Chapitre 1 : Théorie du Champ Électromagnétique PDF

Chapitre1 : Théorie du champ électromagnétique 1. Champ électrique Le champ électrique, noté généralement par E, est le champ vectoriel qui résulterait de l'action à distance de particules électriquement chargées sur une particule immobile ( coulomb). Un tel champ permet de déterminer en tout p...

Chapitre1 : Théorie du champ électromagnétique 1. Champ électrique Le champ électrique, noté généralement par E, est le champ vectoriel qui résulterait de l'action à distance de particules électriquement chargées sur une particule immobile ( coulomb). Un tel champ permet de déterminer en tout point de l'espace la force électrique exercée à distance par ces charges. Le champ est une grandeur vectorielle caractérisée par une direction, un sens, et une grandeur (amplitude). La norme de ce vecteur s’exprime en volt par mètre (V/m) ou en newton par coulomb (N/C) dans le système international d'unités. Lorsque les charges qui créent le champ sont au repos dans le référentiel d'étude on parle de champ électrostatique. Ce champ est alors directement déduit de l'expression de la loi de Coulomb (ou interaction électrostatique). 2. Champ magnétique Lorsqu’une bobine est traversée par un courant électrique il y’a création d’un champ magnétique noté généralement par H. La présence de ce champ se traduit par l'existence d'une force agissant sur les charges électriques en mouvement (dite force de Lorentz). Le champ magnétique (ou induction magnétique), est une grandeur caractérisée par la donnée d'une intensité et d'une direction, définie en tout point de l'espace, et déterminée par la position et l'orientation d'aimants, d'électroaimants et le déplacement de charges électriques. L'unité moderne utilisée pour quantifier l'intensité du champ magnétique est le tesla. 3. Les équations de Maxwell Les équations de Maxwell décrivent de manière mathématique les relations entre les sources et les charges, ainsi que leur interaction avec les champs électrique et magnétique. Les équations de Maxwell se composent de quatre équations et s'écrivent dans le système international sous leur forme locale comme suit :  Équation de Maxwell-Gauss      E  , équation de Maxwell–Gauss (MG) (1) 0 Cette équation montre que la divergence du champ électrique est proportionnelle à la distribution de charges électriques. 1   Equation du flux magnétique, la conservation du flux magnétique s’écrit sous la forme locale.     B  0 , équation de Maxwell–Flux ( M ) (2)   Le flux B à travers toute surface fermée est nul. C’est une propriété intrinsèque de B qui montre que le champ magnétique ne peut pas diverger à partir des points de l’espace, ou encore qu’il  n’existe pas de charges magnétique ( B est conservé).  L’équation de Maxwell-Faraday    B E , équation de Maxwell–Faraday (MF) (3) t Cette équation décrit tous les phénomènes d’induction et montre qu’un champ magnétique variable peut créer un champ électrique à circulation non nulle.  Equation de Maxwell Ampère     E    B  0  j   0  , équation de Maxwell–Ampère (MA)  (4)  t  Cette équation montre que le rotationnel du champ magnétique est la somme de sa dépendance à la variation du champ électrique au cours du temps et d’un courant électrique fixe. 4. Les équations de propagation D’après les équations de Maxwell, nous pouvons obtenir des équations de propagations. Par  exemple, pour l’équation de propagation du champ électrique E , en prenant le rotationnel de la première équation de Maxwell, on obtient ainsi :     rot ( rot ( E ))    rot ( H ) t    E Sachant que : rot ( H )   t 2 Ce qui donne :    2E rot ( rot ( E ))     2 t              L’expression du double produit vectoriel A  B  C  A.C B  A.B C permet de développer le membre de gauche :            rot (rot ( E ))      E  (.E )  (.) E 5. Propagation de l’onde électromagnétique plane dans le vide.  Dans le vide qui ne contient pas de charges libres donc  = 0 et pas de courant donc j = 0. Les équations de maxwell se simplifient comme : Le premier terme de droite est nul d’après la première équation de Maxwell ………………………………    div E  .E  0    E rot ( H )   Le deuxième terme et J de la quatrième équation devient : t            En utilisant la relation d’analyse vecorielle : rot ( ro t ( E ))      E  (.E )  (.) E ;   2E on obtient l’équation d’onde du champ électrique :  E  0  0 2 2 t    2H On obtient de même pour H  H  0  0 2 2 t  2 2 2 Le Laplacien s’écrit en coordonnées cartésiennes :    2  2  2  2 x y z Les équations de propagation obtenues sont vectorielles et tridimensionnelles (dépendent des trois coordonnées x,y,z). A trois dimensions les solutions sont beaucoup plus compliquées qu’a une dimension. Il est possible de simplifier le problème et de s’intéresser au cas le plus simple où les variations s’effectuent uniquement dans une direction de l’espace représentée par un axe (par exemple (Oz)). Cette approximation correspond à la description en termes d’ondes planes.  L’onde plane électromagnétique Une onde plane est une solution de l’équation de propagation qui ne dépend que d’une variable d’espace en coordonnées cartésiennes. Une onde électromagnétique est dite plane lorsque les 3 champs ne varient que dans la direction de propagation (axe Oz, voir figure 1). Par contre ils ont la même valeur en tout point du plan xoy, appelé plan d’onde. Figure 1 : Représentation des déplacements des points selon « z » sur deux fronts d’onde En considérant une onde plane se propageant selon l’axe Oz, on a pour le champ électrique :    E (r , t )  E ( z , t ) Il est clair que tous les points d’un même plan perpendiculaire à la direction de propagation vibrent simultanément et avec la même amplitude. On parle donc d’onde plane (homogène). L’axe (Oz) définit l’axe de propagation et les plans perpendiculaires à cet axe sont appelés plans d’onde. Avec 4 cette hypothèse simplificatrice sur la forme du champ, il est plus facile de résoudre les équations de propagation. L’équation d’onde devient :  2 E 2E 1 2E  0  0 2  2 2 z 2 t c t 1 avec c   3  10 8 m / s , cette valeur est égale à la célérité de la lumière dans le vide. ( 0  0 ) 1/ 2 Figure 2: Propagation d’une onde électromagnétique Un cas particulier important d’onde plane progressive est celui des ondes sinusoïdales correspond à la solution de l’équation :  z  E ( z , t )  E0 cos  (t  )   E0 cost  kz   c  E0 est l’amplitude de l’onde et t  kz  sa phase    2   Le vecteur d’onde : k  ke z  e z  e est appelé vecteur d’onde ou constante de c  z propagation qui est colinéaire à la direction de propagation (sa direction désigne le sens de propagation de l’onde). 2    cT est la période spatiale ou longueur d’onde. La longueur d’onde dépend de la k vitesse de propagation dans le milieu 2  T est la période temporelle.  5