Геометрия PDF - Пространственные фигуры и многогранники

§ 1. Пространственные фигуры А) Геометрические фигуры делятся на плоские и пространственные в зависимости от того, все или не все точки фигуры принадлежат одной плоскости. Плоские фигуры вы изучали в предыдущих классах, там по­ знакомились и с некоторыми пространственными фигурами — призмой (рис...

§ 1. Пространственные фигуры А) Геометрические фигуры делятся на плоские и пространственные в зависимости от того, все или не все точки фигуры принадлежат одной плоскости. Плоские фигуры вы изучали в предыдущих классах, там по­ знакомились и с некоторыми пространственными фигурами — призмой (рис. 1), пирамидой (рис. 2), цилиндром (рис. 3), конусом (рис. 4), шаром (рис. 5). Раздел геометрии, в котором изучаются плоские фигуры, назы­ вается планиметрией, а раздел, в котором изучаются пространственные фигуры, — стереометрией. Рис. 1 Ту или иную пространственную фигуру прихо­ дится изображать на плоскости листа в тетради или на плоскости доски. Соответствующий рисунок вы­ Q полняют таким образом, чтобы он создавал то же впечатление, что и сама изображаемая фигура. При этом невидимые линии делают штриховыми. На рисунке 6 изображены параллелограмм ABCD и треугольник PQR, которые пересекаются по отрез­ ку MN. Часть QMN треугольника PQR находится над параллелограммом ABCD, часть PMNR — под ним. При этом часть PKL четырёхугольника PMNR Рис. 6 видна, а часть KMNRL — не видна. Обращаем вни­ мание на то, что точки К и L треугольника PQR не принадлежат параллелограмму ABCD, а значит, и его стороне AD. На рисунке 7 изображена треугольная пирамида DABC, которую пересекает плоскость по четырёх­ угольнику MNOP. При этом у пирамиды невиди­ мым является ребро АВ, а у сечения MNOP — его стороны NO и МР. Представление пространственной фигуры на ри­ сунке называют изображением фигуры. Важным классом пространственных фигур явля­ ются многогранники, под которыми понимают тела, ограниченные плоскими многоугольниками.  Эти многоугольники называются гранями много- Вершина фанника, их вершины — вершинами многогранни- ; а стороны — рёбрами многогранника. Отрезок, соединяющий две вершины много гран- мка, не принадлежащие одной грани, называется । S' жагональю многогранника (рис. 8). Hi! Многогранник называется выпуклым, если он :-i'.положен по одну сторону от плоскости каждой воей грани. На рисунке 9 изображён невыпуклый жн: гогранник. Рис. 8 Б) Мы будем изучать простейшие выпуклые мно- ~анники — призмы и пирамиды. Призмой называется многогранник, две грани второго — равные n-угольники, а остальные п гра- аей — параллелограммы. Равные грани-многоугольники призмы называют- ея её основаниями, а остальные грани — боковыми гранями. Рёбра боковых граней, не принадлежащие.снованиям, называются боковыми рёбрами (рис. 10). В зависимости от количества сторон основания ~азмы отличают треугольную, четырёхугольную, ятиугольную и т. д. призмы. На рисунке 11 изображена шестиугольная Совокупность боковых граней призмы образуют боковую поверхность. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей боко- всх граней. Призмы разделяются на прямые и наклонные. Прямая призма — призма, боковые грани которой являются прямо- —ельниками. Обычно, изображая прямую призму, её боковые рёбра про- : пят вертикально (рис. 12). Призма прямая, если боковые рёбра перпендикулярны рёбрам осно- 2 гния призмы. Рис. 10 Рис. 11 Рис. 12  Призма наклонная, если боковые рёбра не перпендикулярны рёбрам основания призмы. Прямая призма называется правильной, если её основания являются правильными многоугольниками. Призма, основаниями которой являются параллелограммы, называ­ ется параллелепипедом. Параллелепипед, как и призма, может быть и прямым (рис. 13), и наклонным (рис. 14). Прямой параллелепипед, осно­ вания которого являются прямо­ угольниками, называется прямо­ угольным параллелепипедом. Все грани прямоугольного па­ раллелепипеда являются прямо­ угольниками. Три ребра прямоугольного па­ раллелепипеда, сходящиеся в одной вершине, называются измерениями прямоугольного параллелепипеда. Прямоугольный параллелепипед с равными измерениями называется кубом. Все грани куба — равные друг другу квадраты. В) Пирамидой называется многогранник, одна грань которого — мно­ гоугольник, а остальные являются треугольниками с общей вершиной. На рисунке 15 изображена пирамида TABCDE. Многоугольник ABCDE называют основанием пирамиды, треугольные грани АТВ, BTC, CTD, DTE, ETA — боковыми гранями, а общую вершину Т боковых граней — вершиной пирамиды. Обычно в записи обозначения пирамиды первая буква соответствует её вершине. В зависимости от количества сторон основания пирамиды отличают треугольную, четырёхугольную, пятиугольную и т. д. пирамиды. Пира­ мида на рисунке 15 — пятиугольная, а на рисунке 16 — треугольная.  Пирамида, основание которой — правильный много­ © угольник, а отрезок, соединяющий её вершину с цен­ тром основания, перпендикулярен любой прямой, проведённой в плоскости основания через этот центр, называется правильной. Высота боковой грани правильной пирамиды, опу­ щенная из вершины пирамиды, называется апофемой пирамиды. На рисунке 17 изображена правильная четырёхуголь­ ная пирамида APQRS, отрезок АВ — одна из её апофем. Теорема 1. У правильной пирамиды равны её: а) боковые грани; б) апофемы. Доказательство. Пусть QA1A2...An — правильная пирамида и точ­ ка О — центр её основания (рис. 18). а) Поскольку треугольники QOAy и QOA2 оба прямоугольные, имеют общий катет QO и равные катеты ОАг и ОА2, то они равны. Поэтому равны и их гипотенузы QA1 и QA2. Аналогично доказывается, что другие боковые рёбра также равны QAy. Боковые грани пирамиды — равнобедренные треугольники с равными боковыми сторонами. Ос­ нования этих треугольников также равны друг дру­ гу как стороны правильного многоугольника, ко­ торый лежит в основании пирамиды. Поэтому бо­ ковые грани равны между собой по трём сторонам. б) Поскольку боковые грани пирамиды QA1A2..A,n равны между собой, то равны и их высоты, про­ ведённые из вершины Q, это значит, что все апо­ фемы пирамиды QA1A2..A,n равны. Теорема 2. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению полупериметра её основания и апофемы. Доказательство. Пусть QAyA2..An — правильная пирамида (см. рис. 18). Площадь S её боковой поверхности состоит из площадей боковых граней, которые являются равными друг другу равнобедренными треугольниками с равными апофемами QEy, QE2,..., QEn. Поэтому & ~ ^QA. + ^AQA, + — + ^AnQAt = 9^1^ ' QE1 + „Мз ' QE2 + — + + ~AnAy QEn = — QEy ‘ (AyA2 + AaAg +... + A„Aj) = A,Ay =— +A9A0 1-J— +... +A A,. ±2_з_----------------- q£i = p. a, где p — полупериметр основания пирамиды, a — апофема пирамиды.  Г) Ещё один класс пространственных фигур составляют тела враще­ ния, к которым относятся цилиндр, конус, шар. Цилиндром называется тело, полученное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон (рис. 19). При этом вращении одна сторо­ на прямоугольника остаётся неподвижной, её называют осью цилиндра. Сторона, противолежащая оси, образует поверхность, которую называют боковой поверхностью цилиндра, а саму сторону — образующей цилиндра. Ещё две стороны прямоугольника при вращении образуют поверхности, которые являются равными кругами, эти круги называют основаниями цилиндра (рис. 20). На рисунке 21 дано изображение цилиндра. Конусом называется тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов (рис. 22), который называют осью конуса. Второй катет описывает круг, который называют основанием конуса; неподвижную вершину треугольника, которая не принадлежит основанию, называют вершиной конуса. Гипотенуза при вращении обра­ зует поверхность, которую называют боковой поверхностью конуса, саму гипотенузу называют образующей конуса (рис. 23). На рисунке 24 дано изображение конуса. Рис. 23 Шаром называется тело, полученное вращением круга вокруг своего диаметра (рис. 25). При этом вращении окружность описывает поверх­ ность, которую называют сферой (рис. 26). На рисунке 27 дано изображе­ ние шара.