Ejercicios de Derivación PDF

Julián Moreno Mestre Academia las Rozas www.juliweb.es www.academialasrozas.com Ejercicios para aprender a derivar Derivación de polinomios y series de potencias Reglas de derivación:...

Julián Moreno Mestre Academia las Rozas www.juliweb.es www.academialasrozas.com Ejercicios para aprender a derivar Derivación de polinomios y series de potencias Reglas de derivación: f ( x) = k → f ' ( x) = 0 f ( x) = ax → f ' ( x) = a f ( x) = ax n → f ' ( x) = anx n −1 f ( x) = u ( x) + v( x) → f ' ( x) = u '+ v' Ejemplos: f ( x) = 4 → f ' ( x) = 0 f ( x) = x → f ' ( x) = 1 2 f ( x) = 3x → f ' ( x) = 6 x f ( x) = x 4 + 4 → f ' ( x) = 4 x 3 x9 x 7 9 x8 7 x 6 5 3 4 f ( x) = 3 x − x → f ' ( x) = 15 x − 3 x 2 f ( x) = − → f '( x) = − 7 5 7 5 Ejercicios: 1º Derive las siguientes funciones polinómicas: x x 4 − 3x a) f ( x) = x3 + 5 x 20 + 2 x b) f ( x) = + 7 x 4 c) f ( x) = 5 4 d) f ( x) = x + 4 e) f ( x) = 6 x 7 + 5 x 2 + 5 f) f ( x) = 4 x + x 3 + 4 5 2 5x6 x4 g) f ( x) = − 3x5 − 2 h) f ( x) = + x5 − 2 x 2 i) f ( x) = π x 2 + 3x3 6 4 j) f ( x) = x −2 + 4 x −5 k) f ( x) = x −1 − x −2 l) f ( x) = x −4 + 2 x −3 5 4 1 5 1 1 m) f ( x) = + n) f ( x) = 3 + 2 ñ) f ( x) = 2 + 10 x 5 x x x x Sol: 1 3 a) f '( x) = 3 x 2 + 100 x19 + 2 b) f '( x) = + 28 x3 c) f '( x) = x3 − 5 4 d) f ' ( x) = 2 x e) f '( x) = 42 x 6 + 10 x f) f ' ( x) = 20 x + 3 x 2 4 g) f '( x) = 5 x5 − 15 x 4 h) f '( x) = x3 + 5 x 4 − 4 x i) f '( x) = 2π x + 3 3x 2 j) f '( x) = −2 x −3 − 20 x −6 k) f '( x) = − x −2 + 2 x −3 l) f '( x) = −4 x −5 − 6 x −4 m) f ' ( x) = −5 x −2 n) f '( x) = −3x −4 − 10 x −3 ñ) f '( x) = −2 x −3 − 10 x −11 2º Derive, con un poco de ingenio, las siguientes funciones: a) f ( x) = 7 x5/ 4 − 8 x1/ 2 b) f ( x) = x 2 / 3 + 4 x 5 / 4 c) f ( x) = 3 x1/ 3 + 4 x1/ 4 d) f ( x) = x 2 + 5 x e) f ( x) = −2 7 x 2 + 9 x 2 f) f ( x) = 3 4 5 x Sol: a) f '( x) = 35 1/ 4 x + 4 x −1/ 2 b) f '( x) = 2 −1/ 3 x + 5 x1/ 4 c) f '( x) = − x −2 / 3 + x −3/ 4 4 3 x −4 / 5 4 x −5/ 7 2 x −7 / 9 x −119 /120 d) f ' ( x) = 1 + e) f '( x) = − + f) f '( x) = 5 7 9 120 –1–  Julián Moreno Mestre Academia las Rozas www.juliweb.es www.academialasrozas.com Derivación de potencias de funciones Reglas de derivación. f ( x) = au n → f ( x) = anu ' u n −1 Ejemplos: f ( x) = ( x 2 + x ) → f '( x) = (6 x + 3) ( x 2 + x ) 3 2 f ( x) = (3x + x 2 )100 → f '( x) = 100(3 + 2 x)(3 x + x 2 )99 f ( x) = ( x 3 + x 2 + 1)6 → f '( x) = 6·(3 x 2 + 2 x)·( x3 + x 2 + 1)5 f ( x) = (4 x 3 + 5 x 2 + 7)15 → f '( x) = 15·(12 x 2 + 10 x)·(4 x3 + 5 x 2 + 7)15 (x + 4 x3 + 6 ) 15·( 5 x 4 + 12 x 2 )·( x 5 + 4 x 3 + 6 ) 5 15 14 f ( x) = → f '( x) = 8 8 (x − 2x) (2x − 2) 3·( 3 x 2 − 2 )·( x 3 − 2 x ) 6·( 6 x 2 )( 2 x3 − 2 ) 3 3 3 6 2 5 f ( x) = + → f '( x) = + 4 5 4 5 Ejercicios: 3º Derive las siguientes funciones con paréntesis: 4 7 2 3 ⎛ x7 ⎞ a) f ( x) = ( x + 1) b) f ( x) = ( x + 3 x + 5) c) f ( x) = ⎜ + 3x3 ⎟ ⎝ 7 ⎠ (x − 3x 2 ) 4 2 d) f ( x) = e) f ( x) = (4 x 7 / 2 + 3) 5 f) f ( x) = ( x 2 − xπ )e 3 g) f ( x) = ( 2 x + 7 x ) h) f ( x) = ( 2 x3 + 3 x −4 + 2 ) i) f ( x) = ( x 6 + 3x 4 − 5 x ) 3 −5 7 8 (x + 7 x 2 − 5) (5x + 3x −2 ) 6 5 3 3 4 3⎛ x 1 ⎞ j) f ( x) = k) f ( x) = l) f ( x) = ⎜ + ⎟ 7 12 5⎝ 4 x⎠ m) f ( x) = ( 5 x 2 − 3 x ) n) f ( x) = ( 4 x 6 − x ) 5/ 2 7/3 Sol: a) f '( x) = 7( x + 1)6 b) f ' ( x) = 3(2 x + 3)( x 2 + 3 x + 5) 2 3 ⎛ x7 ⎞ ( c) f '( x) = 4 x + 3 3 x ⎜ + 3 x 3 ⎟ 6 ⎝ 7 ⎠ 2 ) d) f '( x) = 2 3 ( 4 x 3 − 6 x )( x 4 − 3 x 2 ) e) f ' ( x) = 5 (14 x 5 / 2 )(4 x 7 / 2 + 3) 5 −1 f) f ' ( x) = e(2 x − π x π −1 )( x 2 − x π ) e−1 g) f '( x) = −5·( 6 x 2 + 7 )( 2 x 3 + 7 x ) h) f '( x) = 7 ( 6 x 2 − 12 x −5 )( 2 x3 + 3 x −4 + 2 ) −6 6 6·( 3x 2 + 14 x )·( x 3 + 7 x 2 − 5 ) 5 i) f '( x) = 8 ( 6 x + 12 x − 5 )( x + 3 x − 5 x ) j) f '( x) = 5 3 6 4 7 7 5 ( 20 x 3 − 6 x −3 )·( 5 x 4 + 3 x −2 4 ) 2 9⎛1 ⎞⎛ x 1⎞ k) f '( x) = l) f '( x) = ·⎜ − x −2 ⎟·⎜ + ⎟ 12 5⎝4 ⎠⎝4 x⎠ 5 7 m) f '( x) = ·(10 x − 3)·( 5 x 2 − 3 x ) n) f '( x) = ·( 24 x 5 − 1)·( 4 x 6 − x ) 3/ 2 4/3 2 3 –2–  Julián Moreno Mestre Academia las Rozas www.juliweb.es www.academialasrozas.com Derivación de raíces cuadradas y raíces de orden superior Reglas de derivación. u' f ( x) = n u → f ' ( x) = n·n u n−1 Ejemplos: 2x − 3 2x f ( x) = x 2 − 3x → f '( x) = f ( x) = 3 x 2 + 1 → f '( x) = 3· 3 ( x 2 + 1) 2 2 x 2 − 3x 2·( 2 x − 3)·( x 2 − 3x ) (x − 3 x ) → f '( x) = 2 f ( x) = 3 2 3· 3 ( x 2 − 3 x ) 4 Ejercicios: 4º Derive las siguientes funciones con paréntesis: a) f ( x) = 3 2 x + 4 b) f ( x) = 10 x 3 + 10 x c) f ( x) = x 2 + 3 d) f ( x) = x + x 2 + x 3 e) f ( x) = 4 x + 3 10 x f) f ( x) = 3 x + 3x g) f ( x) = 1 + 3 x h) f ( x) = 6 x 5 + x i) f ( x) = x x x j) f ( x) = x + x + 3 x k) f ( x) = 5 3 x2 + 1 + 7 l) f ( x) = 5 3 x2 + 1 + 7 Sol: 2 3x 2 + 10 a) f ' ( x) = b) f '( x) = 33 (2 x + 4) 2 10·10 ( x 3 + 10 x)9 x 1 + 2 x + 3x 2 c) f '( x) = d) f '( x) = x2 + 3 2 x + x 2 + x3 1 10 1 + +3 2 x 3· 3 (10 x) 2 f) f '( x) = 2 x e) f '( x) = ( ) 2 4· 4 ( x + 3 10 x )3 3· 3 x + 3 x 1 1 1 5x 4 + g) f '( x) = · 2 x 3 2 2 1 + x 3· x 3 h) f ' ( x) = 6· ( x + x ) 5 6 5 1 1 7 1+ + i) f '( x) = 2 x 3 x3 2 8· 8 x j) f '( x) = 2 x+ x + 3 x 2x 3· 3 ( x 2 + 1) 2 k) f '( x) = ( ) 4 5· 5 3 x2 + 1 + 7 –3–  Julián Moreno Mestre Academia las Rozas www.juliweb.es www.academialasrozas.com Derivación de producto de funciones Reglas de derivación. f ( x) = uv → f ' ( x) = u ' v + v' u f ( x) = u (v( x)) → f ' ( x) = u ' (v( x))v' ( x) Ejemplos: f ( x) = ( x 2 − 1) ( x + 1)→ f '( x) = 2 x( x − 1) + ( x 2 − 1) f ( x) = ( x + 4 x 2 ) ( x + 1) → f '( x) = (1 + 8 x ) ( x + 1) + ( x + 4 x 2 ) f ( x) = ( x + x 7 ) ( x 2 − 1) → f '( x) = 5·(1 + 7 x 6 )( x + x 7 ) ( x 2 − 1) + 14 x ( x 2 − 1) ( x + x 7 ) 5 7 4 7 6 5 Ejercicios: 5º Derive las siguientes funciones: a) f ( x) = ( x 2 − 1)( x − 1) b) f ( x) = x 2 (7 x 7 + 8) c) f ( x) = ( x 2 ) 3 ( x + 1) d) f ( x) = ( x − 1) −1 ( x + 1) 4 3 ⎛ x ⎞ ⎛ 4x ⎞ e) f ( x) = ⎜ + 1⎟ ⎜ ⎟ f) f ( x) = ( x 2 − 3) −5 ( x − x 2 ) ⎝3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ g) f ( x) = ( x −1 − 2) −2 (1 + x 2 ) h) f ( x) = x( x − 1) 2 ( x − 2) 3 i) f ( x) = ( x 2 + x)( x + 2 x 2 )( x + 1) ( )( j) f ( x) = x 3 + 7 x x 7 + 5 x 2 ) k) f ( x) = x + 1 3 x − 1 l) f ( x) = x x 2 + 1 ( x + 1) 4 Sol: a) f ' ( x) = 2 x( x − 1) + ( x 2 − 1) b) f ' ( x) = 2 x(7 x 7 + 8) + 49 x 8 c) f ' ( x) = 6 x 5 ( x + 1) + x 6 d) f ' ( x) = −( x − 1) −2 ( x + 1) + ( x − 1) −1 3 3 4 2 4 ⎛ x ⎞ ⎛ 4x ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ 4x ⎞ e) f ' ( x) = ⎜ + 1⎟ ⎜ ⎟ + 4⎜ + 1⎟ ⎜ ⎟ 3⎝3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ f) f '( x) = −10 x( x − 3) ( x − x ) + (1 − 2 x)( x 2 − 3) −5 2 −6 2 g) f ' ( x) = 2 x −2 ( x −1 − 2) −3 (1 + x 2 ) + 2 x( x −1 − 2) −2 h) f ' ( x) = ( x − 1) 2 ( x − 2) 3 + 2 x( x − 1)( x − 2) 3 + 3 x( x − 1) 2 ( x − 2) 2 i) f ' ( x) = (2 x + 1)( x + 2 x 2 )( x + 1) + ( x 2 + x)(1 + 4 x)( x + 1) + ( x 2 + x)( x + 2 x 2 ) j) f '( x) = ( 3 x 2 + 7 )( x 7 + 5 x 2 ) + ( x3 + 7 x )( 7 x 6 + 10 x ) ( x + 1) −1/ 2 ( x − 1) −2 / 3 k) f '( x) = 3 x −1 + x +1 2 3 x2 l) f '( x) = x 2 + 1( x + 1) 2 + ( x + 1) 2 + 2 x x 2 + 1( x + 1) 2 x +1 2 –4–  Julián Moreno Mestre Academia las Rozas www.juliweb.es www.academialasrozas.com Funciones racionales Reglas de derivación. 1 v' u u ' v − v' u f ( x) = → f '( x) = − 2 f ( x) = → f ' ( x) = v v v v2 Ejemplos: 1 −2 x f ( x) = → f '( x) = 1+ x 2 (1 + x 2 ) 2 x2 2 x( x100 + 4 x) − (100 x 99 + 4) x 2 f ( x) = 100 → f '( x) = x + 4x ( x100 + 4 x) 2 x2 + 1 2 x( x 3 + 1) − 3 x 2 ( x 2 + 1) f ( x) = → f '( x ) = x3 + 1 ( x 3 + 1) 2 Ejercicios: 6º Derive las siguientes funciones: 1 1 1 a) f ( x) = 3 b) f ( x) = 5 c) f ( x) = x − 2x x − 6 x2 (4x − x ) 2 3 Sol: 3x 2 − 2 5 x 4 − 12 x 5·( 4 − 2 x ) a) f ( x) = − b) f '( x) = − c) f ( x) = − (x − 2x) (x ) (4x − x ) 2 2 2 2 5 3 5 − 6x 7º Usando las reglas de derivación anteriores derive las siguientes funciones: a) f ( x) = 2 x3 − 3 b) f ( x) = 2 x3 c) f ( x) = (x + 3)2 d) f ( x) = x 2 x −1 x +1 x−2 x2 −1 ( x − 1) 3 f) f ( x) = x 3x xi + 1 e) f ( x) = g) f ( x) = h) f ( x) = e 3x 3x x x −2 Sol: 3x 2 ·( x 2 − 1) − 2 x·( x 3 − 3) 3x 2 ( x 2 + 1) − 2 x 4 a) f '( x) = b) f '( x) = ( x 2 − 1) ( x2 + 1) 2 2 2 ( x + 3) ( x − 2) − ( x + 3) 2 2 x ( x 2 − 1) − 2 x3 c) f '( x) = d) f '( x) = ( x − 2) (x − 1) 2 2 2 9 x( x − 1) 2 − 3( x − 1) 3 1 ⎛ 3 ⎞ e) f ' ( x) = f) f '( x) = ⎜ 3x − x ⎟ 9x 2 3x ⎝ 2 3x ⎠ 1 ⎛ 3 ⎞ ix i ( x e − 2) − ex e ( x i + 1) g) f '( x) = 2 ⎜ x − 3x ⎟ h) f '( x) = x ⎝ 2 3x ⎠ ( x e − 2) 2 8º Demostrar que las siguientes funciones tienen por derivada: x4 −1 x 4 + 3x3 + x 2 a) f ( x) = 2 → f '( x) = 2 x b) f ( x) = 2 → f '( x) = 2 x x +1 x + 3x + 1 x 4 + 3 x 3 +3 x 2 + x x2 1 c) f ( x) = → f '( x ) = 1 h) f ( x) = → f '( x) = x3 + 2 x 2 + x x + 2x +1 2 ( x + 1) 2 –5–  Julián Moreno Mestre Academia las Rozas www.juliweb.es www.academialasrozas.com Funciones exponenciales Reglas de derivación. f ( x) = a u → f ' ( x) = u ' a u ln a f ( x) = e u → f ' ( x) = u ' e u Ejemplos: f ( x) = e 4 x +3 → f '( x) = 4e 4 x +3 → f '( x) = ( 2 x + 3) e x 2 2 +3 x +3 x f ( x) = e x 2 2 f ( x) = 2 x → f ' ( x) = 2 x·2 x ln 2 → f '( x) = ( 3 x 2 + 10 x ) 2 x 3 +5 x2 3 +5 x2 f ( x) = 2 x ln 2 x+2 x ⎛ 2 ⎞ x +x 2 f ( x) = 2 =2 x x+2 → f '( x) = ⎜ ⎟ 2 ln 2 ⎜ ( x + 2 )2 ⎟ ⎝ ⎠ Ejercicios: 9º Usando las reglas de derivación anteriores derive las siguientes funciones: b) f ( x) = e 2 x +1 3 2 7 6 a) f ( x) = e x + 2 x c) f ( x) = e − x d) f ( x) = e x +5 x +3 f) f ( x) = 32 x +1 3 2 7 + 5 x6 + 3 e) f ( x) = 2 x +2 x g) f ( x) = 4− x h) f ( x) = π x Sol: b) f '( x) = 2e 2 x +1 3 2 +2 x a) f '( x) = (3 x 2 + 2)·e x c) f '( x) = −2 xe − x 7 + 5 x6 + 3 3 +2 x d) f '( x) = (7 x 6 + 30 x 5 )·e x e) f '( x) = (3 x 2 + 2)·2 x ·ln 2 f) f '( x) = 2·32 x +1 ln 3 g) f '( x) = −2 x·4− x ·ln 4 2 7 + 5 x6 + 3 h) f '( x) = (7 x 6 + 30 x 5 )·π x ·ln π 10º Derive las siguientes funciones: 2 2 a) f ( x) = e x + e x +1 + 5 b) f ( x) = e x −2 x + 2x c) f ( x) = xe x + e x + e ( ) 2 x ⎛ ⎞ e) f ( x) = ⎜ ( e x ) x f) f ( x) = x +1 x d) f ( x) = x e + xe 4 3x ⎟ ⎝ ⎠ x e 6 x +1 g) f ( x) = 4 x + 7 x 2 +3 x h) f ( x) = 2 x ( ) 2 −3 x i) f ( x) = 10 e x 3 6 k) f ( x) = x e + x − 2 2 l) f ( x) = e 5 + x e + e x 7 j) f ( x) = 4 x + e x + 1 Sol: 2 2 a) f '( x) = 2 xe x + e x +1 b) f '( x) = (2 x − 2)e x − 2 x + 2 x ln 2 c) f '( x) = 2e x + xe x d) f '( x) = 4 x 3e3 x + 3e3 x x 4 + e x +1 + xe x +1 6 x +1 4 2 − e) f '( x) = 4 x 3e x f) f '( x) = e x x2 2 +3 x 3 −3 x g) f '( x) = 4 x ·ln 4 + (2 x + 3)·7 x ·ln 7 h) f '( x) = (3 x 2 − 3)2 x x 3 6 i) f '( x) = e x 10e ln10 j) f '( x) = 3 x 2 4 x ln 4 + 6 x 5e x e1/ x 21/( x − 2) x k) f '( x) = − − ln 2 51/ e l) f ( x) = − 2 x ln 5 + e· x e −1 x 2 ( x − 2) 2 e –6–  Julián Moreno Mestre Academia las Rozas www.juliweb.es www.academialasrozas.com Funciones logarítmicas Reglas de derivación. u' u' f ( x) = log a u → f ' ( x) = log a e f ( x) = ln u → f ' ( x) = u u Ejemplos: 8 + 3x 2 f ( x) = log 4 (8 x + x 3 ) → f ' ( x) = log 4 e 8x + x 3 12 x 3 f ( x) = ln(3x 4 + 7) → f ' ( x) = 4 3x + 7 Ejercicios: 11º Usando las reglas de derivación anteriores derive las siguientes funciones: a) f ( x) = ln(3x − 1) b) f ( x) = ln( x 2 − 3x) c) f ( x) = ln( x3 − 2 x 4 ) d) f ( x) = log(6 x − 5) e) f ( x) = log(2 x 2 − x) f) f ( x) = log(2 x 5 − x −2 ) g) f ( x) = log 2 (6 x − x 2 ) h) f ( x) = log 3 (3x 2 − x 6 ) i) f ( x) = log 5 ( x 2 − 8 x) Sol: 3 2x − 3 3x 2 − 8 x3 a) f '( x) = b) f '( x) = c) f '( x) = 3 3x − 1 x 2 − 3x x − 2 x4 6 2x −1 10 x 4 + 2 x −3 d) f '( x) = log e e) f '( x) = 2 log e f) f '( x) = log e 6x − 5 2x − x 2 x 5 − x −2 6 − 2x 6 x − 6 x5 2x − 8 g) f '( x) = log 2 e h) f '( x) = log 3 e i) f '( x) = 2 log 5 e 6 x − x2 3x 2 − x 6 x − 8x 12º Derive las siguientes funciones: 3 ⎛ x3 ⎞ ⎛ x + 2⎞ a) f ( x) = ln⎜⎜ ⎟⎟ b) f ( x) = x ln( x + 1) c) f ( x) = ln⎜ 2 ⎟ ⎝ 5 ⎠ ⎝ x ⎠ d) f ( x) = ln x 1 e) f ( x) = ln x − 2 f) f ( x) = log 2 x ( ) 7 g) f ( x) = log 50 ( 4 x3 + 5 ) h) f ( x) = ln x 3 x ( i) f ( x) = ln 1 + e x 4 +1 ) ⎛ x2 − x ⎞ j) f ( x) = e 1+ ln x k) f ( x) = ln ⎜ 2 ⎟ l) f ( x) = ln ( ln ( ln x ) ) ⎝ x +4⎠ Sol: 3 x 3 6 a) f '( x) = b) f '( x) = ln( x + 1) + c) f '( x) = − x x +1 x+2 x −2 1 7 d) f '( x) = e) f '( x) = f) f '( x) = log 2 e x(ln x) 2 2( x − 2) x 4 6x2 3− x 4 x 3e x +1 g) f '( x) = 3 log 50 e h) f '( x) = − 3− x ln 3·ln x i) f '( x) = 4x + 5 x 4 1 + e x +1 1 1+ ln x x2 + 8x − 4 1 j) f '( x) = e =e k) f '( x) = 2 l) f '( x) = x ( x + 4)·( x − x) 2 x·ln( x)·ln ( ln x ) –7–  Julián Moreno Mestre Academia las Rozas www.juliweb.es www.academialasrozas.com Funciones trigonométricas Reglas de derivación. f ( x) = sin u → f '( x) = u '·cos u f ( x) = cos u → f '( x) = −u '·sin u u' f ( x) = tan u → f '( x) = cos 2 u Ejemplos: f ( x) = sin(4 x 2 ) → f '( x) = 8 x cos(4 x 2 ) f ( x) = cos( x 2 ) → f '( x) = −2 x sin( x 2 ) 3x 2 − 1 − cos x f ( x) = tan( x − x) → f '( x) = 3 f ( x) = tan(sin( x)) → f '( x) = cos 2 ( x 3 − x) cos 2 (sin( x)) Ejercicios: 13º Usando las reglas de derivación anteriores derive las siguientes funciones: a) f ( x) = cos(3x) b) f ( x) = sin(3 x 2 − 2) c) f ( x) = 4sin x − 3cos x d) f ( x) = sin(3x + 5) e) f ( x) = cos(sinx) f) f ( x) = sin ( 2 x 6 + 7 ) g) f ( x) = tan ( x 3 + 2 ) h) f ( x) = tan ( 2 x 7 + 2 x ) i) f ( x) = tan ( x − cos x ) Sol: a) f '( x) = −3sin(3 x) b) f '( x) = 6 x·cos(3 x 2 − 2) c) f '( x) = 4 cos x + 3sin x d) f '( x) = 3cos(3 x + 5) e) f '( x) = − cos x sin(sin x) f) f '( x) = 12 x 5 ·cos ( 2 x 6 + 7 ) 3x 2 14 x 6 + 2 1 + sin x g) f '( x) = h) f '( x) = i) f '( x) = cos 2 ( 2 x 7 + 2 x ) cos ( x − cos x ) 2 cos 2 ( x 3 + 2) 14º Derive las siguientes funciones y simplifíquelas si fuese posible: a) f ( x) = sin ( 3x 2 − 5 x ) b) f ( x) = sin 2 ( x) c) f ( x) = 3sin 2 (2 x − 3) d) f ( x) = 5 sin(3 x) e) f ( x) = cos 2 ( x 3 ) f) f ( x) = cos 4 (3 x 4 ) g) f ( x) = sin( x 2 ) cos( x) h) f ( x) = cos 2 x − sin 2 x i) f ( x) = tan x cos x j) f ( x) = 2 tan x sin(2 x) k) f ( x) = 6 tan x l) f ( x) = co tan( x) Sol: a) f '( x) = 6x − 5 2 3x − 5 x 2 cos ( 3x 2 − 5 x ) b) f '( x) = 2sin x cos x 3cos(3x) c) f '( x) = 12sin(2 x − 3) cos(2 x − 3) d) f '( x) = 5 (sin(3x)) 4 5 e) f '( x) = −6 x 2 sin x3 cos x3 f) f '( x) = −48 x3 sin(3 x 4 ) cos3 (3x 4 ) − sin(2 x) g) f '( x) = 2 x cos( x 2 ) cos x − sin( x 2 ) sin x h) f '( x) = cos(2 x) i) f '( x) = cos x j) f '( x) = 4 cos(2 x) 1 1 k) f '( x) = −1 l) f '( x) = 2 x cos 2 x ( tan x ) 5 6 6 sin 2 x –8–  Julián Moreno Mestre Academia las Rozas www.juliweb.es www.academialasrozas.com Reglas de derivación. u' −u ' f ( x) = arcsin u → f '( x) = f ( x) = arccos u → f '( x) = 1− u 2 1− u2 u' f ( x) = arctan u → f '( x) = 1+ u2 Ejemplos: 3x 2 3e3 x f ( x) = arcsin( x 3 ) → f '( x) = f ( x) = arctan(e3 x ) → f '( x) = 1 − x6 1 + e6 x ex +1 ( ) f ( x) = arccos e + x → f '( x) = − x 1 − (e x + x ) 2 Ejercicios: 15º Usando las reglas de derivación anteriores derive las siguientes funciones: a) f ( x) = arcsin ( x 3 ) b) f ( x) = arcsin ( x + 1) c) f ( x) = arcsin ( e5 x ) d) f ( x) = arccos ( 2 x 5 + x ) e) f ( x) = arccos ( e3 x + 5 x ) f) f ( x) = arccos ( ln x ) g) f ( x) = arctan ( x 2 ) h) f ( x) = arctan ( x 4 + 3 x ) i) f ( x) = arctan ( lnx ) Sol: 3x 2 1 5e5 x a) f '( x) = b) f '( x) = c) f '( x) = 1 − ( x + 1) 2 1 − x6 1 − e10 x 10 x 4 + 1 3e3 x + 5 1 1 d) f '( x) = − e) f ( x) = − f) f ( x) = − · 1 − ( 2 x5 + x ) 1 − ( e3 x + 5 x ) x 1 − ( ln x )2 2 2 2x 4 x3 + 3 ⎛1⎞ 1 g) f '( x) = h) f '( x) = i) f '( x) = ⎜ ⎟· ( ) 2 ⎝ x ⎠ 1 + (ln x) 2 1 + x4 1 + x + 3x 4 16º Derive las siguientes funciones y simplifíquelas si fuese posible: arcsin(3x − 2) ⎛ x + 1⎞ b) f ( x) = e cos x arcsin x c) f ( x) = a) f ( x) = arcsin⎜ x ⎟ x ⎝ e ⎠ d) f ( x) = arcsin(arccos x) e) f ( x) = arccos 1 − sin 2 x f) f ( x) = sin 2 (arccos x) Sol: −x 1 a) f '( x) = · ecos x ex ⎛ x +1⎞ 2 b) f '( x) = − sin( x)·ecos x arcsin x + 1− ⎜ x ⎟ 1 − x2 ⎝ e ⎠ 3 − arcsin(3x − 2) 1 1 1 − (3 x − 2) 2 d) f '( x) = · c) f '( x) = 1− x 2 1 − arccos 2 x x2 e) f '( x) = 1 f) f '( x) = −2 x –9–  Julián Moreno Mestre Academia las Rozas www.juliweb.es www.academialasrozas.com Representación de funciones Primer ejemplo: 1 f ( x) = x −1 1º) Dominio. Dom f ( x) = \ − {1} 1 ⎧≠ f ( x) 2º) Simetrías. f (− x) = ⎨ ⇒ No tiene simetría par ni impar. − x − 1 ⎩≠ − f ( x) 3º) Puntos de corte. 1 Eje x: f ( x) = 0 ⇒ ≠ 0 ⇒ No corta el eje x. x −1 1 Eje y: f (0) = = −1 ⇒ (0,−1) 0 −1 4º) Asíntotas. 1 Asíntota vertical: lim f ( x) = lim = ±∞ ⇒ x = 1 x→1 x→1 x − 1 1 Asíntota horizontal: lim f ( x) = lim =0⇒ y =0 x→ ±∞ x→±∞ x − 1 Asíntota oblicua: no tiene por tener asuntota horizontal. 5º) Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos. Calculamos e igualamos a cero su primera derivada. −1 −1 f ' ( x) = → f ' ( x ) = 0 ⇒ ≠0 ( x − 1) 2 ( x − 1) 2 No tiene puntos candidatos a máximos y mínimos, ahora hacemos un estudio de los signos de la derivada primera para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento: x=1 -1 – – 2 ( x − 1) + + f ' ( x) – – 2 2 Siempre es decreciente excepto en x = 1. 6º) Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión. Calculamos e igualamos a cero su primera derivada. 2 2 f ' ' ( x) = 3 → f ' ' ( x) = 0 ⇒ ≠0 ( x − 1) ( x − 1) 3 No tiene puntos candidatos a puntos inflexión, estudiamos ahora los signos de la segunda derivada para determinar los intervalos de concavidad y convexidad. x=1 2 + + 3 ( x − 1) – + f ' ' ( x) – + ∩ ∪ Convexa en (1, ∞) y cóncava en (−∞,1) – 10 –  Julián Moreno Mestre Academia las Rozas www.juliweb.es www.academialasrozas.com 7º) Representación gráfica: Segundo ejemplo: x f ( x) = 2 x +1 1º) Dominio. Dom f ( x) = \ −x x 2º) Simetrías. f (− x) = = − = − f ( x) Simetría impar. (− x) 2 + 1 x2 +1 3º) Puntos de corte. x Eje x: f ( x) = 0 ⇒ 2 = 0 ⇒ x = 0 ⇒ (0,0) x +1 0 Eje y: f (0) = = 0 ⇒ (0,0) 0 +1 4º) Asíntotas. Asíntota vertical: Al ser siempre continua, carece de asuntotas verticales. x Asíntota horizontal: lim f ( x) = lim 2 =0⇒ y =0 x→∞ x→±∞ x + 1 Asíntota oblicua: no tiene por tener asuntota horizontal. 5º) Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos. Calculamos e igualamos a cero su primera derivada. ( x 2 + 1) − 2 x· x 1− x2 1− x2 f ' ( x) = = 2 → f ' ( x) = 0 ⇒ 2 = 0 → x = ±1 ( x 2 + 1) 2 ( x + 1) 2 ( x + 1) 2 x = ±1 Son puntos candidatos a máximos y a mínimos. Estudiamos ahora los signos de la primera derivada: x=–1 x=1 2 – + – 1− x ( x 2 + 1) 2 + + + f ' ( x) – + – 2 / 2 Decreciente en (−∞,−1) ∪ (1, ∞). Creciente en (−1, 1). 1 1 ⎛ 1⎞ Máximo por tanto en x = 1 ⇒ f (1) = 2 = ⇒ ⎜⎜1, ⎟⎟⎟ 1 + 1 2 ⎜⎝ 2 ⎠ −1 1 ⎛ 1⎞ Mínimo en x = – 1 ⇒ f (−1) = 2 = − ⇒ ⎜⎜1, − ⎟⎟⎟ 1 +1 2 ⎜⎝ 2⎠ – 11 –  Julián Moreno Mestre Academia las Rozas www.juliweb.es www.academialasrozas.com 6º) Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión. Calculamos e igualamos a cero su primera derivada. −2 x( x 2 + 1) 2 − 2·2 x( x 2 + 1)(1 − x 2 ) 2 x 3 − 6 x f ''( x) = = 2 ( x 2 + 1) 4 ( x + 1)3 2 x3 − 6 x ⎧⎪ x = 0 f ''( x) = 0 ⇒ 2 = 0 → ⎨ ( x + 1)3 ⎪⎩ x = ± 3 Tres puntos candidatos a puntos inflexión. Hacemos un estudio de los signos de la derivada segunda: x= − 3 x=0 x= 3 2 x3 − 6 x – + – + ( x 2 + 1)3 + + + + f ' ' ( x) – + – + ∩ ∪ ∩ ∪ Cóncava en (−∞, − 3) ∪ (0, 3) y convexa en (− 3, 0) ∪ ( 3, ∞) Los puntos candidatos, son por tanto puntos de inflexión con coordenadas: 0 x = 0 ⇒ f (0) = 2 = 0 ⇒ (0,0) 0 +1 ± 3 3 ⎛ 3⎞ x = ± 3 ⇒ f (± 3) = =± ⇒ ⎜⎜ ± 3, ± ⎟ 3 +1 4 ⎝ 4 ⎟⎠ 7º) Representación gráfica: Tercer ejemplo: 1 f ( x) = x2 −1 1º) Dominio. Dom f ( x) = \ − {±1} 1 1 2º) Simetrías. f (− x) = 2 = 2 = f ( x) Simetría par (− x) − 1 x − 1 3º) Puntos de corte. 1 Eje x: f ( x) = 0 ⇒ 2 ≠ 0 No tiene. x −1 1 Eje y: f (0) = = −1 ⇒ (0, −1) 0 −1 – 12 –  Julián Moreno Mestre Academia las Rozas www.juliweb.es www.academialasrozas.com 4º) Asíntotas. 1 Asíntotas verticales: lim f ( x) = lim = ±∞ ⇒ x = 1 x→1 x→1 x 2 −1 1 lim f ( x) = lim = ±∞ ⇒ x = −1 x→ −1 x → −1 x 2 −1 1 Asíntota horizontal: lim f ( x) = lim =0⇒ y =0 x→∞ x→±∞ x2 −1 Asíntota oblicua: no tiene por tener asíntota horizontal. 5º) Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos. Calculamos e igualamos a cero su primera derivada. − 2x − 2x f ' ( x) = 2 2 → f ' ( x) = 0 ⇒ 2 =0→x=0 ( x − 1) ( x − 1) 2 x = 0 Punto candidato a máximo o a mínimo. Estudiamos los signos de la derivada: x=–1 x=0 x=1 − 2x + + – – ( x 2 − 1) 2 + + + + f ' ( x) + + – – / / 2 2 Decreciente en (0, ∞) − {1}. Creciente en (−∞,0) − {− 1}. Y como se puede ver, hay un máximo en x = 0, cuyas coordenadas son: 1 x = 0 ⇒ f (0) = 2 = −1 ⇒ (0, − 1) 0 −1 6º) Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión. Calculamos e igualamos a cero su primera derivada. − 2( x 2 − 1) 2 + 2 x·2 x·2( x 2 − 1) 6 x 2 + 2 6x2 + 2 f ' ' ( x) = = 2 → f ' ' ( x) = 0 ⇒ 2 ≠0 ( x 2 − 1)4 ( x − 1)3 ( x − 1)3 No hay puntos candidatos a puntos inflexión. Estudiamos los signos ahora: x = –1 x=1 2 + + + 6x + 2 ( x 2 − 1) 3 + – + f ' ' ( x) + – + ∪ ∩ ∪ Cóncava en (−1, 1) y convexa en (−∞,−1) ∪ (1, ∞) 7º) Representación gráfica: – 13 –  Julián Moreno Mestre Academia las Rozas www.juliweb.es www.academialasrozas.com Cuarto ejemplo: x2 f ( x) = x +1 1º) Dominio. Dom f ( x) = \ − {−1} (− x)2 x 2 ⎧ ≠ f ( x) 2º) Simetrías. f (− x) = = ⎨ ⇒ No tiene simetría par ni impar. − x + 1 1 − x ⎩≠ − f ( x) 3º) Puntos de corte. x2 Eje x: f ( x) = 0 ⇒ = 0 ⇒ (0, 0) x +1 0 Eje y: f (0) = = 1 ⇒ (0, 0) 0 +1 4º) Asíntotas. x2 Asíntotas verticales: lim f ( x) = lim = ±∞ ⇒ x = −1 x→ −1 x → −1 x + 1 x2 Asíntota horizontal: lim f ( x) = lim = ±∞ ⇒ No tiene asíntota horizontal. x→∞ x→±∞ x + 1 Asíntota oblicua: y = mx + n f ( x) x2 m = lim = lim 2 =1 x→±∞ x x→±∞ x + 1 x2 −x n = lim ( f ( x) − mx) = lim − x = lim = −1 x→±∞ x→±∞ x + 1 x→±∞ x + 1 La asíntota oblicua es y = x – 1. 5º) Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos. Calculamos e igualamos a cero su primera derivada. 2 x( x + 1) − x 2 x 2 + 2 x x 2 + 2x ⎧ x=0 f ' ( x) = = → f ' ( x ) = 0 ⇒ = 0 ⇒ ⎨ ( x + 1) 2 ( x + 1) 2 ( x + 1) 2 ⎩ x = −2 Dos puntos candidatos a máximo o a mínimo. Estudiamos los signos de la derivada: X=–2 x=–1 x=0 2 x + 2x + – – + ( x + 1) 2 + + + + f ' ( x) + – – + / 2 2 / Creciente en (−∞,−2) ∪ (0, ∞) y decreciente en (−2, 0) − {− 1}. Por tanto: (−2) 2 Máximo en: x = – 2 ⇒ f (−2) = = −4 ⇒ (−2, − 4) −2 + 1 02 Mínimo en: x = 0 ⇒ f (0) = = 0 ⇒ (0, 0) 0 +1 6º) Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión. Calculamos e igualamos a cero su primera derivada. (2 x + 2)( x + 1) 2 − ( x 2 + 2 x)·2( x + 1) 2 2 f ''( x) = = → f ''( x) = 0 ⇒ ≠0 ( x + 1) 4 ( x + 1) 3 ( x + 1)3 Hacemos un estudio de los signos: – 14 –  Julián Moreno Mestre Academia las Rozas www.juliweb.es www.academialasrozas.com x = –1 2 + + ( x + 1)3 – + f ' ' ( x)– + ∩ ∪ No tiene puntos de inflexión. Cóncava en (−∞, − 1) y convexa en (−1, ∞). 7º) Representación gráfica: Quinto ejemplo: x3 f ( x) = 2 x −1 1º) Dominio. Dom f ( x) = \ − {±1} (−x)3 −x 3 x3 2º) Simetrías. f (−x) = = = − = − f ( x) Simetría impar. (−x) 2 −1 x 2 −1 x 2 −1 3º) Puntos de corte. x3 Eje x: f ( x) = 0 ⇒ = 0 → x = 0 → (0, 0) x 2 −1 03 0 Eje y: f (0) = 2 = = 0 → (0, 0) 0 −1 − 1 4º) Asíntotas. Asíntotas verticales: x3 1 1 lim f ( x) = lim 2 = = = ±∞ ⇒ x = 1 x→1 x→1 x −1 1 −1 0 3 x −1 − 1 lim f ( x) = lim 2 = = = ±∞ ⇒ x = −1 x→1 x →−1 x −1 1 −1 0 x3 Asíntota horizontal: lim f ( x) = lim 2 = ±∞ ⇒ No tiene. x →±∞ x→±∞ x −1 Asíntota oblicua: y = mx + n x3 f ( x) x 2 − 1 x3 m = lim = lim = lim 3 =1 x→±∞ x x→±∞ x x→±∞ x − x ⎛ x3 ⎞ − x⎟⎟⎟ = lim 2 x n = lim ( f ( x) − mx) = lim ⎜⎜ 2 =0 x→±∞ x →±∞ ⎜⎝ x −1 ⎠⎟ x→±∞ x −1 La asíntota oblicua es: y = x. – 15 –  Julián Moreno Mestre Academia las Rozas www.juliweb.es www.academialasrozas.com 5º) Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos. Calculamos e igualamos a cero su primera derivada. 3 x 2 ( x 2 −1) − 2 x· x 3 x 2 ( x 2 − 3) x 2 ( x 2 − 3) ⎧⎪ x = 0 f '( x) = = → f '( x ) = = 0 ⇒ ⎪⎨ ( x 2 −1) 2 ( x 2 −1) 2 ( x 2 −1) 2 ⎪⎪ x = ± 3 ⎩ Tres puntos candidatos a máximo o a mínimo. Hacemos un estudio de los signos de la derivada primera: x = – 3 x = –1 x=1 x= 3 2 2 x ( x − 3) + – – – + ( x 2 −1) 2 + + + + + f ' ( x) + – – – + / 2 2 2 / ( Creciente en −∞, − 3 ∪ ) ( ) ( 3, ∞ y decreciente en − 3, 3 − {±1}. ) (− 3) = −2.6 ⇒ − 3, −2.6 3 Máximo en: x = – 3 ⇒ f (− 3) = ( ) ( ) 2 − 3 − 1 ( 3) = −2.6 ⇒ 3, 2.6 3 Mínimo en: x = 3 ⇒ f ( 3) = ( ) ( ) 2 3 − 1 6º) Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión. Calculamos e igualamos a cero su primera derivada. 2 x( x 2 − 3)( x 2 − 1) 2 + x 2 ·2 x( x 2 − 1) 2 − 2·2 x( x 2 − 1) x 2 ( x 2 − 3) 2 x( x 2 + 3) f ''( x) = = ( x 2 − 1) 4 ( x 2 − 1)3 2 x( x 2 + 3) f ''( x) = 0 ⇒ =0→ x=0 ( x 2 − 1)3 Hay un punto candidato a punto de inflexión. Hacemos un estudio de los signos de la derivada segunda: x = –1 x=0 x=1 2 x( x + 3) 2 – – + + ( x 2 − 1)3+ – – + f ' ' ( x) – + – + ∩ ∪ ∩ ∪ Cóncava en (−∞, − 1) ∪ (0, 1) y convexa en (−1, 0) ∪ (1, ∞). 7º) Representación gráfica: – 16 –  Julián Moreno Mestre Academia las Rozas www.juliweb.es www.academialasrozas.com Sexto ejemplo: x 2 −1 f ( x) = x−2 1º) Dominio. Dom f ( x) = \ − {2} (−x) 2 −1 x 2 −1 ⎧ ⎪ ⎪ ≠ f ( x) 2º) Simetrías. f (−x) = = ⎨ ⇒ No tiene simetría par ni impar. (−x) − 2 −x − 2 ⎪ ⎩≠ − f ( x) ⎪ 3º) Puntos de corte. x 2 −1 ⎧ ⎪(1, 0) Eje x: f ( x) = 0 ⇒ = 0 → x = ±1 → ⎪ ⎨ x−2 ⎩⎪(−1, 0) ⎪ 02 −1 1 ⎜⎛ 1 ⎞⎟ Eje y: f (0) = = → ⎜0, ⎟ 0 − 2 2 ⎜⎝ 2 ⎠⎟ 4º) Asíntotas. x 2 −1 Asíntotas verticales: lim f ( x) = lim = ±∞ ⇒ x = 2 x→ 2 x→ 2 x − 2 x 2 −1 Asíntota horizontal: lim f ( x) = lim = ±∞ ⇒ No tiene. x →±∞ x→±∞ x − 2 Asíntota oblicua: y = mx + n x 2 −1 f ( x) x 2 −1 m = lim = lim x − 2 = lim 2 =1 x →±∞ x x→±∞ x x→±∞ x − 2 x ⎛ x 2 −1 ⎞⎟ 2 x −1 n = lim ( f ( x) − mx) = lim ⎜⎜ − x⎟⎟ = lim =2 x→±∞ x→±∞ ⎜ ⎝ x−2 ⎠⎟ x →±∞ x−2 La asíntota oblicua es: y = x + 2. 5º) Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos. Calculamos e igualamos a cero su primera derivada. 2 x( x − 2) − ( x 2 −1) x 2 − 4 x + 1 f '( x) = = ( x − 2) 2 ( x − 2) 2 x 2 − 4 x +1 ⎧ x = 3.732 ⎪ f '( x) = 0 ⇒ = 0⇒⎪ ⎨ ( x − 2) 2 ⎪⎪ ⎩ x = 0.268 Tres puntos candidatos a máximo o a mínimo. Y ahora estudiamos los signos de la derivada primera: x = 0.268 x=2 x = 3.732 2 x − 4 x +1 + – – + ( x − 2) 2 + + + + f ' ( x) + – – + / 2 2 / Creciente en (−∞, 0.268) ∪ (3.732, ∞) y decreciente en (0.268,3.732) − {2}. 0.2682 −1 Máximo en: x = 0.268 ⇒ f (0.268) = = 0.536 ⇒ (0.268, 0.536) 0.268 − 2 3.7322 −1 Mínimo en: x = 3.732 ⇒ f (3.732) = = 7.464 ⇒ (3.732, 7.464) 3.732 − 2 – 17 –  Julián Moreno Mestre Academia las Rozas www.juliweb.es www.academialasrozas.com 6º) Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión. Calculamos e igualamos a cero su primera derivada. (2 x − 4)·( x − 2) 2 − 2( x − 2)·( x 2 − 4 x + 1) 6 f ''( x) = 4 = ( x − 2) ( x − 2)3 6 f ''( x) = 0 ⇒ ≠0 ( x − 2)3 No tiene puntos candidatos a puntos de inflexión. Hacemos un estudio de los signos de la derivada segunda: x=2 6 + + ( x − 1) 2 3 – + f ' ' ( x) – + ∩ ∪ Cóncava en (−∞, 2) y convexa en (2, ∞). 7º) Representación gráfica: Séptimo ejemplo: 2 x −1 f ( x) = ( x + 2) 2 1º) Dominio. Dom f ( x) = \ − {−2} 2(−x) −1 − 2 x −1 ⎧ ⎪≠ f ( x) ⇒ No hay simetría par ni impar. ⎪ 2º) Simetrías. f (−x) = = 2 ⎨ ((−x) + 2)) 2 (2 − x) ⎪⎩≠ − f ( x) ⎪ 3º) Puntos de corte. 2 x −1 1 ⎛1 ⎞ Eje x: f ( x) = 0 ⇒ = 0 → x = → ⎜⎜ , 0⎟⎟⎟ ( x + 2) 2 2 ⎜⎝ 2 ⎠ 2·0 −1 1 ⎛ 1⎞ Eje y: f (0) = = − → ⎜⎜0, − ⎟⎟⎟ (0 + 2) 2 4 ⎜⎝ 4⎠ 4º) Asíntotas. 2 x −1 Asíntotas verticales: lim f ( x) = lim = −∞ ⇒ x = −2 x →−2 x→−2 ( x + 2) 2 2 x −1 Asíntota horizontal: lim f ( x) = lim = 0 ⇒ y = 0. x →±∞ x→±∞ ( x + 2) 2 Asíntota oblicua: Tiene asuntota horizontal, por ello no tiene oblicua. – 18 –  Julián Moreno Mestre Academia las Rozas www.juliweb.es www.academialasrozas.com 5º) Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos. Calculamos e igualamos a cero su primera derivada. 2( x + 2) 2 − 2( x + 2)(2 x −1) 6 − 2x 6 − 2x f '( x) = 4 = 3 → f '( x) = 0 → = 0→ x = 3 ( x + 2) ( x + 2) ( x + 2)3 Un punto candidato a extremo. Ahora estudiamos los signos de la derivada primera: x = –2 x=3 6 − 2x + + – 3 ( x + 2) – + + f ' ( x) – + – 2 / 2 Decreciente en (−∞, − 2) ∪ (3, ∞) y decreciente en (−2, 3). 2·3 −1 1 ⎛ 1⎞ Máximo en: x = 3 ⇒ f (3) = = ⇒ ⎜⎜3, ⎟⎟⎟ (3 + 2) 2 5 ⎜⎝ 5 ⎠ 6º) Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión. Calculamos e igualamos a cero su primera derivada. −2( x + 2)3 − 3( x + 2) 2 (6 − 2 x) −22 + 4 x f ''( x) = = ( x + 2)6 ( x + 2) 4 −22 + 4 x 11 f ''( x) = 0 ⇒ =0→ x= ( x + 2) 4 2 Un punto candidato a punto de inflexión. Hacemos ahora un estudio de los signos: x = –2 x = 11/2 −22 + 4x – – + ( x + 2) 4 + + + f ' ' ( x) – – + ∩ ∩ ∪ Cóncava en (−∞, 11/ 2) − {−2} y convexa en (11/ 2, ∞). 7º) Representación gráfica: – 19 –  Julián Moreno Mestre Academia las Rozas www.juliweb.es www.academialasrozas.com Ejercicios de optimización Estrategias para resolver problemas de optimización: - Asignar símbolos a todas las magnitudes a determinar. - Escribir una ecuación primaria para la magnitud que debe ser optimizada. - Reducir la ecuación primaria a una ecuación con solo una variable independiente. Eso puede exigir el uso de las ecuaciones secundarias (ligaduras) que relacionen las variables independientes de la ecuación primaria. - Determinar el dominio de la ecuación primaria. Esto es, hallar los valores para los que el problema planteado tiene sentido. - Determinar el valor máximo o mínimo mediante las técnicas dadas (Derivadas). Problemas resueltos de optimización: E1 Con una cartulina de 8X5 metros se desea construir una caja sin tapa, de volumen máximo. Hallar las dimensiones de dicha caja. Solución: Como hay que optimizar el volumen de una caja abierta, la ecuación a optimizar es: V( x, y, z ) = xyz Donde x define el ancho de la caja, z lo largo e y lo alto. Dichas variables como definen dimensiones, no pueden ser negativas. Tampoco pueden ser nulas porque no habría caja, por tanto: x>0 y>0 z>0 Fijándonos en el dibujo adjunto de la cartulina, es posible deducir dos ecuaciones de ligadura: 2y + x = 5 2y + z = 8 Despejando en ellas x y z: x = 5 − 2y z = 8 − 2y Dos variables han quedado ligadas a una sola, ahora utilizaremos las ecuaciones de ligadura para que la ecuación del volumen de tres variables pase a ser de una variable: V( y ) = (5 − 2 y ) y (8 − 2 y ) = 40 y − 26 y 2 + 4 y 3 Ahora procedemos a calcular sus máximos y mínimos con derivadas: V' ( y ) = 40 − 52 y + 12 y 2 → V' ( y ) = 0 → 40 − 52 y + 12 y 2 = 0 52 ± 52 2 − 4·40·12 52 ± 28 ⎧ y = 10 / 3 y= = =⎨ 24 24 ⎩ y =1 Dos valores candidatos a máximos, mínimos o puntos de inflexión. Utilizando la derivada segunda: ⎧ V''(10 / 3) = 28 mínimo V''( y ) = −52 + 24 y ⎨ ⎩ V''(1) = −28 máximo Una vez determinado el máximo, el resto de dimensiones se halla con las ecuaciones de ligadura: x = 5−2 = 3 z =8−2 = 6 Luego la caja de volumen máximo tiene por dimensiones 3 ×1× 6. – 20 –  Julián Moreno Mestre Academia las Rozas www.juliweb.es www.academialasrozas.com E2 Un rectángulo esta acotado por los ejes y por la gráfica de y = (6 – x ) / 2 ¿Qué longitud debe tener el rectángulo para que su área sea máxima? Solución: Como tenemos que optimizar una función de área de un rectángulo, por tanto: A( x, y ) = xy Estas dos variables definen sus dimensiones y deben cumplir (viendo el dibujo) que: 0< x0 y>0 Nos dice el problema que deben ser 24 dm2 de texto, esto quiere decir, viendo el dibujo, que la ecuación de ligadura es: xy = 24 Que es el área reservada al texto. Despejando de la ligadura: 24 y= x Y sustituyendo en la ecuación primaria: 24 72 A( x) = 6 + 24 + 2 x + 3 = 30 + 2 x + x x Calculando ahora su derivada y buscando máximos y mínimos: 72 2 x 2 − 72 2 x 2 − 72 A'( x) = 2 − 2 = → A'( x ) = 0 → =0 x x2 x2 2 x 2 − 72 = 0 → x = ±6 La solución negativa no tiene sentido, por tanto no es válida. En cambio la positiva la analizamos con la derivada segunda: 144 144 A' ' ( x) = 3 → A' ' (6) = mínimo x 216 Se trata de un mínimo. Por la ligadura sabemos que: 24 y= =4 6 Por tanto las dimensiones de la página son: (1 + 1 + 4)x(1.5 + 1.5 + 6) → 6x9 – 25 –  Julián Moreno Mestre Academia las Rozas www.juliweb.es www.academialasrozas.com E9 Con 4 metros de alambre se desean construir un círculo y un cuadrado. ¿Cuanto alambre hay que emplear en cada figura para lograr que entre ambas encierren el área mínima posible? Solución: En este problema hay que optimizar una función de área. La ecuación de área viene regida por: A (l , r ) = l 2 + π r 2 Que es tanto la suma del área del círculo como del cuadrado. Estas dos variables por definir una dimensión de una figura y un radio, deben ser positivas y menores que 4 y 2 / π : 0 ≤ l ≤1 0 ≤ r ≤ 2/π Pues ninguna figura puede tener más alambre que la longitud de 4 m. Por otra parte, como solo pueden usarse 4 m de alambre, llegamos a la siguiente ecuación de ligadura que es la suma del alambre necesario para circulo y cuadrado. 4 = 4l + 2π r Despejando l : 4 − 2π r πr l= = 1− 4 2 y sustituyendo en la ecuación de área, queda reducida a una ecuación de una variable: 2 ⎛ πr⎞ 2 π 2r 2 A ( r ) = ⎜1 − ⎟ + π r = 1−π r + +π r2 ⎝ 2 ⎠ 4 Derivando ahora: π 2r π 2r 1 A'(r ) = −π + + 2π r → A'(r ) = 0 → −π + + 2π r = 0 → r = ≈ 0.28 2 2 2 +π / 2 Al usar derivada segunda: π2 π2 A' ' (r ) = + 2π → A' ' (0.28) = + 2π mínimo 2 2 Para este valor de r hay área mínima, el lado del cuadrado valdrá: π ·0.28 l = 1− ≈ 0.56 m 2 E10 Dado un cilindro de volumen 4 m3, determinar sus dimensiones para que su área total sea mínima. Solución: Se trata de optimizar el área de un cilindro. La función de área de un cilindro es la suma de sus dos caras circulares más el área lateral rectangular, tal y como se ve en el dibujo de abajo: A (r , h) = 2π r 2 + 2π rh Ambas variables deben ser mayores que cero por representar dimensiones: 0