autoevaluación equivalentes. entre fracciones 4. Exámenes cortos por tema o semanales 2. Aplica operaciones básicas algebraicas. 5. Examen parcial entre fracciones 2. Elaboración de un algebraicas en la solución glosario de de casos prácticos. términos utilizados en esta unidad. “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 13  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra UNIDAD DE COMPETENCIA 6 UNIDAD DE Utilizar operaciones con expresiones algebraicas en la TIEMPO COMPETENCIA 6: solución de casos prácticos dados en clase, cuando los ASIGNADO: exponentes son números enteros, números racionales y radicales. CONTENIDOS CENTRALES Y EJE DISCIPLINAR COMPONENTE DISCIPLINAR ESPECÍFICOS 6.1 Expresiones algebraicas con Del pensamiento aritmético al Patrones, simbolización y exponentes enteros. lenguaje algebraico. generalización: elementos 6.2 Expresiones algebraicas con del álgebra básica. exponentes racionales. 6.3 Expresiones algebraicas con radicales. APRENDIZAJES ESPERADOS PRODUCTOS ESPERADOS INSTRUMENTO DE EVALUACIÓN 1. Resuelve 1. Ejercicios resueltos en clase. potencias de 1. Ejercicios donde aplique las 2. Portafolio de evidencias; Ejercicios base racional y reglas de los exponentes y de tarea. exponentes radicales en la solución de entero y problemas. 3. Ejercicio de autoevaluación fraccionario. 2. Ejercicios resueltos de 4. Exámenes cortos por tema o 2. Resuelve expresiones expresiones algebraicas semanales algebraicas con con radicales. 5. Examen parcial radicales. “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 14  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra CRITERIOS DE DESEMPEÑO SISTEMA DE EVALUACIÓN La calificación final será obtenida mediante la suma del 25 % de cada una de las cuatro evaluaciones parciales. Cada calificación parcial será obtenida considerando los siguientes aspectos: Examen 40%, asignaciones extra clase 25%, asignaciones dentro del aula 25%, portafolio 5%, actitudes y valores 5%. BIBLIOGRAFÍA Baldor, A. (2017), Algebra, México: Patria Dolciani y Col. (1989). Algebra Moderna Libro 1. México: Publicaciones C García J. y Marco A. (1995). Matemáticas 1 para preuniversitarios. México: Esfinge. Gobran, A. (1990), Álgebra elemental. , México: Iberoamericanal Lazo A, silva, J. M y Hernández, M. E.(2008). Álgebra preuniversitaria. México: Limusa. Lehmann C (1980) Álgebra. México: Limusa Méndez H. A. y Osorio F. J. M. (2015) Matemáticas I, F Santillana Stanley, A. S. (2001). Algebra. México: Pearson. Rees, S. y Col., Algebra (1992). México: Mc, Graw Hill “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 15  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra UNIDAD DE COMPETENCIA 1 Conjuntos y Números Reales “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 16  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra UNIDAD DE COMPETENCIA 1 Aplicar los procedimientos básicos de la teoría de conjuntos numéricos en la resolución de casos prácticos dados en clase. COMPETENCIAS GENÉRICAS:  Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas o gráficas.  Identifica las ideas clave en un texto o discurso oral e infiere conclusiones a partir de ellas.  Maneja las tecnologías de la información y la comunicación para obtener información y expresar ideas.  Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. 1.1. NOCIONES BÁSICAS DE CONJUNTOS. 1.1.1 DEFINICIÓN, REPRESENTACIÓN Y DESCRIPCIÓN DE CONJUNTOS NUMÉRICOS. Se llama conjunto a una agrupación o colección de objetos que tienen una propiedad en común, los objetos reciben el nombre de: elementos. Los conjuntos se representan por medio de las siguientes notaciones:  Notación por extensión: se refiere a describirlos elementos separados por coma y agrupados en llaves, representados por una letra mayúscula castellana o griega. Por ejemplo: “ A: es el conjunto de números enteros positivos menores o iguales que 5”, se representa como: A= {1,2,3,4,5}. “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 17  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra Un segundo ejemplo: ““ B: es el conjunto de las primeras 4 letras del abecedario”, se representa como: B= {a,b,c,d}.  Notación por comprensión: Se refiere a representar los elementos de un conjunto utilizando una proposición abierta (propiedad de los elementos), mediante una desigualdad. Ejemplo: el conjunto anterior se escribe como A= {x│0< x ≤ 5, x es un numero entero}, que se lee “A: es el conjunto de elementos x, tales que x representa todos los números enteros mayores que el cero y menores o iguales que el 5”. Recordando los símbolos de desigualdad: Símbolo de la Nombre del símbolo desigualdad a>b a es MAYOR QUE b a (mayor). 1. 1 5 2. -4 2 2 6 9 7 -2 2 3. 3 6 4. 5 7 7 14 B.- Busca una fracción equivalente. 5. 3 = 6. 4 = 16 7. = 6 5 20 6 3 9 C. Simplifica las siguientes fracciones. 8. 9. 10. D. Suma las siguientes fracciones y expresa la respuesta en forma simplificada 11. 2 + 1 5 5 12. 3 + 1 2 4 13. 2 + 1 3 7 “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 33  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra E. Resta de Fracciones 14. 1 - 1 2 8 15. 2- 1 3 3 16. 8 - 2 9 5 F. Multiplicación de Fracciones 17. 2. 6 5 10 18. 1. 4 3 9 19. 2. 8 16 9 G. División de Fracciones 20. 3 ÷ 1 5 10 - 21. 2 ÷ 3 7 4 22. 1 ÷ 1 4 2 “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 34  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra 1.4.4 RELACIÓN ENTRE NÚMEROS RACIONALES, ENTEROS Y NATURALES En que los números naturales forman parte de los números enteros y ambos se encuentran dentro de los números racionales. 1.5. NÚMEROS IRRACIONALES 1.5.1 DEFINICIÓN DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES Son aquellos que no pueden ser expresados en forma de fracción de dos enteros. Por ejemplo: La expresión decimal de los números irracionales es infinita no periódica y por lo tanto los números decimales infinitos no periódicos no pueden expresarse en forma de fracción y por tanto son irracionales. Hay muchos números irracionales, como: 2, 3, 5 ,  = 3.14159...., etc. Representación de algunos números irracionales. , , 1.5.2 OPERACIONES CON NÚMEROS IRRACIONALES EJERICICIO 11. A) calcula los valores de las siguientes potencias 1. 163/2= √163 = √(24)3 = √(2)12 = 26 = 64 2. 82/3 = “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 35  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra 3. 810.75 = 4. 80.33 = B) extraer factores 1. √(2 * 32 * 55) = 2. √(27 * 314 * 54)= C) introducir factores 1. 2 √3 = 2. 2 * 33 4√6 = “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 36  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra 1.6 NÚMEROS REALES 1.6.1. DEFINICIÓN DEL CONJUNTO DE NÚMEROS REALES Es la combinación de números racionales e irracionales, es decir cualquier número positivo o negativo, fracción o decimal es un número real. 1.6.2. RELACIÓN BIUNÍVOCA ENTRE LOS NÚMEROS REALES Y LOS PUNTOS DE UNA RECTA (asignación) 1.6.3 LEY DE TRICOTOMÍA E INTERPRETACIÓN GRAFICA Se dice que se cumple con la ley de tricotomía si dados a, b є R se cumple una y solo una de las proposiciones siguientes; a = b; a > b; a < b 1.6.4.NÚMERO REALES SOBRE LA RECTA REAL Los números naturales, los números enteros, los racionales y los irracionales constituyen el conjunto de números reales; todos estos los podemos representar en la recta numérica. Recordemos: la recta con sus puntos que representan números, que se llama recta numérica, la cual se divide en partes iguales con base en un segmento “unidad” escogido convenientemente, sin que sea necesario que, por ejemplo; sea un centímetro. -3 -2 -1 0 1 2 3 “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 37  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra 1.6.5. PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES Propiedad N Operación Definición Que dice Ejemplo N Todo real sumado a 0 se -11 + 0 = -11 Suma a+0=a queda igual; el 0 es la identidad Identidad aditiva. Todo real multiplicado por 1 se queda igual; el 1 es la Multiplicación a x 1= a identidad multiplicativa. 17 x 1 = 17 Suma a+(b+c)=(a+b)+c Puedes hacer 7+(6+1)=(7+6)+1 diferentes asociaciones al sumar o Asociativa Multiplicación a(bc) = (ab)c multiplicar -2(4x7)= (-2x4)7 reales y no se afecta el resultado. Suma a+b=b+a El orden al 2+8=8+2 sumar o Conmutativa multiplicar reales no afecta Multiplicación el resultado. ab = ba 5(-3) = ( -3)5 Suma a + ( -a) = 0 La suma de 15 + (-15) = 0 opuestos es cero. Inversos Multiplicación El producto de recíprocos es 1. Suma respecto a El factor se Distributiva a(b+c) = ab + ac 2(x+8) = 2(x)+ 2(8) distribuye Multiplicación “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 38  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra UNIDAD DE COMPETENCIA 2 Operaciones fundamentales con expresiones algebraicas UNIDAD DE COMPETENCIA 2 Realizar operaciones con suma, resta, división y multiplicación para dar respuesta a problemas planteados utilizando expresiones algebraicas, tomando en cuenta la identificación de sus componentes, así como su clasificación según el número de términos. “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 39  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra COMPETENCIAS GENÉRICAS:  Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas o gráficas.  Identifica las ideas clave en un texto o discurso oral e infiere conclusiones a partir de ellas.  Maneja las tecnologías de la información y la comunicación para obtener información y expresar ideas.  Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. 2.1 DEFINICIÓN DE EXPRESIÓN ALGEBRAICA Es una combinación de números y letras que representan números cualesquiera. Por ejemplo: 2x2 – 3xy + 6y3 ; 2a3b4, etc. 2.2 COMPONENTES DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA Término: Es una expresión que solo contiene productos y cocientes de 5x números y letras. Por ejemplo: 5x3y; 3a3b; , etc. 2w Variable: Es la letra o letras que tenga el término. Constante: Es un término formado por un número real sin letras. Coeficiente numérico: Es el número que multiplica a una letra o letras que forman el término. Términos semejantes: Son aquellos que solo se diferencian en su coeficiente numérico. Por ejemplo: 3x; 2xy “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 40  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra 2.3 CLASIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS SEGÚN EL NÚMERO DE SUS TÉRMINOS  Monomio: Es la expresión algebraica formada por un término. Ejemplo: 5ax  Trinomio: Es la expresión algebraica formada por tres términos. Ejemplo: a2+5ª – 8  Multinomio: Es la expresión algebraica formada por más de un término. También se Le llama polinomio. Ejemplo: 7x + 6y + 8  Polinomio: Es un binomio o un multinomio en el que cada término es entero y racional con respecto a las letras. Por ejemplo: 3x2y3 – 5x4y2. 5 Sin embargo 3x2+ ; 4 y + 3; no son polinomios. x 2.4 ELEMENTOS QUE COMPONEN A LA SUMA, RESTA, DIVISIÓN Y MULTIPLICACIÓN. SUMA: Sumandos, suma o total. RESTA: Minuendo, sustraendo, diferencia. DIVISIÓN: Divisor, dividendo, cociente, residuo. MULTIPLICACIÓN: Factores, producto. 2.5 SUMA, RESTA Y MULTIPLICACIÓN ALGEBRAICA DE DOS EXPRESIONES La suma o adición es una operación que tiene por objeto reunir dos o más expresiones algebraicas (sumandos) e una sola expresión algebraica (suma). En aritmética, la suma siempre significa aumento, pero en álgebra la suma es un concepto más general, pues puede significar aumento o disminución ya que hay sumas algebraicas que equivalen a una resta en aritmética. Sumar o restar polinomios implica combinar los términos semejantes (los que tienen el mismo exponente en la variable) y luego aplicar las leyes de signos de la suma y resta. “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 41  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra EJERCICIO 12: Evaluar las siguientes expresiones, donde a=2, b= -3, c=1, d=-2. 1. 3a + d= 2. 2c – b 3. 2b + 4d – 7= 4. 3d – 4a– 2b + d= 5. 6a – 5b – d 6. a + 2b – c + 6d= 7. 2a + b – 2c + 3d= 8. ab – cd= 9. ac – 3cd= 10. 5c – 3ab= 11. 4a – b(c-d)= 12. 2c – d(2a – 3d)= “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 42  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra 13. 6ac + 2bd= 14. 2b - 3c= 15. = 16. 17. = 18. 19. EJERCICIO 13: Reducirlos siguientes términos semejantes: 1. 3a + 2b – 5a+ 6b= 2. 3x + 8y – 6x – 4y = 3. -5a – 10a= 4. 6x2 – 4x2 – 8x2 = “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 43  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra 5. -ab +ab = 6. 19m – 7n + 8m + 7n= 7. -x + 2y – z + 3x – 2y = 8. 5xa + 6xa – 9xa = 9. 8pq – 7pq + 15pq = 10. m2+7mn–4m2–6mn+3m2= 11. -12p2 + 16pq – 27q2 – 4pq = 12. 4x3 – 5x2 +3x3 +2x2 – 8x = 13. 40b + 12b – 7b – 16b = 14. 231x – 361x +264x–576x = 15. 5x – 4 +3x +2 – 16 – 18x +3 –4x = 16. 15x + y – 8x – 17y = 17. a + b – c +2a – 3b + 5c = 18. 3m-5n+6p – 3m + 5n – 6p= 19. x2 – 9 + x + x2 – x – 15 + x2 + 3x = 20. 3a2 –14ab+10b2+a2 –4ab = “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 44  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra EJERCICIO 14: Sumar los siguientes monomios: 1. a, b, c 2. 2x, -4x, 3x, 5x 3. 5m, -3mn, 6m 4. -7a2, 5ab,3b2, -a2 5. 4x2, 6xy, -5xy, 7y2, -3x2 6. 2x, -4y, 6z, 8x, y, 4z 7. x2, -ax2y, 6x3, -3xy2, -8x2y, -2x3 8. 6a2,-7b2,-12,-3ab,8a2,-5b2 9. 2x, 2y, -6, -3y, -4x, 5 10. -6a2, 6ab, 2b2, -a2 EJERCICIO 15: Restar los siguientes monomios: 1. De -9x2 restar 5x2 2. De 11m restar -6m 3. De -5b restar 8b 4. De -30m restar 6m 5. De 16ab restar 4ab 6. Restar -4ab de 8ab “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 45  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra 7. Restar -14a de 13a 8. Restar 7ab de – 6ab 9. Restar -5c de 10c 10. Restar 26xy de -13xy EJERCICIO 16: Sumar o restar los siguientes polinomios 1. (7x – 5y + 8z) + (2x + 6y – 3z) = 2. (3a – 5b + 2c) – (4a – 3b – 5c) = 3. (2x +3y - 2z) + (4x -2y) – (3y – 2z) = 4. (2xy – 5yz + 3xz) + (3xy + 6yz – 5xz) – (4xy + 6yz – 3xz) = “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 46  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra 5. (11ax – 9by) + (10cz + 4ax) – (3by + 7cz) = 6. (3x – 5y – 2z) – (2x – 4y – 3z) = 7. (6p2q2 – 5pq2 – 12pq) + (4 p2q2 - 7 pq2 – 13pq) = 8. (2a + 3b – 2c) + (a + b – c) + (4a – 2b – 3c) = 9. (2m + 3n – 5p) + (3m + 2n – 8p) – (6m + 7n – 15p) = 10. (3x + 4y – 5z) + (5x – 3y – 2z) – (4x – 3y – 7z) = 11. (2x + 3x2 – 5x3) + (3x – 2x2 + 7x3) – (-5x – x2 + 4x3) = 12. (7a + 8ax – 4ax2) + (3a – 5ax + 2ax2) – (3a – ax – ax2) = “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 47  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra 13.- (4m – 5n + 8p) + (3m + 4n – 2p) – (-3m + 2n – 4p) = 14. (-6pq + p2q + 3pq) – (2pq + 2p2 – 12pq2) = 15. (9x – 8y + 3z) + (8x – 4y + 3z) – (12x + 4y – 3z) – (12x + 4y – 3z) = 16. (2a + 4b – 5c) – (3a + 4b) + (8a + b – 3c) = 17. (4s – 3r) – (5s + 3r) = 18. (8s – 3r + 5t) + (-5s + 6r – 4t) – (-4r + 2s – 5t) = 19. (5a + 8b – 3c) + (4a + 6b + 5c) – (-8a + 3b + c) = 20. (2x3 – 6x2 + 3x) – (-7x3 + 4x2 – 8x) + (3x3 – 2x2 + 3x) = “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 48  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra EJERCICIO 17: Eliminar los símbolos de agrupación y reducir términos semejantes 1. 3a + (2 + 5a) = 2. 3x - (-3 – 2x) = 3. y – (3y – 8) = 4. (5x – 4y) + (7x + y)= 5. (2b – c) – (b + c) = 6. 3x – (2y + 3z) + ( y + z) = 7. 9 – (a + 3) + (a + 2) = 8. 13 + (x+5) – (6 + 2x) = 9. x – (2x + 3y) + (2x + 1) = 10. 3x + [2 – (8x – 3)] = 11. 5x + [3- (2x -1)] = 12. 4x + [y – (x – 2y)] – [5 – (1 – x)] = 13. 3x – [y (x – 2y)] – [2x – (y – 2x)] = 14. 4y + {3 – [2-(x + y)] - [-3 +(2x –y)]} = “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 49  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra 15. 2x – [y + (1-x) +(x+y)] = 16. 7x – {5y – [-(x-y)+(x-y)]} = 17. 2x + {5x – [y+(x-4)-(y+3)]} = 18. 10 + {x-[6y – (12x -10) – (7x-5y)]} = 19. {a+[-2b-(5a-2b-3) + (7a-3b-4)]} = 20. 2a – {5b+[-8-(3a-2b) + (5a-3b)]+4}-8b= “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 50  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra 2.6 MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGÉBRICAS Recordemos que los términos que componente una multiplicación se llaman factores y al resultado de la misma se le conoce como producto. Para resolverla se multiplican los coeficientes y a continuación de este producto se escriben las letras de los factores (de preferencia en orden alfabético), poniéndole a cada letra un exponente igual a la suma de los exponentes que tenga en los factores. El signo del producto vendrá dado por la ley de los signos para la multiplicación. 2.6.1. MONOMIO POR MONOMIO EJERCICIO 18: Multiplicar los monomios: 1. (2x) (3x) = 2. (2xy) (-3xy) = 3. (-7xy2) (4xy) = 4. (-3x2y3) (-8x5y7) = 5. (-3mn) (6m4n6) = 6. (abc) (def) = 7. (xyz) (abx2) = 8. (a2b3) (-2a 3b4) = 9. (3x2y) (-7xy2) = 10. (8a 2b3) (-4a 5b2xy) = 11. (2) (-3xy) (5x) = 12. (3x2) (-8x3y) ( xy) = 13. (2mn) (-4m2n3) (-3mn6) = 14. (2x3y4)(-3x2 y8z9) (5xyz) = “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 51  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra 15. (-3ab2c)(-22bc) (-5abc) = 16. (5ab) (-3a3 b7) (3abc) = 16. (2x4y2z) (-4xy) (-3xz) (-2yz5) = 18.(2a2)(-b3)(3c2)(-2a)(b5)(-2c) = 19. (3xy) (2xyz) (9yz4)= 20. (-11xyz) (-4x3) (-3xy) = 2.6.2. MONOMIO POR POLINOMIO EJERCICIO 19: Multiplicar: 1. -3x(x2 + 3x – 8)= 2. x (-x2 + 2x – 8) = 3. 2x (3x -2) = 4. -x2(7x5 – 3x3 + x) = 5. 5m (m2 – 3m + 5) = 6. -3a (2a2 – 5a -3 ) = 7. p (3p -2q + 6) = 8. (5r) (r3 + 2r2 – r + 6) = 9. 3y (2-y) = 10. 5xy (-12x2–6xy–12y+3) = 11. (a2b) (5a3+ 2a2 – 4ab2 – 6b3)= 12. 2by (10a2 -7ab2 + 4y + 2) = “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 52  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra 13. (pq) (12p2-4pq +7q2) = 14. m3n2(8m2 – 4mn – 3n5) = 15. (3a + 2b)(-4a) = 16. (2a2y) (5a2 – 3ayz – 3y2) = 17. (-3ab) (a5 – 3a4b + 2a3b2 – 4a2 b3 + 2ab4 – b5) = 18. (3x3 -3x2 -6x – 7) (3x) = 19. (-amn) (-3a2mn5 + 7am4n –amn) = 20. (xyz) (2x – 3y2+ 2z3)= “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 53  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra 2.6.3. POLINOMIO POR POLINOMIO EJERCICIO 20: Multiplicar 1. (3x -2) (6x +8) = 2. (2x + 3) (3x -2) = 3. (5x – 9) (4x – 7) = 4. (x3 + 5x2 – 7) ( x+2) = 5. (3x – 4) (6x – 5)= 6. (2a -3b) (2a - 3b)= 7. (3a2 -4a-3) (2a2-a+3) = 8. (x+2) (x2-3x-6)= 9. (ax – b) (ax +b) = 10. (2x-3)(3x3 – 3x2 + 4) = 11. (y – 2) (y2 – y + 5) = 12. (x3-2x2) (x4 – 3x3 + 2x2 + 1) = 13. (x-2) ( x4 – 3x3 + 4x2 -2x +4) = 14. (m4-3mn -6n2) (2m – 3n) = “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 54  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra 15. (d2 + 3d)(2d2 – 4d) = 16. (2x -1) (x2- 4x – 6) = 17. (2h3 – h2 – 4h) (2h – 6) = 18. (4z +1) (3z2 -2z + 1) = 19. (x-2) (x4+2x3 -4x2-6x – 24) = 20. (x2–2xy+4y2)(x2–4xy+2y2)= EJERCICIO 21: Simplificar realizando las operaciones indicadas 1. 3x2(x2 – 3x)+ (x2 – 1)(2x-5) = 2. (2x2+3) (4x2) + (3x2-2) (4x) = 3. (2x2 – x3) (6x +2) + (3 x3-2) (3x -4 x2) = 4. (x4 - 2 x3 + 2 x2) (x +3) + (x2 + 2x) (3 x2- 4x) = “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 55  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra 5. 2x (x3 – x + 2) + (x2 -1) (3 x2 -3) = 6. 5x (3x+4) + 3 (1-4x) = 7. a3 + 2a – 3 (a2 + 2) + (a3 +2)= 8. 3[y + 2 (x-3) -4(y-6)] = 9. 2[4 – 2(y+2)] = 10. a-{[7+3(b-4)]+2[8-4(2a+4)]-6}= 11. 4x2-2 {3x +2[x-x(x-3)]}= 12. 9-4{x-[2x(x-3)-x vf(3x+1)]}= “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 56  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra 13. 3a-2[2b+3(a-1)]-3[5-4(b-3)]= 14. 4(x-1) + 5 (3x-2) -2 (3x-6) = 15. 5b – 2 [b-3(3b+8)] = 2.7 FORMAS PARA INDICAR EL COCIENTE DE DOS OPERACIONES ALGEBRAICAS La división es una operación que tiene por objeto dado el producto de dos factores (dividendo) y uno de los factores (divisor), hallar el otro factor (cociente). De esta definición se deduce que el cociente multiplicado por el divisor reproduce el dividendo. 6a 2 Así la operación de dividir 6a2 entre 3a, que se indica 6a2 ÷ 3a ó consiste en 3a hallar una cantidad que multiplicada por 3a de 6a 2. Esa cantidad (cociente) es 2a. Recordemos que la ley de signos de la división es la misma que en la multiplicación, es decir, signos iguales dan positivo y signos diferentes dan negativo y para dividir potencias de la misma base se deja la misma base y se le pone de exponente la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor. “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 57  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra 2.8 CONDICIONES PARA EFECTUAR UNA DIVISIÓN EN FORMA SINTÉTICA EJERCICIO 22: 1. = 2. = 3. = 4. = 5. = 6. = 7. x2y6 = 8. 9a2b2 = x5y3 36a6b10 9. 42a5b4= 10. 26a3b5= 70a9b0 78a4b7 11. 32x5y7= 12. 48a12b15= 64x9y3 36 a8b7 13. 7x2yz3= 14. 12x3y8b7= -21x3yz -4x3y3z “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 58  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra 15. 2x3y = 16. -5ab4c3= -xy 10a2bc 17. -33x4y6z5= 18. 12x3y2z2 = -22x3y6z5 -6x2yz5 19. 9p4q6= 20. -10ab4c3= -3p3q3 5ab4c2 2.8.2 DIVISIÓN DE UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO EJERCICIO 23: Dividir y simplificar: 1. 6x2 + 3x= 2. 12x3-36x2= 3x 6x2 3. 8x2y – 20x3 = 4. 2x4-7x3 – x2= 4x x2 5. x4- 3x3 + 8x = 6. 10x2y– 25x3 = x 5x2 “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 59  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra 7. 18 xy2 – 27 x2y = 8. m2n5 – m3n4 + m4n3= -9xy m2n 3 9. 2r2 – 5r – 6 = 10. 15r3 – 3r2 + 6t = r 3t 2 11. 3c4- 6c3 + 6c2= 12. 2a4b – 4a3b2 – 2a2b3= -3c2 2a2b 13. 15a4 – 18a3 + 6a2= 14. m3n3 – 2m2n4 – 15mn5= -3a2 6mn3 15. b5-4b4 + 6b3= 16. 12t5 + 20t4 – 32t3= b3 -4t3 17. 2ax – 8bx = 18. 10ax + 5x = 2x 5x “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 60  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra 2.8.3 DIVISIÓN DE UN POLINOMIO POR UN POLINOMIO EJERCICIO 24: Efectuar las siguientes divisiones 1. (x3 –x2 -5x + 6) ÷ (x-2) = 2. (3x3+5x-8) ÷(x+3) = 3. (2x3+3x2 –x+16) ÷ (x2+2x-3) = 4. (2x3–x2-7x+2)÷(x-2)= 5. (x3-3x+2) / (x-1) = 6. (x3+3x2+x-3) ÷ (x+2) = 7. 8. 9. 10. “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 61  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra 11. (2r4 – 7r3 + r – 4) ÷ (r2 -2r) = 12. (s3 – 2s2 – 5s + 6) ÷ (s-3) = 13. (2h3 +h2 – 3h +7) ÷ (h +1) = 14. (x3+5x2 -7x+8) ÷ (x-2) = 15. (n3 – n2 – 5n +2) ÷ (n+2) = 16. (3x3 – 2x2 + x – 1) ÷ (x-1)= 17. (c3 – 3c2 + c + 5) ÷ (c+3) = 18. (x3-27) ÷ (x-3) = 19. (x4-3x3+7x2 – 2x + 1) ÷ ( x+2) = 20. (x4 -16) ÷ (x-2) “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 62  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra UNIDAD DE COMPETENCIA 3 Productos notables UNIDAD DE COMPETENCIA 3 Resolver casos prácticos dados en clase donde se involucren multiplicaciones aplicando las reglas correspondientes a los productos notables. “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 63  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra COMPETENCIAS GENÉRICAS:  Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas o gráficas.  Identifica las ideas clave en un texto o discurso oral e infiere conclusiones a partir de ellas.  Maneja las tecnologías de la información y la comunicación para obtener información y expresar ideas.  Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos 3.1DEFINICIÓN Y ANÁLISIS DEL CONCEPTO DE PRODUCTO NOTABLE Se llaman productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección. Es decir, sin verificar la multiplicación y son el resultado de algunos de los productos que con mayor frecuencia se presentan en el cálculo algebraico. 3.2 DEMOSTRAR LAS REGLAS CORRESPONDIENTES DE LOS DIFERENTES CASOS DE PRODUCTOS NOTABLES 3.2.1. BINOMIO AL CUADRADO Un binomio al cuadrado es igual a un trinomio cuadrado perfecto que se obtiene mediante la siguiente regla: “el cuadrado del primer término más el doble del producto del primer término por el segundo término más el cuadrado del segundo término”. Matemáticamente se escribe: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 EJERCICIO 25: 1. (a + 2) 2 = 2. (3 – x)2 = 3. (3p – 5q)2 = 4. (1 + 2x)2 = “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 64  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra 5. (a2x + by2)2= 6. (4c3 – 5d5)2= 7. (6a2b3 + 2x4)2= 8. (8xy – 8z)2= 9. (10x10 – 11y12)2 = 10. (3t3 + 5s2)2= 11. ( xm – 4)2= 12. (7x(a+1) – 3) 2= 13. (2a + 6b)2 = 14. (8x2 – 9y3)2= 15. (11m + 12n) 2= 16. (13x4 – 15y6)2= 17. (x(2a-1) – 1) 2= 18. (2y(a+2) – 5z(a-3))2= 19. (2x + 3y) 2= 20. (5xy2 – 6x2y)2= “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 65  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra 3.2.2. PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CONJUGADOS El producto de la suma de dos números (a + b) por su diferencia (a – b) es un producto notable; a ambos factores, uno en relación con el otro, se les llama binomios conjugados. El producto de dos binomios conjugados recibe el nombre de diferencia de cuadrados. La regla de este producto es la siguiente: (a + b)(a – b) = a2 – b2 EJERCICIO 26: Desarrollar: 1. (a - 3) (a + 3) = 2. (x - 5) (x + 5) = 3. (3x + 4y) (3x – 4y) = 4. (2b + 2) (2b – 2) = 5. (6x – 7y) (6x + 7y)= 6. (12m – 13n) (12m + 13n) = 7. (2s2 – 3t3) (2s2 + 3t3) = 8. (14x2–15y4) (14x2 + 15y4)= 9. (5b2 + 7c3) (5b2 - 7c3)= 10. (-11x + 10) (11x + 10) = 11. (-a + x) (a + x) = 12. (y – 6) (y + 6) = 13. (16a + 17) (-16a + 17) = 14. (8r – 3s) (8r + 3s) = “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 66  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra 15. (3xy + 4z) (3xy – 4z) = 16. (xa-1 + y3a-2) (xa-1 - y3a-2) = 17. (4h – 5m) (4h + 5m) = 18. (-6t + 8) (6t + 8) = 19. (5p + 2) (5p – 2) = 20. (-9m + 6n) (9m + 6n) = 3.2.3 BINOMIO AL CUBO Un binomio al cubo es igual al cubo perfecto de un binomio que se obtiene mediante la regla siguiente: “el cubo del primer término más el triple del cuadrado del primer término por el segundo más el triple del primer término por el cuadrado del segundo término más el triple del segundo término”. Matemáticamente se escribe: (a + b)3 = a3 +3a2b + 3ab2 + b3 EJERCICIO 27: 1. (x + y)3 = 2. (2x + 3y)3 = 3. (4a + 5b)3 = 4. (7x – 2)3= “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 67  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra 5. (4x – 8y)3= 6. (3x2- 6y3)3= 7. (w + 3)3 = 8. (5m – 4)3 = 9. (w + 3)3 = 10. (1 + 2z)3 11. (5s4 – 8t 5)3 = 12. (6rs – 4t)3 = 13. (h2 – 3)3 = 14. (x2 – 3)3 = “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 68  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra 3.2.4 PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN El producto notable de dos binomios con un término común se caracteriza por tener precisamente un mismo término en ambos binomios: (x + a)(x + b) En estos dos binomios X el termino común. La regla de la solución de dos binomios con un término común es: el cuadrado del termino común más el producto de la suma de los términos no comunes por el común más el producto de los términos no comunes. Es decir, (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab EJERCICIO 28: 1. (x + 1) (x + 4) = 2. (x + 3) (x – 1) = 3. (x – 1) (x + 4) = 4. (x – 3) (x – 6) = 5. (y + 2) (y – 3) = 6. (m + 7) (m – 8) = 7. (x + 1) (x – 4) = 8. (y – 6) (y + 2) = “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 69  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra 9. (a2 + 8) (a2 – 3) = 10. (x – 7) (x + 8) = 11. (x4 + 10) (x4 – 6) = 12. (x – 3) (x + 1) = 13. (x + 1) (x – 4) = 14. (x – 3) (x – 1) = 15. (m – 19) (m + 10) = 16. (b – 7) (b – 8) = 17. (a2 – 8 ) (a2 + 3) = 18. (m + 19) (m – 10) = 19. (x + 7) (x + 8) = 20. (xa+1 – 3) (xa+1 – 5) = “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 70  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra 3.2.5 PRODUCTO DE UN BINOMIO POR UN TRINOMIO (a+b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3 EJERCICIO 29: 1. (x + y) (x2 – xy + y2) = 2. (x - y) (x2 + xy + y2)= 3. (s – 2) (s2 + 2s + 4) = 4. (2x + 3y) (4x2 – 6xy + 9y2) = 5. (2m2 + 6n2) (4m4 – 12m2n2 + 36n4)= 6. (3t -4) (9t2 + 12t + 16) = 7. (a + 3b) (a2 – 3ab + 9b2) = 8. (2m -5) (4m2 + 10m + 25) = 9. (5x – 4) (25x2 + 20x + 16) = 10. (6s – t) (36s2 + 6st + t2)= 11. (7x2 + 8y2) ( 49x4 – 56x2y2 + 64y4) = 12. (m3 – 5) (m6 + 5m3 + 25)= 13. (z – x) (z2 + xz + x2) = 14. (w + 9) (w2 – 9w + 81) = 15. (3a – b2) (9a2 + 3ab2 + b4) = 16. (3m – 2n) (9m2 + 6mn + 4n2) “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 71  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra 3.2.6 PRODUCTO DE LA FORMA (mx + a) (nx + b) Al resolver este producto notable obtenemos un trinomio cuadrado no perfecto de la forma ax2+bx+ c EJERCICIO 30: 1. (2x – 5) (3x + 4) = 2. (3x – 7) (2x + 1) = 3. (4x – 2) (3x + 8) = 4. (5x – 7y) (2x + 3y) = 5. (2x +1) (3x – 6)= 6. (6x – 4y) (3x – 7y) = 7. (2x + 4) (9x – 1) = 8. (9x – 8y) (5x + 4y) = “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 72  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra UNIDAD DE COMPETENCIA 4 Factorización UNIDAD DE COMPETENCIA 4 Seleccionar y aplicar reglas de factorización para reducir una expresión algebraica formada por dos o más términos, a una sola expresión, según el caso práctico que se presente en clase. “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 73  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra COMPETENCIAS GENÉRICAS:  Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas o gráficas.  Identifica las ideas clave en un texto o discurso oral e infiere conclusiones a partir de ellas.  Maneja las tecnologías de la información y la comunicación para obtener información y expresar ideas.  Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. 4.1 DEFINICIÓN DE FACTORIZACIÓN DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA Factorizar es convertir una suma en una multiplicación indicada por sus factores. De acuerdo con lo anterior, el resultado de una factorización siempre será un producto. 4.2 FORMAS DE FACTORIZACIÓN 4.2.1 FACTOR COMÚN Es igual al producto de: (Máximo común divisor) (Polinomio / Máximo común divisor) EJERCICIO 31: 1. 2x2 – 3xy 2. 4x + 8y – 12z 3. 3x2 – 6x3 + 18x4 “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 74  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra 4. 9s3t + 36s2t2 – 45st3 5. 10a2b3c4 – 15a3b2c4 + 30a4b3c2 6. 8x8y6 – 64x4y8 7. 16x8y - 64x2y2 8. 12s2t2 – 6s5t4 + 4s4t 9. 3x2yz – 12xy2z + 27xy2z3 10. 5xy2 – 25y3 + 10y4 11. 24x4y - 12xy3 + 42x5y4 – 54xy 12. 2xy + 4x2 – 8x 13. 4a2b – 6ab “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 75  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra 14. 12x3y + 9x2y2 – 6xy3 15. 16z4 + 8z3 + 4z2 + 2z 16. (a + b) x3 – (a + b) y2 17. 10x (m – n) + 5y (m – n ) 18. 2x (a – 1) – y (a – 1) 19. 8x2 (x – 1) +4x (x – 1) +2(x – 1) 20. m(x + 2) + (x +2) “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 76  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra 4.2.2 Diferencia de cuadrados. Es igual al producto de Binomios conjugados EJERCICIO 32: 1. x2 – y2 2. 4x2 – 16y4 3. 9m2 – 36n2 4. 64a2 – 81b2 5. 144y2 – 100z4 6. 49s2 – 25t2 7. 196r6 – 225s8 8. 169x10 – 256y12 9. x2 – 9 10. 1 – a4 “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 77  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra 11. 121x2 – 289y2 12. 169a2 – 225b2 13. 144w4 – 169z2 14. 196m2 – 256n2 15. x2 - 1 16. a2 – 25b2 17. 36 – x2 18. x2 – 4 19. x36 – y64 20. x36 – y 24 “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 78  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra 4.2.3 TRINOMIOS CUADRADOS PERFECTOS Es igual al cuadrado de un binomio. EJERCICIO 33: 1. x2 + 6x + 9 2. 9x2 – 12xy + 4y2 3. x2 + 4x + 4 4. x2y2 – 8xy + 16 5. x2 – 10x + 25 6. 25y2 – 30y + 9 7. 81m2 – 18m + 1 8. 64s2 + 112st + 49t2 9. 36a2 + 60ab + 25b2 “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 79  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra 10. 81v2 + 144vw2 + 64w4 11. 9x4 – 24x2y2 + 16y4 12. 100 – 20x + x2 13. 121r2 – 286rs + 169s2 14. 25x8 – 70x4y3 + 49y6 15. a2 – 2a + 1 16. 64b2 + 64b + 16 “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 80  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra 4.2.4 TRINOMIOS DE LA FORMA x2 + bx + c Es igual al producto de dos binomios con término común. EJERCICIO 34: 1. x2 + xy – 12 y2 2. x2 – 8xy + 15y2 3. a2 + 5a + 4 4. x2 - 15x + 56 5. m2 – m – 2 6. x2 – 10x + 24 7. t2 – 9t + 18 8. s2 + 3 st – 28t2 9. x2 – 2x – 15 “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 81  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra 10. m4 – 4m2 – 21 11. x2 + 5x + 6 12. x2 + 20x + 36 13. x2 – x – 56 14. m2 + 5m + 4 15. x2 + x – 30 16. x2 + 11x + 30 17. n2 – 8n + 12 18. a2 – 4a – 12 19. x2 – 7x + 12 20. y2 – y - 72 “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 82  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra 4.2.5 TRINOMIOS DE LA FORMA ax2 + bx + c Es igual al producto de dos binomios sin término común EJERCICIO 35: 1. 3x2 – 5x + 2 2. 5x2 – 14x + 8 3. 6x2 + 5xy – 6y2 4. 10x2 – 39x + 14 5. 6x2 + 7x – 5 6. 3x2 + 20x + 12 7. 12m2 – 25m + 12 8. 6x2 + x –12 9. 3r2 – 11r + 6 10. 15x2 + 43x + 8 “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 83  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra 11. 6x2 – 11x – 10 12. 20m2 – 9m + 1 13. 8y2 – 9y + 1 14. 7w2 + 5w – 2 15. 14x2 + 37x + 5 16. 8x2 + 14x + 3 17. 4z2 + 4z – 3 18. 12x2 + 92x + 15 19. 15b2 + 7b – 2 20. 15x4 + 19x2 – 56 “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 84  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra 4.2.6 SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS Es igual al producto de binomio por trinomio. (a+b)(a2 – ab + b2) EJERCICIO 36: 1. 8x3 + 27y3 2. 8x3y3 – 1 3. x3 – 1 4. y3 + 27 5. a3 + 64b3 6. 125m3 – 64 7. 8x3 + 343y3 8. 27w3 – 216z3 9. 729x6 – 1000y9 10. x6 –y9 “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 85  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra 11. 27a3 + 64b3 12. 125a3 – 343z6 13. a3b3 – x6 14. 512 + 27z9 15. 1000x3 – 1 16. a6 + 125b12 17. x9 + y9 18. 8 + x9 19. 8x3 + 27y3 20. 8x3y3 – 1 21. 27a3 + 64b3 22. 125a3 – 343z6 “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 86  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra 4.2.7 FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN Es igual a factor común por polinomio. EJERCICIO 37: 1. 2ax – 4bx + ay – 2by 2. bc – ab + x2 – ax 3. 3ax – ay – 3bx + by 4. 6x2 – 4ax –9bx + 6ab 5. ax + ay + x + y 6. x3 + x2y + xy2 + y3 7. x7 + 27x4 – x3 – 27 8. x3y3 – y3 + 8x3 – 8 9. a6 + b6 – a2b4 – a4b2 10. 2pr – ps + 6qr – 3 qs “RAZON, AMOR Y RELIGION” Página 87  Colegio Bosco “Juan Navarrete y Guerrero” Habilidad Matemática I Algebra 11. xy + 3y – 2x – 6 12. ax2 + bx – ax – b 13. x3 – xy2 – x2y + y3 14. 6r