Elektromagnetyzm-1-elektro-m PDF

elektrostatyka ver-12.12.22 light  ładunek ładunek elementarny e=1. 60⋅10−19 C zasada zachowania ładunku stała absolutna siła (centralna, zachowawcza) q1 q2 prawo Cou...

elektrostatyka ver-12.12.22 light  ładunek ładunek elementarny e=1. 60⋅10−19 C zasada zachowania ładunku stała absolutna siła (centralna, zachowawcza) q1 q2 prawo Coulomba: F~ 2 r q1 q2 ⃗= 1 F 2 ⃗e 12 4 πε0 r dwa ładunki punktowe w próżni: −12 F ε 0≃8.85⋅10 m ε0 – stała elektryczna (absolutna)  siła Coulomba ⃗ 1 q1 q2 F= ⃗e 4 πε0 r 2 12 Charles Augustin de Coulomb (1736 – 1806)  pole elektryczne F E q' er ' ⃗= 1 q q q F ⃗e 12 4 πε0 r 2  def F natężenie pola elektrycznego:  E= ' ⃗ =q' E F ⃗ q w przypadku ładunku punktowego: ⃗ = 1 q ⃗e r E 4 πε 0 r 2 zasada superpozycji pól ⃗ tot =∑ E E ⃗i i ⃗ =q E F ⃗ tot ' E linie pola:  doświadczenie Millikana (1911) eE mg mgd e= = E V mg e=1. 60⋅10−19 C Robert Andrews Millikan (1868-1953) 1923 http://physics.bu.edu/~duffy/semester2/semester2.html y dwa elektrony G≃6. 67⋅10 −11Nm 2 kg 2 −12 C ε 0≃8. 9⋅10 Nm 2 me ≃9. 11⋅10−31 kg Fgr Fel x e≃1. 6⋅10-19 C z Gm2e F gr = r2 1 e 2 F el 1 e2 42 F el = = ≃0. 4⋅10 4 πε0 r 2 F gr 4 πε 0 G me2 m1 =m2 =1 kg F el 20 ≃1. 3⋅10 q 1=q 2 =1 C F gr  praca w polu elektrycznym dr 2 2 2 q' α ds W =∫ F ⃗ d ⃗s =∫ F cos α ds=∫ Fdr 1 1 1 r1 r2 r2 ( ) ' ' q q dr q q 1 1 q W =∫ = − r 41 πε 0 r 2 4 πε 0 r 1 r2 q q' el energia elektrostatyczna E = p +const 4 πε0 r (potencjalna) pole elektrostatyczne jest zachowawcze...  potencjał el def Ep potencjał: ϕ= q' el Ep 1 q np. dla ładunku punktowego: ϕ= = q' 4 πε 0 r superpozycja pól: ϕ= ∑ ϕi i ⃗ = 1 q ⃗e r E ⃗ =− ∂ ϕ ⃗e r E 4 πε 0 r 2 ∂r  związek między E i ϕ 2 ∫ F⃗⋅d ⃗s =q ( ϕ1−ϕ2 ) 1 2 def dϕ ∫ E⃗⋅d ⃗s=ϕ1−ϕ2 → E s =− ds U = ϕ2 −ϕ1 napięcie 1 spadek potencjału na jednostkę przemieszczenia w kierunku d ⃗s dϕ np. dla ładunku punktowego: E r =− dr ogólniej: E ( ⃗ =− grad ϕ=− ∂ ϕ , ∂ ϕ , ∂ ϕ ∂x ∂ y ∂z ) ϕ=ϕ ( x , y , z ) na powierzchni ekwipotencjalnej przemieszczenie nie wymaga pracy  np. 1 q 1 q np. dla ładunku punktowego: ϕ= = 4 πε 0 r 4 πε 0 √ x 2 + y 2 + z 2 } ∂ϕ q x ∂x =− 4 πε 0 r3 ⃗ = q (x , y , z) E 4 πε 0 r 3 ∂ϕ q y =− q ⃗r 1 q ∂y 4 πε 0 r 3 = = ⃗e 4 πε 0 r 3 4 πε 0 r 2 r ∂ϕ q z =− ∂z 4 πε 0 r3 zgadza się…  dipol l r + =r− cos ϑ 2 E l r − =r+ cos ϑ 2 r- ( ) r >> l r+ 1 q q q r− −r + ϕ ( ⃗r )= − = r 4 πε 0 r + r − 4 πε 0 r− r + l ϑ oś dipola -q +q r −−r + =l cos ϑ 2 2 l 2 2 r − r + =r − cos ϑ≈r 4  dipol (cd.) q l cos ϑ q ⃗l⋅⃗e r 1 ⃗p⋅⃗e r ϕ ( ⃗r ) = = = 4 πε 0 r 2 4 πε0 r 2 4 πε0 r 2 def moment elektryczny dipola: ⃗p = q⋅⃗l 1 p cos ϑ (maleje szybciej niż ϕ ( r , ϑ )= 4 πε0 r 2 w przyp. ładunku punktowego) a natężenie? ∂ϕ 1 2p cos ϑ E r =− = E ( r , ϑ )= √ E 2r + E 2ϑ ∂ r 4 πε 0 r3 1 p 1 E ϑ =− ∂ϕ = 1 p sin ϑ = 4 πε 0 r 3 √ 1+3 cos 2 ϑ ⋯ ~ r3 r ∂ ϑ 4 πε 0 r 3 też… oczy? dipol w zewnętrznym polu +q moment sił: α E ⃗ =qEl sin α⋅⃗e ⊗ M ⃗ = ⃗p × E -q równowaga trwała równowaga nietrwała pole dowolnego układu ładunków 1 qi z daleka... ϕ ( ⃗r ) = ∑ 4 πε 0 i ∣⃗r − ⃗r i∣ ⃗r −⃗r i qi ⃗r i ⃗r ∣⃗r − ⃗r i∣=∣⃗r∣− ⃗r i⋅⃗e r =r 1− ( ⃗r i⋅⃗e r r ) 1 qi 1 r i ≪r ϕ ( ⃗r ) = ∑ 4 πε 0 i r ⃗r ⋅⃗e 1− i r r ≃ 1 qi ∑ 1+ r 4 πε 0 i r ( ⃗r i⋅⃗e r ) 1 1 ∑ qi + 1 ( ∑ q i ⃗r i )⋅⃗e r ≃1+ x = +⋯ 1− x 4 πε 0 r 4 πε0 r 2 = monopol + dipol + … wyższe multipole multipole ϕ (r) E (r) 1 1 monopol ~ ~ 2 r r 1 1 dipol ~ ~ r2 r3 1 1 kwadrupol ~ ~ r3 r4 1 1 oktupol ~ ~ r4 r5 itd... wyższe multipole własności pól wektorowych  pole skalarne pole skalarne: ϕ=ϕ ( x , y , z ) ( ) def ∂ ϕ ∂ ϕ ∂ϕ gradient pola: grad ϕ = , , ∂x ∂y ∂z ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ przyrost funkcji: dϕ= dx+ dy + dz ∂x ∂y ∂z przy elementarnym przemieszczeniu: d ⃗l = ( dx , dy , dz ) czyli: dϕ=grad ϕ⋅d ⃗l (iloczyn skalarny wektorów)  pole wektorowe ⃗ =E E ⃗ ( x , y , z) =( E x ( x , y , z ) , E y ( x , y , z ) , E z ( x , y , z ) ) def strumień pola: ⋅d  dΦ = E S Φ=∫ ⃗ E⋅d ⃗ S α S E = ∫∣E∣cos α dS=∫ E n dS S S dS def S d S = dS e n e n – wersor ┴ dS dV NB: analogia do pola wektorowego prędkości cieczy: ΔΦ= =⃗v⋅d ⃗ S dt  dywergencja ∮ ⃗E⋅d ⃗S znika, chyba że obszar zawiera źródła S def Φ 1 ⃗ = lim div E =lim ∮ ⃗ E⋅d ⃗ S (nie zależy od powierzchni) V →0 V V →0 V S skalarna funkcja pola dywergencja dodatnia dywergencja zerowa dywergencja ujemna (źródła pola) (pole przepływa) (zlew pola)  dywergencja (cd.)  Φ≈V div E   Φ  x = ∂ Ex ∂x dy dz strumień w kierunku x z Φ=( + ∂x ∂ y ∂z + ) ∂ Ex ∂ E y ∂ Ez ΔV dV dz ∂ Ex ∂ Ey ∂ Ez dx  div E=   dy ∂x ∂y ∂z y x  twierdzenie Gaussa znając dywergencję pola wektorowego w każdym punkcie obszaru (objętości) można znaleźć strumień tego pola przez powierzchnię ograniczającą ten obszar: ∮ E⋅d S=∫ div E dV S V całka po powierzchni zamkniętej ograniczającej ten obszar (objętość) Karl Friedrich Gauss (1777 – 1855)  rotacja E całka po konturze zamkniętym Γ :  ∮ ⃗E⋅d ⃗l - cyrkulacja Γ wektorowa funkcja pola (∮ Γ ⃗v⋅d ⃗l ) def  rot E  n = lim 1 ∮ E⋅d l (nie zależy od konturu) S 0 S Γ kierunek normalny do tej powierzchni rozpiętej na tym konturze  rotacja cd. z dS dz dy     x= rot E ∂y −  ∂ E z ∂ E y dydz ∂ z dS y (rotE)x x ⃗ rot E=( ∂ E z ∂ E y ∂ Ex ∂ E z ∂ E y ∂ Ex ∂y − , ∂z ∂z − , ∂x ∂x − ∂y )  twierdzenie Stokesa znając rotację pola wektorowego w każdym punkcie dowolnej płaszczyzny rozpiętej na danym konturze zamkniętym można znaleźć cyrkulację tego pola wzdłuż tego konturu: ∮ ⃗E⋅d ⃗l =∫ rot E⃗⋅d ⃗S Γ S (strumień rotacji) Sir George Gabriel Stokes (1819 – 1903)  operator nabla ∇ def ( ⃗= ∂ , ∂ , ∂ ∂x ∂ y ∂z ) ( ∂x ∂ y ∂z ) ⃗ ϕ= ∂ ϕ , ∂ ϕ , ∂ ϕ =grad ϕ ∇ ⃗ ⃗ ∂ E x ∂ E y ∂ Ez ∇⋅E= + + ⃗ =div E ∂x ∂y ∂z ⃗ ⃗ ∇ ×E = ∂y −( ∂ Ez ∂ E y ∂ Ex ∂ Ez ∂ E y ∂ E x , ∂z ∂z − , ∂x ∂x − ∂y ⃗ =rot E ) rot ( grad ϕ )=∇ × ( ∇ ϕ ) = ( ∇×∇ ) ϕ=0 ⃗ ) =0 div ( rot E Gauss: Stokes: ∮ ⃗E⋅d ⃗S =∫ ( ∇⋅E⃗ ) dV ∮ ⃗E⋅d ⃗l =∫ ( ∇ × E⃗ )⋅d ⃗S S V Γ S  twierdzenia o polu elektrostatycznym ⃗ =−∇ ϕ E więc: ⃗ =∇ × (−∇ ϕ )=0 rot E rot ⃗ E =0 pole jest bezwirowe (bo potencjalne) Stokes: ∮ E⃗⋅d ⃗l =0 Γ Gauss: ∮ E⃗⋅d ⃗s =∫ div E⃗ dV S V ?  przykład r q Φ=∮ E ⃗⋅d ⃗ S =4π r 2 E ( r ) S 2 1 q q =4π r = 4 πε 0 r 2 ε 0 ∑ qi ogólnie: Φ=∮ E ⃗⋅d ⃗ S= i S ε0  prawo Gaussa Gauss: strumień natężenia pola ∑ qi elektrostatycznego przez dowolną Φ=∮ E ⃗⋅d ⃗ S= i powierzchnię zamkniętą równy jest S ε0 sumie ładunków obejmowanych przez tę powierzchnię razy 1/ε0. def dq ρ= dV - gęstość objętościowa ładunku ∑i q i =∫ ρ dV V 1 postać całkowa: ∮ ⃗ E ⋅d ⃗ S= ε ∫ ρ dV S 0 V ale tw. Gaussa (matematyczne!): ∮ E⋅d S=∫ div E dV S V = ρ ρ postać różniczkowa: div E lub: ∇⃗ E= ε0 ε0 koniec