Eksamen 2016 i Porteføljeteori - CBS

CAND.MERC.-LINIEN I FINANSIERING OG REGNSKABSVÆSEN PORTEFØLJETEORI Eksamen, december 2016 Generel information: Tjek venligst om dit eksemplar af eksamen er komplet. Denne eksamen består af 9 nummererede sider. Eneste tilladte hjælpemi...

CAND.MERC.-LINIEN I FINANSIERING OG REGNSKABSVÆSEN PORTEFØLJETEORI Eksamen, december 2016 Generel information: Tjek venligst om dit eksemplar af eksamen er komplet. Denne eksamen består af 9 nummererede sider. Eneste tilladte hjælpemiddel udover PC er en lommeregner af godkendt type. Vær sikker på at det er muligt at følge hvert trin i dine beregninger. Vær HELT sikker på at alle kopierne af eksamensbesvarelsen kan læses. Hvis du mener at der ikke er tilstrækkelig information til at løse et problem, så skriv tydeligt hvilke antagelser du gør for at løse problemet. Begynd venligst hver opgave på en ny side i din besvarelse. Det er valgfrit om du skriver din besvarelse i hånden eller på pc. Held og lykke med eksamen!  Side 1 af 9 NYTTIGE FORMLER: Antag at X er en diskret stokastisk variable med udfaldsrum x1 ,... , xS , da gælder S X E[X] = p(s)xs (1) s=1 h i XS Var[X] = E (X − E[X])2 = p(s) (xs − E[X])2 (2) s=1 Antag at X, Y er stokastiske variable og a, b er konstanter, da gælder Var[aX] = a2 Var[X] (3) Cov[aX, bY ] = abCov[X, Y ] (4) Cov[a + X, b + Y ] = Cov[X, Y ] (5) Var[aX + bY ] = a2 Var[X] + b2 Var[Y ] + 2abCov[X, Y ] (6) Var[aX − bY ] = a2 Var[X] + b2 Var[Y ] − 2abCov[X, Y ] (7) Cov[X, Y ] Cov[X, Y ] Corr[X, Y ] = p p = (8) Var[X] Var[Y ] Std[X]Std[Y ] For en kontinuert fordeling gælder at P (X ≤ x) = FX (x) (9) hvor FX (x) angiver den kumulatative fordelingsfunktion for X (Cumulative Distribution Func- tion). Middelværdi-variansanalyse: 1 −1 1 wGMV = Σ 1 = 0 −1 Σ−1 1 (10) C 1Σ 1 Σ−1 (E[r] − rf 1) wtan = 0 −1 (11) 1 Σ (E[r] − rf 1) E[rp ] = w0 E[r] og σp2 = w0 Σw (12) Porteføljes beta: N X N X βp = wi βi , hvor wi = 1. (13) i=1 i=1 Obligationer: tn RD Yt (1 + y)−t , X P =k+v = hvor v = 100 (14) t=t1 m s tn tn X X Yt (1 + y)−t wt t2 + t
V = wt t og K = hvor wt = (15) t=t1 t=t1 P  Side 2 af 9 Nedenstående formler for kurs og varighed antager at der er tale om en stående obligation uden brudte terminer, dvs. du står på et terminstidspunkt. Du skal selv lave eventuelle modifikationer for brudte terminer, hvis det er nødvendigt1     R R −n P =H + 1− (1 + y) (16) y y 1+y 1 + y − n (y − R) V = − (17) y R ((1 + y)n − 1) + y På den bagerst side af eksamenssættet (side 9) er arket med de relevante kommandoer i Excel på hhv. dansk og engelsk vedhæftet! 1 Bemærk vi har ikke gjort brug af disse formler til forelæsninger og øvelser i år, men der kan være gengangere fra 2015, hvilket er grunden til at de er oplyst.  Side 3 af 9 Forord. Eksamenssættet består af i alt 5 opgaver, der hver har en række delopgaver. Vær opmærksom på, at løsning af en delopgave ikke nødvendigvis kræver, at alle foregående del- opgaver er løst. Vær også opmærksom på, at procenttallene er vejledende, herunder også for tidsforbrug ved besvarelse. God fornøjelse! OPGAVE 1 (15%) Delopgaverne i denne opgave skal besvares uafhængigt af hinanden. Der er kun et korrekt svar til hvert spørgsmål. Du skal kun skrive bogstavet ned der svarer til det korrekte svar. Du skal ikke begrunde dine svar, kun hvis du føler at det er strengt nødvendigt. Opgave 1.1 Hvilken af følgende porteføljer kan ikke lægge på den efficiente rand? Portefølje Forventet afkast Standard afvigelse A. W 15% 36% B. X 12% 15% C. Y 5% 7% D. Z 9% 21% Opgave 1.2 Hvilken af følgende obligationer vil være mest følsom over for renteændringer? A. 10-årig stående obligation med en kuponrente på 15% B. 10-årig stående obligation med en kuponrente på 5% C. 10-årig stående obligation med en kuponrente på 0% D. 10-årig stående obligation med en kuponrente på 10% E. kan ikke afgøres på basis af den givne information Opgave 1.3 Aktie A, B og C har alle det samme forventede afkast og standardafvigelse på afkastet. Følgende tabel angiver korrelationerne mellem de tre aktie afkast Aktie X Aktie Y Aktie Z Aktie X +1,0 Aktie Y +0,9 +1,0 Aktie Z +0,1 -0,4 +1,0 Givet ovenstående information, hvilken af følgende fire porteføljer vil have den laveste risiko? A. Ligevægtet portefølje i aktie X og Y B. Ligevægtet portefølje i aktie X og Z C. Ligevægtet portefølje i aktie Y og Z D. 100% i aktie Z  Side 4 af 9 Opgave 1.4 Til at evaluere performance af en given portefølje i en open end fond er det tidsvægtede afkast et bedre mål end det dollar-vægtede eftersom... A. når afkastene varierer vil det tidsvægtede afkast være højere B. det dollar-vægtede afkast antager at alle investeringer foretages på dag 1 C. det dollar-vægtede afkast kan kun blive estimeret D. det tidsvægtede afkast ikke påvirkes af antallet af aktiver der holdes i hver periode E. det tidsvægtede afkast medtager den systematiske risiko Opgave 1.5 Baseret på en analyse af Nets regnskab mener du at aktien har et forventet afkast på 1.25%. Aktien har et beta på 1.15. Den risikofri rente er 1% og det forventede afkast på markedsporteføljen er E[rM ] = 5%. I forhold til CAPM mener du at aktien er A. undervurderet, dvs. prissat for lavt B. overvurderet, dvs. prissat for højt C. korrekt prissat D. kan ikke bestemmes ud fra den givne information E. ingen af de overstående er korrekte OPGAVE 2 (25%) På Nasdaq OMX handles den danske statsobligation 1.5ST.L.23 GB. Ob- ligationen er en 1,5% stående obligation, og jævnfør stamdata, som forefindes på Nasdaq OMX, er der én årlig termin, og obligationens udløbsdato er den 15. november 2023. I Figur 1 ses et screenshot af den kursinformation, der fandtes på obligationen den 29. november 2016. Som det ses, er den givne information beregnet den 28. november 2016. I de følgende opgaver antages det derfor, at den 30. november er vores valørdato. Opgave 2.1 Opstil ydelsesrækken for obligationen 1.5ST.L.23 GB med en nominel beholdning på 100. Bestem nutidsværdien af de fremtidige ydelser under antagelse af en konstant diskonte- ringsrente på r = 0,25%. Opgave 2.2 Bestem den vedhængende rente på obligationen med den 30. november 2016 som valørdato. Forklar, hvorfor den fundne beløbsstørrelse synes rimelig - med andre ord forklar, hvad der forstås ved den vedhængende rente.  Side 5 af 9 Figur 1: Kursinformation for statsobligationen 1.5ST.L23 GB hentet på Nasdaq OMX. Opgave 2.3 Bestem den teoretiske kurs for obligationen ved en konstant diskonteringsrente på r = 0,25%. Jævnfør Figur 1 er den anvendte renteberegningskurs 110,516. Antag, at denne er lig obligatio- nens markedskurs. Opgave 2.4 Beregn obligationens effektive rente (med seks decimaler). Beregn herefter obliga- tionens Macaulay-varighed (med fire decimaler). Sammenhold dine resultater med de oplyste værdier i Figur 1. Forklar eventuelle afvigelser.2 Opgave 2.5 Hvis der blev handlet en tilsvarende annuitetsobligation med præcis samme nomi- nelle rente, samme udløbstidspunkt og samme betalingsdatoer, hvilken af de to obligationer vil da have den største varighed? Forklar dit svar, og giv en fortolkning af risikomålet varighed. 2 Hvis problemløseren/solveren anvendes i besvarelsen af denne opgave, kan det være en hjælp at fjerne fluebenet i den celle i selve problemløseren/solveren, der siger “Make Unconstrained Variables Non-Negative”.  Side 6 af 9 OPGAVE 3 (35%) Bo, der er direktør for virksomheden DoIt A/S, ønsker at investere en del af virksomhedens overskud på det finansielle marked. Bo har allerede besluttet sig for, at porteføljen, der skal investeres i, skal bestå af de tre aktier: aktie A, B og C. Hvordan porteføljen skal sammensættes, vil han trygt overlade til sin investeringsrådgiver Ib. Ib prøver pænt at forklare Bo, at det kunne være en ide at sprede sine investeringer mere end i kun tre aktiver, men det vil Bo overhovedet ikke høre tale om. Ib benytter altid en to-faktormodel til at beskrive afkastene på de aktiver, han handler i. De to faktorer er indbyrdes uafhængigt fordelte, har begge en middelværdi på nul og en varians på hhv. 0,01 og 0,03. Det vil sige E[F1 ] = E[F2 ] = cov(F1 , F2 ) = 0, var(F1 ) = 0,01 og var(F2 ) = 0,03. Efter en grundig analyse kommer Ib frem til følgende faktor-ligninger for afkastene på de tre aktier3 rA = 0,05 + 1 F1 + 3 F2 + eA rB = 0,06 + 3 F1 − 5 F2 + eB rC = 0,03 + 0 F1 + 1 F2 + eC , hvor E[ei ] = cov(ei , ej ) = cov(ei , Fm ) = 0 for m ∈ {1,2} og i, j ∈ {A, B, C} og var(ei ) = 0,01 for alle i. Opgave 3.1 Bestem det forventede afkast samt variansen på afkastet hørende til de tre aktier A, B og C. Forklar hvordan du bestemmer hhv. det forventede afkast og variansen på afkastet. Opgave 3.2 Bestem kovariansen på afkastet mellem de tre aktier, dvs. bestem cov(rA , rB ), cov(rA , rC ) og cov(rB , rC ). Forklar hvordan du bestemmer kovariansen. Vis herefter at varians- kovariansmatricen, Σ, for de tre aktier er givet ved   0,29 −0,42 0,09   Σ =  −0,42 0,85 −0,15 .     0,09 −0,15 0,04 Eftersom Bo ikke kan lide risiko, ønsker Ib at sammensætte den portefølje, der har den mindst mulige varians af alle. Hvis du ikke har kunne svare på opgave 3.1 og opgave 3.2 kan du i det følgende opgaver benytter varians-kovariansmatricen oplyst i opgave 3.2 og et forventet afkast på de tre aktier på hhv. E[rA ] = 5%, E[rB ] = 6% og E[rC ] = 3%. Opgave 3.3 Bestem minumum-variansporteføljen samt det forventede afkast og standardafvi- gelsen på afkastet for minimum-variansporteføljen. 3 Bemærk vi modellerer afkastet, og ikke mer-afkastet som vi ofte har gjort.  Side 7 af 9 Opgave 3.4 Bestem igen minimum-variansporteføljen, men under antagelse af at kort-salg ikke er tilladt. Sammenlign det forventede afkast og standardafvigelsen på afkastet med minimum- variansporteføljen med kort-salg fundet i opgave 3.3. Bo foreslår Ib, at de jo ikke behøver at investere det hele i de tre aktier. De kunne også investere en del i et riskofrit aktiv og resten i en portefølje bestående af de tre aktier. Opgave 3.5 Benyt de tre aktier til at danne en portefølje som har et beta der er lig med nul med hensyn til både faktor 1 og faktor 2. Bestem endvidere det forventede afkast på denne portefølje. Antag, at der eksisterer et risikofrit aktiv og at afkastet på det risikofri aktiv er lig med afkastet på porteføljen fundet i opgave 3.5, dvs. rf = 2,75%. Bo går med til også at investere i det risikofri aktiv. Opgave 3.6 Bestem tangentporteføljen samt det forventede afkast og standardafvigelsen på afkastet for tangentporteføljen. Kommentér på dine resultater. Ib ønsker at illustrere i et diagram for Bo, hvordan afkast og risiko hænger sammen, og i den forbindelse spørger han også Bo, hvor stor en standardafvigelse på afkastet Bo maksimalt kan acceptere. Bos smertegrænse er en standardafvigelse på afkastet på 10% Opgave 3.7 Skitsér i et middelværdi-standardafvigelsesdiagram den efficiente rand når inve- steringsmulighederne er givet ved de tre aktier og det risikofri aktiv. Hvor stort et forventet afkast kan opnås ved at danne en portefølje bestående af de tre aktier og det risikofrie aktiv, hvis standardafvigelsen på afkastet er lig med 10%? OPGAVE 4 (15%) Du forvalter en aktie-fond med et forventet afkast på 8% og en standard afvigelse på afkastet på 20%. De et-årige statsobligationer, som anses for at være risikofri over en investeringsperiode på et år, har et risikofrit afkast på 1%. En af de investorer der har investeret i din fond er Klaus. Klaus har investeret for 200.000 kr. i din fond og for 50.000 kr. i de risikofri statsobligationer. Opgave 4.1 Bestem det forventede afkast og standard afvigelsen på afkastet på Klaus’s samlede portefølje. Opgave 4.2 Hvis Klaus ønsker et forventet afkast på hans totale portefølje på 5%, hvor stor en andel af sin totale portefølje skal han da investere i din fond? Hvad bliver standard-afvigelsen på afkastet på hans nye portefølje?  Side 8 af 9 Opgave 4.3 Antag at afkastet på din portefølje er normalfordelt, dvs. rp ∼ N (µ, σ), hvor µ = 0,08 og σ = 0,20. Hvad er sandsynligheden for at Klaus om et år vil få et afkast der er negativt, hvis han følger investeringsstrategien fundet i opgave 4.2? OPGAVE 5 (10%) Afhængig af tilstanden i økonomien, s, giver aktien AlmostThere et afkast som angivet i følgende tabel s P(r = rs ) rs 1 0,10 -0,09 2 0,35 0,02 3 0,50 0,12 4 0,05 0,20 hvor s angiver de fire mulige tilstande, P(r = rs ) angiver sandsynligheden for at ende i den givne tilstand og rs angiver afkastet i den givne tilstand. Vi kan eksempelvis se fra tabellen at P(r = 2%) = 35%. Det antages at vi er i en 1-faktor økonomi, hvor fælles-faktoren er markedsporteføljen, dvs. mer-afkastet på aktiv i er givet ved Ri = αi + βi RM + ei hvor RM = rM −rf er lig mer-afkastet på markedsporteføljen. Endvidere oplyses at AlmostThere- aktiens beta er 0,6, den risikofri rente er 2% og det forventede afkast på markedsporteføljen er E[rm ] = 10%. Endelig oplyses at aktiens idiosynkratiske risiko er givet ved σe = 2%. Opgave 5.1 Er aktien prisfastsat korrekt ifølge CAPM modellen? Begrund dit svar. Opgave 5.2 Bestem standardafvigelsen på markedsporteføljen. Relevante kommandoer i Excel 2010 på hhv. dansk og engelsk til faget Porteføljeteori Formål Engelsk Dansk Kommentar Kumulative fordelingsfunktion for nor- NORM.DIST(x,µ,σ,1) NORM.FORDELING(x;µ;σ;1) I stedet for 1 kan man skrive TRUE/SANDT mal fordelingen Kunulative fordelingsfunktion for stan- NORM.S.DIST(x, 1) NORM.S.FORDELING(x;1) I stedet for 1 kan man skrive TRUE/SANDT dard normalfordelingen Tæthedsfunktionen for normalfordelin- NORM.DIST(x,µ,σ,0) NORM.FORDELING(x;µ;σ;0) I stedet for 0 kan man skrive FALSE/FALSK gen Tæthedsfunktionen for standard nor- NORM.S.DIST(x;0) NORM.S.FORDELING(x;0) I stedet for 0 kan man skrive FALSE/FALSK malfordelingen Inverse normalfordeling NORM.INV(p,µ,σ) NORM.INV(p;µ;σ) Inverse standard normalfordeling NORM.S.INV(p) NORM.S.INV(p) Vektor/prik-produktet SUMPRODUCT SUMPRODUKT Transponer en matrice TRANSPOSE TRANSPONER Matrix multiplikation MMULT MPRODUKT Inverter en matrice MINVERSE MINVERT Arithmetisk middelværdi AVERAGE MIDDEL Geometrisk middelværdi GEOMEAN GEOMIDDELVÆRDI Sample varians VAR.S VARIANS.S Sample standardafvigelse STDEV.S STDAFV.S Sample skewness SKEW SKÆVHED Sample kurtosis KURT TOPSTEJL Sample kovarians COVARIANCE.S COVARIANS.S Sample korrelation CORREL KORRELATION Side 9 af 9