Cwiczenia - Model Ryzyka z Czasem Dyskretnym PDF

1.1 Model ryzyka z czasem dyskretnym PrzyjÍte oznaczenia: N0 = N fi {0} R+ = (0, Œ), R0+ = [0, Œ), R̄+ = (0, Œ]. q Przyjmijmy równieø, øe 0i=1 Xi = 0. Definicja 1.1. Procesem ryzyka nazywamy proces {Un }n=0,1,2,... okreúlony nastÍpujπco:...

1.1 Model ryzyka z czasem dyskretnym PrzyjÍte oznaczenia: N0 = N fi {0} R+ = (0, Œ), R0+ = [0, Œ), R̄+ = (0, Œ]. q Przyjmijmy równieø, øe 0i=1 Xi = 0. Definicja 1.1. Procesem ryzyka nazywamy proces {Un }n=0,1,2,... okreúlony nastÍpujπco: n ÿ Un = U (n, u) = u + “n ≠ Xi , n œ N0 , i=1 gdzie: u œ R0+ oznacza poczπtkowπ nadwyøkÍ ubezpieczyciela, “ œ R0+ oznacza sk≥adkÍ przypadajπcπ na pojedyÒczy okres Xi oznacza ≥πcznπ wysokoúÊ szkód w i-tym okresie. Zak≥adamy, øe U0 = u oraz, øe X1 , X2 ,... sπ nieujemnymi, niezaleønymi zmiennymi losowymi o tej samej dystrybuancie F. Definicja 1.2. Moment ruiny, przy poczπtkowej nadwyøce u i umowie, øe inf Ø = Œ, definiujemy nastÍpujπco: · = · (u) = inf{n œ N : U (n, u) < 0}. Definicja 1.3. Niech n œ N. FunkcjÍ Ôn : R0+ æ [0, 1] zdefiniowanπ nastÍpujπco: Ôn (u) = P (· (u) 6 n) nazywamy prawdopodobieÒstem ruiny do koÒca n-tego okresu sprawozdawczego, przy poczπtkowej nadwyøce u. Definicja 1.4. FunkcjÍ Ô : R0+ æ [0, 1] zdefiniowanπ nastÍpujπco: Ô(u) = P (· (u) < Œ) nazywamy prawdopodobieÒstwem ruiny w nieskoÒczonym horyzoncie czasowym, przy poczπtkowej nadwyøce u. Przyk≥ad 1.5. Za≥uømy, øe X1 ma rozk≥ad o funkcji gÍstoúci f (x) = —e≠—x [0,Œ) (x). ObliczyÊ prawdopodobieÒstwo ruiny Ô1 (u) do koÒca pierwszego okresu sprawozdaw- czego. Ô1 (u) = P(· (u) = 1) = P(S(1, u) < 0) = P(u + “ ≠ X1 < 0) = P(X1 > u + “) ⁄ Œ 5 ≠—x 6Œ 3 4 e e≠—(u+“) Ô1 (u) = P(X1 > u + “) = —e≠—x dx = — =— 0≠ = e≠—(u+“) u+“ ≠— u+“ ≠—  s s Œ s Przyjmijmy oznaczenia: 0u+“ = [0,u+“] i u+“. Niech R oznacza zbiór wszystkich mierzalnych funkcji o dziedzinie R0+ i zbiorze wartoúci zawartym w przedziale [0,1]. Dla kaødego fl œ R oraz dowolnego u > 0 wpro- wadümy pojÍcie pomocniczego operatora ¸ : R æ R zdefiniowanego nastÍpujπco: ⁄ u+“ ¸fl(u) = fl(u + “ ≠ x)dF (x) (1.1) 0 Definicja 1.6. Ustalmy F i “. Operatorem ca≥kowym generowanym przez proces ryzyka {Un }n=0,1,2,... nazywamy funkcjÍ L : R æ R zdefiniowanπ natÍpujπco: fl(u) = ¸fl(u) + 1 ≠ F (u + “) (1.2) dla kaødego fl œ R oraz dowolnego u 6 0. sŒ 1 ≠ F (u + “) = P (X1 > u + “) = Ô1 (u) = 0 dF (x) dla kaødego u 6 0. Stπd (1.2) moøna równowaønie zapisaÊ jako: ⁄ u+“ ⁄ Œ Lfl(u) = fl(u + “ ≠ x)dF (x) + dF (x). 0 u+“ PrawdopodobieÒstwo ruiny w kolejnych okresach sprawozdawczych (n + 1, 2, 3,...) moøna wyznaczyÊ rekurencyjnie za pomocπ kolejnych iteracji operatora ryzyka L. Ô0 (u) = 0 ⁄ u+“ Ô1 (u) = LÔ0 (u) = 0dF (x) + 1 ≠ F (u + “) = P (X1 > u + “) 0 ⁄ u+“ Ô2 (u) = L2 Ô0 (u) = LLÔ0 (u) = LÔ1 (u) = Ô1 (u + “ ≠ x)dF (x) + Ô1 (u) 0 ⁄ u+“ Ô3 (u) = Ô2 (u + “ ≠ x)dF (x) + Ô1 (u) 0 ⁄ u+“ Ôn+1 (u) = Ôn (u + “ ≠ x)dF (x) + Ô1 (u) = LÔn (u) 0 Definicja 1.7. Ustalmy F i “. FunkcjÍ M“ : R æ R̄+ zdefiniowanπ nastÍpujπco: ⁄ M“ (r) = Ee≠r(“≠X1 ) = dF (x) [0,Œ) nazywamy zmodyfikowanπ funkcjπ generujπcπ momenty zmiennej losowej X1. Zak≥adamy, øe istnieje wspó≥czynnik dopasowania czyli dodatnia liczba r0 , dla której M“ (r0 ) = 1. Niech funkcja R0 : R0+ æ [0, 1] bÍdzie dana nastÍpujπcym wzorem R0 (u) = e≠r0 u dla kaødego u œ R0+. Zauwaømy, øe R0 œ R. Rozwaømy ciπg funkcyjny RnnœN0 zdefiniowany, dla dowolnych n œ R0+ oraz u œ R0+ , nastÍpujπco: Rn (u) = Ln R0 (u). Rn+1 (u) = LRn (u), n œ N0 , u œ R0+.  Za≥uømy, øe istnieje wspó≥czynnik dopasowania r0. Wówczas RnnœN0 jest nierosnπ- cym ciπgiem zbieønym punktowo, gdy n æ Œ, do punktu sta≥ego operatora L. Za≥uømy, øe istnieje wspó≥czynnik dopasowania r0. Dla dowolnych n œ N oraz u œ R0+ zachodzi wówczas nastÍpujπca równoúÊ: Rn (u) ≠ Ôn (u) = ¸n R0 (u). Przyk≥ad 1.8. Za≥uømy, øe “ = 0, 25 bln USD i øe Xi , i = 1, 2,..., sπ niezaleønymi zmiennymi losowymi o rozk≥adzie wyk≥adniczym z EX1 = 0, 2 bln USD. Wtedy r0 = 1, 856 i na wykresie przedstawione sπ Ô1 (u), R0 (u) i R1 (u) jako funkcje u. Ô1 (u) = e≠—(u+“) = e≠5(x+0,25) R0 (u) = er0 u = e≠1,856u r0 1, 856 R1 (u) = e≠r0 u≠—(u+“) = e≠1,856u ≠ e≠5(u+0,25) r0 ≠ — 3, 144 1 R0 (u) R1 (u) 0.8 0.6 0.4 Ô1 (u) 0.2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1