Fisica dei dispositivi a stato solido AA 2021-2022 PDF

Fisica dei dispositivi a stato solido AA 2021-2022 Lezione03b del 04 ottobre 2021 Dalla Fisica Classica alla Meccanica Quantistica: Atomo di Bohr Ipotesi di De Broglie Prof. Giacomo Messina Dipartimento DIIES...

Fisica dei dispositivi a stato solido AA 2021-2022 Lezione03b del 04 ottobre 2021 Dalla Fisica Classica alla Meccanica Quantistica: Atomo di Bohr Ipotesi di De Broglie Prof. Giacomo Messina Dipartimento DIIES Università Mediterranea di Reggio Calabria  SPETTRO A RIGHE DELL’ATOMO DI IDROGENO  Righe spettrali della serie di Balmer Lo spettro emesso da atomi di idrogeno nell’intervallo di frequenze del visibile è quello rappresentato in figura: Lo svizzero Johann Balmer, nel 1885, trovò che la posizione delle righe nella regione visibile (tutti i dati sperimentali che erano allora disponibili) poteva essere rappresentata con la formula:  1 1  con n=3, 4, 5 …… v  cRH  2  2  2 n  RH = costante di Rydberg per l’idrogeno = 109737 cm-1 c = velocità della luce = 3 ·108 m/s  Altre serie di righe Altre serie di righe dell’idrogeno furono poi trovate nell’UV e nell’IR: corrispondenti alla generalizzazione della formula precedente (formula di Balmer- Rydberg):  1 1  v  cRH  2  2  con n=m+1, m+2, m+3… m n  In particolare :  1 1  Lyman (UV) v  cRH  2  2  con n=2, 3, 4… 1 n   1 1  Paschen (IR) v  cRH  2  2  con n= 4, 5,6… 3 n  Spettri di righe, classificabili per lo più in base a formule più complicate, ma dello stesso tipo, sono noti per tutti gli elementi. Tali spettri non sono spiegabili per mezzo di un modello planetario di tipo classico. MODELLO DI BOHR  Modello atomico di Bohr Nel 1913 il fisico danese Niels Bohr propose un modello atomico per l’idrogeno in grado di spiegare i risultati sperimentali relativi alle righe di emissione dell’idrogeno. Niels Bohr (1885 –1962) Postulati in aperto contrasto con la Nobel per la Fisica 1922 meccanica e l’elettrodinamica classica : 1) l’elettrone in un atomo di idrogeno si muove su un’orbita circolare sotto la sola influenza dell’attrazione coulombiana; 2) Sono possibili solo le orbite in cui il momento angolare dell’elettrone è multiplo intero di h   1.054  1034 J  s ossia l  mr 2ω  n con n  1,2,3 2 3) Nonostante l’elettrone sia sottoposto a una accelerazione centripeta, se è in un’orbita per cui l=nh/2 , esso non irradia energia. Finché resta su una delle orbite consentite (stati stazionari) l’elettrone non emette energia. La sua energia totale E è quindi costante. 4) l’emissione o l’assorbimento di energia e.m. avviene solo se l’elettrone, inizialmente su un’orbita di energia E1, si porta in un’orbita con energia E2. emissione assorbimento E2  E1 v h Non tutte le energie dell’elettrone sono permesse! A ciascuna orbita permessa corrisponde un determinato valore di energia En “Quantizzazione” dell’energia  La quantizzazione non è una prerogativa della fisica moderna ! F v  F m  l Su una lunga corda tesa possono propagarsi onde trasversali F di qualsiasi frequenza f con velocità v   corda tesa fissata agli estremi (condizioni al contorno) non tutte le lunghezze d’onda  sono permesse  Ln 2 2L  n v  vT f v n f   v  2L  Derivazione della teoria di Bohr Imponendo che la forza di attrazione coulombiana agisca da forza centripeta nel moto circolare dell’elettrone attorno al nucleo su un’orbita di raggio r si ha: f centripeta  FCoulomb 2 1 e m 2 r  40 r 2 Dal postulato 2) sulla quantizzazione del momento angolare si ha: n l  mr ω  n 2   2 mr sostituendo n 22 1 e2 m 2 4 r mr 40 r 2 n 22 402 2 r 2 40  2 n me me  Raggi delle orbite quantizzate I raggi delle orbite permesse sono quantizzati: 402 2 rn  2 n me Il raggio dell’orbita più piccola (corrispondente a n=1) si indica con a0 e prende il nome di raggio di Bohr: 40 2 10 a0  2  0.529  10 m me in accordo con le dimensioni atomiche dedotte sperimentalmente. Il raggio della n-esima orbitra di Bohr è quindi rn  a0 n 2  Quantizzazione dell’energia L’energia totale dell’elettrone atomico è data da : 1 e2 Etot  Ecin  E pot  80 r Poiché i raggi atomici sono quantizzati, anche l’energia delle orbite è quantizzata secondo la relazione: 1 e2 402 2 En   con rn  n 80 rn me 2 2 quindi 1 e me  1  me 4 1 2 2 En       80 40 n 2 2  40  2 n 2 2 L’energia dell’elettrone atomico può assumere solo valori discreti. Ad ogni valore di n corrisponde un livello energetico ed uno stato stazionario dell’atomo. Questa relazione, che esprime l’energia degli stati stazionari dell’atomo di idrogeno, rimane valida anche nella moderna Meccanica Quantistica e costituisce il trionfo del modello di Bohr.  Energie in eV 2  0  8.851012 F / m  1  me 4 E1      2.17  1018 J m  9.11 1031 kg  40  2 2 e  1.60  1019 C   1.055 1034 J  s 2.17  1018 E1 eV    19  13.6 eV 1.6  10 En eV    13.6 eV n2 L’energia di ionizzazione dell’atomo di idrogeno è quindi : E  E1  Eion  13.6 eV  Derivazione della formula di Balmer-Rydberg 1 v En  Em 2 2  1  me 4 1 En      4 0  2 2 n2 2 1  1  me 4 1 1 v    2  40  2 m 2 2 n2 2  1  me 4 1 1 v  c    2  40  4 c m 3 2 n 1 1 questa espressione coincide con v  cRH 2  2 la formula di Balmer-Rydberg: m n 2 rappresenta la costante di Rydberg, ottenuta  1  me 4 RH    per via teorica, facendo uso delle costanti  4 0  4 3 c fondamentali e, m, c, h. DE BROGLIE  Natura corpuscolare della radiazione e.m. Esperimenti come effetto fotoelettrico ed effetto Compton hanno messo in evidenza la natura corpuscolare della radiazione elettromagnetica. Un’onda e.m. di frequenza ν e lunghezza d’onda λ = c·T = c/ν può essere considerata come un flusso di fotoni. : Ciascun fotone ha: energia E  hv E h h quantità di moto p   c c   Ipotesi di De Broglie De Broglie suggerì che una particella materiale come un elettrone avesse anche proprietà ondulatorie. Secondo De Broglie ad una particella che si muove con quantità di moto p è associata un’onda sinusoidale con una lunghezza d’onda h Louis de Broglie (1892 – 1987) Nobel per la Fisica 1929  lunghezza d’onda di De Broglie p L’anello di congiunzione fra natura ondulatoria e natura corpuscolare della materia è costituito dalla costante di Planck. Il valore estremamente piccolo della costante di Planck (h =6.63 · 10-34 J s). spiega perché non è possibile osservare comportamenti ondulatori negli oggetti macroscopici. La lunghezza d’onda di De Broglie degli oggetti comuni è di molti ordini di grandezza inferiore alle dimensioni del nucleo (~ 10-15 m).  Si calcoli la lunghezza d’onda di De Broglie di: a) un granello di polvere di massa 10 μg in moto con velocità 1 mm/s : h h 6.63  10 34 Js 6.63  10 34    6 3 3  8 3  6.63  10  23 m p mv (10  10  10 kg)(10 m / s) 10  10 b) un elettrone la cui energia cinetica è 120 eV: 1 2 2K 2K K  mv  v p  mv  m  2mK 2 m m h h 6.63  10 34     1.1  10 10 m p 2mK 2  (9.11  10 31 )  120  1.6  10 19 Per un elettrone da 120 eV la lunghezza d’onda di De Broglie ha circa la stessa dimensione di un atomo e della distanza fra gli atomi nei reticoli cristallini reali.  Legge di Bragg per i raggi X La legge di Bragg permette di trovare le condizioni per osservare diffrazione di un fascio di raggi X da parte di un cristallo. Consideriamo due piani contigui di un cristallo posti a distanza d e sia  la d lunghezza d’onda del fascio di raggi X incidenti I raggi 1 e 2 riflessi hanno una differenza di cammino pari a HB + BK = 2 d sen La condizione affinché si abbia interferenza costruttiva è 2 d sen  = n  (n = 1, 2,…) legge di Bragg Una “legge di Bragg” anche per gli elettroni? La legge di Bragg è una conseguenza della natura ondulatoria del fascio. L’interferenza costruttiva deriva cioè dalla sovrapposizione delle onde ed è indipendente dal tipo di onde. Quindi se l’ipotesi di De Broglie fosse corretta, la legge di Bragg dovrebbe essere soddisfatta anche da un fascio di elettroni di lunghezza d’onda confrontabile con la distanza interatomica (e quindi elettroni con energia cinetica dell’ordine del centinaio di eV).  Esperimenti di Davisson e Germer Davisson (1881-1958) e Germer (1896-1971) condussero una serie di esperimenti presso i Bell Laboratories negli Stati Uniti che confermarono in modo conclusivo la natura ondulatoria degli elettroni. Elettroni vengono emessi dal filamento F e accelerati attraverso una ddp V regolabile. Dopo una riflessione sul cristallo C, vengono registrati dal rivelatore D. Il piano del cristallo agisce come un reticolo di diffrazione con passo D. Nel 1937 a Davisson fu attribuito il premio Nobel per la Fisica per Servendosi della legge di Bragg, Davisson e Germer verificarono l’ipotesi della questa ricerca. lunghezza d’onda di De Broglie λ = h / p per ben 16 picchi di diffrazione  Esperimento di George Thomson La natura ondulatoria degli elettroni fu confermata in modo indipendente da George Thomson (1892-1975) presso l’Università di Aberdeen in Scozia. G.Thomson mise in evidenza la diffrazione degli elettroni inviando un fascio di elettroni monoenergetico verso un bersaglio costituito da una lamina policristallina, cioè composta da un gran numero di piccoli cristallini orientati a caso. Alcuni dei microcristalli sono orientati rispetto al fascio in modo da soddisfare la legge di Bragg e ciascuno di essi produce quindi un raggio diffratto. I raggi diffratti formano sulla pellicola delle figure di diffrazione circolari, la cui configurazione dipende strettamente dalle distanze interatomiche nella struttura del cristallo.  Conferma dell’ipotesi di De Broglie Raggi X Elettroni L’analisi accurata della figura di diffrazione conferma l’ipotesi di De Broglie (λ = h/p). Per i suoi esperimenti sulla diffrazione degli elettroni Gorge Thomson condivise con Davisson il premio Nobel per la Fisica. George Thomson era figlio di Joseph John Thomson (1856-1940) che vinse il premio Nobel per la Fisica nel 1906 per la sua scoperta dell’elettrone e per la misura del rapporto e/m (carica/massa). Thomson padre vinse il premio Nobel per avere dimostrato che l’elettrone è una particella, mentre Thomson figlio lo vinse per aver dimostrato che è un’onda !!  Esempi di figure di diffrazione di elettroni luce Interferenza da doppia fenditura per elettroni elettroni Figura di diffrazione generata da elettroni da 100 keV attraverso un’apertura circolare di diametro 30 mm.  Onde stazionarie su orbite circolari La relazione di De Broglie p=h/ conferisce un significato fisico molto chiaro alla condizione di quantizzazione del momento angolare “arbitrariamente” posta da Bohr alla base del suo modello. l  m v r  p r  n h  rn h 2 2 r  n  La condizione di Bohr l  n corrisponde ad imporre che la lunghezza d’onda  dell’onda di De Broglie associata all’elettrone sia contenuta un numero intero di volte nell’orbita dell’elettrone stesso. Gli stati stazionari di Bohr sono quelli per i quali l’onda di De Broglie dell’elettrone si ricongiunge con se stessa, dopo ogni rivoluzione, con la medesima fase. Altrimenti l’onda si autodistruggerebbe per interferenza distruttiva. La condizione 2r = n ricorda quella a cui devono soddisfare le onde stazionarie su una corda tesa. Oscillazione di una corda tesa sono permesse solo le “onde stazionarie” Per gli elettroni in un atomo sono possibili solo “onde stazionarie” “orbita non stazionaria” “orbita stazionaria”  La luce ha una natura duale In alcuni esperimenti si comporta come un’onda (Interferenza e Diffrazione) In altri esperimenti si comporta come un insieme di particelle (Effetto fotoelettrico ed effetto Compton) Questa doppia natura della luce, ondulatoria e corpuscolare, viene descritta usando l’espressione “dualismo onda-particella”. Per la comprensione di un esperimento dobbiamo servirci o della teoria ondulatoria o di quella corpuscolare, ma in generale non di tutte e due.  Esperimento di Young La natura ondulatoria della luce era stata stabilita dall’esperimento della doppia fenditura di Young. Sullo schermo si osservano “frange di interferenza”, cioè una distribuzione di max e min di intensità di luce  la diffrazione dei raggi X Si verifica quando la lunghezza d’onda della radiazione e.m. è paragonabile al passo reticolare (~ 10-10 m)  Dualismo onda-particella Anche gli elettroni (i protoni e i neutroni) sono caratterizzati da dualismo onda-particella La natura corpuscolare degli elettroni era stata messa in evidenza dalla deflessione di fasci elettronici da campi elettrici e magnetici (tubo di un televisore o di un oscilloscopio). La natura ondulatoria degli elettroni fu messa in evidenza dagli esperimenti di Davisson-Germer e di George Thomson. Non è possibile nessuna concreta immagine mentale che combini le caratteristiche di onda e di particella. Non bisogna cercare di visualizzare un’ “onda-particella” ! Principio di complementarità Niels Bohr : … ”gli aspetti di onda e di particella di una entità quantistica sono entrambi necessari per una descrizione completa. Tuttavia i due aspetti non possono essere rivelati simultaneamente in un singolo esperimento. L’aspetto che si rivela è quello determinato dalla natura dell’esperimento che si conduce”. Differenti modelli atomici Fisica dei dispositivi a stato solido AA 2021-2022 Lezione04b del 05 ottobre 2021 Metalli: gas di Fermi in una e tre dimensionie Prof. Giacomo Messina Dipartimento DIIES Università Mediterranea di Reggio Calabria In queste lezioni approfondiremo alcuni concetti fondamentali di Fisica dei Semiconduttori. Applicheremo la statistica di Fermi-Dirac ai metalli e ai semiconduttori. In particolare, dopo avere introdotto il concetto di livello di Fermi e dopo avere rivisitato la struttura a bande di energia, vedremo dove si trova il livello di Fermi in un semiconduttore intrinseco e come si sposta nel caso di semiconduttore drogato. 2 Cominciamo a considerare il caso dei METALLI Un atomo isolato di rame (Cu) possiede 29 elettroni. La configurazione elettronica del rame è la seguente: Cu 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d10 4s1 In un pezzo di rame solido, 28 di essi vengono mantenuti ben vincolati nei loro siti reticolari da forze elettrostatiche e non sono liberi di muoversi attraverso il volume del solido. Il rimanente elettrone (il 4s1) è invece libero di spostarsi. Se applichiamo una differenza di potenziale ai capi di un filo di rame, sono questi elettroni di conduzione (uno per ogni atomo) che danno luogo alla corrente che si stabilisce nel filo. 3 Nel modello a gas di elettroni liberi l’andamento della energia potenziale ipotizzato per descrivere il moto di un elettrone di conduzione in un metallo è quello illustrato in figura: L’energia potenziale è nulla dentro il metallo e sale all’infinito in corrispondenza della sua superficie. 4 Gli elettroni di conduzione all’interno di un metallo non sono soggetti ad alcuna forza: possono muoversi liberamente dentro il metallo. In sostanza, per gli elettroni liberi, l’interno di un metallo può essere considerato un volume equipotenziale confinato tra barriere di energia potenziale alla superficie. Il modello di “barriera di energia potenziale infinita” tuttavia lascia aperti alcuni problemi. Per esempio esso prevede che, a causa della barriera di energia potenziale infinita, nessun elettrone possa mai sfuggire dal metallo abbandonando la sua superficie. 5 Tuttavia, sulla base dei risultati sperimentali, sappiamo che ciò non è vero, perché gli elettroni possono ‘evaporare’ dal metallo quando si innalza la sua temperatura, per esempio nei filamenti incandescenti sottovuoto. Tale effetto è chiamato ‘emissione termoionica’ (anche se sarebbe più corretto chiamarla ‘emissione termoelettronica’ in quanto si tratta di emissione di elettroni e non di ioni). Inoltre, elettroni possono essere espulsi facendo incidere sulla superficie metallica un fascio luminoso di frequenza opportuna (tipicamente nell’UV) (effetto fotoelettrico) 6 Un modo semplice per superare le difficoltà del modello a barriera di energia potenziale infinita consiste nel ridurre l’altezza della barriera di energia potenziale in corrispondenza della superficie del metallo ad un valore finito. Un elettrone di conduzione può muoversi liberamente dentro il metallo, ma non può sfuggire attraverso la superficie, a meno che non possieda un’energia cinetica E EB. 7 L’esistenza di una barriera di energia potenziale di altezza finita in corrispondenza della superficie è facilmente comprensibile. Quando un elettrone cerca di sfuggire dal metallo, si ha la formazione di una carica netta positiva sulla superficie, dato che il metallo all’inizio era elettricamente neutro. L’elettrone risentirà quindi di una forza di attrazione dovuta alla carica netta positiva rimasta “scoperta”’. L’elettrone sarà costretto a ritornare dentro il metallo, a meno che non possieda un’energia cinetica sufficiente per uscire dalla regione di influenza di tale forza. 8 All’interno del metallo ci sono elettroni aventi un’energia cinetica tale da poter abbandonare il metallo (E  EB ) ? In altre parole vogliamo determinare la distribuzione della energia cinetica degli elettroni liberi nel metallo. In un metallo il numero n di elettroni liberi per unità di volume è enorme, dell’ordine di 1028 elettroni/m3. Per esempio, nel rame nCu = 8.49 · 1028 elettroni / m3. 9  ESERCIZIO Calcolare il numero di elettroni per unità di volume nel rame, sapendo che c’è un elettrone di conduzione per atomo di rame. Si conoscono la densità Cu=8.96·103 kg/m3, e la massa molare (g/mole) M0 = 63.54 g/mole. Risoluzione: Il numero n di elettroni per unità di volume è uguale al numero di atomi per unità di volume. Una mole di atomi pesa 63.54g e contiene il numero di Avogrado di atomi NA = 6.02 ·1023 atomi/mole. La massa mCu di un atomo di rame è quindi: 3 63.54  10 kg mCu  6.02  10 23 10 D’altra parte Cu =(numero atomi nel volume V)·(massa di un atomo)/V Cu = natomica mCu da cui: Cu 8.96  103  6.02  1023 natomica    8.49  1028 atomi / m 3 mCu 63.54  103 quindi: n = 8.49 ·1028 elettroni / m3 11  DISTRIBUZIONE DELL’ENERGIA DEGLI ELETTRONI LIBERI IN UN METALLO Vogliamo conoscere la distribuzione dell’energia (cinetica) degli elettroni liberi in un metallo, cioè il numero di elettroni liberi per m3 la cui energia è compresa fra E ed E + dE. Questo numero viene indicato con dnE. Chiaramente, a parità di energia E, il numero di elettroni (per m3) con energia compresa fra E ed E+dE cambia con la grandezza dell’intervallo dE, in prima approssimazione proporzionalmente alla grandezza dell’intervallo dE stesso. Quindi si può porre: dnE = E dE dove E = dnE/dE rappresenta il numero di elettroni per m3 del 12 metallo e per intervallo unitario di energia.  E =dnE /dE “densità dell’energia” degli “densità degli stati occupati’ elettroni (Millman-Halkias) più appropriato e universalmente usato in Fisica dei Semiconduttori Possiamo ricavare dnE (numero di elettroni al m3 con energia compresa fra E ed E+dE), calcolando: 1) il numero dNE degli stati “permessi” per unità di volume aventi energia compresa fra E ed E+dE, cioè il numero di stati quantistici (per unità di volume) con energia compresa fra E ed E+dE “che possono essere occupati da un elettrone” 2) la probabilità f(E) che lo stato quantistico di energia E 13 sia occupato da un elettrone. Possiamo scrivere dNE come: dNE = N(E) dE dove N(E)= dNE/dE è una funzione chiamata “densità degli stati permessi” e rappresenta il numero degli stati permessi per unità di volume (cioè per m3) e per intervallo unitario di energia (per esempio per elettronvolt se esprimiamo l’energia in eV). Quindi da un punto di vista fisico si può esprimere dnE (numero di elettroni per unità di volume con energia compresa fra E ed E+dE) semplicemente come prodotto di dNE [numero di stati permessi per unità di volume con energia compresa fra E ed E+dE] per la probabilità f(E) che gli stati siano occupati: 14  dnE = dNE f(E) Ma dnE=E dE e dNE=N(E) dE; sostituendo nella formula di sopra si ha: E dE = N(E) dE f(E)  E = N(E) f(E) Per questo motivo la funzione E , prodotto della densità degli stati permessi N(E) per la probabilità f(E) che uno stato sia occupato, viene chiamata in Fisica dei Semiconduttori “densità degli stati occupati” (in altri libri diversi da Millman-Halkias la troverete indicata con n0(E)). 15  GAS DI FERMI Il modo più semplice di studiare i cristalli metallici è quello di considerare gli elettroni nel metallo come un gas di elettroni liberi (cioè che non interagiscono), ma soggetti al Principio di Esclusione di Pauli. Il Principio di Esclusione afferma che non vi possono essere due elettroni con tutti i loro numeri quantici uguali. Cioè ogni stato quantistico può essere occupato al massimo da un elettrone (ciò vale per gli atomi, le molecole o i solidi). UN GAS DI ELETTRONI LIBERI SOGGETTI AL PRINCIPIO DI ESCLUSIONE DI PAULI VIENE CHIAMATO BREVEMENTE GAS DI FERMI. 16  Principio di Esclusione di Pauli Il Principio di Esclusione stabilisce che in un atomo non vi possono essere due elettroni con gli stessi numeri quantici. Wolfgang Pauli Vienna 2.4.1900 – Zurigo 15.12.1958 Nobel per la Fisica 1945 In generale ogni stato quantistico, identificato anche dallo spin, può essere occupato al massimo da un elettrone (ciò vale per atomi, molecole e solidi). Gli elettroni sono fermioni (particelle con spin semi-dispari); essi seguono la statistica di Fermi-Dirac. 17  Metalli gli elettroni di valenza diventano “liberi” in un metallo Atomi lontani Atomi a distanza di legame Quando gli atomi del metallo vengono “avvicinati” gli stati di Gli elettroni di valenza di più alta energia più alta formano un energia sono legati debolmente ai continuo e gli elettroni di valenza propri nuclei. “lasciano” il singolo atomo e appartengono all’intero cristallo. 18 Discutiamo inizialmente il comportamento di un gas di elettroni liberi in una dimensione, tenendo conto dei risultati della teoria quantistica e del principio di esclusione. L’elettrone è vincolato a stare su una linea di lunghezza L. Questa situazione si può “modellizzare” come una particella in una buca di potenziale a pareti infinite. U(x) ∞ ∞ U(x)=0 x x=0 x=L 19 Particella in una buca di potenziale a pareti infinite I valori che può assumere l’energia En dell’elettrone confinato nella buca di potenziale possono essere ricavati facilmente utilizzando l’analogia con il problema classico della corda tesa fissata agli estremi.  Ln 2 2L  elettrone n h h h Lunghezza d’onda di  p n De_Broglie dell’elettrone p  2L 2 p 1 n 2h 2 h2 E En     n 2 2m 2m 4 L2 8mL2 20  Schema dei livelli di energia h2 En  2 n 2 8mL Lo stato fondamentale (‘‘ground’’) corrisponde ad n=1. L’energia più bassa non è zero. Non è possibile ridurre a zero l’energia cinetica della particella (“zero point energy”). 21  Le energie permesse En dipendono dall’inverso del quadrato della dimensione della buca h2 En  n 2 L 4L 8mL2 E4 E3 E5 E4 E2 E3 E1 E2 E1 La ‘‘discretizzazione’’ dei livelli di energia scompare quasi completamente per buche di dimensioni macroscopiche, mentre è accentuata per buche di dimensioni nanometriche (nanostrutture) 22 DISPORRE N ELETTRONI IN UNA BUCA DI POTENZIALE DI LUNGHEZZA L. Un determinato livello di energia En può essere occupato da due elettroni uno con spin ms=+½ e l’altro con spin ms= -½. En up down Quindi ogni livello di energia En caratterizzato dal numero quantico n corrisponde a due stati quantistici diversi dell’elettrone, uno con spin up  e l’altro con spin down . Il livello En è doppiamente degenere. 23  ESERCIZIO Sistemare 6 elettroni in una buca di potenziale di lunghezza L in modo tale da ottenere per il sistema dei 6 elettroni lo stato quantistico di energia più bassa. Risoluzione A prima vista si potrebbe pensare di sistemare tutti e sei gli elettroni nello stato E1 (stato della buca di potenziale con energia più bassa). ∞ ∞ U(x) E1 x x=0 x=L Eground = 6 ·E1 24 Ma gli elettroni devono obbedire al principio di esclusione di Pauli, quindi nel livello di energia E1 si possono sistemare al più 2 elettroni con spin opposto . ∞ ∞ 2 elettroni E3 E3 2 elettroni E2 E2 2 elettroni E1 E1 __________ _______________ x=0 x=L x 6 elettroni Eground= 2E1+2E2+2E3 L’energia più bassa che il sistema di 6 elettroni può avere è, a causa del principio di esclusione di Pauli, più alta di 6·E1, energia che il sistema di 6 particelle avrebbe se queste non fossero costrette ad obbedire al principio di esclusione di Pauli. Nello stato fondamentale del sistema con 6 elettroni i livelli con n=1, n=2 ed n=3 sono completi e i livelli con n>3 sono vuoti. 25 Supponiamo di volere sistemare un numero N pari di elettroni all’interno della buca di potenziale unidimensionale di larghezza L. Cominciamo a riempire i livelli a partire dal più basso (n=1) progressivamente fino ad esaurire tutti gli N elettroni. Il livello di energia più alto e completo è chiamato livello di Fermi. Ad esso corrisponde il numero quantico nF. Poiché vengono sistemati 2 elettroni con spin opposti per ogni livello energetico, si deve avere: nF= N /2 L’energia EF dell’ultimo livello completo è chiamata “energia di Fermi”. 26 Dall’espressione generale degli autovalori h2 En  n 2 8mL2 risulta 2 h EF  2 2 nF 8mL 2 2 N h N 2 2 h EF       8mL2 2 32m  L  dove N/L è il numero di elettroni per unità di lunghezza. 27 Lo stato di energia più bassa Eground del sistema di N elettroni si ottiene sommando le energie delle coppie di elettroni con spin opposto che riempiono progressivamente i livelli En, con n variabile da 1 ad N/2: N /2 h2 N /2 h 2 N /2 E ground  2  En  2  2 n  2 2 n 2 n 1 n 1 8mL 4mL n 1 ma s 1  n 1 n  s(2s  3s  1) 2 6 2 per ricorrenza per s>>1 s 1 3  n 1 n  s 3 2 quindi 28  quindi 3 2 2 h 1 N h N 2 1 3 h N 2 Eground        N   4mL 3  2  32mL 3 3 2 2 32m  L  ma h N 2 2 EF    32m  L  quindi 1 E ground  N  EF 3 L’energia media 0 nello stato fondamentale Eground del sistema di N elettroni è semplicemente: Eground 1 0    EF N 3 29 Consideriamo l’espressione di En che dà il valore della energia corrispondente al numero quantico n: 2 h En  2 n 2 8mL Dimentichiamo per un momento che n è un intero e consideriamo n come una variabile continua. La variazione di energia corrispondente a un cambio dn nella variabile (continua) n è data, matematicamente, dal differenziale dE: 2 2 dE h h dE  dn  2 2ndn  2 ndn dn 8mL 4mL 30 E h2 2 n 8m L E 2 n n E 8mL h dn dE dE dn E 2 n dE  h 2m  L 1 2 ndn dn  dE 4mL h E La quantità dn/dE rappresenta il numero di livelli di energia per intervallo unitario di energia dn 2m  L 1  dE h E 31 A parità di dE il numero di livelli che cadono dentro l’intervallo dE diminuisce al crescere di E (cioè di n) 2 h En  2 n 2 8mL dE n E dE dE 32 Poiché per ogni livello di energia ci sono due stati quantistici diversi (spin  ), il numero di stati quantistici per intervallo unitario di energia è semplicemente 2 volte il numero di livelli (di energia) per intervallo unitario di energia: dn 8m  L 1 2  dE h E 33 Si definisce “densità di stati” N(E) il numero di stati quantistici per intervallo unitario di energia e per unità di lunghezza L (in questo caso unidimensionale; per unità di superficie nel caso bidimensionale; per unità di volume nel caso tridimensionale). dn 2 dE 8m 1 N (E)   L h E 34 Il grafico della densità degli stati elettronici N(E) in funzione dell’energia E è: N(E) 8m 1 N (E)  h E E Allo zero assoluto tutti gli stati sono completi fino all’energia di Fermi. I livelli di energia superiori a EF sono vuoti. L’energia di Fermi allo zero assoluto è determinata dalla condizione che tutti gli N elettroni del sistema siano disposti in stati di energia minore o uguale all’energia di Fermi. 35 Riempimento dei livelli di energia a T=0 K EFermi nFermi n E 4 3 2 1 36 Se, per un gas di elettroni allo zero assoluto, mettiamo in grafico la probabilità f(E) che sia occupato uno stato con energia E, allora la curva deve essere uguale ad 1 per tutti i valori di energia minori di EF e uguale a zero per E>EF cioè f(E) deve essere una funzione a gradino: f(E) 1 0 EF E 37 Che cosa succede quando la temperatura aumenta? Alcuni elettroni acquisteranno energia (dal bagno termico) e verranno occupati alcuni livelli di energia che erano liberi allo zero assoluto. La frazione di livelli che sono occupati ad una data energia, quando il sistema è in equilibrio termico alla temperatura T, è data dalla funzione di distribuzione di Fermi-Dirac: 1 f (E)   ( E  EF )  exp  1  kT  dove k è la costante di Boltzmann. 38  1 f (E)   ( E  EF )  exp  1  kT  39 Per T 0, la f(E) è discontinua in EF , e assume la forma di una funzione a gradino: 1 f (E)   ( E  EF )  exp  1  kT  E  EF per EEF , (E - EF) > 0 e  ed f(E) 0. kT 40 Quando il sistema è riscaldato dallo zero assoluto gli elettroni si portano dalla regione EEF. Il gradino si “smussa”. 1 f (E)   ( E  EF )  exp  1  kT  A qualsiasi temperatura f(E) è uguale a ½ per E = EF. Per questo motivo si dice solitamente che il livello di Fermi rappresenta lo stato energetico a cui compete il 50% della probabilità di essere occupato (se non si trova in banda proibita). 41 Ad alte energie (E-EF)>>kT la funzione di distribuzione di Fermi-Dirac riproduce la funzione di distribuzione di Boltzmann: 1  ( E  EF )  f (E)   exp   ( E  EF )   kT  exp   1  kT  42 Fisica dei dispositivi a stato solido AA 2021-2022 Lezione04a del 05 ottobre 2021 Semplice approccio alle bande di energia Prof. Giacomo Messina Dipartimento DIIES Università Mediterranea di Reggio Calabria  Atomi a molti elettroni Gli elettroni più interni che occupano sottostrati completi sono molto legati al nucleo. Essi pertanto non prendono parte ai fenomeni chimici o fisici, se non all’emissione e all’assorbimento di raggi X. La struttura degli elettroni interni (che con il nucleo costituiscono il cosiddetto nocciolo ionico) rimane inalterata anche quando l’atomo trasforma la sua nube elettronica per combinarsi con altri atomi a formare molecole o solidi. 2  Elettroni di valenza Gli elettroni più esterni, in genere in un sottostrato incompleto, sono invece responsabili del legame chimico, dell’interazione degli atomi con la luce, quindi degli spettri di assorbimento e di emissione, e determinano le proprietà dei materiali. Essi sono detti “elettroni di valenza”. Se un atomo viene avvicinato ad un altro atomo, tra i due si esercita una forza, si hanno distorsioni delle nubi elettroniche e cambiamenti dei livelli energetici. Nella formazione delle molecole si ha la transizione da elettroni di valenza localizzati intorno agli atomi (orbitali atomici) a elettroni distribuiti su tutto lo spazio occupato dalla molecola (orbitali molecolari). 3  Elettroni nei solidi cristallini: bande di energia Cosa succede quando degli atomi vengono avvicinati per formare un solido cristallino? Immaginiamo un ESPERIMENTO CONCETTUALE in cui degli atomi (p.e. di silicio) sono avvicinati per formare un cristallo. d Inizialmente la distanza d fra gli atomi sia grande. Gli elettroni di ciascuno dei due atomi hanno esattamente la stessa energia. I livelli energetici sono identici a quelli del singolo atomo isolato: ‘‘livelli degeneri’’. E4 E4 E4 E3 E3 E3 E2 E2 E2 E1 E1 E1  atomi vicini In questo ‘‘esperimento concettuale’’ immaginiamo di cominciare ad avvicinare progressivamente gli atomi fino a raggiungere la reale spaziatura r0 esistente fra gli atomi nel cristallo (distanza di equilibrio r0). Quando la distanza fra gli atomi diventa dell’ordine di alcuni Angstrom gli elettroni più esterni cominceranno a interagire, cioè a sentire l’influenza degli elettroni e del nucleo dell’atomo vicino. Gli orbitali degli atomi vicini cominciano a sovrapporsi (“overlapping”). E’ possibile dimostrare in meccanica quantistica che per effetto dell’interazione tra gli elettroni degli atomi i livelli energetici elettronici che a grandi distanze fra gli atomi erano esattamente sovrapposti (livello N-volte degenere) cominciano a separarsi (to split=separare) in N livelli distinti molto vicini in energia (splitting dei livelli energetici). N livelli finemente L’interazione fra gli atomi nel separati cristallo fa nascere una banda N livelli sovrapposti di livelli quasi continua. 5 14Si : 1s2 2s2 2p6 3s2 3p2 6  14Si : 1s2 2s2 2p6 3s2 3p2 Banda di conduzione Banda proibita Banda di valenza Splitting degli stati 3s e 3p del silicio in bande di energia permesse e bande proibite. 7 8 Per Si, Ge e GaAs la dipendenza di EG dalla temperatura T è espressa dalla relazione (S.Sze) 9  Fondamenti Fisici AA 2020-2021 Lezione del 20 ottobre 2020 Metalli: gas di Fermi in tre dimensioni Prof. Giacomo Messina Università Mediterranea di Reggio Calabria 43 Particella in una buca di potenziale unidimensionale I valori che può assumere l’energia En dell’elettrone confinato nella buca di potenziale possono essere ricavati facilmente utilizzando l’analogia con il problema classico della corda tesa fissata agli estremi.  Ln 2 2L  elettrone n h h h Lunghezza d’onda di  p n De_Broglie dell’elettrone p  2L 2 p 1 n 2h 2 h2 E En     n 2 2m 2m 4 L2 8mL2 44  Generalizzazione al caso tridimensionale Per un elettrone all’interno di un cubo di metallo, ogni componente della quantità di moto deve essere quantizzata: h h h px  nx py  ny pz  nz 2L 2L 2L dove nx, ny, nz sono numeri interi positivi. Possiamo rappresentare graficamente i valori permessi delle quantità di moto in un sistema di assi mutuamente perpendicolari px, py e pz. 45 Nello stesso modo in cui una terna (x, y, z) rappresenta un punto nello spazio reale, la terna (px, py, pz) rappresenta un punto nello “spazio delle quantità di moto”. pz  h ,h ,h     2 L 2 L 2 L  py px Gli unici punti che possono risultare “occupati” da elettroni nello spazio delle quantità di moto sono quelli dati da  h h h   nx , ny , nz   2L 2L 2L  46 Il modulo della quantità di moto dell’elettrone avente componenti px, py e pz è: h p p p p  2 x 2 y n x2  n y2  n z2 2 z 2L La corrispondente energia dell’elettrone è: p2 h2 E  2 ( n 2 x  n 2 y  n 2 z) 2m 8mL Per una fissata terna (nx, ny, nz) e quindi per l’energia E data dell’equazione di sopra, ci possono essere due elettroni soltanto, con spin s =+½ e spin s = - ½. Attenzione: quando si parla di spin s=± ½ ci si riferisce a unità di ħ, unità elementare del momento angolare. 47 Ogni punto della figura rappresenta due differenti stati elettronici pz Questi punti costituiscono gli 8 vertici di un cubo di 3 volume   h py  2L  px Ciascuno di questi 8 vertici costituisce un punto da cui far partire un successivo cubo cambiando di una unità alla volta i numeri quantici. nx nx + 1 ny ny + 1 nz nz + 1  h h h  Ad ogni punto permesso  nx , ny , nz  nello spazio delle  2 L 2 L 2 L  3 quantità di moto corrisponde un volume   h  2L  48 In un volume Vq.m nello spazio delle quantità di moto ci sarà allora un numero di punti permessi pari a:. Vq.m.  h 2L  3 Gli elettroni con modulo della quantità di moto compresa fra p e p+dp devono avere valori permessi di px, py, pz tali da cadere all’interno della corteccia sferica di raggio interno p e raggio esterno p+dp. pz Tale corteccia sferica ha p + dp. un volume pari a 4π p2dp p py px 49  Spazio dei momenti pz p + dp. p py px 4 p dp 2 = volume fra le due superfici sferiche di raggi p e p+dp 50 Fisicamente sono possibili solo i valori positivi di nx, ny ed nz. La parte della corteccia interessata al calcolo è solo quella che si trova nel 1° ottante. Quindi bisogna dividere il volume della corteccia per 8. Il numero di punti permessi contenuti nel volume L3 è allora: 1 4 p dp 2 8 1 4 p dp 2 4 L 3  8L  3 p dp 2  h  3 3 3 8 h h    2L  Poiché ad ogni punto permesso corrispondono due stati quantistici, il numero di stati quantistici è semplicemente 8 L 23 3 p dp h 51 Esprimendo p in funzione di E avremo p2 E  p 2  2mE  p  2mE  (2mE) 1/ 2 2m 1 1 / 2 m dp  ( 2mE ) 2mdE  1/ 2 dE 2 ( 2mE ) p 2  2mE m p dp  2mE 2 1/ 2 dE  m(2mE ) dE 1/ 2 (2mE ) 52 Il numero di stati quantistici in un cubo di volume L3 con energia compresa fra E ed E+dE è 8 3 4 3 3 L m ( 2 mE )1/ 2 dE  3 L ( 2 m )(2 m )1/ 2 1/ 2 E dE h h Indichiamo con dNE il numero di stati quantistici permessi per unità di volume aventi energia compresa fra E ed E + dE. Per una fissata energia E, dNE dipende dall’ampiezza dE: 4 dNE  3 (2m) E dE  N ( E )dE 3 / 2 1/ 2 h ponendo 4   3 (2m) 3 / 2  6.8 1027 m 3eV 3 / 2 h 53 la densità N(E) degli stati permessi si può scrivere come: N(E) E½ N(E) =  E ½ E( eV) Si noti che nell’equazione di sopra non compare alcuna proprietà intrinseca del materiale che costituisce il nostro campione. Con questa formula noi stiamo semplicemente contando gli stati che sono a disposizione di un singolo elettrone di conduzione. In questa dimostrazione abbiamo semplicemente contato il numero di onde stazionarie in un cubo, cioè abbiamo risolto un problema “geometrico”. 54 Alla temperatura dello zero assoluto la funzione di probabilità di Fermi-Dirac f(E) ha la forma di un gradino. La probabilità di occupazione di uno stato con energia E < EF è 1, mentre la probabilità di trovare occupato uno stato con energia E > EF è nulla. La densità degli stati occupati E allo zero assoluto è : = E½ per E < EF E = N(E) f(E) = 0 per E > EF 55 N(E) E½ E( eV) f (E) E( eV) E E = N(E) f(E) 56 E( eV) La densità degli stati occupati E a T ≠ 0 è : 57  CALCOLO DELL’ENERGIA DI FERMI Utilizzando la funzione densità degli stati occupati allo zero assoluto si può ricavare un’espressione per EF. L’area sotto la curva che esprime la densità degli stati occupati in funzione dell’energia rappresenta il numero totale (per unità di volume) degli stati occupati, che ovviamente deve essere uguale al numero totale di elettroni per unità di volume. Quindi si deve avere: EF 1 3 1 1 2 n  dE   E   E F2 1/ 2 2 E F 1 3 0 1 2 2/3 3 n quindi E F    2  58 Sostituendo a  il suo valore numerico in eV si ottiene: EF (eV) = 3.644·10-19 n 2/3 Poiché la concentrazione n varia da metallo a metallo, EF dipenderà dal tipo di metallo. Conoscendo il peso atomico, la densità del metallo e il numero di elettroni liberi per atomo, è possibile calcolare n e quindi EF. Esempio: Calcolare l’energia di Fermi per il Cu, sapendo che il numero di elettroni di conduzione per unità di volume è n = 8.49·1028 elettroni/m3. EF = 3.644·10-19 (8.49 ·1028)2/3 = 3.644·10-19 (1.93 ·1019)  7 eV 59 L’energia di Fermi per metalli comuni varia fra 1eV e 10eV Metallo EF Cs 1.5 eV Ag 5.5 eV Au 5.5 eV Cu 7 eV Spesso viene introdotta la cosiddetta temperatura di Fermi: EF TF  k 60 In questo modo invece di confrontare l’energia termica media kT con EF, si confronta direttamente T con TF. La temperatura di Fermi dei metalli più comuni varia fra 10.000K e 80.000K. Per esempio: TF(Cs)  18.000 K TF(Ag)  64.000 K TF(Au)  64.000 K TF(Cu)  82.000 K Quindi le temperature ordinarie, anche le più elevate (vicine alla temperature di fusione), sono “basse temperature” rispetto alla temperatura di Fermi. 61  pz py px 62