GASDINAMICA - PDF

GASDINAMICA Salemi Federica December 17, 2024 Contents 1 Cenni introduttivi 3 1.1 Struttura del gas......................... 4 1.2 Energia...

GASDINAMICA Salemi Federica December 17, 2024 Contents 1 Cenni introduttivi 3 1.1 Struttura del gas......................... 4 1.2 Energia del gas.......................... 7 1.3 Equipartizione dell’energia.................... 9 1.4 Gradi di libertà energetici.................... 10 1.5 Calori specifici........................... 11 1.6 Compressibilità.......................... 13 1.7 Proprietà di trasporto...................... 14 1.8 Richiami di termodinamica.................... 20 2 Equazioni del bilancio 27 2.1 Equazioni del flusso........................ 27 2.2 Formulazione lagrangiana - derivate convettive......... 29 2.3 Bilancio della massa....................... 30 2.4 Bilancio della quantità di moto................. 32 2.5 Bilancio dell’energia....................... 34 2.6 Stato sonico............................ 38 2.7 Teorema di Crocco........................ 39 2.8 Equazione del potenziale di velocità............... 42 3 One dimensional flows 45 3.1 Propagazione del suono...................... 47 3.1.1 Cono di Mach....................... 48 4 Onde d’urto normali 50 4.1 Meccanismo di generazione dell’urto - Tubo d’urto....... 50 4.2 Variazione di M , p, T e ω attraverso un’onda d’urto normale. 50 4.3 Variazione di entropia e delle grandezze totali......... 54 1  4.4 Flusso di Rayleigh........................ 57 4.5 Flusso di Fanno.......................... 63 5 Onde d’urto oblique 69 5.1 Numero di Mach e grandezze statiche attraverso un urto obliquo 72 5.2 Grafico ε → ϑ........................... 73 5.3 Piano odografico......................... 76 6 Aerodynamic coe!cients of a wedge in a supersonic flow 76 6.1 OSW reflections.......................... 84 6.2 Interazioni tra urti........................ 91 6.3 Rampe di compressione...................... 94 6.4 Reflections in a duct....................... 96 6.5 Urti conici............................. 102 7 Ventagli d’espansione 107 7.1 Shock tube............................ 108 7.2 Onda d’espansione........................ 109 7.3 Shock expansion.......................... 119 7.4 Profilo a diamante - flat plate.................. 128 7.5 Interazione con le superfici (ad esempio tubo)......... 131 7.6 Interazione con superficie libera................. 133 7.7 Nozzle flows............................ 136 8 Metodo delle caratteristiche 142 8.1 Metodo numerico per la risoluzione di un campo supersonico. 148 9 Metodi linearizzati 150 9.1 Linearizzazione dell’equazione del potenziale della velocità.. 150 9.2 Coe!ciente di pressione linearizzato............... 153 9.3 Campo di moto subsonico compressibile............ 154 9.3.1 Similarity rules...................... 157 9.3.2 Mach critico........................ 160 9.4 Campo di moto supersonico................... 162 10 Flusso Transonico 169 10.1 Flusso tridimensionale...................... 176 11 Flusso ipersonico 176 11.1 Teoria Newtoniana........................ 184 2 12 Flusso viscoso e compressibile 186 12.1 Equazione del bilancio della massa............... 186 12.2 Equazione del bilancio quantità di moto............ 188 12.3 Equazione del bilancio dell’energia................ 190 12.4 Ordini di grandezza........................ 192 12.4.1 Ordini di grandezza eq bilancio massa.......... 193 12.4.2 Ordini di grandezza eq bilancio qdm.......... 194 12.4.3 Ordini di grandezza equazione del bilancio dell’energia 198 12.5 Come risolvo il problema?.................... 200 13 Strato limite compressibile 214 13.1 Analogia degli scambi locali................... 214 13.2 Analogia degli scambi globali.................. 216 13.3 Stima ϖw.............................. 221 13.4 Cosa succede al punto d’arresto................. 225 13.5 Metodi approssimati....................... 232 13.5.1 M ↑ 1........................... 232 13.5.2 M→ ↓= 1.......................... 232 13.5.3 Metodo di Thwaites................... 233 1 Cenni introduttivi 23/09/24 Consideriamo il moto di una particella a bassa velocità. Questo è descritto dall’equazione di Bernoulli: 1 p0 = p + ωV 2 (1) 2 Cioè la somma della pressione statica p e la pressione dinamica. P0 è costante sulla linea di corrente, quindi ciò vale solo a basse velocità. Sulla linea di corrente si utilizza anche l’equazione del bilancio dell’energia: V2 H =h+ (2) 2 Dove H è l’entalpia di ristagno, h è l’entalpia statica e l’ultimo termine è l’energia cinetica. Questa equazione ci dice che la temperatura è costante. 3  2 Se V2 ↑ h allora H = h , cioè se il flusso è a bassa velocità. Ciò significa che il contenuto cinetico del gas è molto minore di quello entalpico. Per la definizione di entalpia: P h=ω+ = Cp T (3) ω da cui so che T ↔ cost perchè la variazione di energia cinetica del gas non altera significativamente il contenuto entalpico. Se, invece, la velocità è alta, 2 il termine V2 sarà di un ordine di grandezza maggiore, quindi non è possibile fare lo stesso ragionamento, poichè l’equazione di Bernoulli richiede moto in- compressibile e non dissipativo. La densità, in questi casi, diventa funzione di campo. Infatti, ad alti numeri di Mach si utilizza l’equazione della isoen- tropica e adiabatica, che lega la pressione d’arresto e la pressione statica. Si genera quindi un sistema di equazioni accoppiate: ϱ → 1 2 ω→1 ω p0 = p(1 + M ) = cost (4) ϱ V2 H =h+ = cost (5) 2 Dove la variazione di energia cinetica rappresenta una gran parte dell’energia totale. Ricapitolando: nel primo caso analizzato la densità è costante, nel secondo questa diviene funzione dello spazio (di campo). Per variazioni repentine di velocità, tende a variare anche la chimica del problema. Ad esempio, onde d’urto molto intense fanno sı̀ che l’aria si dis- soci in ioni, con conseguente variazione di energia, cambiandone quindi la fluidodinamica. 1.1 Struttura del gas Il gas è uno stato di aggregazione della materia caratterizzato da: molecole libere di muoversi e forma non propria. In base alle condizioni termod- inamiche, è possibile studiare la fenomenologia legata alla compressibilità tramite il numero di Mach (adimensionale): V M= (6) a dove a la velocità del suono laplaciana calcolata a entropia costante. Per M ↑ 1 flusso incomprimibile Per M > 0, 3 → 0, 4 flusso comprimibile Per M = 1 il flusso può essere supersonico o subsonico 4  Modello descrittivo di un gas: costituito da atomi e molecole, +ioni e plasmi (in caso di dissociazioni). Particella fluida = insieme di molecole che occupano un volume quasi puntiforme. L’estensione del volume deve essere: su!cientemente esteso, tale da valutare statisticamente delle grandezze me- dia sul volume della particella di fluido; su!cientemente piccolo, in modo da poter assumere ragionevolmente costanti le grandezze all’intero di tale vol- ume. Se ho un insieme di molecole, come capiamo se posso trattarle come un continuo (massa)? Considero una particella fluida (volumetto elementare di”erenziale) come molecola che occupa un volume puntiforme. Le informazioni termofluidodinamiche possono ritenersi anch’esse puntiformi. Il volumetto è costituito da particelle di grandezza i-esima. La piccolis- sima particella quanto volume occupa? Una mole di gas. Con le con- dizioni termodinamiche con P v = nRT trovo il volume occupato da una mole di gas in condizioni normali ( ↓= standard, stessa pressione e T stan- dard) (Condizioni normali p = 760mmHg = 101325P a e T = 273K). Una mole di un qualsiasi gas contiene un numero pari al numero di Avogadro Na = 6.023 ↗ 102 3 molecole. Talvolta ci si riferisce anche alla grande mole (Kilo mole = 1000*mole) che contiene Na = 6.023 ↗ 102 6 molecole. Una mole in condizioni normali occupa 22.4litri = 22.4dm3 Densità volumetrica n: numerodimolecole 6.025 ↗ 1026 molecole n= = = 2.69 ↗ 1025 (7) unitadivolume 22.4 m3 Che è il numero di molecole contenute in un cubo di lato 1m. Se le molecole sono tantissime allora posso considerarle come un mezzo continuo. Un vol- umetto di controllo di 1µm = 10↑6 m (8) contiene 27 milioni di molecole circa. Dato il numero elevatissimo di molecole, da un punto di vista microscopico è solo possibile e”ettuare una descrizione statistica del comportamento. Dal nostro punto di vista, utilizziamo l’ipotesi del continuo, cioè che le proprietà del gas varino con continuità all’interno del volume occupato. p e T sono uniche per il volumetto. Racchiudo le particelle nel volume di controllo. p e T sono funzioni di campo e non della molecola i-esima. Prendo le coordinate del campo x, y, z e non singole molecole (de- scrizione del continuo e non macroscopica). A livello microscopico, nella 5 loro evoluzione tali molecole urteranno tra di esse. La distanza media tra due urti consecutivi costituisce il libero cammino medio molecolare l. Per l’aria in condizioni standard (p = 760mmHg e T = 15 ↓ C = 288K) vale l = 6.35 ↗ 10↑2 µm. Anche in un volume avente lato pari a l , il numero di molecole è ancora su!cientemente elevato da poter giustificare l’ipotesi del continuo (circa 7000). In regime rarefatto l aumenta. Per definire in modo rigoroso la validità dell’ipotesi del continuo, il libero cammino medio moleco- lare va confrontato con una dimensione caratteristica del problema. Ne esce un numero adimensionale, il numero di Knudsen: l Kn = (9) L Ipotesi da fare sempre in condizioni tipiche aeronautiche. Considero per esempio il flusso su un profilo alare l ↑ L con L la corda del profilo. Si deduce che Kn ↑ 1 che vale sempre per l’ipotesi del continuo. Si ha il contrario ad esempio in certe nanotecnologie e in alta atmosfera, poichè l e L avrebbero lo stesso ordine di grandezza. Ex. microgravità. In alcuni casi di moto l’ipotesi del continuo non è applicabile perchè non valgono le equazioni del flusso (cioè le ipotesi). [DSMC direct simulation Monte Carlo ! approccio statistico (al posto di Navier Stokes)] Kn < 0.01 ipotesi del continuo 0.01 < Kn < 0.1 slip flow regime (leggermente rarefatto) 0.1 < Kn < 10 regime di transizione (moderatamente rarefatto) Kn > 10 regime di molecole libere (altamente rarefatto) VALORI TIPICI Volo aeronautico Kn = o(10↑7 ) Volo spaziale Kn = o(1) Microfluidodinamica Kn = o(1 → 10) Per descrivere il comportamento di una massa gassosa ci sono due punti di vista: livello macroscopico: si descrive il movimento del baricentro di un insieme di molecole (ogni particella ha stessa T e P) livello molecolare: si descrivono le interazioni tra le molecole ! mec- canica statistica 6  Ci interessano ora i meccanismi attraverso cui ciascuna particella imagazz- ina energia ! quanti gradi di libertà ci sono? Traslazione lungo x, y e z ; rotazione attorno a 3 assi e vibrazione. L’energia associata alla traslazione è l’energia cinetica: 1 E = mV 2 (10) 2 dove m è la passa della particella fluida. Quale è la velocità microscopica? Consideriamo il moto proprio della particella e scompongo la velocità nelle sue componenti lungo x,y e z, cioè u, v e w. dove V̄ è la velocità media baricentrale (dalla traslazione). é una velocità di agitazione termica che caratterizza il moto di ciascuna molecola. Un gas in quiete ha V̄ = 0 1.2 Energia del gas Scompongo lungo la terna cartesiana: Vi (x, y, z) = V̄ + vi↔ (x, y, z) (11) con vi↔ (x, y, z) velocità locale di agitazione delle particelle. Scompongo la velocità v = (u, v, z) , vi↔ = (u↔ , v ↔ , w↔ ) e V̄ = (ū, v̄, w̄) Parto dall’energia cinetica: 1 1 E = mV 2 = m[(ū + u↔i )(ū + u↔i ) + (v̄ + vi↔ )(v̄ + vi↔ ) + (w̄ + wi↔ )(w̄ + wi↔ )] (12) 2 2 7 Passaggio 1: somma di quadrati. Passaggio 2: medio sul sistema (intero volume). La media di una media e la media sono la stessa cosa, uso una sola lineetta. Il primo contributo rappresenta l’energia cinetica baricentrale, il secondo la molecolare e il terzo è il termine di correlazione che in questo caso è nullo (non sono correlati), per ciascuna direzione. Ottengo in fine: 1 1 m(uu ¯ + vv ¯ = m[(ūū + v̄v̄ + w̄w̄) + (ū↔i ū↔i + v̄i↔ v̄i↔ + w̄i↔ w̄i↔ )] ¯ + ww) (13) 2 2 dove il primo termine è l’energia cinetica baricentrale e il secondo è l’energia cinetica dovuta a fluttuazioni molecolari ςt e costituisce uno dei contributi dell’energia interna. 24/09/24 Ci interessa il secondo termine: 1 1 2 ςt = m(ū↔ ū↔ + v̄ ↔ v̄ ↔ + w̄↔ w̄↔ ) = mvat (14) 2 2 dove ςt è la velocità di agitazione termica delle particelle. di conseguenza avrò che ! 2ςt vat = (15) m Vogliamo ora trovare un legame con la temperatura. Per fare ciò sfrutti- amo la costante di Boltzmann. Introduciamo delle definizioni: R è la costante universale dei gas, è unica e vale R = 8314J/Kmolecola. R é tipicamente usata per definire R↗ = M cioè la costante specifica per un sin- golo gas. M è la massa molare. Ad esempio per l’aria vale R↗ ↘ 287J/KgK Kb è la costante di Boltzmann, definita come R 8314J/Kmole Kb = = = 1.38 ↗ 10↑23 J/Kmolecole (16) NA 6.025 ↗ 1026 molecole/mole che corrisponde all’energia da fornire a una molecola di gas per innalzare la temperatura di 1 grado. 8 1.3 Equipartizione dell’energia Le molecole hanno direzioni preferenziali? In condizioni di equilibrio ter- modinamico, cioè: equilibrio meccanico (no gradienti di velocità), equilibrio termico (no gradienti di temperatura), equilibrio chimico (no dissociazioni chimiche), la costante di Boltzmann lega le fluttuazioni di velocità alla tem- peratura. Se c’è equilibrio termodinamico ciascuna direzione è equiprobabile per le particelle. u¯↔ u↔ = v¯↔ v ↔ = w¯↔ w↔ (17) statisticamente SE E SOLO SE c’è equilibrio termodinamico. Il principio della ripartizione dell’energia si applica a qualsiasi grado di libertà delle molecole (è un principio della meccanica statistica). C’è anche un valore dell’energia stivata in base al grado di libertà. Kb T u¯↔ u↔ = v¯↔ v ↔ = w¯↔ w↔ = (18) m riordinando ottengo 1 1 Kb T 3 ςt = m(u¯↔ u↔ + v¯↔ v ↔ + w↔ w↔ ) = m3 = Kb T (19) 2 2 m 2 che rappresenta l’energia accumulata per traslazione. Si deduce che esiste una condizione per cui l’energia immagazzinata è pari a zero, cioè T = 0K. Il gas risulta fermo anche a livello molecolare. Ricordiamo la eq. 14 e eguagliamo a quello che abbiamo appena trovato. Il 3 è legato ai g.d.l. traslazionali. 1 2 3 ςt = mvat = Kb T (20) 2 2 9  2 3Kb T 3RT 3RT vat = = = (21) m NA m M R con Kb = NA e NA m = M cioè massa molare. ! 3RT vat = (22) M l’equazione appena trovata ricorda l’equazione della velocità del suono: ! ! φω R a = ( )s = ϱ T (23) φl M entrambe dipendenti dalla radice della temperatura. La velocità del suono attraverso un suono è di ordine di grandezza più alto. ! vat 3 = (24) a ϱ ϱ dipende dalla struttura molecolare del gas. Per l’aria vaat = 1, 349. é anche possibile trovare una relazione pressione-fluttuazioni molecolari: R P u¯↔ u↔ + v¯↔ v ↔ + w¯↔ w↔ = 3 T = 3 (25) M ω 1 p = mediasf orzinormali = ω(u¯↔ u↔ + v¯↔ v ↔ + w¯↔ w↔ ) (26) 3 Dato un volume, la P termodinamica del volume è data dallo sforzo normale delle particelle dentro il volume stesso. 1.4 Gradi di libertà energetici Innanzitutto consideriamo i 3 g.d.l. di traslazione, ma estendiamo il ragion- amento. Chiamiamo L il numero di g.d.l. energetici della molecola. Questi sono: traslazionali, di rotazione, vibrazionali, elettronici, di legame. Gl ul- timi 3 si aggiungono per T > 1000K. I g.d.l. variano in base al tipo di molecola. - Molecola monoatomica: quelli di rotazione sono trascurabili in quanto, essendo la molecola puntiforme, i momenti di inerzia sono molto bassi. L=3 - Molecola biatomica: 3 di traslazione, 3 di rotazione in principio. Ma la rotazione attorno all’asse della congiungente produce piccoli momenti di inerzia, quindi consideriamo solo 2 g.d.l. rotazionali. L=5 10  I x ↑ I y , Iz (27) - Molecola triatomica : ipotesi di”erenti circa il momento di inerzia. L=6 generalmente, ma se le particelle sono allineate vale il discorso della biatomica e quindi L=5. Per ciascun g.d.l immagazzino energia a livello i-esimo. ςi = 12 Kb T , mentre a livello molecolare ςL = L 12 Kb T. Per avere il valore di una mole moltiplico per il numero di molecole contenute in una mole, cioè NA. 1 L ς = NA ςL = NA L Kb T = RT [J/mole] (28) 2 2 Similmente definisco l’entalpia L+2 H = ς + RT = RT [J/mole] (29) 2 Le rapportiamo alla massa molare per ottenere termini specifici: ς LR e= = T = Cp T [J/Kg] (30) M 2M H L+2 R h= = T = Cp T [J/Kg] (31) M 2 M p R h=e+ =e+ T (32) ω M L’energia interna specifica rappresenta il totale energetico che il sistema può immagazzinare attraverso i g.d.l. traslazionali, rotazionali e vibrazionali. 1.5 Calori specifici Calore specifico a volume costante: " # " # φq φe LR cv = = = (33) φT v φT 2M 11 Calore specifico a pressione costante: " # " # φq φh L+2 R cp = = = (34) φT p φT 2 M In maniera simile si possono definire i calori specifici molari C = c ↗ M : " # φ↼ LR Cv = = (35) φT 2M " # φH L+2 R Cp = = (36) φT 2 M Per i gas caloricamente perfetti i calori specifici sono indipendenti dalla tem- peratura, quindi vale: de = cv dT (37) dh = cp dT (38) In principio de = cv dT + T d(cv ) e dh = CpdT + T d(cp ), ma siccome nel range di T < 1000K i calori specifici sono costanti rispetto alla temperatura, semplifico i secondi termini. Il rapporto tra calori specifici definisce il valore della costante ϱ L+2 R Cp L+2 ϱ= = L2 RM = (39) Cv 2M L Si noti che è legato ai g.d.l. delle molecole, quindi se L cresce, anche ϱ aumenta. Per L che tende ad infinito, ϱ tende a 1. 5 L=3 ϱ= ↔ 1.67 3 L = 5 ϱ = 1.4 L = 6 ϱ = 1.33 L!≃ ϱ=1 p R R h+e+ =e+ T −! Cp T = Cv T + T ω M M Da cui: R Cp → Cv = M Grafico di ϱ in funzione di L 12  1.67 ϱ 1.4 1.33 1 3 4 5 6 L 1.6 Compressibilità Immagino di avere un certo volume sottoposto a pressione P. Se il volume è di gas, mi aspetto ci sia compressibilità. 1 dv ϑ=→ (40) v dp cioè rappresenta la variazione percentuale del volume iniziale per una vari- azione unitaria di pressione applicata al volume. La trasformazione può avvenire a temperatura o entropia costante. ϑ non è adimensionale [ϑ] = 1/P a e il segno meno dipende dal fatto che se la pressione aumenta, il vol- ume specifico diminuisce. Vogliamo lavorare con la densità, che è l’inverso del volume specifico. d( ω1 ) 1 dω 1 dω ϑ = →ω = →ω(→ 2 ) = (41) dp ω dp ω dp A una variazione positiva di dp, corrisponde un aumento di densità dω, quindi non serve il segno meno. Il numero di Mach serve a distinguere tra flussi compressibili e non. Perchè? Immaginiamo una linea di corrente. In un punto c’è un certo valore della velocità v. Consideriamo l’ipotesi di flusso isoentropico stazionario. 13 L’equazione di governo è l’equazione di Eulero: dp = →ωV dV (42) Parto dall’equazione in forma di”erenziale scritta lungo la linea di corrente: 1 v ↗ vv = vp (43) ω 1 V dv = → ! dp = →ωV dV (44) ω Se ω = cost posso integrare a destra e sinistra $ $ V2 dp = → ωV dV ! P + ω = cost = p0 (45) 2 Se ω ↓= cost, divido entrambi i membri per dω. L’obiettivo è ottenere Mach. dp ω a2 ω V dV 1 ω dV dω dV = → V dV = 2 = → 2 = 2 =→ ! = →M 2 dω dω V dω V M dω V ω V (46) C’è un coe!ciente di proporzionalità tra la variazione di densità e quella di velocità. Abbiamo trovato quindi il legame tra compressibilità e velocità. Se fisso il Mach e aumento la velocità, vedo come varia la desità. Le variazioni dω ω sono dell’ordine di grandezza del M 2. 1.7 Proprietà di trasporto Vogliamo definire 3 proprietà della corrente: viscosità dinamica, conducibilità termica e di”usività di massa. Quando una corrente evolve, interagisce col 14 resto del mondo. A!nchè ciò accada, serve la condizione di non equilibrio, altrimenti la particella fluida e quella successiva andrebbero ognuna per i fatti propri, quindi serve la presenza di gradienti. Gli scambi avvengono attraverso flussi di quantità di moto o flussi di calore. Un flusso si definisce come lo scambio di una grandezza attraverso una superficie nell’unità di tempo. Flussi di qdm danno luogo a sforzi viscosi, flussi di energia a scambi di calore, flussi di massa a meccanismi di di”usione. Le proprietà della corrente che caratterizzano le tre fenomenologie di trasporto sono: - viscosità dinamica µ - conducibilità termica ↽ - di”usività di massa D Voglio trovare un legame tra µ e la fenomenologia che accade nella parti- cella fluida. Immagino una molecola che si muove lungo l’asse x con velocità u’. Quale è la quantità di moto lungo x? mu’. Quale è il flusso in direzione y? Dipende dalla velocità. Per una singola particella sarà (mu↔ )v ↔ , ma noi vogliamo l’intero, quindi integriamo in dn, dove n è la concentrazione volumetrica. $ mu↔ v ↔ dn = ωu↔ v ↔ = →ϖxy (47) n Otteniamo la quantità di moto in direzione y con velocità v’. Le dimensioni fisiche sono quelle di uno sforzo, cioè quelle della pressione. In assenza di grande velocità media, tale fenomenologia di trasporto non avviene. Gli unici sforzi presenti sono quelli normali, legati alla genesi della pressione. Calcoliamo ora il flusso neutro di due particelle: 15 Consideriamo il flusso di qdm verso y. Il flusso netto tra le due particelle sarà muvdn. Nell’altra direzione la di”erenza è legata alla velocità du muvn = →m(u + du)vn = →m vn ↗ dy (48) dy Il meccanismo di scambio da luogo a un flusso lento. Moltiplico e divido per dy, il quale è legato allo sforzo della trave du du du muvn = →m(u + du)vn = →m vn ↗ dy ↔ →mn vat l = →ωvat l (49) dy dy dy La particella più veloce trascina la più lenta generando uno sforzo di taglio. La distanza infinitesima tra due filetti fluidi dy può essere considerata pari al libero cammino medio molecolare l. du du →ωvat = ϖ = →µ ! µ ↔ ωvat l (50) dy dy Più le particelle sono distanti e meno interagiscono tra loro. La viscosità dipende dalla temperatura: ⇒ ⇒ vat ⇐ T ! µ ⇐ T (51) La legge di Sutherland spiega la fenomenologica dipendenza di µ da T 3 ST 2 µ= (52) T +⇀ Ipotesi che ⇒ la temperatura non sia piccola, quindi non è trascurabile. µ dipende da T. Passiamo alla formula monomia " #ε µ T = (53) µrif Trif 16 I valori di riferimento sono tabellati in base al gas. Fisso T, voglio conoscere µ. ⇁ = ⇁(T ) tabellati. La formula monomia è un’interpolazione di dati, non deriva da leggi fisiche. A volte ci riferiremo alla viscosità cinematica ν = µω. A volte si ha a che fare con gas non reagenti tra di loro (ad esempio aria = azoto + ossigeno). Posso calcolare la viscosità della miscela con la formula di Wilke.  ↑1 v %  %v xk  µ= µ i 1 + Gik  i=1 k=1 xi k↗=i Cioè, la viscosità della miscela è funzione della composizione molare xk delle v specie che costituiscono la miscela stessa. , -.1/2 -.1/4 /2 1 + µµki Mk Mi Gik = , -. /1/2 1/2 Mi 23/2 1 + Mk Mi rifaccio al gradiente di temperatura in determinata direzione. La con- ducibilità termica ↽ interviene nei fenomeni di trasporto di energia sotto forma di calore. In presenza di gradienti di temperatura ϑT ϑn si può creare un flusso. Voglio studiare l’energia interna, trasportata dal campo di velocità fluttuante. Vedremo ωl trasportate in x,y e z. Consideriamo ora la legge di Newton, che ci dice che il calore ⇐ ⇑T attraverso la conducibilità ↽. Dalla teoria della cinetica ottengo la legge di Fourier: Seguendo uno schema simila al caso della viscosità e assumendo che il trasporto avvenga a una velocità confrontabile con la velocità di agitazione termica, si giunge a una relazione tra flusso di calore e gradienti di temperatura: φT qy ↔ →mnvat (cv l ) (54) φy 17  ↽ = ωvat cv l (55) ho ottenuto una relazione uguale a quella della viscosità ma a meno del calore specifico. Esiste una relazione tra ↽ e µ. La dipendenza funzionale è simile a quello della viscosità. Il numero adimensionale che lega ↽ e µ e che da informazioni sulla loro importanza relativa è il numero di Prandtl: µcp µcp ω ν Pr = = ↗ = (56) ↽ ↽ ω α Moltiplico e divido per rho in modo da ottenere la viscosità cinematica. - P r > 1 ! ν > α di”usività della qdm > di”usività termica - P r < 1 ! ν < α qdm < termica - P r = o(1)?? ! ν = α stessa rilevanza Nel caso dell’aria entrambi i contributi hanno la stessa importanza. I liquidi hanno un numero di Pr maggiore. ACQUA ▷v ⇓ ▷T e P r ⇓ 1 Gli e”etti della viscosità sono importanti solo all’interno. P r = 1 , oltre alle variazioni di velocità ci sono altre variazioni dovute alla temperatura. Abbiamo infatti uno strato limite termico che parte con la temperatura a parete per arrivare alle stesse condizioni della T→ esterna. Se P r = 1 allora ▷v e ▷T sono dello stesso ordine di grandezza. 18  Nel caso dell’acqua, dove P r ⇓ 1, lo strato limite termico ha uno spessore bassissimo, infatti considero la temperatura costante. Posso ricavare Pr con le formule di Eucken e grazie ai gradi di libertà: 2L + 4 4ϱ Pr = = (57) 2L + 9 9ϱ → 5 sperimentalmente si trova P r = 0.71, dalla formula invece si ottiene 0.74. DIFFUSIVITà D In maniera simile a quanto visto precedentemente per la conducibilità e la viscosità, in presenza di gradienti di specie, si ha un flusso di specie J. Questa fenomenologia è regolata dalla legge di Fick. 25/09/24 RIASSUMIAMO Prendiamo un pezzettino di superficie ds che contorna un volume. Essa è univocamente definita quando definisco la sua normale n. Chiamiamo f la nostra grandezza. Bisogna tenere in conto cosa passa per la superficie in quanto le grandezze sono trasportate dal campo. A!nchè possano passare, è necessario che v ↓= 0 (questo non vale per tutte le velocità, ad esempio se la velocità è perpendicolare alla normale, non passa nulla; serve che questa sia allineata alla normale ! scalare): f (v · n̂)ds (58) ¯ Che chiaramente rappresenta un infinitesimo. Se volessimo estendere alla superficie dovremmo integrare su S. Nel nostro caso la grandezza è la qdm f = mu↔ , la cui componente di velocità è allineata alla normale (abbiamo assunto il campo bidimensionale). $ mu↔ v ↔ dn = ωu↔ v ↔ (59) n 19 1.8 Richiami di termodinamica Problema tipo: immaginiamo di avere un volume generico con dentro del gas. é un sistema termodinamico caratterizzato da una serie di grandezze (v, p, t, m, s, ecc). Possiamo suddividere le proprietà in due categorie: - grandezze estensive: dipendono dalla massa - grandezze intensive: non dipendono dalla massa (p,t, ecc) Per determinare il problema servono due grandezze e tipicamente si uti- lizza aria standard. Un sistema è termodinamicamente in equilibrio se non ci sono gradienti. Supponiamo che un sistema sia caratterizzato da uno stato 1 di equilibrio. Questo poi passa a uno stato 2 di equilibrio. Per arrivare a 2, le strade che la trasformazione avrebbe potuto prendere sono infinite. Di queste, alcune sono reversibili e altre irreversibili. Una trasformazione è reversibile quando passo da uno stato 1 a uno stato 2 passando per infiniti stati di equilibrio, cioè con una trasformazione molto lenta. Una trasformazione reversibile è isoentropica, quindi posso passare da 1 a 2 e da 2 a 1 senza che vari l’entropia. Introduciamo la legge di stato dei gas (rientra nelle equazioni di Navier- Stokes). R pv = m M pv = N RT R p = ωM T è quella che useremo più spesso Principi fondamentali della termodinamica: - Principio zero: la temperatura è un postulato - Primo principio: de = ▷q + ▷L (60) L’energia interna è una variabile di stato. Il primo principio è per trasfor- mazioni conservative. é l’equazione di bilancio dell’energia senza contributi di convenzione e altro. 20 Se il sistema è adiabatico ▷q = 0. Le la trasformazione è conservativa, il dL può essere descritto da variabili di stato. ▷L = →pdv (61) è un di”erenziale esatto de = →pdv (62) per un sistema adiabatico conservativo h = e + pv di”erenziamo (63) dh = de + pdv + vdp ! de = dh → vdp → pdv (64) so che de = ▷q → pdv, lo vado a sostituire dh → vdp → pdv = ▷q → pdv e semplifico i pdv (65) dh = ▷q + vdp abbiamo trovato il primo principio in termini entalpici (66) - Secondo principio: è il principio della variazione di entropia, quest’ultima aumenta sempre. ▷q ▷s = + dSirr (67) T 21  ▷s ⇔ 0 (68) generalmente, ma ci sono dei casi reali ciclici dove, anche se ritorno al punto 1, l’entropia rimane 0. dsirr = 0 se reversibile. ▷q ds = ! ▷q = T ds (69) T Nel passaggio tra 1 e 2 il calore scambiato è l’area sottesa alla curva. $ T ds = q12 (70) per esempio il flusso alla Riley, che è il flusso in un condotto dallo stato 1 allo stato 2. Il condotto è un tubo infinito dove scambio calore in modo reversibile. q21 < 0, q12 CONDIZIONI DI SERBATOIO Consideriamo una trasformazione re- pentina, cioè non isoentropica. 22 Il Mach incontra una onda d’urto. Ciò causa che la corrente a valle abbia caratteristiche diverse, infatti aumenta la grandezza e diminuisce il Mach, passando da un flusso supersonico a uno subsonico. Ci sono decine di cam- mini liberi molecolari. dsirr ↓= 0 CONDIZIONI DI ARRESTO/RISTAGNO CORRENTE 23 All’inizio il serbatoio è chiuso e abbiamo anche l’ugello d’e#usso. P e T d’arresto della corrente sono quelle massime che può raggiungere la cor- rente in quelle condizioni. Apriamo il serbatoio e la corrente fluisce a flusso costante. Pa < P0. Quali saranno le condizioni termodinamiche della cor- rente? Manteniamo l’ipotesi che l’ugello sia isoentropico e adiabatico. u2 u2 H =h+ che posso scrivere come ! Cp T0 = Cp T + (71) 2 2 Che possiamo scrivere pure cosı̀, che è la condizione d’arresto: u2 T0 = T + = cost (72) 2Cp Presa una corrente qualsiasi, le condizioni d’arresto si ottengono rallentando la corrente in maniera isoentropica fino a velocità nulla ADIABATIC FLOW Se il flusso è adiabatico, fisso H e quella corrispondente è l’energia totale. La simulazione in ugello che vediamo in figura è viscosa. 24  u2 H = Cp T 0 = h + 2 u2 u2 ϱ R T0 = T + = T (1 + ) con Cp = 2cp 2Cp T ϱ →1M ϱ → 1 u2 R T0 = T (1 + R ) con ϱ T = a2 ϱ 2T M M ϱ → 1 u2 ϱ→1 2 T0 = T (1 + 2 ) = T (1 + M ) 2 a 2 uso questa per ricavare l’equazione dell’adiabatica (solo adiabatica, s non deve essere costante necessariamente) T0 ϱ→1 2 = (1 + M ) T 2 (73) Per un flusso d’aria abbiamo ϱ = 1.4, quindi a M = 2 avremo T0 = 1.8T. 25 Per flussi isoentropici invece: T0 T T p0 T0 ω = = = cost ! = ( ) ω→1 p0 ϖ↑1 ϖ p ϖ↑1 ϖ ω ϖ↑1 ϖ p T p0 ϱ → 1 2 ω→1 ω = (1 + M ) p 2 (74) ω0 ϱ → 1 2 ω→1 1 = (1 + M ) ω 2 T0 ϱ→1 2 = (1 + M ) T 2 30/09/24 Vogliamo identificare le condizioni d’arresto. Se parto da 1, come faccio a trovarle? Le condizioni d’arresto sono quelle che ottengo rallentando la corrente fino a velocità nulla. Se mi sposto dal pt. 1 a un pt. più a destra avrò la stessa T0 ma una p0 più bassa poichè perdo carico. Il gradiente di pressione segue l’andamento in figura. " # ω→1 ω p0 ϱ→1 2 = 1+ M (75) p 2 26 2 Equazioni del bilancio 2.1 Equazioni del flusso L’obiettivo di questa sezione è derivare e discutere le equazioni di governo dei flussi (bilancio di massa, cioè l’equazione di continuità, il bilancio della quantità di moto e il bilancio dell’energia) che poi saranno tra loro un sistema legato. Seguo l’ipotesi del continuo, flussi tridimensionali, instazionari e non viscosi. Possono essere utilizzati due diversi approcci: - Approccio integrale: consideriamo un volume di controllo con estensione finita e tramite esso concretizzo la quantità - Approccio di”erenziale: scelgo un volume infinitesimo grande come qualche cammino libero molecolare; deve essere piccolo ma devono valere le ipotesi del continuo L’approccio che scelgo dipende dal problema che stro trattando. Esempio: per calcolare la variazione della quantità di moto tra ingresso e uscita di una galleria con all’interno un profilo alare con una determinata in- cidenza, usiamo un approccio integrale. Se vogliamo studiare lo strato limite, invece, usiamo un approccio di”erenziale. Entrambi gli approcci sono scrivibili in forma euleriana (conservativa, cioè fisso il volume) o lagrangiana (non conservativa, il volume di controllo evolve col flusso). EULERIANO Sistema di riferimento fisso nel tempo. Guardiamo come variano le grandezze nel volume di controllo. 27  LAGRANGIANO Abbiamo introdotto la dipendenza dal tempo, seguiamo le particelle nella loro evoluzione. Euleriano e lagrangiano sono equivalenti, infatti con entrambi gli approcci posso ricavare le stesse equazioni. Considero una generica grandezza G riferita al volume. Se rapportiamo G al volume, otteniamo la grandezza su unità di volume G =f (76) v ESEMPIO: massa m = ω [Kg/m3 ] (77) v ESEMPIO: quantità di moto mv m 1 Kg = ωv [Kg ] = (78) v s m3 m2 s ESEMPIO: energia " # " # m u2 u2 J e+ =ω e+ = (79) v 2 2 m3 Cosa è la variazione temporale della grandezza e il flusso attraverso il volume? Scelgo un volume di controllo. 28 Voglio caratterizzare f e il flusso attraverso la superficie esterna. Consideriamo f contenuta in un volumetto piccolo. $ d f dv = ↖ temporale di f caso euleriano (80) dt v Utilizziamo integrale di volume e deriviamo rispetto al tempo in maniera totale e non parziale poichè la dipendenza è solo dal tempo (avendo già integrato sul volume ho svincolato le coordinate x, y, z). Come caratterizziamo il flusso? $ f (v · n̂)ds = il flusso di f attarverso s (81) s Considero il flusso su tutta la superficie. Uso il prodotto scalare perchè più la velocità è allineata alla normale e più avrò flusso. 2.2 Formulazione lagrangiana - derivate convettive 29  f : f (x(t), y(t), z(t), t) (82) Problema: x, y e z sono già dipendenti da t, in questo modo diventerebbe derivata di funzione composta k. Df φf φx φf φy φf φz φf φf = + + + = v · ⇑f + (83) Dt φx φt φy φt φz φt φt φt In viola abbiamo la derivata convettiva, che non avrei nella forma euleriana. é legata al campo velocità v e le componenti sono componenti della velocità (u, v e w). I termini in azzurtro sono ⇑f , componenti della funzione f, cioè la derivata stazionaria. 2.3 Bilancio della massa Parto dall’integrale in forma euleriana. Il volume non è funzione del tempo per definizione. Consideriamo come varia la massa nel tempo e quanta grandezza passa per la superficie. Sostituiamo la grandezza al posto della equazione generica che abbiamo trovato precedentemente. $ $ d ωdv = → (v · n̂)ds (84) dt v s inserisco il segno meno per allinearci con la normale entrante. Questa equazione vale sia per fluido viscoso che non. Da qui dovrei ricavare altre formulazioni visto che abbiamo detto che la forma lagrangiana e quella euleriana sono equivalenti. Dobbiamo portare tutti gli integrali ad essere integrali di volume (ad esempio uso il teorema della diver- genza o di Gauss). Partiamo dal secondo termine di quest’ultima equazione: $ $ ω(v · n̂)ds = ⇑ · (ωv)dv (85) s v 30 Uso la divergenza piuttosto che il gradiente. Abbiamo il vettore di velocità v che, posto a scalare, abbassa l’ordine di grandezza (la divergenza di un vettore da’ uno scalare). $ $ d ωdv = → ⇑ · (ωv)dv (86) dt v v Il primo integrale è derivato rispetto al tempo, è necessario portare la derivata all’interno dell’integrale. $   φ ω + ⇑ · (ωv) dv = 0 (87) v φt La derivata da totale diventa parziale. Porre tutto uguale a zero significa o che la velocità è nulla (non è possibile) o che l’argomento è nullo: φ ω + ⇑(ωv) = 0 (88) φt che è la formulazione euleriana di”erenziale del bilancio della massa. - hp: flusso stazionario, considero il numero di Strouel ϑ sr ↑ 1 ! ϑt = 0 ! ⇑(ωv) = 0 - flusso incompressibile M ↑ 1 ! ω = cost ! ω⇑ · v = 0 ! ⇑ · v = 0 Passo alla formulazione lagrangiana sviluppando il termine della divergenza. Faccio il prodotto scalare tra ⇑ e ωv.   φ φ φ ⇑ = ı̂ , ◁ˆ , k̂ φx φy φz ωv = {ı̂ωu, ◁ˆωv, k̂ωw} φ φ φ ⇑ · (ωv) = (ωu) + (ωv) + (ωw) = φx φy φz φ φ φ φ φ φ =ω u+u ω+ω v+v ω+ω w+w ω= φx φx φy φy φz φz Raggruppo i termini in azzurro con v · ⇑ω e i termini in viola con ω⇑ · v = v · ⇑ω + ω⇑ · v (89) 31 Sostituisco nella formulazione euleriana e ottengo: φ ω + V · ⇑ω + ω⇑ · v = 0 (90) φt In azzurro la derivata materiale, cioè il termine stazionario, abbiamo poi il termine convettivo. - Flusso stazionario: Sr ↑ 1 ! v · ⇑ω + ω⇑ · v = 0 - Flusso incompressibile: M ↑ 1 ! ω = cost ! ω⇑ · v = 0 ! ⇑ · v = 0 01/10/24 2.4 Bilancio della quantità di moto Consideriamo flusso instazionario, 3D e non viscoso. f = ωv. Vogliamo scrivere il bilancio della quantità di moto. $ $ d ωvdv = → ωv(v · m̂)dS dt v S Usiamo la seconda legge di Newton e bilanciamo la qdm con la sommatoria delle forze agenti sul sistema. Queste possono essere di natura conservativa (forze di massa, come la gravità e forze di pressione pn̂ds lungo la normale). FORMA EULERIANA INTEGRALE $ $ $ $ d ωv dv = → ωv(v · n̂) ds → pn̂ dS + ωf g dv (91) dt v s s v Segno meno perchè andiamo in verso opposto alla normale. Gli ultimi due termini rappresentano le forze agenti sul sistema. 32 FORMA EULERIANA DIFFERENZIALE Dobbiamo rispettare l’identità vettoriale delle varie componenti. Inizio col termine in azzurro: $ $ → ωv(v · n̂) ds = ⇑ · (ωvv)dv (92) s v Proseguo col termine in viole: $ $ pn̂ dS = ⇑ · (ωvv)dv per il teorema di Strauss (93) s v Ora ho tutto sotto forma di integrale di volume: $   d (ωv) + ⇑ · (ωvv) + ⇑p → ωf g dv = 0 (94) v dt Che risulta vera se: d (ωv) + ⇑ · (ωvv) = →⇑p + ωf g (95) dt Devo proiettare l’equazione sugli assi x, y e z, quindi moltiplico scalarmente per ı̂, ◁ˆ, k̂.   d (ωv) + ⇑ · (ωvv) = →⇑p + ωf g · ı̂ su x (96) dt Scomponiamo in una forma meno compatta: su x d φ (ωu) + ⇑ · (ωuv) = → p + ωfx (97) dt φx nel secondo termine compare u poichè la divergenza di un vettore è uno scalare. su y d φ (ωv) + ⇑(ωvv) = → p + ωfy (98) φt φy su z d φ (ωw) + ⇑(ωwv) = → p + ωfz (99) dt φz Scomponendo ulteriormente, su x avrei: φ φ φ φ φ (ωu) + (ωuu) + (ωuv) + (ωuw) = → p + ωfx (100) φt φx φy φz φx 33 E cosı̀ via per y e z. Per passare dalla conservativa devo far comparire la derivata convettiva. Sviluppo ogni termine a sinistra dell’uguale: φ φ φ (ωu) = u ω + ω u (101) φt φt φt φ φ φ (ωuu) = u (ωu) + ωu u φx φx φx φ φ φ (ωuv) = u (ωv) + ωv u φy φy φy φ φ φ (ωuw) = u (ωw) + ωw u φz φz φz I termini in viola possono essere trascurati poichè derivano dall’equazione di bilancio della massa. Dove: , / φ φ φ φ D ω u+u u+v u+w u =ω u φt φx φy φz Dt  ! ϑ   ω Dt u = → ϑx p + ωfx    D ϑ ω !t v = → ϑy p + ωfy      D ϑ ω Dt w = → ϑz p + ωfz Stiamotrascurando qualcosa che vedremo più in là. Il sistema mi permette un approccio LAGRANGIANO DIFFERENZIALE. 2.5 Bilancio dell’energia " # v2 f =ω e+ 2 Sappiamo che de = ▷q + ▷l eq. bilancio dell’energia per un sistema in quiete. Ora la leghiamo al calore scambiato (contributo di volume) e il termine di 34 lavoro (svolto dalle forze di pressione, di massa, forze viscose, lavoro d’elica che produce lavoro ϖ e se non c’e non lo considero). $ " # $ " # $ $ $ d v2 v2 ω e+ dv+ ω e + (v·n̂) ds = → pv·n̂ ds+ ωfg ·v dv+ ωq̇dv dt v 2 s 2 s v v In viola il termine stazionario, in azzurro le forze di pressione, in fuxia le forze di massa e in rosso il calore. Ora vogliamo trasformare gli integrali di superficie in integrali di volume: , " 2 #/ , " # / φ v v2 ω ω +⇑· ω e+ v = →⇑ · (ωv) + fg · v + ωq̇ (1) φt 2 2 che è la FORMA EULERIANA. Dalla teoria di analisi sappiamo: ⇑(aB) = a⇑ · B + B · ⇑a Quindi scorporo v e il resto. Dal termine azzurro avrò: -. -. v2 v2 ω e + 2 · (v · ωv) + ωv · ⇑ ω + 2 Se sviluppo il primo termine (viola) esce il bilancio dell’energia in formula la- grangianadi cui posso trascurare il termine in verde poichè deriva dall’equazione 35 della massa: " # " # φ v2 v2 φ ω e+ + e+ ω φt 2 2 φt Ottengo quindi la forma LAGRANGIANA DIFFERENZIALE dell’energia totale " # D v2 ω e+ = →⇑(ωv) + ωfg · v + ωq̇ Dt 2 D D ω e + ωV · V = →p⇑ · v → V · ⇑p + ωfg · v + ωq̇ Dt Dt I termini in viola derivano dall’equazione del bilancio dell’energia cinetica v · (qdm) e quindi li possiamo semplificare. D ω Dt e = →ω⇑ · V + ωq̇ equazione dell’energia interna***. L’energia interna varia per variazioni di campo e calore. Voglio termini entalpici: " # P D D D P h=e+ ! h= e+ = ω Dt Dt Dt ω " # D D 1 1D D P D 1D = e+P + P = e+ 2 ω+ P Dt Dt ω ω Dt Dt ω Dt ω Dt E moltiplico per ω D D P D D e h=ω e→ ω+ P Dt Dt ω Dt Dt In viola il termine dell’equazione dell’energia interna, in azzurro l’equazione 36 di massa. Sostituisco: D φ ω h = →p⇑ · v + ωq̇ + p⇑ · v + p + v · V p semplifico elementi in viola Dt φt D φ ω h = ωq̇ + p + V · ⇑p eq. bilancio dell’entalpia Dt φt v2 H =h+ 2 " # D v2 D φ e+ + h = →⇑ · (pv) + ωfg · v + ωq̇ + p + V · ⇑p $t 2 Dt φt il termine viola è p⇑ · v + v · ⇑p sottraggo *** D φ ˆ · v → ωq̇ ω H = →p⇑ · v → v · ⇑p + ωfg · v + 2ωq̇ + p + v · vp → p⇑ Dt φt semplifico i termini in viola D φ ω H = p + ωq̇ + ωfg · v eq. bilancio entalpia Dt φt Se aggiungo calore, cambia l’entalpia del sistema. Il secondo contributo è legato all’instazionarietà del campo. Il terzo al lavoro svolto dalle forze di massa. Ipotesi: flusso adiabatico q̇ = 0, stazionario sr ↑ 1, assenza di forze di massa fr ⇓ 1. v2 Sotto queste ipotesi avrò H = cost = h + 2 02/10/24 RIASSUNTO Ipotesi di flusso stazionario e nessuna forza di massa, se i termini sono uguali 37 a zero, l’equazione diventa $ $ ωV (V · n̂)dS + pn̂dS = 0 (102) s s Che è utile nel caso di un corpo aerodinamico e in condizioni iniziali uniformi. Calcolo il contributo della forza di pressione che agisce sulla condizione a monte e a valle (scelta opportunamente, deve fare zero) e trovo il termine convettivo del bilancio della quantità di moto. L’equazione è per flussi non viscosi ma è legata allo strato limite. In che senso? Il contributo è la somma di integrali di pressione e resistenza legati agli sforzi normai ϖ. Quest’ultimo contributo è piccolo e trascurabile. La variazione della quantità di moto tra ingresso e uscita è dovuto alla defles- sione del tubo di flusso, dovuta a sua volta alla presenza del corpo. 2.6 Stato sonico Ipotesi di flusso adiabatico. v2 v2 H = cos t, h = = H −! Cp T + = Cp T0 −! 2 2 ϖ R v2 ϖ R ϖ↑1 m T + 2 = T ϖ↑1 M 0 Con T temperatura statica e T0 temperatura di arresto, cioè la massima temperatura raggiungibile. Posso riscrivere tutto in termini di velocità (i termini in viola precedenti e successivi sono equivalenti): a2 v2 a20 ϖ↑1 + 2 = ϖ↑1 con a0 velocità del suono alle condizioni di serbatoio. Ipotesi di corrente con determinata velocità, temperatura e pressione. Im- magino di arrivare a T = 0k. Quale sarà la velocità? Pari a zero. Se T ! 0, v ! vl , con vl velocità limite. Vl2 a20 2 = ! non influenzata dalla temperatura statica dell’ambiente. ϖ↑1  2 −! Vl = ϖ↑1 a0 fissate le condizioni di serbatoio, se T tende a zero, la velocità sarebbe la velocità limite ! la velocità della corrente è univocamente definita dalle condizioni di serbatoio. 38 Lo stato sonico sono le condizioni per cui, data una corrente con certe velocità e certe condizioni termodinamiche, se v = a↗ posso raggiungere n = 1. L’equazione dell’energia diventa: 2 ax ax a20 ω→1 + 2 = ω→1  ϖ+1 2 a20 2 ! 2(ϖ↑1) a↘ = ϖ↑1 −! a↘ = a ϖ+1 0 E semplifico i ϱ → 1. a* è univocamente determinato. Sia la velocità limite che lo stato sonico dipendono da ϱ e a0. Trovo il rapporto tra le due: ! ! ! vl 2 a0 ϱ + 1 ϱ+1 = Ml = = (103) a↘ ϱ → 1 a0 2 ϱ→1 Semplifico a0. Ovviamente è possibile superare il Mach limite, infatti è un limite solo in queste condizioni. a* è la condizione di riferimento. 2.7 Teorema di Crocco Possibili metodologie col quale il flusso può cambiare entropia. Iniziamo da: T ds = →vdp che voglio scrivere per un flusso che evolve, quindi devo passare da di”erenziali esatti ai gradienti (mi muovo sulla linea di corrente). 1 T ⇑S = ⇑h → ⇑p (104) ω Ipotesi di flusso non viscoso e stazionario con assenza di forze di massa. Con queste ipotesi posso collegare il termine in viola al bilancio della quantità di 39 moto: D 1 D φ ω v = →⇑p −! ⇑p = v = v + v · ⇑v Dt ω Dt φt " # v2 ⇑h = ⇑H → ⇑ 2 " # v2 v ↙ (⇑ ↙ ⇑) = ⇑ → v · ⇑v 2 " # v2 →⇑ = →v ↙ (⇑ ↙ ⇑) → v · ⇑v 2 Sostituendo e semplificando i termini in blu ottengo: φ T ⇑s = ⇑H → v ↙ (⇑ ↙ v) → v · ⇑v + v + v · ⇑v φt # φ T ⇑s = ⇑H + v → v ↙ (⇑ ↙ v) φt Le variazioni di entropia possono essere associate a tre cose: campo in- stazionario, variazioni di entalpia (ad esempio fornendo calore), campo ro- tazionale (rot v ↓= 0). Supponiamo di avere una corrente che a un certo punto incontra un cuneo: 40 ε è l’angolo di deflessione. Nel subsonico le linee di corrente si aprono e avvolgono il corpo. Nel supersonico no, la velocità con cui ci si accorge del cuneo è minore rispetto alla velocità della corrente. Si genera in questo modo un’onda d’urto (in questo caso obliqua). Esistono diversi tipi di onda d’urto. Per esempio se ε > εmax(M ) , l’onda d’urto sarà curva e staccata, generando il cosidetto ”urto ad arco”. Trasformazione omoentalpica a flusso stazionario ma corrente di entropia ϑ (?). ⇑s ↓= 0, con ⇑ = 0, ϑt = 0. Variazione delle condizioni fluidodinamiche. L’urto è perpendicolare alla corrente. L’inclinazione passa da un valore mas- simo al minimo e allo stesso modo la variazione di entropia. Se prendo diverse linee di corrente avrò che s↔2 > s2 > s1. In questo caso, se prendo il teorema di Crocco, devo semplificare i termini in fuxia poichè saranno pari a zero. φ T ⇑s = ⇑H + v → v ↙ (⇑ ↙ v) (105) φt Se un flusso ha una variazione di entropia , allora il flusso è rotazionale. Prendo una particella di fluido a velocità v. Che verso di rotazione avrà? →v ↙ (⇑ ↙ v) Col segno meno possiamo dire che il vettore sarà entrante e diretto come il gradiente di s (regola della mano destra): 41 2.8 Equazione del potenziale di velocità Se un vettore generico A è irrotazionale, la funzione di f è la potenziale di A. ⇑ ↙ A = 0 −! A = ⇑f ⇑ ↙ v = 0 −! v = ⇑0 Ipotesi di flusso irrotazionale, stazionario e non viscoso e scriviamo l’equazione che condensa il bilancio della massa, della quantità di moto e dell’energia col- legandoli alla velocità (che è il nostro obiettivo): φ ω( + v · ⇑v) = →⇑p + ωfg (106) φt Semplifico il primo termine viola per l’ipotesi di flusso stazionario e il secondo perchè consideriamo fg = 0. Scrivo l’equazione di Eulero lungo una linea di corrente: " 2# v ωv · ⇑v = →⇑p −! ω⇑ + ⇑p = 0 2 Se ω = cost, posso portare dentro il gradiente, trovando l’equazione del bi- lancio della quantità di moto: " # v2 v2 ⇑ p+ω = 0 −! p + ω = cost 2 2 Consideriamo adesso l’irrotazionalità: v = ⇑0 −! V = uı̂ + vˆ ◁ + wk̂ = φ0 φ0 φ0 = ı̂ + ◁ˆ + k̂ = %x ı̂ + %y ◁ˆ + %z k̂ φx φy φz 42 E la continuità: φ φ φ ⇑(ωv) = 0 −! (ωu) + (ωv) + (ωw) = 0 φx φy φz φ φ φ −! (ω0x ) + (ω0y ) + (ω0z ) = 0 φx φy φz φ φ φ −! ω0xx + 0x ω + ω0yy + 0y ω + ω0zz + 0z ω = 0 φx φy φz Raggruppo ω φ φ φ ω (0xx + 0yy + 0zz ) + 0x ω + 0y ω + 0z ω = 0↗ φx φy φz Mancano adesso la densità e la sua derivata, che cerchiamo di derivare rispetto a x, y e z. Partiamo dall’equazione del bilancio della quantità di moto. - 2. ωd V2 + dp = 0 con di”erenziali esatti V 2 è il modulo della velocità (V 2 = u2 + v 2 + w2 ; con u2 = 02x , ecc.). " 2 # 0x + 02y + 02z ωd + dp = 0 2 Vogliamo trasformare la pressione in densità usando la velocità del suono: dp = a2 −! dp = a2 dω dω " 2 # ω 0x + 02y + 02z 2 d = →a2 dω a 2 e semplifico gli a2. ϑω ϑω ϑω Voglio calcolare , ϑx ϑy e ϑz , / φω ω ↓ 20x 0xx + ↓ 20y 0yx + ↓ 20z 0zx =→ 2 φx a ↓2 φω ω = → 2 [0x 0xy + 0y 0yy + 0z 0zy ] φy a φω ω = → 2 [0x 0xz + 0y 0yz + 0z 0zz ] φz a 43 e sostituisco in * , / ↓ω ↓ ω [0xx + 0yy + 0zz ] + 0x → 2 (0x 0xx + 0y 0xy + 0z 0zx ) + a , / ↓ω 0y → 2 (0x 0xy + 0y 0yy + 0z 0zy ) + a , / ↓ω 0z → 2 (0x 0xz + 0y 0zy + 0z 0zz ) = 0 a Eliminando rho, abbiamo eliminato una variabile. " # " # " # 02x 02y 02z 0x 0y 1 → 2 0xx + 1 → 2 0yy + 1 → 2 0zz → 2 2 0xy→ a a a a 0x0z 0y0z → 2 2 0xz → 2 2 0yz = 0 a a L’unica variabile rimasta è la velocità del suono. Faccio il bilancio dell’energia: a2 v2 a20 + = ϱ→1 2 ϱ→1 Dove la velocità del suono al quadrato è funzione di campo, mentre a20 è un dato del problema. Voglio esprimere tutto con 0 e a20 : ϱ→1 2 ϱ→1 2  a2 = a20 → v = a20 → u + v2 + w2 = 2 2 ϱ → 1   = a20 → 02x + 02y + 02z 2 Non sostituiamo, rimane cosı̀. ϑp Se il flusso è incompressibile ϑω ! ≃, M = 0, rimane 0xx + 0yy + 0zz = 0. L’equazione può essere linearizzata sotto certe ipotesi (profilo alare aerodi- namicamente sottile e piccole perturbazioni) nel subsonico. Nel transonico e ipersonico l’equazione non può essere linearizzata e non c’è modo di ridurre la sua complessità. Ma comunque viene utilizzata poco in questi ambiti. MANCA LEZIONE 3 OTTOBRE ANDREA 07/10/24 RIASSUNTO (vedi appunti pag 52 ) 0 è il potenziale di velocità. ϑϱ ϑς ϑς u= ϑx v= ϑy ⇁= ϑz Solo se il flusso è irrotazionale o isoentropico. 44 3 One dimensional flows L’obiettivo è partire dalle equazioni complete e ricavare le equazioni uni- dimensionali, slegandoci dalle variazioni di y e z e trascurando l’e”etto in- stazionario (flussi stazionari). Facciamo le ipotesi di flusso unidimensionale e stazionario: v = 0, w = 0, u ↓= 0 con u velocità di propagazione del flusso. V = {u, 0, 0} φ φ ! 0, !0 φy φz φ !0 φt E utilizziamo un approccio euleriano integrale, quindi fissiamo il volume di controllo. Abbiamo un problema unidimensionale. Abbiamo 4 superfici di controllo (ingresso e uscita). Definiamo le normali uscenti dal volume. Avremo una condizione 1 e una condizione 2. Tra le due succederà qualcosa (zona colpita). Partiamo dalle equazioni euleriane integrali già trovate e dalle ipotesi considerate. MASSA $ $ d ωdv = → ω(V · n̂)ds = 0 dt v s Per ipotesi di flusso stazionario, tutto il primo membro va a zero. Nella regione 1 avrò condizioni uniformi. Particolarizziamo l’integrale per il volume di controllo spezzandolo sulle superfici laterali. 45  $ $ $ $ ω ({v · n̂) dS + ω (v · n̂) dS + ω (v · n̂) dS + ω (v · n̂) dS = 0 S1 S2 S3 S3↑ ω = ω1 , utilizziamo v ricordando che l’unico componente è u e che v · n̂ = →u1. Gli ultimi due termini sono pari a zero. Dovrei chiamarli s3 monte e s3 valle. Sono i termini sulle superfici laterali e, come tali, non contribuiscono al bi- lancio di massa (no componenti di velocità). Quindi ottengo: ω1 (→u1 )S1 + ω2 (u2 )S2 = 0 CONSIDERAZIONI: S1=S2 per come sono definite, quindi posso sempli- ficarle. ω1 u1 = ω2 u2 Le superfici 1 e 2 sono generali, l’importante è che siano a monte e a valle. Deduco che ωu = cost = G flusso di massa QUANTITà DI MOTO $ !! $ $ $ ! d ! ! ! ! !g!dV ω v dV + ω v (v · n̂) dS = → pn̂ dS + !ωf !! V dt S S !V Il primo termine se ne va poichè siamo nell’ipotesi di flusso stazionario, l’ultimo perchè consideriamo fg = 0. A sinistra dell’uguale avremo il termine convettivo(1), a destra l’integrale di pressione (2). L’equazione della quantità di moto presenta una di”erenza con quella della massa perchè è un’equazione vettoriale. La dobbiamo sviluppare per componenti proiettate in x (in y saranno pari a zero per flusso adimensionale). (1) $ ω u (v · n̂) dS = ω1 u1 (→u1 )S1 + ω2 u2 u2 S2 S che è la proiezione lungo x. Su y avrò  ! S (v!· ! ω! j)(v · n̂)ds = 0 nullo per le nostre ipotesi. (2) 46    x) s pn̂ds · ı̂ contributi per n̂ · î ↓= 0, quindi entrata e uscita. $ (pn̂ds) · ı̂ = →p1 s1 + p2 s2 S   y) s pn̂ds · ◁ˆ non posso dire a priori che sia nullo perchè sto moltiplicando la normale, che è allineata, quindi i contributi saranno diversi da zero. "$ # ω n̂ dS S!3 → ! p1! · ĵ = ! S!3↔ + ! p1! S!4 → ! p2! S!4↔ = 0 p2! S Posso semplificare perchè i termini sono a due a due uguali.. Orab combino le due equazioni: →ω1 u21" s"1 + ω2 u22" s"2 → p1" s"1 + p2" s"2 = 0 Con s1 = s2 = s −! p1 + ω1 u↔1 = p2 + ω2 u↔2 −! p + ωu2 = cost = I ENERGIA $ " # $ " # $ $ $ d V2 V2 ω e+ dV + ω e + (V ·n)dS = ωq̇ dV + ω (Fg ·v) dS→ p (V ·n̂) dS dt V 2 S 2 V V S " # " # (107) u2 u2 →ω1 e1 + 1 u1 S1 +ω2 e2 + 2 u2 S2 = Q̇ = (→p1 S1 u1 + p2 S2 u2 ) con S1 = S2 = S 2 2 (108) Divido per ωuS " # u2 u22 Q̇ p1 p2 e1 + 1 + e2 + = + → 2 2 ωuS ω1 ω2 p1 u2 p2 u2 u2 u2 (109) e1 + + 1 = e2 + + 2 + q̇ ∝ h1 + 1 = h2 + 2 + q̇ ω 2 ω 2 2 2   1   2 h1 h2 3.1 Propagazione del suono Ora vogliamo applicare le equazioni trovate per il caso di un’onda piana che si propaga in un fluido in quiete. Generalmente rappresenta una piccola per- turbazione per il flusso. 47 Analizziamo lo schema dell’onda e poi proviamo a fissarla: Cosı̀ ci troviamo in una configurazione equivalente ma più comoda da anal- izzare, a cui applicare le equazioni di bilancio con lo scopo di trovare le grandezze a valle dell’onda d’urto conoscendo quelle a monte. Applicando l’equazione di continuità, otteniamo: da a =→ (110) dω ω Mentre applicando la conservazione della quantità di moto: dp = a2 (111) dω Quindi la velocità dei piccoli disturbi di pressione è quella del suono, questa derivazione è fatta ad entropia costante perchè stiamo⇒considerando trasfor- mazioni infinitesime. In caso di un gas perfetto, a = ϱRT e in condizioni standard a=340 m/s. 3.1.1 Cono di Mach Consideriamo inzialmente una sorgente in quiete: La sorgente emette dei disturbi che si propagano con velocità a in un tempo $t. Cosa succede se la sorgente inizia a muoversi con velocità V? Possiamo distinguere tre casi: V a In questo caso la sorgente si sposta con velocità minore rispetto a quella di propagazione del disturbo, quindi resta sempre nella zona di influenza della sorgente e l’intero campo di moto è informato della sua presenza. In questo caso, invece, la sorgente si trova sempre al limite della circonferenza descritta dall’onda e quindi sul fronte d’onda, possiamo distinguere allora due zone: una informata della presenza del corpo, e una non informata della sua presenza In quest’ultima configurazione la sorgente si sposta con velocità maggiore rispetto a quella di propagazione del suo disturbo, tra t e $t ci sono varie circonferenze e le tangenti ad esse formano il cono di Mach, solo la porzione di flusso nel cono di Mach è informata della presenza del corpo. 49 4 Onde d’urto normali 4.1 Meccanismo di generazione dell’urto - Tubo d’urto Per capire come si genera un urto abbiamo considerato un tubo d’urto (prin- cipio alla base anche delle gallerie del vento supersoniche) e abbiamo immag- inato di creare ripetutamente dei disturbi di pressione spostando il pistone a destra; avremo allora: Una compressione a destra Un’espansione a sinistra  R A destra, dopo ogni disturbo quello successivo avrà velocità a2 = ϱ M (T + dT ) > a1 e cosı̀ via: le onde successive rincorreranno la prima, e all’n-esimo disturbo si impacchetteranno tutte insieme formando cosı̀ un urto. A sinistra, invece, le onde successive saranno più lente delle precedenti (in- fatti non ho mai urti per espansione, ma sempre per compressione). 4.2 Variazione di M , p, T e ω attraverso un’onda d’urto normale Possiamo usare le equazioni di bilancio per i flussi unidimensionali e appli- carle al caso dell’onda d’urto normale. Dall’equazione dell’energia H = cost ricaviamo che la temperatura totale a monte e a valle dell’urto è la stessa. NB l’urto non è un fenomeno isentropico, ha senso definire le temperature totali a monte e a valle dell’urto ma durante lo stesso abbiamo una variazione di entropia e ci portiamo ad entropie maggiori. Numero di Mach Applichiamo ora l’equazione di conservazione del flusso di massa e della quan- tità di moto. Otteniamo cosı̀ l’equazione: a21 a22 u1 → u 2 = → (112) ϱu1 ϱu2 50 A questo punto, possiamo considerare nuovamente l’equazione dell’energia, ma non tra monte e valle, bensı̀ tra STATO 1 (monte) e stato sonico e tra stato sonico e STATO 2 (valle). Otteniamo allora: 2 ϱ+1 ϱ→1 2 a21 = a↘ ( )→ u1 (113) 2 2 2 ϱ + 1 ϱ→1 2 a22 = a↘ ( )→ u2 (114) 2 2 Ricordiamo che lo stato sonico è univocamente definito per una determinata condizione di serbatoio, quindi a↘ sarà lo stesso per lo stato 1 e per lo stato 2, dato che T0 = cost. Sostituendo queste ultime due espressioni nell’equazione (24) otteniamo la relazione di Prandlt: u 1 u 2 = a↘ (115) Per soddisfare la relazione di Prandlt ci sono tre possibilità: 1. u1 = u2 = a↘ 2. u1 < a↘ e u2 > a↘ che sarebbe un’assurdo perchè avrei $s < 0 (lo vedremo) 3. u1 > a↘ e u2 < a↘ che è la condizione di esistenza dell’urto Possiamo adimensionalizzare l’equazione di Prandlt: M1↘ · M2↘ = 1 M ↘ vs M u2 a2 u2 ∝ cp T + = cost ′ + = cos t H = cos t 2 ϱ→1 2 2 2 a2 u2 a↘ a↘ ϱ + 1 ↘2 + = + = a ϱ→1 2 ϱ→1 2 2(ϱ → 1) La relazione Divido per u2 1 1 ϱ+1 1 + = M 2 (ϱ → 1) 2 2(ϱ → 1) M ↘2 2 + (ϱ → 1)M 2 ϱ+1 1 ↘2 (ϱ + 1)M 2 = 2 ! M = 2M 2 (ϱ → 1) 2(ϱ + 1) M ↘ 2 + (ϱ → 1)M 2 ↘ tra M e M ci permette di fare delle considerazioni sull’andamento di queste due grandezze fissato un valore di ϱ. 51 Soprattutto, però, conoscendo la relazione tra M e M ↘ possiamo sfruttarla nell’equazione di Prandlt adimensionalizzata per capire come dato un valore di M1 possiamo conoscere M2 a valle dell’urto: (ϱ + 1)M12 (ϱ + 1)M22 · =1 2 + (ϱ → 1)M12 2 + (ϱ → 1)M22 2 + (ϱ → 1)M22 2 + (ϱ → 1)M12 = (ϱ + 1)M22 (ϱ + 1)M12 2 ϱ→1 2 + (ϱ → 1)M12 + = (ϱ + 1)M22 ϱ + 1 (ϱ + 1)M12 2 2 + (ϱ → 1)M12 ϱ → 1 = → (ϱ + 1)M22 (ϱ + 1)M12 ϱ+1 2 (ϱ + 1)2 M12 → 2(ϱ → 1) → (ϱ → 1)2 M12 = (ϱ + 1)M22 (2 + (ϱ → 1)M12 )(ϱ + 1) 2 4ϱM12 → 2(ϱ → 1) = M22 2 + (ϱ → 1)M12 Otteniamo cosı̀ la relazione: 2 + (ϱ → 1)M12 M22 = (116) 2ϱM12 → (ϱ → 1) 52 Pressione Dall’equazione della quantità di moto: p1 + ω1 u21 = p2 + ω2 u22 Sviluppando l’equazione e utilizzando la conservazione della massa ω1 u1 = ω2 u2 , si ottiene: " # 2 u2 p2 → p1 = ϱp1 M1 1 → u1 dove M1 è il numero di Mach a monte dell’onda d’urto. Sapendo che il rap- porto tra le velocità è una funzione del numero di Mach (slide 15), possiamo scrivere: " # p2 → p1 2 2 + (ϱ → 1)M12 = ϱM1 1 → p1 (ϱ + 1)M12 Semplificando l’espressione: $p 2ϱ(M12 → 1) = p1 (ϱ + 1) e quindi: p2 2ϱM12 → (ϱ → 1) = p1 (ϱ + 1) Densità (e quindi velocità) Dall’equazione di continuità: u1 ω1 u 1 = ω2 u 2 ! u2 Otteniamo: ω2 u1 2 (ϱ + 1)M12 = = M1↘ = ω1 u2 2 + (ϱ → 1)M12 53 Per M1 ! 1 (flusso sonico): u2 ω1 = !1 u1 ω2 Per M1 ! ≃ (flusso ipersonico): u2 ω1 ϱ→1 = ! u1 ω2 ϱ+1 Si conclude che attraversando un’onda d’urto la velocità diminuisce e la den- sità aumenta. Temperatura Dall’equazione di stato p = ωRT , scritta per le condizioni a monte e a valle 1,2 e operando il rapporto: p2 ω2 T 2 T2 p2 ω1 = ! = p1 ω1 T 1 T1 p1 ω2 p2 ω1 e considerando che abbiamo già ricavato sia p1 che ω2 , otteniamo: T2 2ϱM 2 → (ϱ → 1) + (ϱ → 1)M 2 = T1 (ϱ + 1)M 2 Questa equazione può essere riscritta come: " #2 , / T2 a2 2(ϱ → 1)(ϱM12 + 1)(M12 → 1) = =1+ (117) T1 a1 (ϱ + 1)2 M12 4.3 Variazione di entropia e delle grandezze totali Variazione di entropia -. -. p2 Dal secondo principio della termodinamica $s = cp log TT21 → R M log p1 54  Usando = cp → cv e ϱ = ccvp R M-. -. -. $s = cp log T1 → cp log p1 + cv log pp21 T2 p2 -. -. - ω. - ω→1. p p $s = cp log TT21 pp12 + cv log pp21 = cv log p1ω pp21 = cv log p1ω→1 -.ϖ↑1 2 2 p1 $s = cv log p2 Usando i già derivati pp21 e ωω21 " #ϖ " # 2 + (ϱ → 1)M12 2ϱM12 → (ϱ → 1) $s = cv log( ) (118) (ϱ + 1)M12 (ϱ + 1) Da questa relazione ricaviamo che per esistere l’urto devo necessariamente avere M1 > 1, altrimenti avrei valori di $s < 0. Ne deduciamo anche che gli urti sono un fenomeno dissipativo, aumentano l’entropia e fanno aumentare tutte le grandezze statiche, ma hanno e”etto anche su quelle totali. Variazione delle grandezze totali Per quanto riguarda la temperatura totale, come abbiamo visto si conserva con l’urto. Non vale lo stesso per la pressione:   ω Dalla definizione di pressione totale: p01 = p1 1 + ϖ↑12 M 2 ω→1 1   ω p02 = p2 1 + ϖ↑1 2 M 2 ω→1 2 Allora mettendo le due grandezze a rapporto otteniamo: - ω→1 2. ω→1ω p 02 1+ 2 M2 p0 = pp21 1+ ω→1 M2 1 2 1 p2 Conosciamo inoltre la variazione di pressione statica con l’urto p1 e M2 = f (M1 ). Sostituendo arriviamo quindi a scrivere: " #↑ ω→1 1 " # ω→1 ω p 02 2ϱ (ϱ + 1)M12 = 1+ (M 2 → 1) T1 ). Osservazioni: – Se entro sul ramo subsonico avrò un M2 > M1 e quindi il flusso accelera. – Visto che una volta raggiunto M2 = 1 per continuare ad accelerare andrei ad entropie decrescenti, ne deduco che non posso passare dal ramo subsonico a quello supersonico fornendo ulteriore calore, e che per una determinata condizione di ingresso ho un valore limite di calore immagazinabile dal flusso. M1 > 1 - flusso supersonico in ingresso 59 Posizioniamo ora il punto 1 della curva sul ramo supersonico, e sposti- amoci a entropie e temperature crescenti. Osservazioni – Se entro sul ramo supersonico avrò M2 < M1 e quindi il flusso decelera. – Anche in questo caso data una condizione di ingresso il flusso non può decelerare sul ramo subsonico fornendo calore, quindi anche in questo caso ho un calore limite immagazinabile dal flusso. 60  Che succede se continuo a fornire calore e il flusso si trova già in condizioni critiche? Ramo subsonico: In questo caso il flusso non ha modo di immagaz- inare ulteriore calore se non modificando le condizioni d’ingresso, e quindi spost