FYS140 Øvingsark 4 (UKE 40) 2024 PDF

Løsningsforslag Oppgaveark #4 FYS140 - Klimaendringer, bærekraft og tilpasninger Maria Flaten, opprettet av Johannes Fjeldså Sist oppdatert: 4. oktober 2024 Om du har spørsmål til oppgaver i løsningsforslaget kan du sende mai...

Løsningsforslag Oppgaveark #4 FYS140 - Klimaendringer, bærekraft og tilpasninger Maria Flaten, opprettet av Johannes Fjeldså Sist oppdatert: 4. oktober 2024 Om du har spørsmål til oppgaver i løsningsforslaget kan du sende mail til; [email protected], eller spørre i øvingstimene onsdag kl.8-10 eller torsdag kl.12-14. Diskusjonsoppgaver fra video-forelesningene Oppgave 1:“Du har lagt en stein i fryseren over natten, tar den opp, og legger den på kjøkken- benken. Hva skjer?” Her kommer noen faktorer dere kan diskutere; Hva har skjedd med steinen over natten? Hva skjer med steinen, og hva skjer med omgivelsene rundt? Varmes stenen opp? Hvorfor gjør den det i såfall? Hva er energibalansen her? Oppgave 2: “Hvordan kan mer CO2 i atmosfæren føre til at det blir varmere ved jordoverfla- ten?” Her kommer noen faktorer dere kan diskutere (se også figur 1); Hvorfor bidrar atmosfæren til jordens oppvarming? Hva er sammenhengen mellom stoffene i atmosfæren og jordens oppvarming? Vil mer CO2 føre til høyere grad av absorpsjon av stråling i atmosfæren? Er det andre stoffer som har samme effekt? Figur 1: Figuren illustrerer hvordan atmosfæren bidrar til absorpsjon og emisjon av termisk stråling 1 Oppgave 3: “Hva kan kan ha endret seg i jordens energibalanse, nå som temperaturen ved over- flaten brått har begynt å stige?” Her kommer noen faktorer dere kan diskutere; Hvilke faktorer i energibalansen kan endre seg? Endrer solinnstrålingen seg? Hvilke områder på jorden kan lagre energi? (Hvilke områder kan eksempelvis holde på varme) Dersom jordoverflaten blir varmere, vil den ikke da også stråle ut mer? (ref. Stefan-Boltzmanns lov) Figur 2: Figuren viser ulike faktorer som bidrar til jordens energibalanse. Hvilke av disse tror du er konstant, og hvilke kan endre seg? Les mer her Oppgave 4: “Hva skjer med vannets kretsløp når klimaet blir varmere?” (se bildet av “The Water Cycle” på presentasjonen for noen hint) Her kommer noen faktorer dere kan diskutere; Hvilke faser finner vi vannet i (f.eks flytende), og hva kreves for en faseovergang mellom disse? Holder vann godt på varme? Hva skjer dersom store islagte områder varmes opp? Hvordan kan temperaturen påvirke dannelse av skyer, nedbør, tåke, dugg samt andre værfenomener? 2  Oppgaver fra Dessler kap 3 og 4 Oppgave 3.2 Gitt info: Sfære med: r = 1 m og temperatur: T = 100 °C = 373.15 K Løsning: Vi antar at sfæren er et sort legeme for strålingen den generer og kan derfor benytte Stefan-Boltzmanns lov for å finne den totale effekten utstrålt per arealenhet (j ∗ ) W j ∗ = σT 4 = (5.67 ∗ 10−8 )(373.15 K)4 = 1099.30 Wm−2 m 2 K4 Siden oppgaven spør etter effekt [W] og ikke effekt per areal [Wm−2 ] må vi gange inn overflatearealet til sfæren W P = j ∗ A = j ∗ (4πr2 ) = (1099.30 2 )(4π(1 m)2 ) = 13814.23 W = 13.8 [kW] m 3  Oppgave 3.3 Vi må benytte egenskaper forklart ved Plancks strålingslov: 8πhc 1 I(λ, T ) = ∗ hc λ5 e λkT − 1 I ligningen er π, h (plancks konstant ≈ 5.67 ∗ 10− 8 Wm− 2K− 4), c (lysets hastighet ≈ 3 ∗ 108 ms− 1) og k (Boltzmanns konstant ≈ 1.38 ∗ 10−23 JK−1 ) konstanter, det er altså objektets temperatur T [K] som bestemmer strålingsintensiteten I ved λ (bølgelengde [m]). Vi kan plotte I mot λ for forskjellige temperaturer og får no slik som figur 3. Figur 3: Sort-legem stråling plottet ved plancks strålingslov. Merk at temperatur er den avgjørende faktoren som bestemmer hvordan kurvens form blir. Den bølgelengden som korresponderer med toppen av kurven eller maxverdien til intensiteten (Vi kan finne bølgelengden som dominerer for en temperatur ved hjelp av wiens-forskyvningslov λmax = Ta hvor a = 2.898 ∗ 10−3 mK) vil være den dominerende for den gitte temperaturen. Vi ser fra figur 3 at ettersom temperaturen stiger forskyves toppen av Planck-kurven mot kortere bølgelengder som gjør andre farger mer dominerende innenfor synlig lys. Ved oppvarming fra romtemp ser vi at objektet vil gå gradene gjennom sort, rød, oransj, gul-hvit og helt opp mot blå-hvit for meget høye temperaturer og til slutt sort igjen fordi fotonene har for mye energi til å befinne seg i spekteret for synlig lys. 4  Oppgave 3.4 Vi kan begynne med å finne temperaturen som har tilsvarende energi-top. Leser av fra figuren: – λmaxStar A ≈ 0.2 ∗ 10−6 m som fra wiens-forskyvningslov gir T = λmaxa = 14454 K og er dominerende for ∼ UV-stråling så denne stjernen vil ha mest lys innenfor lilla-blå spektret =⇒ fargen er derfor trolig blå-hvit. – λmaxStar B ≈ 0.95 ∗ 10−6 m som fra wiens-forskyvningslov gir T = a λmax = 3043 K og er dominerende for ∼ IR-stråling =⇒ fargen er derfor trolig nærmest rød. – Til sammenligning er solen ∼ 5800 K og oransj-rød. Oppgave 3.9 a) Benytter wiens-forskyvningslov og finner λ ≈ 480 ∗ 10−9 m b) Vi finner total effekt per areal ved å benytte Boltzmanns lov og finner j ∗ = σT 4 = 73483200 W/m2 = 73.48 MWm−2 c) Begynner med å finne estimert total utstrålt energi idag, gitt solens radius rsol = 695 ∗ 106 m. Antar lik emittering fra hele overflaten og svaret fra b) som et gjennomsnitt: Ptot = j ∗ Asol = (σT 4 )(4πrsol 2 ) = (73.48 ∗ 106 Wm−2 )(4π(695 ∗ 106 m)2 ) = 4.46 ∗ 1026 W om vi gir solen en ny radius som er to ganger dagens radius r = 2 ∗ rsol kan vi skrive ut det analytiske uttrykket fra tidligere: s s E 4.46 ∗ 1026 W E = (σT 4 )(4πr2 ) =⇒ T = 4 2 σ = 4 = 4243 [K] 16πrsol 16π(695 ∗ 106 m)2 (5.67 ∗ 10−8 mW2 K4 ) 5  Oppgave 3.10 a) Om temperaturen ikke endres, er systemet i balanse: Einn = Eut b) For at temperaturen skal øke, dvs ∆T > 0 må tilførselen av energi være større enn tapet, dvs: Einn > Eut Oppgave 3.12 a) Gitt info: P = 150 W m = 0.2 kg cw = 4.18 kJkg−1 K−1 Løsning: Tar utgangspunkt i ligningen for spesifikk varmekapasitet, og skriver den om for endring med tid (med antagelse om at massen og varmekapasiteten er konstant) og spesifikt for vann: ∆Q ∆T Q = mcT =⇒ = P = mcw t t – hvor Q er varme (energi), m er masse, cw er spesifikk varmekapasitet for vann og T er den absolutte temperaturen. ∆T P (150 W) = = = 0.18 Ks−1 t mcw (0.2 kg)(4.18 kJkg−1 K−1 ) Enheter: " # W JK K J = = kg · kg·K s J s 6  b) Gitt info: Romtemperatur: Trom = 20°C Antar standard atmosfære slik at Tkoke = 100°C Løsning: ∆T (100 − 20)K t= = = 444 s ∆T t 0.18Ks−1 c) Om alt varmetapet er ved hjelp av stråling får vi: W E = σT 4 = (5.67 ∗ 10−8 )(373 K)4 = 1097 Wm−2 m 2 K4 −4 3 Koppens volum V = 200g1 mL g = 200mL = 2 ∗ 10 m , om vi antar en sylindrisk kopp med h = 15cm q Vsylinder gir oss en radius på koppen Vsylinder = πr2 h =⇒ r = πh = 0.0206m. Dette gir et areal Akopp = 2πr(r + h) = 0.02208m2. Vi får: W E = 1097 ∗ 0.02208m2 = 24.22W m2 d) Luften rundt koppen vil alltid ønske å komme i balanse/ termisk likevekt, og varme vil derfor strømme fra varmt til kaldt. Dersom vi får en økt stråling i rommet (økt romtemperatur), vil varmestrømmen fra koppen til omgivelsene minke, fordi temperaturgradienten (forskjellen mellom temp. i rommet, og i koppen) er mindre. Dermed vil mindre varme overføres til omgivelsene, og koketid minker. 7  Oppgave 4.2 a) Gitt info: Solarkonstanten, S = 2000 Wm−2 Avstand mellom stjerne og planet, r = 100 ∗ 106 km Løsning: Siden solarkonstanten er irradiansen (innstrålingen) målt ved grensen til atmosfæren (altså i avstanden r fra stjernen) finner vi total effekt ved å multiplisere irradiansen med arealet av en kule med radius r: W P = SA = S4πr2 = (2000 )4π(100 ∗ 109 m)2 = 2.51 ∗ 1026 W m2 Figur 4: Hjelpefigur b) For en planet hvor r = 75 ∗ 106 km benytter vi samme ligning som i a) og skriver den om: P 2.51 ∗ 102 6 W P = SA =⇒ S = = = 3555 Wm−2 4πr2 4π(75 ∗ 109 m)2 Merk; den totale effekten P fordeler seg på overflaten til en kule med areal A, ettersom at arealet er større i oppgave a vil effekten per areal bli mindre. Derfor er solarkonstanten mindre ved 100 millioner km enn 75 millioner km. 8  Oppgave 4.3 Gitt info: En-lags atmosfæremodell Solarkonstant, S = 900 Wm−2 albedo, α = 0.25 Løsning: For å finne hvor mye energi vi har per kvm tar vi utgangspunkt i energi inn Einn og arealet det fordeler seg over A. Jorden mottar stråling fra solen lik S, videre reflekteres en andel lik α. Den totale energien mottas på et areal πR2 hvor R er jordens radius. dette gir: Einn = S(1 − α)πR2 Denne energien fordeles på jorden areal: A = 4πR2 sammensatt får vi da Energi per areal: W Einn S(1 − α)πR2 S(1 − α) 900 m2 (1 − 0.25) = 2 = = = 168.75 Wm− 2 A 4πR 4 4 For at systemet skal være i balanse må Eut = Einn = 168.75 Wm− 2 som stråles som langbølget stråling fra atmosfærens overflate. Atmosfæren stråler alle veier, som betyr at overflaten vil motta 337.5 Wm− 2 som den må kvitte seg med og vi får derfor utstrålt dette fra overflaten. Vi tar utgangspunkt i denne fluksen for å beregne overflatetemperaturen: r s ∗ W ∗ 4 4 j 337.5 m 2 j = σT =⇒ T = = 4 = 278 K σ 5.67 ∗ 10−8 mW 2 K4 Figur 5: Ett-lags atmosfæremodell, atmosfærelaget er gjennomsiktig for kortbølget solstråling men oppfører seg som et sort legeme for langbølget stråling. 9  Oppgave 4.4 Gitt info: To-lags atmosfæremodell Solarkonstant, S = 3000 Wm−2 albedo, α = 0.25 Løsning: Benytter ligningen fra 4.3: W Einn S(1 − α) 3000 m2 (1 − 0.10) = = = 675 Wm−2 A 4 4 Siden systemet skal være i balanse må atmosfærelag 1. (A1) stråle ut 675 alle veier, det betyr at det totalt sendes ut 1350 fra A1 følgelig må A1 motta 1350 fra A2 som betyr at A2 stråler ut totalt 2700. Bakken mottar 675 fra solen og 1350 fra A2, følgelig må bakken stråle 2025 Wm−2 , følgelig estimerer vi temperaturen: s r W ∗ 2025 m ∗ 4 4 j 2 j = σT =⇒ Ts = = 4 = 435 K σ 5.67 ∗ 10−8 mW2 K4 Figur 6: To-lags atmosfæremodell, atmosfærelagene er gjennomsiktig for kortbølget solstråling men oppfører seg som et sort legeme for langbølget stråling. 10  Oppgave 4.11 Vi løser dette på en semi-analytisk metode. Vi tar utgangspunkt i Boltzmanns lov j ∗ = σT 4 , og løser den for T. For overflatetemperatur får vi: r 4 EutS TS = σ Fra overflatens energibalanse vet vi at; EutS = EutA +Einn. Ettersom EutA er lik Einn (for ett-lagsmodellen) får vi følgende likning: s S(1−α) r 4 2 4 S(1 − α) TS = = = 302.6955 K σ 2σ Videre skriver vi om ligningen for TS for α: 2TS4 σ α=1− S og setter inn ±TS = [301.6955 K, 303.6955 K]. Vi får da henholdsvis α = 0.2907 og α = 0.3092 altså en prosentvis endring på ∼ 0.93% i albedo for en endring på 1 K. 11  Oppgave 4.14 Jeg tar utgangspunkt i ligning 4.5 (s.62 i Dessler, les utledningen selv): r 4 (n + 1)S(1 − α) T = 4σ (hvor n er antall atmosfærelag) p Fra ligningen ser vi at ettersom n vokser vil T vokse ∝ 4 (n + 1) (∝ er tegnet for proporsjonalt). Det er altså ingen metning og analogien er dårlig. p Figur 7 viser hvordan y = 4 (x + 1) flater ut når x −→ ∞. Som konsekvens vil altså et tillegg av klimagasser ikke varme lineært men proporsjonalt til det vist i figuren. √ 4 Figur 7: Veksten av faktoren y = x + 1 som temperaturen T vokser proporsjonalt med. 12  Oppgave 4.20 a) Som vist i figurene under mottar overflaten 300 Wm−2 energi fra solen. Følgelig må atmosfæren avgi samme mengde i alle retninger, og overflaten mottar derfor total 600 Wm−2 som den må kvitte seg med. vha ligningen utledet tidligere for en langs atmosfære får vi: r s ∗ W 4 j 600 m 2 T = = 4 = 321 K σ 5.67 ∗ 10−8 mW2 K4 Figur 8: Strålingsbalanse for etlags atmosfære og 300 Wm−2 innstrålt effekt. b) Når konveksjon introduseres mellom overflaten og atmosfæren reduseres mengden energi som må stråles fra overflaten fra 600 til 520 Wm−2. Figur 9: Strålingsbalanse for et lags atmosfære og 300 Wm−2 innstrålt effekt og 80 Wm−2 konveksjon. 13 c) Med samme ligning som i a), men j ∗ = 520 Wm−2 blir overflatetempraturen. T = 309 K Som er 12 °C kaldere enn i a) Å ha konveksjon i atmosfæren reduserer overflatetemperaturen fordi det reduserer kravet til strålingsfluks for å beholde energibalanse. 14