Teoria del portafoglio (Portfolio Theory) PDF

Sintesi lezione La teoria di portafoglio (Portfolio Theory) Lo scopo Le ipotesi alla base Le misure di rendimento e di rischio per un singolo strumento finanziario Il rendimento atteso e la così detta “scenario analysis” Il rischio atteso Le misure di rendimento e di rischio...

Sintesi lezione La teoria di portafoglio (Portfolio Theory) Lo scopo Le ipotesi alla base Le misure di rendimento e di rischio per un singolo strumento finanziario Il rendimento atteso e la così detta “scenario analysis” Il rischio atteso Le misure di rendimento e di rischio ex post Le misure di rendimento e di rischio per un portafoglio di strumenti finanziari Il rendimento di portafoglio Il rischio di portafoglio Proprietà del rendimento di portafoglio Proprietà del rischio di portafoglio I concetti di covarianza e di coefficiente di correlazione lineare Conseguenze economiche delle proprietà del rischio di portafoglio Il concetto di frontiera efficiente La rappresentazione grafica Il significato economico Portafogli dominati, portafogli efficienti e portafogli non disponibili La costruzione della frontiera efficiente in pratica L’individuazione del portafoglio ottimo per l’investitore La funzione di utilità dell’investitore Le curve di indifferenza e la propensione/avversione al rischio dell’investitore Il portafoglio ottimo La costruzione della frontiera efficiente con Excel La concreta individuazione del portafoglio efficiente per il singolo investitore L’utilizzo del modello di Markowitz in una logica di asset allocation: un esempio Economia del Mercato Mobiliare 1 Pierpaolo Ferrari La teoria di portafoglio La teoria della selezione di portafoglio o, più semplicemente, teoria di portafoglio è stata elaborata da Harry Markowitz nel 1952. Essa si occupa di definire le decisioni ottimali di investimento di un investitore razionale avverso al rischio o, in altri termini, di esplicitare la sua funzione obiettivo A tal fine, la teoria di portafoglio assume tre diverse ipotesi: 1) gli investitori sono avversi al rischio e ricercano la massimizzazione dell’utilità attesa; 2) gli investitori selezionano i portafogli sulla base del rendimento atteso e della varianza attesa dei portafogli; 3) l’orizzonte temporale è uniperiodale. Fissate queste tre ipotesi, è possibile analizzare la funzione obiettivo di un investitore razionale: tale funzione si basa sul principio di media-varianza in base al quale le scelte di investimento degli investitori razionali dipendono dalla combinazione fra rischio e rendimento. C Rendimento. A B.. Rischio A titolo esemplificativo, dati i titoli A, B e C, la teoria di portafoglio di consente di affermare che l’investitore razionale tenderà a privilegiare quei titoli che, a parità di rischio, hanno un rendimento superiore o che, a parità di rendimento, hanno un rischio inferiore. Occorrono quindi misure in grado di esprimere il rendimento e il rischio di uno strumento finanziario e di un portafoglio di strumenti finanziari Le misure di rendimento e di rischio per un singolo strumento finanziario Come si calcola il rendimento atteso di un singolo strumento finanziario? La teoria di portafoglio se ne occupa in termini generali, ricorrendo alla così detta “scenario analysis” nella quale vengono esplicitati possibili scenari alternativi e la probabilità di accadimento di ciascuno scenario. Ecco un esempio sul titolo A: Scenario Stato dell’economia Probabilità Rendimento 1 Boom economico 1/3 +28% 2 Crescita normale 1/3 +12% 3 Recessione 1/3 -7% Per calcolare il rendimento atteso con i dati forniti, è sufficiente calcolare la media ponderata dei rendimenti attesi in ogni scenario con peso pari alla probabilità di accadimento di ogni scenario Economia del Mercato Mobiliare 2 Pierpaolo Ferrari  n E (ri ) =  p( s )  r ( s ) s =1 i Più complesso è individuare una misura che sappia rappresentare il rischio di un investimento. Concettualmente, il rischio nel caso del titolo A è di avere un rendimento misurato ex post non in linea con il rendimento atteso. Beninteso, il rischio di avere ex post un rendimento superiore al rendimento atteso è un rischio positivo (il così detto upside risk), ma nella teoria di portafoglio viene comunque rappresentato come rischio. Viceversa, il rischio di avere ex post un rendimento inferiore al rendimento atteso rappresenta l’accezione negativa di rischio (il così detto downside risk). Una misura in grado di incorporare al proprio interno entrambe le nozioni di rischio prese in esame dalla teoria di portafoglio è la varianza o, ancora più utilizzato in finanza, lo scarto quadratico medio (o deviazione standard). La varianza esprime, dal punto di vista statistico, una misura di dispersione delle singole osservazioni attorno alla media: maggiore è tale dispersione, maggiore è il rischio. n i2 =  p(s)  [r (s) − E(r )] s =1 i i 2 Economia del Mercato Mobiliare 3 Pierpaolo Ferrari Le misure di rendimento e di rischio per un portafoglio di strumenti finanziari Secondo una logica assolutamente elementare, l’investitore accorto non allocherà tutta la sua ricchezza finanziaria su un solo titolo ma la ripartirà su più strumenti finanziari: ricercherà quindi una diversificazione di portafoglio (così detti naïve portfolio). Cominciamo a considerare il caso di un portafoglio composto da due soli strumenti finanziari, per poi estendere i risultati al caso di un portafoglio composto da “n” strumenti finanziari. Titolo B Scenario Stato dell’economia Probabilità Rendimento 1 Boom economico 1/3 -3% 2 Crescita normale 1/3 +7% 3 Recessione 1/3 +17% Si ipotizzi che l’investitore componga un portafoglio composto al 50% dal precedente titolo A e al 50% dal titolo B appena visto: Portafoglio composto al 50% dal titolo A e al 50% dal titolo B Scenario Stato dell’economia Probabilità Rendimento Rendimento Rendimento titolo A titolo B portafoglio equally weighted 1 Boom economico 1/3 +28% -3% +12,5% 2 Crescita normale 1/3 +12% +7% +9,5% 3 Recessione 1/3 -7% +17% +5,0% Economia del Mercato Mobiliare 4 Pierpaolo Ferrari Il rendimento medio atteso del portafoglio equally weighted, composto al 50% dal titolo A e al 50% dal titolo B, coincide con la media ponderata dei rendimenti attesi dei singoli strumenti finanziari, assumendo come peso la percentuale di investimento in ciascun titolo. Il rischio di portafoglio non coincide invece con la media ponderata dei rischi dei singoli titoli ma è inferiore. La riduzione dei rischi è derivata dall’inserimento nello stesso portafoglio di titoli con un diverso grado di esposizione al ciclo economico o, più tecnicamente, con un diverso grado di correlazione. In una logica di portafoglio, è essenziale considerare l’effetto congiunto delle variazioni dei due titoli nei diversi scenari, considerando la loro tendenza a muoversi nello stesso senso, in senso opposto o in modo indipendente. Tale tendenza può essere misurata attraverso i concetti di covarianza e di coefficiente di correlazione. La covarianza indica la tendenza di due variabili a muoversi nello stesso senso o in senso opposto. Essa sarà positiva quando a scarti positivi della prima variabile dalla sua media corrispondono scarti positivi della seconda variabile dalla rispettiva media. Sarà negativa nel caso opposto. n Cova,b = [r (s) − E(r )]  [r (s) − E(r )]  p(s) s =1 a a b b Economia del Mercato Mobiliare 5 Pierpaolo Ferrari Dall’esame della sola covarianza, è possibile comprendere se i due titoli sono correlati positivamente o negativamente ma non è possibile cogliere l’intensità della correlazione: a questo scopo occorre passare al concetto di coefficiente di correlazione lineare, che per definizione assume valori compresi fra –1 e +1: Cov a , b ρ a,b = σ a  σb Il coefficiente di correlazione misura la tendenza o meno di due attività finanziarie a muoversi nella stessa direzione e con la stessa intensità. Nel caso di: - coefficiente di correlazione pari a +1, i due titoli si muovono sistematicamente nella stessa direzione e con la stessa intensità; - coefficiente di correlazione maggiore di 0, i due titoli si muovono mediamente nella stessa direzione; - coefficiente di correlazione pari o prossima a 0, i due titoli si muovono in modo indipendente l’uno dall’altro; - coefficiente di correlazione minore di 0, i due titoli si muovono mediamente in direzione opposta; - coefficiente di correlazione pari a –1, i due titoli si muovono sistematicamente in direzione opposta con la stessa intensità. Economia del Mercato Mobiliare 6 Pierpaolo Ferrari Appresi i concetti di covarianza e di coefficiente di correlazione, è ora possibile approfondire il concetto di rischio di un portafoglio di strumenti finanziari. La varianza di un portafoglio di strumenti finanziari può infatti essere definita come la somma delle covarianze fra tutte le coppie di titoli presenti in portafoglio, tenuto conto del peso di ciascun titolo nel portafoglio. Titolo A Titolo B Titolo A xa·xa·Cova,a xa·xb·Cova,b Titolo B xb·xa·Covb,a xb·xb·Covb,b Impiegando quindi i concetti di covarianza e di coefficiente di correlazione, è possibile riscrivere il rischio di portafoglio di due titoli nel modo seguente:  2 = ( xa  a ) 2 + ( xb  b ) 2 + 2  xa  xb  Cova,b  = ( x a   a ) 2 + ( xb   b ) 2 + 2  x a  xb  Cov a,b o, in alternativa, nel modo seguente:  2 = ( xa  a ) 2 + ( xb  b ) 2 + 2  xa  xb  a  b   a,b  = ( x a   a ) 2 + ( x b   b ) 2 + 2  x a  x b   a   b   a ,b Economia del Mercato Mobiliare 7 Pierpaolo Ferrari Dalla formulazione del rischio di portafoglio appena vista derivano due importanti conseguenze: 1. la diversificazione migliora la combinazione rischio rendimento di un portafoglio. All’aumentare del numero dei titoli inseriti in portafoglio, si ottiene la riduzione del rischio sopportato, inteso come dispersione del rendimento effettivo ex post attorno al rendimento medio atteso. Questo però esige di comporre con attenzione il portafoglio, ricercando strumenti finanziari caratterizzati dalla minor correlazione possibile o, meglio ancora, da una correlazione di tipo inverso; 2. in una logica di portafoglio, anche uno strumento finanziario che considerato individualmente è poco “appetibile”, può diventare interessante. Questo in quanto se anche il suo rendimento atteso non è elevato ma la sua correlazione con la maggior parte degli altri strumenti finanziari è inversa, esso può migliorare la combinazione rischio-rendimento di portafoglio. Nel caso generico di “n” titoli: n E(rp ) = x j =1 j  E(rJ ) n n σp2 =  xj =1 k =1 j  x k  σ j  σ k  ρ j,k n n σp =  x j =1 k =1 j  x k  σ j  σ k  ρ j ,k Allo scopo di rendere più leggibile l’insieme delle correlazioni fra le “n” coppie di titoli presenti in portafoglio, si utilizza in genere la forma matriciale attraverso la predisposizione della così detta matrice delle correlazioni: ρ a,a ρ a,b ρ a,c ρ a,d ρ b,a ρ b, b ρ b,c ρ b,d ρ c,a ρ c,b ρ c,c ρ c,d ρ d,a ρ d,b ρ d,c ρ d,d Tale matrice ha le seguenti proprietà: - è simmetrica; - sulla diagonale, i valori sono sempre pari a 1; - i termini unici di correlazione sono n·(n-1)/2. Economia del Mercato Mobiliare 8 Pierpaolo Ferrari Con Excel il calcolo è relativamente semplice, utilizzando il calcolo matriciale: 1   x1 1   1  x   p = x1 1 x2 2.... xn n    2 2  1         1  xn n  La formula Excel è la seguente: =RADQ(MATR.PRODOTTO(MATR.PRODOTTO(V riga;M correl);V colonna)) Il concetto di frontiera efficiente Già con due titoli sarebbe possibile costruire infiniti portafogli, partendo da un portafoglio composto al 100% dal titolo A e allo 0% dal titolo B, riducendo via via la quota del titolo A e aumentando la quota del titolo B, sino ad arrivare ad un portafoglio composto allo 0% dal titolo A e al 100% dal titolo B. Lo stesso ragionamento può essere esteso al caso di n titoli, ottenendo ancora una volta infiniti portafogli: Rendimento Rischio Si tratta di scegliere, fra tutti i portafogli possibili, quelli migliori in termini di combinazione rischio- rendimento, vale a dire i portafogli che: - massimizzano il rendimento, a parità di rischio; - minimizzano il rischio, a parità di rendimento. E’ possibile costruire così la “frontiera efficiente”, vale a dire l’insieme dei portafogli efficienti che massimizzano il rendimento, per ogni livello di rischio, o minimizzano il rischio, per ogni livello di rendimento. Economia del Mercato Mobiliare 9 Pierpaolo Ferrari La costruzione della frontiera efficiente con due sole attività Rendimento atteso e rischio delle due attività: Titoli Rendimento Standard atteso Deviation Titolo 1 12,00% 16,00% Titolo 2 10,00% 14,00% Rischio e rendimento al variare del coefficiente di correlazione Portafogli Peso del Peso del Peso Rend.att. Dev.St. Dev.St. Dev.St. Dev.St. Dev.St. Titolo 1 Titolo 2 totale E[r] ρ=-1,00 ρ=-0,50 ρ=0 ρ=+0,50 ρ=+1,00 1 100% 0% 100% 12,00% 16,00% 16,00% 16,00% 16,00% 16,00% 2 90% 10% 100% 11,80% 13,00% 13,75% 14,47% 15,15% 15,80% 3 80% 20% 100% 11,60% 10,00% 11,66% 13,10% 14,41% 15,60% 4 70% 30% 100% 11,40% 7,00% 9,80% 11,96% 13,79% 15,40% 5 60% 40% 100% 11,20% 4,00% 8,35% 11,11% 13,31% 15,20% 6 50% 50% 100% 11,00% 1,00% 7,55% 10,63% 13,00% 15,00% 7 47% 53% 100% 10,93% 0,00% 7,47% 10,56% 12,93% 14,93% 8 40% 60% 100% 10,80% 2,00% 7,60% 10,56% 12,86% 14,80% 9 30% 70% 100% 10,60% 5,00% 8,49% 10,91% 12,89% 14,60% 10 20% 80% 100% 10,40% 8,00% 9,99% 11,65% 13,10% 14,40% 11 10% 90% 100% 10,20% 11,00% 11,88% 12,70% 13,47% 14,20% 12 0% 100% 100% 10,00% 14,00% 14,00% 14,00% 14,00% 14,00% Frontiere efficienti al variare del coefficiente di correlazione 12,50% 12,00% 11,50% Rendimento 11,00% 10,50% 10,00% 9,50% 0,00% 2,00% 4,00% 6,00% 8,00% 10,00 12,00 14,00 16,00 18,00 % % % % % Rischio Rho=-1 Rho=-0,5 Rho=0 Rho=+0,5 Rho=+1 Economia del Mercato Mobiliare 10 Pierpaolo Ferrari L’individuazione del portafoglio ottimo per l’investitore Una volta tracciata la frontiera efficiente, l’ultimo problema da affrontare è capire quale sia il portafoglio considerato “ottimo” dall’investitore. La teoria di portafoglio non dà una risposta univoca al riguardo: essa permette di costruire l’insieme dei portafogli efficienti ma la scelta del punto in cui il singolo investitore decide di posizionarsi dipende formalmente dalla sua propensione/avversione al rischio, formalmente rappresentata da “curve di indifferenza”, basate su una funzione di utilità quadratica: 1 U = E(rp ) −  A  σ p 2 2 dove: U = utilità attesa dell’investitore E(rp) = rendimento atteso A = coefficiente di avversione al rischio σ p 2 = varianza del portafoglio Tale funzione ha due caratteristiche: - esprime l’utilità dell’investitore in funzione di due variabili, coerentemente con il principio media-varianza; - riconosce il rendimento atteso come un “bene” e il rischio come un “male”. L’inclinazione positiva delle curve di indifferenza identifica l’avversione al rischio dell’investitore che, per considerare indifferenti due portafogli con diverso grado di rischio, impone che il portafoglio più rischioso sia anche più redditizio. Le curve sono convesse: maggiore è la convessità, maggiore è l’avversione al rischio dell’investitore, che richiede un extra-rendimento maggiore per sopportare un grado di rischio maggiore. Il portafoglio “ottimo” è quello che corrisponde al punto di tangenza fra la frontiera efficiente e la curva di indifferenza più alta possibile. Se l’investitore fosse stato più avverso al rischio, il punto di tangenza si sarebbe verificato in corrispondenza di un portafoglio con un livello di rischio più basso. Rendimento Rischio Ma in pratica come si estrapola la curva di indifferenza dell’investitore e la scelta del portafoglio ottimo? Economia del Mercato Mobiliare 11 Pierpaolo Ferrari 12 L’utilizzo del modello di Markowitz in una logica di asset allocation: un esempio Perché il modello di Markowitz è ancora oggi così famoso? Prima di lui, il nulla (solo portafogli naïve) Ha permesso di calcolare il rischio dei portafogli Ha insegnato che sui mercati parte del rischio è diversificabile Ancora oggi, non esiste un modello altrettanto valido in termini di capacità di conciliare il rigore metodologico con l’applicabilità pratica. Qual è oggi l’utilità pratica del modello di Markowitz? Oggi esso rappresenta ancora, con alcune modifiche e integrazioni, la base per realizzare l’asset allocation strategica all’interno di un approccio top-down di gestione dei portafogli di investimento, vale a dire l’individuazione del peso che le diverse classi di attività (insieme omogenei di titoli con caratteristiche simili) devono avere in un dato orizzonte temporale. L’approccio top-down nella gestione di portafogli di investimenti si basa sulle seguenti fasi: - identificazione dell’orizzonte temporale di investimento; - definizione delle così dette “asset class”, insiemi omogenei di titoli con caratteristiche simili (azioni di un certo paese, azioni di un certo comparto produttivo, obbligazioni in una certa valuta, obbligazioni di debitori con certe caratteristiche, ecc.); - individuazione di un benchmark per ogni asset class; - stima dei rendimenti attesi delle diverse asset class nell’arco temporale considerato; - stima dei rischi delle diverse asset class nell’arco temporale considerato; - stime delle correlazioni fra i rendimenti attesi delle diverse asset class; - ottimizzazione di portafoglio ovvero individuazione dei pesi delle diverse asset class in grado di massimizzare il rendimento per un dato livello di rischio, fissati due vincoli: o la somma dei pesi delle diverse asset class deve essere pari al 100%; o il peso attribuito a ciascuna asset class deve essere maggiore o uguale a zero. Un esempio di frontiera efficiente ex post Le misure di rendimento e di rischio ex post Rendimento ex post: n  r (t) 1 ra = a n t =1 Deviazione standard ex post n n   1 1 a = [ra (t) - ra ]2 a = [ra (t) - ra ]2 n t =1 n − 1 t =1 Covarianza ex post n n  t =1 [ra (t) - ra ]  [rb (t) - rb ] [r (t) - r ]  [r (t) - r ] t =1 a a b b Cov a , b =  a,b = Cov a , b =  a,b = n n −1 Economia del Mercato Mobiliare 13 Pierpaolo Ferrari I rendimenti e i rischi storici su dati mensili relativi all’orizzonte temporale gennaio 2013-dicembre 2022 Asset class Indice benchmark rappresentativo dell’asset class Rendimento Deviazione storico standard annualizzato storica annualizzata Mercato azionario dei paesi emergenti MSCI EM GR EUR 5,71% 13,07% Mercato azionario europeo esclusi la Svizzera e il Regno Unito MSCI Europe Ex UK Ex Switzerland GR EUR 9,09% 15,27% Mercato azionario del Giappone MSCI Japan GR EUR 11,23% 15,78% Mercato azionario del Nord America MSCI North America GR EUR 12,60% 14,71% Mercato azionario del “Pacifico” escluso il Giappone MSCI Pacific Ex Japan GR EUR 7,45% 12,95% Mercato azionario della Svizzera MSCI Switzerland GR EUR 8,34% 12,11% Mercato azionario del Regno Unito MSCI United Kingdom GR EUR 6,85% 12,28% Mercato monetario dell’area dell’euro JPM EUR 3 Mon TR EUR -0,13% 0,12% Mercato obbligazionario giapponese JPM GBI Japan Traded TR EUR -0,81% 10,24% Mercato obbligazionario statunitense JPM GBI US Traded TR EUR 3,17% 8,45% Mercato obbligazionario britannico JPM GBI UK Traded TR EUR 0,14% 10,52% Mercato obbligazionario area euro JPM EMU TR EUR 1,09% 5,20% Le correlazioni storiche su dati mensili relativi all’orizzonte temporale gennaio 2013-dicembre 2022 MSCI EM MSCI MSCI MSCI MSCI MSCI MSCI JPM EUR JPM GBI JPM GBI JPM GBI JPM EMU GR EUR Europe Japan GR North Pacific Ex Switzerla United 3 Mon TR Japan US UK TR EUR Ex UK Ex EUR America Japan GR nd GR Kingdom EUR Traded Traded Traded Switzerla GR EUR EUR EUR GR EUR TR EUR TR EUR TR EUR nd GR EUR MSCI EM GR LCL 1,00 0,63 0,48 0,70 0,76 0,44 0,59 0,09 -0,17 -0,41 0,08 0,19 MSCI Europe Ex UK Ex Switzerland GR EUR 0,63 1,00 0,69 0,81 0,74 0,77 0,79 0,11 -0,19 -0,13 0,33 0,30 MSCI Japan GR EUR 0,48 0,69 1,00 0,65 0,57 0,64 0,54 0,03 -0,52 -0,24 0,10 0,04 MSCI North America GR EUR 0,70 0,81 0,65 1,00 0,74 0,74 0,68 0,02 -0,23 -0,30 0,29 0,30 MSCI Pacific Ex Japan GR EUR 0,76 0,74 0,57 0,74 1,00 0,58 0,72 0,12 -0,13 -0,27 0,16 0,23 MSCI Switzerland GR EUR 0,44 0,77 0,64 0,74 0,58 1,00 0,64 0,00 -0,30 -0,15 0,29 0,26 MSCI United Kingdom GR EUR 0,59 0,79 0,54 0,68 0,72 0,64 1,00 0,07 -0,14 -0,19 0,06 0,17 JPM EUR 3 Mon TR EUR 0,09 0,11 0,03 0,02 0,12 0,00 0,07 1,00 0,05 -0,07 0,01 0,08 JPM GBI Japan Traded TR EUR -0,17 -0,19 -0,52 -0,23 -0,13 -0,30 -0,14 0,05 1,00 0,63 0,35 0,40 JPM GBI US Traded TR EUR -0,41 -0,13 -0,24 -0,30 -0,27 -0,15 -0,19 -0,07 0,63 1,00 0,52 0,40 JPM GBI UK Traded TR EUR 0,08 0,33 0,10 0,29 0,16 0,29 0,06 0,01 0,35 0,52 1,00 0,64 JPM EMU TR EUR 0,19 0,30 0,04 0,30 0,23 0,26 0,17 0,08 0,40 0,40 0,64 1,00 Economia del Mercato Mobiliare 14 Pierpaolo Ferrari La frontiera efficiente ex post Frontiera efficiente calcolata su dati mensili relativi all’orizzonte temporale gennaio 2013-dicembre 2022. Gli indici considerati sono espressi in euro e total return (inclusivi quindi dei flussi finanziari periodici). Economia del Mercato Mobiliare 15 Pierpaolo Ferrari Economia del Mercato Mobiliare 16