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• Federica Salemi ha scritto queste note di studio sulla Gasdinamica il 17 dicembre 2024.

Cenni introduttivi

• La sezione elenca i concetti chiave, inclusa la struttura del gas, l'energia, l'equipartizione dell'energia, i gradi di libertà, il calore specifico e la compressibilità.
• Discute anche le proprietà di trasporto e i richiami di termodinamica.

Struttura del Gas

• Un gas è uno stato di aggregazione della materia caratterizzato da molecole libere di muoversi senza una forma propria.
• La compressibilità può esser studiata tramite il numero adimensionale di Mach (M = V/a).
• Se M ≪ 1, il flusso è incomprimibile. Se M > 0.3 – 0.4, flusso comprimibile. Se M = 1, il flusso può essere supersonico o subsonico.
• Modello descrittivo di gas: costituiti daAtomi e molecole, ioni e plasmi (in caso di dissociazione).
• Particella fluida descritta come un gruppo di molecole che occupano un volume quasi puntiforme.
• Le informazioni termofluidodinamiche sono anch'esse puntiformi.
• Densità volumetrica n=(numero di molecole)/(unità di volume)=2.69*10^25 molecole/m^3
• Se le molecole sono tantissime si possono considerare come un mezzo continuo
• Si parla di descrizione statistica del comportamento gas, ogni particella ha stessa T e P
• numero di Knudsen: Kn = l/L. Usata per condizioni tipiche aeronautiche

Energia del Gas

• Per meccanismi di energia, esistono gradi di libertà, come la traslazione lungo gli assi x, y e z, la rotazione attorno a 3 assi, e le vibrazioni.
• Si scompone la velocità nelle sue componenti lungo gli assi x, y e z (u, v, w). Variazione di energia totale
• Nel primo caso analizzato la densità è costante, nel secondo questa diviene funzione dello spazio (di campo).
• Per variazioni repentine di velocità, tende a variare anche la chimica del problema. Onde d'urto intense dissociano l'aria in ioni

Equipartizione dell'energia

• In condizioni di equilibrio termodinamico, la costante di Boltzmann lega le fluttuazioni di velocità alla temperatura.
• Il principio di ripartizione dell'energia si applica a qualsiasi grado di libertà delle molecole
• molecola monoatomica : quelli di rotazione sono trascurabili in quanto, essendo la molecola puntiforme, i momenti di inerzia sono molto bassi. L=3
• molecola biatomica: L =5

Calore Specifico

• Calore specifico a volume costante c_v=(∂q/∂T)_v=L/(2M)
• Calore specifico a pressione costante c_p=(∂q/∂T)_p=(L+2)/(2M)
• In maniera simile si possono definire i calori specifici molari C = c ∗ M Esiste anche un valore dell'energia stivata in base al grado di libertà $$ u'^{2}=v'^{2}=w'^{2}=\frac{KT}{m} $$

Compressibilità

• β=-(1/v)dv/dp
• β=numero di Mach

Proprietà di trasporto

• μ = viscosità, λ = conducibilità termica, D = diffusività di massa
• Pr =numero di Prandtl = µcp / λ
• Pr > 1 → ν > α diffusività qdm > diffusività termic
• Prandtl per aria = 1, Per liquidi >>1

Richiami di Termodinamica

• Proprietà estensive dipendono dalla massa
• Proprietà intensive non dipendono dalla massa
• Un sistema è in equilibrio termodinamico se non ci sono gradienti
• trasformazione reversibile -> passo da uno stato a uno stato 2 passando per infiniti stati di equilibrio molto lentamente
• Primo principio: Energia interna è una variabile di stato
• Secondo Principio: Entropia aumenta

Equazioni del Bilancio

• Ci sono 2 diversi approcci:
  • Integrale:Considero volume con estensione finita e tramite esso concretizzo la quantità
  • Differenziale: Scelgo un volume infintesimo grande come qualche cammino libero molecolare, deve essere piccolo ma devono valere ipotesi continuo
• L'approccio scelto dipende dal stro trattando(Es: Variazione della QdM tra ingresso e uscita galleria uso approccio integrale, se voglio studiare stato limite approccio differenziale)
• EULERIANO: Sistema riferimento fisso e guardo variazione delle grandezze nel CdV(volume di Controll)
• LAGRANGIANO: Introduco dipendenza dal tempo,seguo particelle nella loro evoluzione

Formulazione Lagrangiana

Èlegato al campo velocità v e le componenti V sono componenti alla funzione f(xyt), ovvero derivata stazionaria

Bilancio della massa

• Variazione di massa nel tempo e grandezza che passa sulla superficie

Bilancio quantità di moto

f= pu vado a scrivere il bilancio della quantità di moto

• FORMA EULERIANA
• FORMA DIFFERENZIALE

Bilancio Energia

• Forma Euleriana:
• Forma Lagrangiana:Voglio termini entalpici

One Dimensional flows

• Se sono un flusso 1D vuol dire : v=0, w=0 e u=/0, con u=velocità di propagazione del flusso
• Faccio approccio euleriano integrale quindi fisso CdV ,ottengo problema unidimensionale
• Ho 4 superficie di controllo(ingresso e uscita) definiendo le uscenti del volume ,avrò condizione 1 e 2 tra le 2 succede qualcosa nella zona colpita

Equazioni massa

• Per 1D STAZIONARIO primo termine va a zero
• Definisco: G=pu,flusso di massa
• Considetraizioni:
  • superficie 1 vale S2Quindi posso semplificarle
  • P1U1=P2U2=0
• LE SUPERFICI 1 E 2 SONO GENERALI,L IMPORTANTE E’ SIANO VALIDE A MONTE , DOVE CONDIZIONI SONO UNIFORMI*

Quantità di Moto

• Il primo termine se ne va poiché siamo nell'ipotesi di flusso stazionario, l'ultimo perché consideriamo pfg = 0. A sinistra dell'uguale avremo il termine convettivo(1), a destra l'integrale di pressione (2). L'equazione della quantità di moto presenta una differenza con quella della massa perché è un'equazione vettoriale
• Sul moto se ho direzione opposta alla normale
• Sul termine in viola le formazioni termodinamica della corrente: è una frazione

Propagazione del suono

• Ho il mio problema di base dell'urto che colpisce il condotto
• Applicando le equazioni di continuità si ottiene :$$ \frac{dP}{P}=-\frac{ad}{w} $$
• e anche l'incremento di quantità di moto $$ \frac{dP}{P}a^{2} $$
• Quindi la velocità di piccoli disturbi di pressione è quella del suono

Cono di Mach

• Sono rappresentazioni che mi aiutano a capire l'inclinazione dell'effetto che si genera nella propagazione
• L'inclinazione passa da valore max ha valore minimo e allo stesso si esprime in questo moto la variazione di entropia

Onde d'Urto Normali

• Descrive il meccanismo di generazione dell'urto, le variazioni di M, p, T ed p attraverso le onde d'urto normali
• Viene definita la relazione di Prandlt$$ u_1u_2=a*2 $$
• Viene mostrato e descritto a condizione dell'esistenza d'urto $$μ_1>a * e μ_2< a* $$

Rapporti di scale statico

• Tra le formule abbiamo:
  • $$ \frac{P_2}{P_1}=\frac{\left( \gamma +1 \right) M_{1}^{2}sin^{2}\beta}{\lambda + 1} $$ -$$ \frac{\P_2^{}}{\P_1}=\frac{\left( \gamma+1 \right) M_{1}^{2}}{\left(\gamma -1 \right)M_{1}^{2}+2} $$

Variazione d'Entropia e delle Grandezza Totalivariazioni statiche attraverso un urto obliquo

Variazioni statiche sono funzione di M1 e β $T_{o}$è la temperatura tot ma non è detto non sia costante ! Non è un processo isoentropico)

Flusso di Rayleigh

Viene usato per studiare le le onde d'urto e la variazione di Rayleigh e viene usato per flussi unidimensionali per capire. Le grandezze termodinamiche di interessano e le equazioni di conservazione per flussi unidimensionali

Descrive le 3 principali parti:

• Condizione, Flusso di massa, Equazione dell'energia
• Le curva viene costruite come involucro di tangenti

Cosa succede a volume costante??

• Se entro su una superficie è presente M<1 : Varrò che μ2 cresce quindi anche il flusso velocizza
• Non posso passare tra componente subsonica a supersonica
• Se interviene una componente con ( flusso supersonico) μ2 decelera,in questo caso andrebbe all'interno ho anche un’onda di riflessione

Flusso di Farno

Descrive un condotto caratterizzato da PRESENZA DEL SOLO ATTRITO all interno delle pareti

Tre proprietà importanti

• la quantità di moto in direzione y con velocità v'
• Le dimensioni fisiche sono quelle di uno sforzo cioè quelle della pressione
• M(velocita di agitazione termica)
• La particella accelera trascinando la parte più lenta generando uno sforzo di taglio

Vantaggi ad Espansione

l espansione supersonica è caratterizzata da differenze fondamentali dalle onde d'urto ovvero l'espansione isoentropica Per calcolare la velocita’ del suono s=√(pdp)=- √(pdp)

Teorma di Crocco

Il problema si basa sulla variaxzione del calore e di entropia In assenza di forze di massa con quelle ipotesi posso collegare i l termine viola il bilancio nella quantità di moto

Equazione del potenziale di velocità

Si basa se A è irrotazionale e funzione di ha dei vettori se il flusso è sia irrotazionale che stazionario delle